Eine, keine oder unendlich viele Lösungen erkennen

lineare Gleichungssysteme zeichnerisch lösen

Lisa von OnMathe
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Einleitung

Ein lineares Gleichungssystem kann eine, keine oder auch unendlich viele Lösungen haben. Warum das so ist, wird sofort klar, wenn wir es uns grafisch anschauen:

Merke
Die Anzahl der Lösungen hängt davon ab, wie die beiden Geraden zueinander liegen:
  • Unterschiedliche Steigungen
    → genau eine Lösung
  • Gleiche Steigung, unterschiedlicher y-Achsenabschnitt
    → keine Lösung
  • Gleiche Steigung, gleicher y-Achsenabschnitt
    → unendlich viele Lösungen

Die eindeutige Lösung eines LGS ist der Schnittpunkt der beiden Geraden.
Du kannst das LGS grafisch lösen, indem du den Schnittpunkt abliest.

Inhaltsverzeichnis

Das erwartet Dich

Einleitung
LGS zeichnerisch lösen
keine Lösung
unendlich Lösungen

Einleitung

Ein lineares Gleichungssystem kann eine, keine oder auch unendlich viele Lösungen haben. Warum das so ist, wird sofort klar, wenn wir es uns grafisch anschauen:

Merke
Die Anzahl der Lösungen hängt davon ab, wie die beiden Geraden zueinander liegen:
  • Unterschiedliche Steigungen
    → genau eine Lösung
  • Gleiche Steigung, unterschiedlicher y-Achsenabschnitt
    → keine Lösung
  • Gleiche Steigung, gleicher y-Achsenabschnitt
    → unendlich viele Lösungen

Die eindeutige Lösung eines LGS ist der Schnittpunkt der beiden Geraden.
Du kannst das LGS grafisch lösen, indem du den Schnittpunkt abliest.

LGS zeichnerisch lösen

Ein lineares Gleichungssystem kann man auch zeichnerisch lösen. Dabei werden beide Gleichungen als Geraden ins Koordinatensystem gezeichnet.

\( \textsf{I:}\; {\textcolor{orange}{y}} = 2{\textcolor{orange}{x}} + 1 \)
\( \textsf{II:}\; {\textcolor{green}{y}} = -{\textcolor{green}{x}} + 4 \)
→ Jede Gleichung entspricht einer Geraden
→ Die Lösung ist der Schnittpunkt der Geraden
\( \textsf{L}(x \mid y) \) = Schnittpunkt im Koordinatensystem
Wichtig
Zum Zeichnen müssen die Gleichungen in der Form \( y = mx + b \) vorliegen.
Merke
Schneiden sich die Geraden genau einmal, hat das LGS eine eindeutige Lösung.

keine Lösung

Nicht jedes lineare Gleichungssystem hat eine Lösung. Manchmal schneiden sich die Geraden gar nicht.

\( \textsf{I:}\; {\textcolor{orange}{y}} = 2{\textcolor{orange}{x}} + 1 \)
\( \textsf{II:}\; {\textcolor{green}{y}} = 2{\textcolor{green}{x}} - 3 \)
→ keine Lösung, weil die Geraden parallel sind
Keine Lösung
\( {\textcolor{green}{y}} = {\textcolor{orangered}{2}}{\textcolor{orange}{x}} + 1 \)
\( {\textcolor{green}{y}} = {\textcolor{orangered}{2}}{\textcolor{orange}{x}} - 3 \)
→ gleiche Steigung
→ \( {\textcolor{green}{b}} \) ist unterschiedlich
→ Geraden sind parallel
→ keine Lösung
Merke
Haben beide Geraden die gleiche Steigung, aber einen unterschiedlichen y-Achsenabschnitt, dann ist das LGS nicht lösbar.

unendlich Lösungen

Manchmal hat ein lineares Gleichungssystem unendlich viele Lösungen. Dann liegen beide Geraden genau übereinander.

\( \textsf{I:}\; 2{\textcolor{orange}{x}} + {\textcolor{green}{y}} = 6 \)
\( \textsf{II:}\; 4{\textcolor{orange}{x}} + 2{\textcolor{green}{y}} = 12 \)
→ unendlich viele Lösungen, weil beide Gleichungen dieselbe Gerade beschreiben
Wichtig
Warum ist das so?
Wenn du beide Gleichungen in die Form \(y = mx + b\) bringst, kommt dieselbe Gerade heraus.
Gleichung I nach \( {\textcolor{green}{y}} \) umstellen:
\( 2{\textcolor{orange}{x}} + {\textcolor{green}{y}} = 6 \hspace{1cm} | -2{\textcolor{orange}{x}} \)
\( {\textcolor{green}{y}} = -2{\textcolor{orange}{x}} + 6 \)
Gleichung II nach \( {\textcolor{green}{y}} \) umstellen:
\( 4{\textcolor{orange}{x}} + 2{\textcolor{green}{y}} = 12 \hspace{1cm} | -4{\textcolor{orange}{x}} \)
\( 2{\textcolor{green}{y}} = -4{\textcolor{orange}{x}} + 12 \hspace{1cm} | :2 \)
\( {\textcolor{green}{y}} = -2{\textcolor{orange}{x}} + 6 \)
Beide ergeben dieselbe Gleichung
\( {\textcolor{green}{y}} = -2{\textcolor{orange}{x}} + 6 \).
→ Die Geraden liegen übereinander.
→ Es gibt unendlich viele Lösungen (alle Punkte auf der Geraden).
Merke
Beschreiben beide Gleichungen dieselbe Gerade, dann hat das LGS unendlich viele Lösungen.
→ gleiche Steigung
→ gleicher y-Achsenabschnitt

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Übungen

Zeichne beide Geraden und bestimme die Lösung:
\( \textsf{I.}\quad {\textcolor{orange}{y}} = 2{\textcolor{orange}{x}} - 1 \)
\( \textsf{II.}\quad {\textcolor{green}{y}} = -{\textcolor{green}{x}} + 5 \)

Lösung

Lösung
Die Geraden schneiden sich in genau einem Punkt.
\( \textsf{L}\big({\textcolor{orange}{2}} \mid {\textcolor{green}{3}}\big) \)

Zeichne beide Geraden und entscheide, wie viele Lösungen es gibt:
\( \textsf{I.}\quad {\textcolor{orange}{y}} = 3{\textcolor{orange}{x}} + 2 \)
\( \textsf{II.}\quad {\textcolor{green}{y}} = 3{\textcolor{green}{x}} - 4 \)

Lösung

Beide Geraden haben die gleiche Steigung, aber verschiedene \(b\).
→ keine Lösung

Zeichne beide Geraden und bestimme die Anzahl der Lösungen:
\( \textsf{I.}\quad 2{\textcolor{orange}{x}} + {\textcolor{green}{y}} = 4 \)
\( \textsf{II.}\quad 4{\textcolor{orange}{x}} + 2{\textcolor{green}{y}} = 8 \)

Lösung

Beide Gleichungen beschreiben dieselbe Gerade.
→ unendlich viele Lösungen

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Mehr dazu

in unseren FAQs

Wann kann ich ein lineares Gleichungssystem zeichnerisch lösen?

Immer dann, wenn beide Gleichungen als Geraden ins Koordinatensystem eingezeichnet werden können.
→ Beide Gleichungen müssen in der Form \( y = mx + b \) vorliegen.

Was ist beim Zeichnen die Lösung des LGS?

Die Lösung ist der Schnittpunkt der beiden Geraden.
→ Der Schnittpunkt liefert die Werte für \(x\) und \(y\).

Was bedeutet es, wenn sich die Geraden nicht schneiden?

Schneiden sich die Geraden gar nicht, sind sie parallel.
→ Das LGS hat keine Lösung.

Woran erkenne ich zeichnerisch unendlich viele Lösungen?

Liegen beide Geraden genau übereinander, beschreiben sie dieselbe Gerade.
→ Das LGS hat unendlich viele Lösungen.

Ist das zeichnerische Lösen immer exakt?

Nein.
Das Zeichnen liefert oft nur Näherungswerte, besonders bei krummen Schnittpunkten.
→ Für exakte Ergebnisse nutzt man ein rechnerisches Verfahren.

Mehr dazu

Weiterführende Informationen

Lineare Funktionen zeichnen

Um ein lineares Gleichungssystem grafisch zu lösen, musst du die zugehörigen Geraden zeichnen. Dafür müssen die Gleichungen in der Form \( y = mx + b \) vorliegen.

\( y = {\textcolor{orangered}{m}}x + {\textcolor{green}{b}} \)
→ \( {\textcolor{green}{b}} \): y-Achsenabschnitt (Startpunkt)
→ \( {\textcolor{orangered}{m}} \): Steigung (Laufweg zum zweiten Punkt)
Beispiel
\( f(x) = 2x - 1 \)
\( {\textcolor{green}{b}} = -1 \Rightarrow (0 \mid -1) \)
\( {\textcolor{orangered}{m}} = 2 = \dfrac{2}{1} \)
→ 1 nach rechts, 2 nach oben
Zweiter Punkt setzen → Punkte verbinden → Gerade fertig
Wichtig
Ist die Steigung negativ, gehst du beim Laufweg
→ nach rechts (Nenner)
→ nach unten (Zähler)
Du willst das Zeichnen linearer Funktionen Schritt für Schritt üben? Dann schau dir unseren Beitrag Lineare Funktionen an.
Merke
Zum Zeichnen einer Geraden reichen zwei Punkte:
→ Startpunkt \( (0 \mid b) \)
→ zweiter Punkt über den Laufweg der Steigung

rechnerische Lösungsverfahren

Ein lineares Gleichungssystem kann nicht nur grafisch, sondern auch rechnerisch gelöst werden. Dafür gibt es drei Verfahren: Einsetzungsverfahren, Gleichsetzungsverfahren und Additionsverfahren.

Hier siehst du alle drei Verfahren kompakt an je einem Beispiel.

Einsetzungsverfahren

\( \textsf{I. } \ {\textcolor{orange}{x}} = 6 - 2{\textcolor{green}{y}} \)
\( \textsf{II. } \ 3{\textcolor{orange}{x}} + 2{\textcolor{green}{y}} = 10 \)
1. In Gleichung II einsetzen
\( 3(6 - 2{\textcolor{green}{y}}) + 2{\textcolor{green}{y}} = 10 \)
2. Nach \(y\) lösen
\( 18 - 4{\textcolor{green}{y}} = 10 \)
\( {\textcolor{green}{y}} = 2 \)
3. Rückeinsetzen
\( {\textcolor{orange}{x}} = 6 - 2\cdot 2 = 2 \)
Lösung: \( \textsf{L}(2 \mid 2) \)

Gleichsetzungsverfahren

\( \textsf{I. } \ {\textcolor{green}{y}} = 2{\textcolor{orange}{x}} + 1 \)
\( \textsf{II. } \ {\textcolor{green}{y}} = -{\textcolor{orange}{x}} + 7 \)
1. Gleichsetzen
\( 2{\textcolor{orange}{x}} + 1 = -{\textcolor{orange}{x}} + 7 \)
2. Nach \(x\) lösen
\( 3{\textcolor{orange}{x}} = 6 \)
\( {\textcolor{orange}{x}} = 2 \)
3. Rückeinsetzen
\( {\textcolor{green}{y}} = 2\cdot 2 + 1 = 5 \)
Lösung: \( \textsf{L}(2 \mid 5) \)

Additionsverfahren

\( \textsf{I. } \ 2{\textcolor{orange}{x}} + {\textcolor{green}{y}} = 7 \)
\( \textsf{II. } \ 2{\textcolor{orange}{x}} - {\textcolor{green}{y}} = 1 \)
1. Gleichungen addieren
\( 4{\textcolor{orange}{x}} = 8 \)
2. Nach \(x\) lösen
\( {\textcolor{orange}{x}} = 2 \)
3. Rückeinsetzen
\( {\textcolor{green}{y}} = 3 \)
Lösung: \( \textsf{L}(2 \mid 3) \)
Merke
→ Einsetzen: Eine Variable steht schon allein
→ Gleichsetzen: Beide Gleichungen sind nach derselben Variable aufgelöst
→ Addieren: Eine Variable lässt sich direkt eliminieren

Wann nutze ich was?

In Textaufgaben ist nicht das Rechnen das Problem, sondern das passende Verfahren zu finden. Hier siehst du typische Aufgaben – jeweils mit kurzer Beispielrechnung.

Einsetzungsverfahren

Typische Textaufgaben:
• Altersaufgaben
• „… ist … mehr als …“
• Geometrie (länger, breiter, größer)
Anna ist 4 Jahre älter als Ben.
Zusammen sind sie 28 Jahre alt.
\( \textsf{I.}\quad {\textcolor{orange}{x}} = {\textcolor{green}{y}} + 4 \)
\( \textsf{II.}\quad {\textcolor{orange}{x}} + {\textcolor{green}{y}} = 28 \)
\( ({\textcolor{green}{y}} + 4) + {\textcolor{green}{y}} = 28 \)
\( 2{\textcolor{green}{y}} + 4 = 28 \hspace{1cm} |-4 \)
\( 2{\textcolor{green}{y}} = 24 \hspace{1cm} |:2 \)
\( {\textcolor{green}{y}} = {\textcolor{green}{12}} \)
\( {\textcolor{orange}{x}} = {\textcolor{green}{12}} + 4 = {\textcolor{orange}{16}} \)
→ Anna ist 16 Jahre alt, Ben ist 12 Jahre alt.
Merke
Nutze das Einsetzungsverfahren, wenn eine Größe direkt beschrieben wird.
Du willst das Einsetzungsverfahren Schritt für Schritt üben? Dann schau dir unseren Beitrag Einsetzungsverfahren an.

Gleichsetzungsverfahren

Typische Aufgaben:
• Funktionsaufgaben
• Zwei Tarife oder Kostenfunktionen
• Vergleich zweier Geraden
Zwei Handytarife werden verglichen.
Tarif A: Grundpreis 5 Euro, 2 Euro pro Minute
Tarif B: Grundpreis 11 Euro, 1 Euro pro Minute
Ab wie vielen Minuten sind die Kosten gleich?
\( \textsf{I.}\quad {\textcolor{green}{y}} = 2{\textcolor{orange}{x}} + 5 \)
\( \textsf{II.}\quad {\textcolor{green}{y}} = {\textcolor{orange}{x}} + 11 \)
\( 2{\textcolor{orange}{x}} + 5 = {\textcolor{orange}{x}} + 11 \)
\( {\textcolor{orange}{x}} = 6 \)
\( {\textcolor{green}{y}} = 2\cdot{\textcolor{orange}{6}} + 5 = {\textcolor{green}{17}} \)
→ Nach 6 Minuten kosten beide Tarife 17 Euro.
Merke
Nutze das Gleichsetzungsverfahren, wenn du zwei Funktionsgleichungen (oder zwei Terme) für dieselbe Größe hast. → Setze sie gleich.
Du willst das Gleichsetzungsverfahren Schritt für Schritt üben? Dann schau dir unseren Beitrag Gleichsetzungsverfahren an.

Additionsverfahren

Typische Aufgaben:
• Zahlenrätsel (Summe und Differenz)
• Preise / Mengen (zwei Gleichungen)
• Wenn sich eine Variable „wegaddieren“ lässt
In einem Kino wurden insgesamt 19 Tickets verkauft.
Ein Erwachsenenticket kostet 7 Euro, ein Kinderticket 5 Euro.
Insgesamt wurden 117 Euro eingenommen.
\( \textsf{I.}\quad {\textcolor{orange}{x}} + {\textcolor{green}{y}} = 19 \)
\( \textsf{II.}\quad {\textcolor{orange}{x}} - {\textcolor{green}{y}} = 7 \)
Addieren (weil \(+{\textcolor{green}{y}}\) und \(-{\textcolor{green}{y}}\) sich aufheben):
\( ({\textcolor{orange}{x}} + {\textcolor{green}{y}}) + ({\textcolor{orange}{x}} - {\textcolor{green}{y}}) = 19 + 7 \)
\( 2{\textcolor{orange}{x}} = 26 \hspace{1cm} |:2 \)
\( {\textcolor{orange}{x}} = {\textcolor{orange}{13}} \)
Einsetzen in \(\textsf{I}\):
\( {\textcolor{orange}{13}} + {\textcolor{green}{y}} = 19 \hspace{1cm} |-13 \)
\( {\textcolor{green}{y}} = {\textcolor{green}{6}} \)
→ Die Zahlen sind 13 und 6.
Merke
Nutze das Additionsverfahren, wenn sich eine Variable durch Addieren oder Subtrahieren entfernen lässt (oder wenn du das durch Multiplizieren vorbereiten kannst).
Du willst das Additionsverfahren Schritt für Schritt üben? Dann schau dir unseren Beitrag Additionsverfahren an.

Nerdecke

Was steckt hinter der Anzahl der Lösungen eines linearen Gleichungssystems?

Ein lineares Gleichungssystem beschreibt nicht nur eine Rechenaufgabe, sondern immer auch eine geometrische Situation.

Jede lineare Gleichung steht für eine Gerade im Koordinatensystem. Ein Gleichungssystem verknüpft diese Geraden miteinander.

→ Die Frage nach der Lösung ist geometrisch die Frage: Wo haben beide Geraden gemeinsame Punkte?
Warum es genau drei mögliche Fälle gibt

Zwei Geraden können sich im Koordinatensystem nur auf drei grundsätzlich verschiedene Arten zueinander verhalten.

Schneiden sich die Geraden, existiert genau ein gemeinsamer Punkt. Das Gleichungssystem ist dann eindeutig lösbar.

Verlaufen die Geraden parallel, haben sie keinen gemeinsamen Punkt. Das Gleichungssystem ist dann unlösbar.

Fallen beide Geraden zusammen, bestehen unendlich viele gemeinsame Punkte. In diesem Fall besitzt das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen.

→ Die Anzahl der Lösungen hängt ausschließlich von der Lage der Geraden ab – nicht vom Rechenweg.
Zusammenhang zwischen Rechnung und Grafik

Rechnerische Lösungsverfahren wie Einsetzen, Gleichsetzen oder Addieren führen immer zu genau demselben Ergebnis, das man auch grafisch erkennen würde.

Widersprüche in der Rechnung (zum Beispiel \( 0 = 5 \)) entsprechen grafisch parallelen Geraden.

Identische Gleichungen entsprechen grafisch deckungsgleichen Geraden und erklären, warum es dann unendlich viele Lösungen gibt.

Merke
Rechnen und Zeichnen beschreiben dieselbe mathematische Situation – einmal algebraisch, einmal geometrisch.
Warum das zeichnerische Lösen trotzdem wichtig bleibt

Auch wenn lineare Gleichungssysteme meist rechnerisch gelöst werden, liefert die grafische Betrachtung wichtige Informationen, die man in der Rechnung nicht sofort sieht.

Sie zeigt:

• ob eine Lösung existiert
• wie viele Lösungen es gibt
• warum ein Verfahren funktioniert oder scheitert

Deshalb wird das zeichnerische Lösen häufig genutzt, um Ergebnisse zu kontrollieren oder Lösungswege besser zu verstehen.

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