Vom Term zur Gleichung

Gleichungen lösen - Äquivalenzumformung verstehen

Lisa & Gregor von OnMathe
two students high five

Eine Gleichung sagt: Beide Seiten sollen gleich viel wert sein. Deshalb steht da ein \(\textcolor{purple}{=}\). Beim Lösen suchen wir die Zahl für \(x\), mit der das stimmt.

Waage im Gleichgewicht: Links stehen zwei gleiche unbekannte Gewichte und 2 kg, rechts zweimal 4 kg und 2 kg.
Zwei gleiche unbekannte Gewichte und 2 kg wiegen zusammen 10 kg. Wie schwer ist eines der unbekannten Gewichte?
\(\textcolor{steelblue}{2}x\textcolor{orange}{+2}\) \(\textcolor{purple}{=}\) \(10\)
  1. Das Ziel: x steht allein.
    Dafür müssen die \(\textcolor{orange}{+2}\) und der Faktor \(\textcolor{steelblue}{2}\) beim \(x\) weg.
  2. Der Weg: Umkehrrechnungen.
    Plus machen wir mit Minus rückgängig, Mal mit Geteilt.

    Immer auf beiden Seiten! Wie die Waage sollen beide Seiten im Gleichgewicht bleiben. Deshalb rechnen wir auf beiden Seiten das Gleiche.

    Dabei bleibt die gesuchte Zahl dieselbe. Das nennt man Äquivalenzumformung.

  3. Zuerst die +2 weg – auf beiden Seiten −2.
    \(\textcolor{steelblue}{2}x\textcolor{orange}{+2-2}\textcolor{purple}{=}10\textcolor{orange}{-2}\)
    \(\textcolor{steelblue}{2}x\textcolor{purple}{=}8\)
    Links heben sich \(\textcolor{orange}{+2-2}\) auf. Rechts steht jetzt ebenfalls \(\textcolor{orange}{-2}\), weil wir auf beiden Seiten 2 abziehen.
  4. Dann die 2 vor dem x weg – beide Seiten geteilt durch 2.
    \(\textcolor{steelblue}{2}x\textcolor{steelblue}{:\,2}\textcolor{purple}{=}8\textcolor{steelblue}{:\,2}\)
    \(x\textcolor{purple}{=}4\)
    \(\textcolor{steelblue}{2}x\) bedeutet \(\textcolor{steelblue}{2}\cdot x\), also ist die Umkehrrechnung geteilt.
  5. x gefunden! Jetzt prüfen wir die Lösung.
    Wir setzen \(\textcolor{green}{4}\) für \(\textcolor{green}{x}\) in die ursprüngliche Gleichung ein.
    \(2\textcolor{green}{x}+2\textcolor{purple}{=}10\)
    \(2\cdot\textcolor{green}{4}+2\textcolor{purple}{=}10\)
    \(10\textcolor{purple}{=}10\)
    Beide Seiten sind gleich viel wert. Also stimmt unsere Lösung \(\textcolor{green}{x}\textcolor{purple}{=}\textcolor{green}{4}\). Ein unbekanntes Gewicht wiegt 4 kg.

Warum diese Schritte funktionieren, schauen wir uns jetzt an der Waage genauer an.

Inhaltsverzeichnis

Das erwartet Dich

Gleichungen mit einer Waage verstehen
Gleichungen sicher lösen

Eine Gleichung sagt: Beide Seiten sollen gleich viel wert sein. Deshalb steht da ein \(\textcolor{purple}{=}\). Beim Lösen suchen wir die Zahl für \(x\), mit der das stimmt.

Waage im Gleichgewicht: Links stehen zwei gleiche unbekannte Gewichte und 2 kg, rechts zweimal 4 kg und 2 kg.
Zwei gleiche unbekannte Gewichte und 2 kg wiegen zusammen 10 kg. Wie schwer ist eines der unbekannten Gewichte?
\(\textcolor{steelblue}{2}x\textcolor{orange}{+2}\) \(\textcolor{purple}{=}\) \(10\)
  1. Das Ziel: x steht allein.
    Dafür müssen die \(\textcolor{orange}{+2}\) und der Faktor \(\textcolor{steelblue}{2}\) beim \(x\) weg.
  2. Der Weg: Umkehrrechnungen.
    Plus machen wir mit Minus rückgängig, Mal mit Geteilt.

    Immer auf beiden Seiten! Wie die Waage sollen beide Seiten im Gleichgewicht bleiben. Deshalb rechnen wir auf beiden Seiten das Gleiche.

    Dabei bleibt die gesuchte Zahl dieselbe. Das nennt man Äquivalenzumformung.

  3. Zuerst die +2 weg – auf beiden Seiten −2.
    \(\textcolor{steelblue}{2}x\textcolor{orange}{+2-2}\textcolor{purple}{=}10\textcolor{orange}{-2}\)
    \(\textcolor{steelblue}{2}x\textcolor{purple}{=}8\)
    Links heben sich \(\textcolor{orange}{+2-2}\) auf. Rechts steht jetzt ebenfalls \(\textcolor{orange}{-2}\), weil wir auf beiden Seiten 2 abziehen.
  4. Dann die 2 vor dem x weg – beide Seiten geteilt durch 2.
    \(\textcolor{steelblue}{2}x\textcolor{steelblue}{:\,2}\textcolor{purple}{=}8\textcolor{steelblue}{:\,2}\)
    \(x\textcolor{purple}{=}4\)
    \(\textcolor{steelblue}{2}x\) bedeutet \(\textcolor{steelblue}{2}\cdot x\), also ist die Umkehrrechnung geteilt.
  5. x gefunden! Jetzt prüfen wir die Lösung.
    Wir setzen \(\textcolor{green}{4}\) für \(\textcolor{green}{x}\) in die ursprüngliche Gleichung ein.
    \(2\textcolor{green}{x}+2\textcolor{purple}{=}10\)
    \(2\cdot\textcolor{green}{4}+2\textcolor{purple}{=}10\)
    \(10\textcolor{purple}{=}10\)
    Beide Seiten sind gleich viel wert. Also stimmt unsere Lösung \(\textcolor{green}{x}\textcolor{purple}{=}\textcolor{green}{4}\). Ein unbekanntes Gewicht wiegt 4 kg.

Warum diese Schritte funktionieren, schauen wir uns jetzt an der Waage genauer an.

Gleichungen mit einer Waage verstehen

Bei einer Gleichung geht es um Gleichgewicht – genau wie bei einer Waage.

Beide Seiten sind gleich viel wert, so wie beide Waagschalen gleich schwer sind.

Das Gewichterätsel

Nutzen wir dieses Gleichgewicht, um ein Rätsel zu lösen: Bei zwei gleich schweren Gewichten fehlt die Beschriftung. Wie schwer ist eines davon? Wir nennen sein Gewicht \(\textcolor{steelblue}{x}\).

Die Ausgangslage

Das Gleichgewicht ist unsere Gleichung

Schauen wir uns an, was auf den beiden Waagschalen liegt und wie wir das als Rechnung aufschreiben.

Waage im Gleichgewicht: Links liegen zwei gleiche blaue unbekannte Gewichte und 4 kg, rechts zweimal 6 kg und 4 kg.
Linke Waagschale Rechte Waagschale
\(2\textcolor{steelblue}{x}\textcolor{orange}{+4}\) \(6+6\textcolor{orange}{+4}=16\)

Beide Seiten sind gleich schwer. Deshalb verbinden wir sie mit einem \(\textcolor{purple}{=}\).

\(2\textcolor{steelblue}{x}\textcolor{orange}{+4}\textcolor{purple}{=}16\)

Unser Ziel: Links bleibt nur noch ein unbekanntes Gewicht liegen.
Bleibt die Waage dabei im Gleichgewicht, können wir rechts ablesen, wie schwer es ist.

Dafür nehmen wir jetzt Gewichte weg. Aber wie halten wir die Waage im Gleichgewicht?

Einseitig verändern

Nur auf einer Seite? Dann kippt die Waage.

Als erstes nehmen links die 4 kg weg. Schau dir an, was dann passiert:

Die Waage kippt: Links wurden 4 kg entfernt. Die rechte Seite ist jetzt schwerer und sinkt nach unten.
Das Gleichgewicht ist verloren!
Links ist es leichter geworden. Rechts liegt noch zu viel.
Das Gleichgewicht wiederherstellen

Den Ausgleich schaffen – auch rechts 4 kg wegnehmen

Damit beide Seiten wieder gleich schwer sind, nehmen wir auch rechts die 4 kg weg.

Das Gleichgewicht ist wiederhergestellt: Auch rechts wurden 4 kg entfernt. Zwei blaue unbekannte Gewichte wiegen zusammen 12 kg.
Beide Seiten gehören zusammen

Beim Rechnen machen wir diese beiden Veränderungen in einem Schritt: links 4 abziehen und rechts 4 abziehen. So bleibt die Gleichung im Gleichgewicht.

\(2\textcolor{steelblue}{x}\textcolor{orange}{+4-4}\textcolor{purple}{=}16\textcolor{orange}{-4}\)
\(2\textcolor{steelblue}{x}\textcolor{purple}{=}12\)
Links heben sich \(\textcolor{orange}{+4-4}\) auf. Rechts bleiben \(16\textcolor{orange}{-4}=12\).
Ein unbekanntes Gewicht behalten

Gleichmäßig aufteilen – auf beiden Seiten

Links soll nur noch ein unbekanntes Gewicht liegen. Wir halbieren also die Anzahl der Gewichte auf der linken Waagschale.

Denk an die Merke-Box: Auch rechts nehmen wir die Hälfte weg. So bleibt die Waage im Gleichgewicht.
Die Waage bleibt nach dem Halbieren im Gleichgewicht: Ein blaues unbekanntes Gewicht links wiegt genauso viel wie 6 kg rechts.

Für unsere Gleichung bedeutet das: Beide Seiten durch 2 teilen.

\(2\textcolor{steelblue}{x}\textcolor{steelblue}{:\,2}\textcolor{purple}{=}12\textcolor{steelblue}{:\,2}\)
\(\textcolor{steelblue}{x}\textcolor{purple}{=}\textcolor{green}{6}\)
Links heben sich mal 2 und geteilt durch 2 auf. Rechts bleiben \(12:2=6\).
Ein unbekanntes Gewicht wiegt also 6 kg.
Vom Bild zum Begriff

Gleichungen umformen und das Gleichgewicht erhalten

Wir verändern beide Seiten so, dass die gesuchte Zahl sichtbar wird. Dazu nutzen wir die passende Umkehrrechnung. Dieses Umformen nennen wir:

Äquivalenzumformung

Ein ziemlich kompliziertes Wort, das aber nur bedeutet: Egal, was wir tun, wir tun es immer auf beiden Seiten der Gleichung. Wir führen also auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens die gleiche Rechnung aus.

Ist dir aufgefallen, wie oft wir gleich sagen? Genau darum geht es: Das Gleichgewicht bleibt zu jedem Zeitpunkt erhalten.

Gleichungen sicher lösen

Unser Ziel beim Lösen von Gleichungen: \(\textcolor{steelblue}{x}\) steht allein. Dafür wählen wir die passende Umkehrrechnung und führen sie auf beiden Seiten vom Gleichheitszeichen aus. Wie wir den Überblick behalten, schauen wir uns an einem Beispiel an.

\(\textcolor{steelblue}{4x}\textcolor{orange}{-3}=17\) \(\textcolor{orange}{+\,3}\)
\(\textcolor{steelblue}{4x}=20\) \(\textcolor{steelblue}{:\,4}\)
\(\textcolor{steelblue}{x}=\textcolor{green}{5}\)
Der Umformungsstrich

Hinter dem senkrechten Strich steht immer der Rechenschritt - die Äquivalenzumformung. Das hilft uns dabei den Überblick zu behalten.

Den Zwischenschritt \(4x-3\textcolor{orange}{+3}=17\textcolor{orange}{+3}\) müssen wir deshalb nicht jedes Mal ausschreiben.

Rechenstrich, Operationsstrich, Kommandostrich oder Umformungsstrich – verschiedene Namen für dieselbe Schreibweise.
Die passenden Partner

Welche Umkehrrechnung brauchen wir?

Plus machen wir mit Minus rückgängig, Mal mit Geteilt – und umgekehrt. Die Rechnung in der Gleichung bestimmt den Partner. Welche Zahl dabei addiert, subtrahiert, multipliziert oder dividiert wird, ändert an diesem Prinzip nichts – deshalb nennen wir sie hier \(a\).

Das steht da Das rechnen wir
\(\textcolor{steelblue}{x}\,\textcolor{orange}{+}\,a\) \(\textcolor{orange}{-}\,a\)
\(\textcolor{steelblue}{x}\,\textcolor{orange}{-}\,a\) \(\textcolor{orange}{+}\,a\)
\(\textcolor{steelblue}{x}\,\textcolor{steelblue}{\cdot}\,a\) \(\textcolor{steelblue}{:}\,a\)
\(\textcolor{steelblue}{x}\,\textcolor{steelblue}{:}\,a\) \(\textcolor{steelblue}{\cdot}\,a\)
Immer auf beiden Seiten rechnen. Beim Multiplizieren und Teilen gilt hier \(a\ne0\).
Das nächste Beispiel

Komplexere Gleichungen lösen: x auf beiden Seiten

\(3(\textcolor{steelblue}{x}+2)+\textcolor{steelblue}{x}=\textcolor{steelblue}{2x}+14\)

Das sieht kompliziert aus, aber du lernst hier nichts Neues.
Bevor wir nach \(\textcolor{steelblue}{x}\) auflösen, müssen wir nur noch die Klammer auflösen und zusammenfassen. Das sind Termumformungen – die kannst du schon.

\(3(\textcolor{steelblue}{x}+2)+\textcolor{steelblue}{x}=\textcolor{steelblue}{2x}+14\)
Klammer ausmultiplizieren ↓
\(3\cdot\textcolor{steelblue}{x}+\textcolor{orange}{3\cdot2}+\textcolor{steelblue}{x}=\textcolor{steelblue}{2x}+14\)
Ausrechnen ↓
\(\textcolor{steelblue}{3x}+\textcolor{orange}{6}+\textcolor{steelblue}{x}=\textcolor{steelblue}{2x}+14\)
Gleichartige Terme zusammenfassen ↓
\(\textcolor{steelblue}{4x}+\textcolor{orange}{6}=\textcolor{steelblue}{2x}+14\)
Danach: dein Wissen über Gleichungen

Mit Äquivalenzumformungen nach x auflösen

Die Terme sind vereinfacht. Jetzt bringen wir die x-Terme auf eine Seite und stellen \(\textcolor{steelblue}{x}\) allein – mit den bekannten Umkehrrechnungen auf beiden Seiten.

\(\textcolor{steelblue}{4x}+\textcolor{orange}{6}=\textcolor{steelblue}{2x}+14\) \(\textcolor{steelblue}{-\,2x}\)
\(\textcolor{steelblue}{2x}\textcolor{orange}{+6}=14\) \(\textcolor{orange}{-\,6}\)
\(\textcolor{steelblue}{2x}=8\) \(\textcolor{steelblue}{:\,2}\)
\(\textcolor{steelblue}{x}=\textcolor{green}{4}\)
Die gesuchte Zahl ist \(\textcolor{steelblue}{x}=\textcolor{green}{4}\).
Kleiner Trick, große Wirkung

Die Probe gibt dir Sicherheit

Bist du dir mit deinem Ergebnis unsicher? Unseren Schülern zeigen wir in unserem Online-Unterricht einen ganz einfachen Trick.

Mit der Probe prüfst du deine Lösung. Setze die Zahl, die du für \(\textcolor{steelblue}{x}\) berechnet hast, in die ursprüngliche Gleichung ein und schau, ob alles im Gleichgewicht bleibt.

\(3(\textcolor{steelblue}{x}+2)+\textcolor{steelblue}{x}=2\textcolor{steelblue}{x}+14\)
\(3(\textcolor{green}{4}+2)+\textcolor{green}{4}=2\cdot\textcolor{green}{4}+14\)
\(22=22\)
Beide Seiten sind gleich viel wert. Die Lösung stimmt!
Dein Weg zur Lösung
  • Klammern auflösen.
  • Gleichartige Terme zusammenfassen.
  • x-Terme auf eine Seite bringen.
  • \(x\) allein stellen – auf beiden Seiten gleich rechnen.
  • Lösung prüfen – einsetzen und nachrechnen.

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Übungen

Löse die Gleichung. Schreibe deine Umkehrrechnungen hinter den Umformungsstrich.

\(3\textcolor{steelblue}{x}\textcolor{orange}{-4}=11\)

Schaffe zuerst die \(\textcolor{orange}{-4}\) weg. Welche Rechnung macht Minus rückgängig? Danach kümmerst du dich um den Faktor vor \(\textcolor{steelblue}{x}\).

Lösung

Wir addieren auf beiden Seiten 4. Anschließend teilen wir beide Seiten durch 3.

\(\textcolor{steelblue}{3x}\textcolor{orange}{-4}=11\) \(\textcolor{orange}{+\,4}\)
\(\textcolor{steelblue}{3x}=15\) \(\textcolor{steelblue}{:\,3}\)
\(\textcolor{steelblue}{x}=\textcolor{green}{5}\)

Die Probe bestätigt unsere Lösung: \(3\cdot\textcolor{green}{5}-4=15-4=11\).

Die gesuchte Zahl ist \(\textcolor{steelblue}{x}=\textcolor{green}{5}\).

Jemand teilt diese Gleichung durch 4:

\(4\textcolor{steelblue}{x}+8=20\)
Daraus wird angeblich:
\(\textcolor{steelblue}{x}+8=5\)

Was ist dabei schiefgelaufen?

✗ Falsch
✓ Richtig
✗ Falsch

Lösung

Wir müssen die gesamte linke Seite durch 4 teilen. Das betrifft sowohl \(4\textcolor{steelblue}{x}\) als auch die \(8\).

\(\dfrac{4\textcolor{steelblue}{x}+8}{4}=\dfrac{20}{4}\)
\(\dfrac{4\textcolor{steelblue}{x}}{4}+\dfrac{8}{4}=5\)
\(\textcolor{steelblue}{x}+2=5\)
Beide Seiten durch 4 teilen heißt: jeden Summanden durch 4 teilen.

Löse die Gleichung. Vereinfache zuerst die Terme und löse danach nach \(\textcolor{steelblue}{x}\) auf.

\(2(\textcolor{steelblue}{x}+3)+\textcolor{steelblue}{x}=\textcolor{steelblue}{x}+18\)

Multipliziere die 2 mit beiden Termen in der Klammer. Fasse danach links die x-Terme zusammen. Welche Umkehrrechnung lässt anschließend das \(\textcolor{steelblue}{x}\) rechts verschwinden?

Löse die Gleichung. Vereinfache zuerst die Terme und löse danach nach \(\textcolor{steelblue}{x}\) auf.

\(2(\textcolor{steelblue}{x}+3)+\textcolor{steelblue}{x}=\textcolor{steelblue}{x}+18\)

Multipliziere die 2 mit beiden Termen in der Klammer. Fasse danach links die x-Terme zusammen. Welche Umkehrrechnung lässt anschließend das \(\textcolor{steelblue}{x}\) rechts verschwinden?

Lösung

Zuerst lösen wir die Klammer auf und fassen zusammen:

\(2(\textcolor{steelblue}{x}+3)+\textcolor{steelblue}{x}=\textcolor{steelblue}{x}+18\)
\(2\cdot\textcolor{steelblue}{x}+\textcolor{orange}{2\cdot3}+\textcolor{steelblue}{x}=\textcolor{steelblue}{x}+18\)
\(\textcolor{steelblue}{2x}+\textcolor{orange}{6}+\textcolor{steelblue}{x}=\textcolor{steelblue}{x}+18\)
\(\textcolor{steelblue}{3x}+\textcolor{orange}{6}=\textcolor{steelblue}{x}+18\)

Jetzt ziehen wir auf beiden Seiten \(\textcolor{steelblue}{x}\) ab. Danach schaffen wir die Zahl und den Faktor beim \(\textcolor{steelblue}{x}\) weg:

\(\textcolor{steelblue}{3x}+\textcolor{orange}{6}=\textcolor{steelblue}{x}+18\) \(\textcolor{steelblue}{-\,x}\)
\(\textcolor{steelblue}{2x}\textcolor{orange}{+6}=18\) \(\textcolor{orange}{-\,6}\)
\(\textcolor{steelblue}{2x}=12\) \(\textcolor{steelblue}{:\,2}\)
\(\textcolor{steelblue}{x}=\textcolor{green}{6}\)

Die Probe in der ursprünglichen Gleichung:

\(2(\textcolor{green}{6}+3)+\textcolor{green}{6}=\textcolor{green}{6}+18\)
\(24=24\)
Die Lösung \(\textcolor{steelblue}{x}=\textcolor{green}{6}\) stimmt.

Löse die Gleichung und prüfe dein Ergebnis durch Einsetzen.

\(\dfrac{\textcolor{steelblue}{2x}}{3}\textcolor{orange}{+1}=7\)

Schaffe zuerst die \(\textcolor{orange}{+1}\) weg. Der Bruchstrich bedeutet geteilt durch 3. Welche Umkehrrechnung beseitigt danach den Nenner?

Lösung

Wir ziehen auf beiden Seiten 1 ab. Danach multiplizieren wir beide Seiten mit 3, damit der Nenner wegfällt.

\(\dfrac{\textcolor{steelblue}{2x}}{3}\textcolor{orange}{+1}=7\) \(\textcolor{orange}{-\,1}\)
\(\dfrac{\textcolor{steelblue}{2x}}{3}=6\) \(\textcolor{steelblue}{\cdot\,3}\)
\(\textcolor{steelblue}{2x}=18\) \(\textcolor{steelblue}{:\,2}\)
\(\textcolor{steelblue}{x}=\textcolor{green}{9}\)

Jetzt setzen wir \(\textcolor{green}{9}\) in die ursprüngliche Gleichung ein:

\(\dfrac{2\cdot\textcolor{green}{9}}{3}+1=7\)
\(6+1=7\)
\(7=7\)
Die Lösung \(\textcolor{steelblue}{x}=\textcolor{green}{9}\) stimmt.

Beim Lösen einer linearen Gleichung fallen alle x-Terme weg. Nach korrekten Äquivalenzumformungen bleibt:

\(0=0\)

Was bedeutet das?

✗ Falsch
✗ Falsch
✓ Richtig

Lösung

Die Gleichung hat unendlich viele Lösungen. \(0=0\) ist eine wahre Aussage. Sie schränkt den Wert von \(\textcolor{steelblue}{x}\) nicht ein.

Wäre stattdessen eine falsche Aussage wie \(0=5\) übrig geblieben, hätte die Gleichung keine Lösung. Dass kein \(\textcolor{steelblue}{x}\) mehr dasteht, entscheidet das also noch nicht.

Wahre Aussage ohne x: unendlich viele Lösungen.

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Mehr dazu

in unseren FAQs

Muss x am Ende immer links stehen?

Nein. Links und rechts darfst du vertauschen. \(5=\textcolor{steelblue}{x}\) bedeutet genau dasselbe wie \(\textcolor{steelblue}{x}=5\). Wichtig ist nur, dass \(\textcolor{steelblue}{x}\) allein steht.

Du kannst die x-Terme deshalb auf der Seite sammeln, auf der es für dich einfacher ist. Oft sparst du dir negative Vorzeichen, wenn du den kleineren x-Term vom größeren abziehst.

Kann die Lösung auch negativ oder ein Bruch sein?

Ja, wenn diese Zahlen in der Aufgabe zugelassen sind. Eine Lösung muss keine positive ganze Zahl sein.

\(2\textcolor{steelblue}{x}=-3\)
\(\textcolor{steelblue}{x}=\textcolor{green}{-\dfrac{3}{2}}\)

Das Waagenbild hilft beim Verstehen, aber ein echtes Gewicht kann natürlich nicht negativ schwer sein. Mit Gleichungen können wir auch solche Zahlen beschreiben.

Achte auf die Aufgabenstellung: Eine Anzahl von Personen kann beispielsweise weder negativ noch eine halbe Person sein.

Darf ich auf beiden Seiten durch x teilen?

Nur wenn sicher ist, dass \(\textcolor{steelblue}{x}\ne0\) ist. Sonst könntest du durch null teilen und eine Lösung verlieren.

\(3\textcolor{steelblue}{x}=5\textcolor{steelblue}{x}\)

Hier ist \(\textcolor{steelblue}{x}=\textcolor{green}{0}\) eine Lösung: \(3\cdot0=5\cdot0\). Würdest du durch \(\textcolor{steelblue}{x}\) teilen, bliebe \(3=5\) stehen – die Lösung wäre verloren.

Ziehe stattdessen auf beiden Seiten einen x-Term ab. Dafür musst du nicht wissen, welchen Wert \(\textcolor{steelblue}{x}\) hat.

Wofür brauche ich das Umformen später?

Nur wenn sicher ist, dass \(\textcolor{steelblue}{x}\ne0\) ist. Sonst könntest du durch null teilen und eine Lösung verlieren.

\(3\textcolor{steelblue}{x}=5\textcolor{steelblue}{x}\)

Hier ist \(\textcolor{steelblue}{x}=\textcolor{green}{0}\) eine Lösung: \(3\cdot0=5\cdot0\). Würdest du durch \(\textcolor{steelblue}{x}\) teilen, bliebe \(3=5\) stehen – die Lösung wäre verloren.

Zum Beispiel, um Formeln nach der gesuchten Größe umzustellen. Die muss dabei nicht \(\textcolor{steelblue}{x}\) heißen.

Der Umfang eines Rechtecks ist \(U=2a+2b\). Kennst du den Umfang \(U\) und die Seite \(b\), kannst du die Formel nach \(a\) auflösen:

\(\textcolor{steelblue}{a}=\dfrac{U-2b}{2}\)

Der Weg bleibt derselbe: auf beiden Seiten \(2b\) abziehen und anschließend durch 2 teilen. So kannst du eine bekannte Formel auch für eine andere gesuchte Größe benutzen.

Ziehe stattdessen auf beiden Seiten einen x-Term ab. Dafür musst du nicht wissen, welchen Wert \(\textcolor{steelblue}{x}\) hat.

Mehr dazu

Weiterführende Informationen

Gleichungen mit Brüchen

\(\dfrac{\textcolor{steelblue}{3x}}{\textcolor{steelblue}{4}}\textcolor{orange}{-2}=7\)

Der Bruch sieht ungewohnt aus, aber der Bruchstrich bedeutet nur geteilt durch. Hier wird \(\textcolor{steelblue}{3x}\) durch \(\textcolor{steelblue}{4}\) geteilt. Die passende Umkehrrechnung kennen wir: mit 4 multiplizieren.

Zuerst schaffen wir die −2 weg. Danach beseitigen wir den Nenner und stellen \(\textcolor{steelblue}{x}\) allein.

\(\dfrac{\textcolor{steelblue}{3x}}{\textcolor{steelblue}{4}}\textcolor{orange}{-2}=7\) \(\textcolor{orange}{+\,2}\)
\(\dfrac{\textcolor{steelblue}{3x}}{\textcolor{steelblue}{4}}=9\) \(\textcolor{steelblue}{\cdot\,4}\)
\(\textcolor{steelblue}{3x}=36\) \(\textcolor{steelblue}{:\,3}\)
\(\textcolor{steelblue}{x}=\textcolor{green}{12}\)
Geteilt durch \(\textcolor{steelblue}{4}\) und mal \(\textcolor{steelblue}{4}\) heben sich auf. Deshalb bleibt links \(\textcolor{steelblue}{3x}\). Rechts rechnen wir ebenfalls mal 4: \(9\cdot4=36\).
Die gesuchte Zahl ist \(\textcolor{steelblue}{x}=\textcolor{green}{12}\).
Kurz prüfen

Auch mit Bruch geht die Probe genauso

Wir setzen \(\textcolor{green}{12}\) für \(\textcolor{steelblue}{x}\) in die ursprüngliche Gleichung ein:

\(\dfrac{3\cdot\textcolor{green}{12}}{4}-2=7\)
\(9-2=7\)
\(7=7\)
Beide Seiten sind gleich viel wert. Die Lösung stimmt!
Hier steht eine feste Zahl im Nenner. Steht dort \(\textcolor{steelblue}{x}\), musst du zusätzlich beachten, welche Werte den Nenner null machen. Das gehört zum Thema Bruchgleichungen.

Anzahl der Lösungen einer Gleichung

Bisher haben wir immer eine Zahl für \(\textcolor{steelblue}{x}\) gefunden. Manchmal fallen beim Umformen aber alle x-Terme weg. Das muss kein Rechenfehler sein – jetzt schauen wir, welche Aussage übrig bleibt.

Was, wenn am Ende etwas Falsches steht?

Auf beiden Seiten steht \(\textcolor{steelblue}{2x}\). Wir ziehen es auf beiden Seiten ab:

\(\textcolor{steelblue}{2x}+6=\textcolor{steelblue}{2x}+8\) \(\textcolor{steelblue}{-\,2x}\)
\(6=8\)

6 ist nicht gleich 8. Hier kann keine Zahl für \(\textcolor{steelblue}{x}\) helfen: Rechts wird zur gleichen Menge \(\textcolor{steelblue}{2x}\) immer 2 mehr addiert als links. Die Seiten kommen nie ins Gleichgewicht.

Die Gleichung hat keine Lösung.
Kein \(\textcolor{steelblue}{x}\) mehr in der Rechnung bedeutet nicht \(\textcolor{steelblue}{x}=0\). Entscheidend ist, ob die verbleibende Aussage stimmt.
Fast dieselbe Gleichung

Was, wenn die Aussage immer stimmt?

Wir ändern rechts nur die \(8\) in eine \(6\). Wieder ziehen wir auf beiden Seiten \(\textcolor{steelblue}{2x}\) ab:

\(\textcolor{steelblue}{2x}+6=\textcolor{steelblue}{2x}+6\) \(\textcolor{steelblue}{-\,2x}\)
\(6=6\)

Das stimmt. Egal, welche Zahl wir für \(\textcolor{steelblue}{x}\) einsetzen: Links und rechts rechnen wir genau dasselbe. Die Seiten sind immer im Gleichgewicht.

Jede Zahl passt – die Gleichung hat unendlich viele Lösungen.
\(6=6\) bedeutet nicht, dass \(\textcolor{steelblue}{x}=6\) ist. Auch \(0\), \(4\) oder \(-10\) erfüllen die ursprüngliche Gleichung.
Lösungen erkennen
  • Eine feste Zahl bleibt für \(x\), etwa \(\textcolor{steelblue}{x}=\textcolor{green}{4}\): eine Lösung.
  • Alle x fallen weg, die Aussage ist falsch, etwa \(6=8\): keine Lösung.
  • Alle x fallen weg, die Aussage ist wahr, etwa \(6=6\): unendlich viele Lösungen.
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