Funktionen verstehen
lineare Funktionen
Einleitung
Die Funktionsgleichung verstehen
Geraden zeichnen
Um eine lineare Funktion zu zeichnen, brauchst du zwei Punkte. Den ersten Punkt bekommst du direkt aus der Funktionsgleichung:
Es ist der y-Achsenabschnitt \( {\textcolor{green}{b}} \). Das ist der Punkt, an dem die Funktion die y-Achse schneidet. Du kannst ihn also sofort notieren als:
Um den zweiten Punkt zu finden, betrachten wir die Steigung \( {\textcolor{orangered}{m}} \). Sie zeigt nicht nur, wie steil die Funktion ist, sondern ist auch eine Wegbeschreibung zum zweiten Punkt, den du zum Zeichnen brauchst. Diese Wegbeschreibung wird sichtbar, wenn du die Steigung als Bruch schreibst:
Der Nenner zeigt, wie viele Schritte du nach rechts gehen musst, und der Zähler, wie viele Schritte du nach oben oder unten gehst.
- Nenner: Schritte nach rechts ⟶
- Zähler: Schritte nach oben ↑ (bei \(m>0\)) oder nach unten ↓ (bei \(m<0\))
- Starte bei \( (0 \mid {\textcolor{green}{b}}) \) auf der y-Achse.
- Gehe die Schritte aus dem Nenner: nach rechts.
- Gehe dann die Schritte aus dem Zähler: nach oben (bei \(m > 0\)) oder unten (bei \(m < 0\)). Setze dort den zweiten Punkt.
- Verbinde beide Punkte → die Gerade ist fertig!
Als erstes markieren wir das b im Koordinatensystem. Es ist der Punkt, an dem die Funktion die y-Achse schneidet.
Als Nächstes betrachten wir die Steigung. Wir ziehen sie aus der Gleichung heraus und schreiben sie als Bruch. So sehen wir den Laufweg zu unserem zweiten Punkt.
Am Ende des Laufwegs setzen wir den zweiten Punkt und verbinden beide Punkte miteinander → die Gerade ist fertig.
In einem zweiten Beispiel zeigen wir dir das Ganze noch einmal kompakt zusammengefasst.
-
Schreibe \( {\textcolor{orangered}{m}} \) immer als Bruch:
\( \displaystyle {\textcolor{orangered}{m}} = \dfrac{{\color{orange}{\text{Zähler}}}}{{\color{blue}{\text{Nenner}}}} \)
-
Beim Zeichnen gilt:
- Gehe zuerst den Nenner → nach rechts.
- Dann den Zähler → nach oben (bei \(m>0\)) oder nach unten (bei \(m<0\)).
- Setze dort den zweiten Punkt → verbinde beide Punkte zur Geraden.
-
Auch ganze Zahlen kannst du als Bruch schreiben:
\( {\textcolor{orangered}{2}} = \dfrac{{\color{orange}{2}}}{{\color{blue}{1}}} \quad \textsf{und} \quad {\textcolor{orangered}{-3}} = -\dfrac{{\color{orange}{3}}}{{\color{blue}{1}}} \)
Gleichung am Graph ablesen
Jetzt drehen wir das Ganze um: Statt die Gerade aus der Gleichung zu zeichnen, wollen wir diesmal die Funktionsgleichung aus der Zeichnung ablesen.
Dafür brauchst du nur zwei Informationen:
- den y-Achsenabschnitt \( {\textcolor{green}{b}} \)
- und die Steigung \( {\textcolor{orangered}{m}} \)
- Bestimme den Punkt, an dem die Gerade die y-Achse schneidet → das ist dein \( {\textcolor{green}{b}} \).
- Finde einen weiteren gut ablesbaren Punkt auf der Geraden.
- Zähle, wie viele Schritte du von \( {\textcolor{green}{b}} \) aus nach rechts gehst → Nenner.
-
Zähle, wie viele Schritte du nach oben (+) oder nach unten (–) gehst → Zähler.
- \( {\textcolor{orangered}{m}} = \dfrac{{\color{orange}{\text{hoch/runter}}}}{{\color{blue}{\text{rechts}}}} \)
- Läufst du nach oben → \( {\textcolor{orangered}{m}} \) ist positiv (→ +).
- Läufst du nach unten → \( {\textcolor{orangered}{m}} \) ist negativ (→ –).
- Trage die Werte in \( f(x) = {\textcolor{orangered}{m}}x + {\textcolor{green}{b}} \) ein.
Als erstes suchen und markieren wir den Punkt, an dem die Gerade die y-Achse schneidet. Das ist in der Gleichung das b.
Als nächstes wählen wir einen zweiten gut ablesbaren Punkt auf der Geraden und markieren ihn.
Jetzt „laufen“ wir von b zu P nur waagerecht und senkrecht. So entsteht das Steigungsdreieck.
Mit \( {\textcolor{orangered}{m}} \) und \( {\textcolor{green}{b}} \) können wir nun die Funktionsgleichung aufstellen.
Im nächsten Beispiel siehst du alle Schritte noch einmal kompakt zusammengefasst – vom Ablesen bis zur fertigen Funktionsgleichung.
- Für die Steigung brauchst du zwei Punkte – der erste ist der Schnittpunkt mit der y-Achse \( (0 \mid {\textcolor{green}{b}}) \).
- \( {\textcolor{orangered}{m}} = \dfrac{{\color{orange}{\text{hoch + / runter −}}}}{{\color{blue}{\text{rechts}}}} \)
- Die Funktionsgleichung hat immer die Form \( f(x) = {\textcolor{orangered}{m}}x + {\textcolor{green}{b}} \).
Geradengleichung aus zwei Punkten
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Mehr dazu
in unseren FAQs
1. Was ist eine lineare Funktion?
Eine lineare Funktion beschreibt eine gerade Linie. Sie zeigt, wie sich y verändert, wenn sich x verändert – also wie stark etwas steigt oder fällt.
2. Wofür stehen m und b?
m ist die Steigung und zeigt, wie schnell die Linie steigt oder fällt. b ist der Punkt, an dem die Linie die y-Achse schneidet.
3. Wie kann ich eine lineare Funktion zeichnen?
Starte bei b auf der y-Achse. Dann gehe die Schritte der Steigung: zuerst nach rechts (Nenner), dann nach oben oder unten (Zähler). Verbinde beide Punkte – fertig ist die Gerade.
4. Wie kann ich m und b aus einer Zeichnung ablesen?
b liest du dort ab, wo die Linie die y-Achse schneidet. Die Steigung m erkennst du, wenn du zählst, wie viele Schritte du nach rechts und nach oben oder unten gehen musst, um von einem Punkt zum nächsten zu kommen.
5. Wie bestimme ich die Funktionsgleichung aus zwei Punkten?
Berechne zuerst die Steigung, indem du die y-Unterschiede durch die x-Unterschiede teilst. Danach setzt du einen der Punkte in die Gleichung ein, um b zu finden. So entsteht die komplette Funktionsgleichung.
Vertiefung
Weiterführende Informationen
Die lineare Funktion als Werkzeug
Die lineare Funktion ist eines der wichtigsten Werkzeuge der Mathematik. Mit ihr lassen sich gleichmäßige Veränderungen und Abhängigkeiten beschreiben – zum Beispiel bei Kosten, Strecken oder Temperaturen. Sie zeigt, wie stark sich ein Wert verändert, wenn sich ein anderer verändert.
Was ist eine lineare Funktion?
Eine lineare Funktion beschreibt immer eine gerade Linie. Ihre Funktionsgleichung besteht aus einer Steigung und einem y-Achsenabschnitt. Die Steigung zeigt, wie stark die Linie steigt oder fällt, und der y-Achsenabschnitt zeigt, wo sie die y-Achse schneidet. So erkennst du sofort, wie die Gerade verläuft und wo sie startet.
Mathematische Bedeutung
Lineare Funktionen sind die Grundlage vieler weiterer Themen in der Mathematik. Sie helfen beim Verständnis von Proportionalität, linearen Gleichungssystemen und Veränderungen in Alltagssituationen. Wer die lineare Funktion versteht, legt das Fundament für viele Rechenverfahren und Anwendungen in der Schule und darüber hinaus.
Häufige Fehler und Lerntipps
Viele Schüler verwechseln Steigung und y-Achsenabschnitt oder vergessen, dass die Steigung immer als Verhältnis zwischen „hoch“ und „rechts“ zu verstehen ist. Achte darauf: erst nach rechts gehen, dann nach oben oder unten.
Lerntipp: Zeichne kleine Steigungsdreiecke, um die Richtung besser zu sehen. Wiederhole außerdem das Ablesen von Steigung und Achsenabschnitt an verschiedenen Beispielen, bis du beides sicher beherrschst.
Ursprung und moderne Anwendung
Die Idee der linearen Funktion stammt aus der Geometrie der Antike. Heute begegnet sie uns in vielen Bereichen – in der Physik, der Wirtschaft oder in technischen Anwendungen. Ob bei der Berechnung von Geschwindigkeiten, beim Ermitteln von Kosten oder beim Auswerten von Daten: Die lineare Funktion hilft, Zusammenhänge einfach und übersichtlich darzustellen.
