Alles über Nullstellen

Nullstellen - Arten & Vielfachheit

Lisa von OnMathe

Einleitung

Nullstellen spielen eine zentrale Rolle in der Mathematik, aber nicht alle Nullstellen sind gleich. Es gibt einfache, doppelte und dreifache Nullstellen – und jede hat eine besondere Bedeutung für den Funktionsgraphen. In diesem Beitrag erfährst du, welche Arten von Nullstellen es gibt, wie du ihre Vielfachheit bestimmst und welche Auswirkungen sie auf den Verlauf einer Funktion haben.

Arten von Nullstellen
  • einfache Nullstelle, Schnittpunkt: \(x \ \textsf{oder} \ (x-x_0)\)
  • doppelte Nullstelle, Berührpunkt: \(x^2 \ \textsf{oder} \ (x-x_0)^2\)
  • dreifache Nullstelle, Sattelpunkt: \(x^3 \ \textsf{oder} \ (x-x_0)^3\)

Einleitung

Nullstellen spielen eine zentrale Rolle in der Mathematik, aber nicht alle Nullstellen sind gleich. Es gibt einfache, doppelte und dreifache Nullstellen – und jede hat eine besondere Bedeutung für den Funktionsgraphen. In diesem Beitrag erfährst du, welche Arten von Nullstellen es gibt, wie du ihre Vielfachheit bestimmst und welche Auswirkungen sie auf den Verlauf einer Funktion haben.

Arten von Nullstellen
  • einfache Nullstelle, Schnittpunkt: \(x \ \textsf{oder} \ (x-x_0)\)
  • doppelte Nullstelle, Berührpunkt: \(x^2 \ \textsf{oder} \ (x-x_0)^2\)
  • dreifache Nullstelle, Sattelpunkt: \(x^3 \ \textsf{oder} \ (x-x_0)^3\)

Arten von Nullstellen

Es gibt 3 Arten von Nullstellen. Sie unterscheiden sich in ihrer Vielfachheit. Wir gehen sie schrittweise durch.

Einfache Nullstellen

Eine einfache Nullstelle ist eine Nullstelle, bei der die Funktion die x-Ache schneidet. Das bedeutet auch, dass das Vorzeichen der Funktion um die Nullstelle herum wechselt.

In einer Funktionsgleichung könnte das so aussehen:
  • \(f(x)=x\)
  • \(f(x)=x-2\)

Doppelte Nullstellen

Eine doppelte Nullstelle ist eine Nullstelle, bei der die Funktion die x-Ache berührt. Das bedeutet auch, dass das Vorzeichen der Funktion um die Nullstelle herum gleich bleibt.
In einer Funktionsgleichung könnte das so aussehen:
  • \(f(x)=x^2\)
  • \(f(x)=(x-2)^2\)

Dreifache Nullstellen

Eine dreifache Nullstelle ist eine Nullstelle, bei der die Funktion die x-Ache flach schneidet - in einem Sattelpunkt. Das bedeutet auch, dass das Vorzeichen der Funktion um die Nullstelle herum wechselt.
In einer Funktionsgleichung könnte das so aussehen:
  • \(f(x)=x^3\)
  • \(f(x)=(x-2)^3\)
Merke
  • einfache Nullstelle \(x\) oder \( (x-x_0)\)
  • doppelte Nullstelle \(x^2 \) oder \( (x-x_0)^2 \)
  • dreifache Nullstelle \(x^3 \) oder \( (x-x_0)^3\)
Wenn du dir die Exponenten der Beispiele betrachtest, stellst du fest, dass du schon daran die Wertigkeit der Nullstelle erkennen kannst.

Vielfachheit von Nullstellen erkennen

Du kannst die Nullstellen direkt an der Funktion ablesen, wenn die Gleichung in der faktorisierten Form (Produktform) vorliegt. Dazu musst du jede Klammer gleich Null setzen.
Produkform allgemein:
\(f(x)=(x{\textcolor{green}{-x_0}}){\textcolor{orange}{^n}}\)
Nullstelle: \({\textcolor{green}{x_0}}\)
Vielfachheit der Nullstelle: \({\textcolor{orange}{n}}\)
Wir schauen uns das Ganze an einem Beispiel an:
Beispiel 1
\(f(x) = \underbrace{x}_{\substack{{\textcolor{orange}{\textsf{einfache}}} \\ {\textcolor{green}{x=0}}}} \cdot \underbrace{(x{\textcolor{green}{-1})}}_{\substack{{\textcolor{orange}{\textsf{einfache}}} \\ {\textcolor{green}{x=1}}}} \cdot \underbrace{(x{\textcolor{green}{+3})^{\textcolor{orange}{2}}}}_{\substack{{\textcolor{orange}{\textsf{doppelte}}} \\ {\textcolor{green}{x=-3}}}} \cdot \underbrace{(x{\textcolor{green}{-5})^{\textcolor{orange}{3}}}}_{\substack{{\textcolor{orange}{\textsf{dreifache}}} \\ {\textcolor{green}{x=5}}}} \)
Wir zeigen dir noch einmal genau, woher die Nullstellen kommen:
\(x=0 \hspace{1cm}\) einfache Nullstelle
\(x{\textcolor{green}{-1}}=0 \hspace{1cm} |+1 \)
\(x=1 \hspace{1cm} \) einfache Nullstelle
\(x{\textcolor{green}{+3}}=0 \hspace{1cm} |-3 \)
\(x=-3 \hspace{1cm} \) dreifache Nullstelle
\(x{\textcolor{green}{-5}}=0 \hspace{1cm} |+5 \)
\(x=5 \hspace{1cm} \) dreifache Nullstelle
Merke
  • Nullstellen ablesen: setze jede Klammer gleich Null
  • Vielfachheit: Exponent definiert die Art der Nullstelle
  • Die faktorisierte Form nennt man auch Nullstellenform
Abschließend zeigen wir dir noch ein weiteres Beispiel:
Beispiel 2
\(f(x) = \underbrace{x^2}_{\substack{{\textcolor{orange}{\textsf{doppelte}}} \\ {\textcolor{green}{x=0}}}} \cdot \underbrace{(x{\textcolor{green}{-3})^{\textcolor{orange}{3}}}}_{\substack{{\textcolor{orange}{\textsf{dreifache}}} \\ {\textcolor{green}{x=3}}}} \cdot \underbrace{(x{\textcolor{green}{+1})^{\textcolor{orange}{2}}}}_{\substack{{\textcolor{orange}{\textsf{doppelte}}} \\ {\textcolor{green}{x=-1}}}} \cdot \underbrace{(x{\textcolor{green}{-4})^{\textcolor{orange}{}}}}_{\substack{{\textcolor{orange}{\textsf{einfache}}} \\ {\textcolor{green}{x=4}}}} \)

Vom Graph zur Funktionsgleichung

Die faktorisierte Form einer Funktionsgleichung können wir auch als Nullstellenform bezeichnen, da wir aus ihr die Nullstellen direkt ablesen können.
Das ermöglicht es uns, auch umgekehrt alle Nullstellen vom Graphen abzulesen und so die Funktionsgleichung zu bestimmen.
Beispiel 1
Im Graphen der Funktion kannst du 3 Nullstellen erkennen. Eine doppelte Nullstelle und zwei einfache Nullstellen.

Mit diesen Informationen und den x-Werten der Nullstellen können wir den Linearfaktor jeder einzelnen Nullstelle bestimmen und diese dann zu einer Funktionsgleichung zusammensetzen.
doppelte Nullstelle bei \(x=-3 \ \) → \( \ (x+3)^2\)
einfache Nullstelle bei \(x=0 \ \) → \( \ x\)
einfache Nullstelle bei \(x=1 \ \) → \( \ (x-1)\)
Wir konnten die Nullstellen sofort ablesen und so die Linearfaktoren aufstellen, aber uns fehlt noch der Streckfaktor der Funktion.
Um den Streckfaktor zu bestimmen wählen wir einen gut ablesbaren Punkt auf der Funktion, und setzen ihn in die Funktionsgleichung ein.

\(f(x)=a \cdot x \cdot (x-1) \cdot (x+3)^2\)
Punkt P(2|5) einsetzen
\({\textcolor{midnightblue}{5}}=a \cdot {\textcolor{midnightblue}{2}} \cdot ({\textcolor{midnightblue}{2}}-1) \cdot ({\textcolor{midnightblue}{2}}+3)^2\)
\(5=a \cdot 2 \cdot 1 \cdot 25\)
\(5= a \cdot 50 \hspace{1cm} |:50\)
0,1 = a
Funktionsgleichung: \(f(x)=0,1x\cdot (x-1) \cdot (x+3)^2\)
Auf diesem Weg haben wir mit den Nullstellen und einem weiteren Punkt die Funktionsgleichung aufgestellt.

Merke
  • x-Werte der Nullstellen am Graphen ablesen
  • Vielfachheit der Nullstellen dazu notieren
  • Für jede Nullstelle den Linearfaktor aufstellen
  • Zu einer Funktionsgleichung zusammensetzen, dabei den Streckfaktor a berücksichtigen
  • Gut ablesbaren Punkt wählen und in die Funktionsgleichung einsetzen
  • Streckfaktor a bestimmen
  • Fertige Funktionsgleichung notieren
Beispiel 2
dreifache Nullstelle bei \(x=-3 \ \) → \( \ (x+3)^3\)
doppelte Nullstelle bei \(x=0 \ \) → \( \ x^2\)
einfache Nullstelle bei \(x=1 \ \) → \( \ (x-1)\)
\(f(x)=a \cdot x^2 \cdot (x-1) \cdot (x+3)^3\)
Punkt P(-1|-4) einsetzen
\({\textcolor{midnightblue}{-4}}=a \cdot ({\textcolor{midnightblue}{-1}})^2 \cdot ({\textcolor{midnightblue}{-1}}-1) \cdot ({\textcolor{midnightblue}{-1}}+3)^3\)
\(5=a \cdot 1 \cdot (-2) \cdot 8\)
\(5= a \cdot (-16) \hspace{1cm} |:(-16)\)
0,25 = a
Funktionsgleichung: \(f(x)=0,25 x^2\cdot (x-1) \cdot (x+3)^3\)

Zusammenfassung

Nullstellen sind ein zentraler Bestandteil der Mathematik und spielen eine wichtige Rolle in vielen Bereichen, von der Analysis bis zur praktischen Anwendung in Naturwissenschaften und Technik. In diesem Beitrag haben wir gelernt verschiedene Arten von Nullstellen zu erkennen, ihre Eigenschaften zu verstehen und sie sowohl aus Graphen abzulesen als auch Funktionsgleichungen aus gegebenen Punkten aufzustellen. Fassen wir die wichtigsten Erkenntnisse noch einmal kompakt zusammen:
Anzahl Nullstellen
Eine Funktion hat maximal so viele Nullstellen, wie ihr höchster Grad angibt.
  • \(f(x)=2x^{\textcolor{orange}{3}}-4\)
  • Höchster Exponent: \({\textcolor{orange}{3}}\) → maximal 3 Nullstellen
Berücksichtigst du beim Zählen der Nullstellen auch ihre Vielfachheit, kommst du in Summe immer auf den Wert des höchsten Exponenten.
Arten von Nullstellen
  • einfache Nullstelle, Schnittpunkt: \(x \ \textsf{oder} \ (x-x_0)\)
  • doppelte Nullstelle, Berührpunkt: \(x^2 \ \textsf{oder} \ (x-x_0)^2 \)
  • dreifache Nullstelle, Sattelpunkt: \(x^3 \ \textsf{oder} \ (x-x_0)^3\)

Teste dein Wissen

Übungen

Bestimme aus den gegebenen Informationen die Funktionsgleichung

Die Nullstellen sind bei \( x = -2 \), \( x = 1 \) und \( x = 3 \) zu finden.
\( x = -2 \) ist eine einfache Nullstelle.
\( x = 1 \) hat die Vielfachheit 2.
\( x = 3 \) hat die Vielfachheit 3.

Lösung

\( f(x) = a (x + 2)(x - 1)^2 (x - 3)^3 \)
mit einem beliebigen Streckungsfaktor \( a \neq 0 \).

Die Nullstellen sind bei \( x = -3 \), \( x = 0 \) und \( x = 4 \) zu finden.
\( x = -3 \) ist eine doppelte Nullstelle.
\( x = 0 \) ist eine einfache Nullstelle.
\( x = 4 \) hat die Vielfachheit 3.
Zusätzlich verläuft der Graph durch den Punkt \( P(2|10) \).

Lösung

\( f(x) = -\frac{1}{40} x(x + 3)^2 (x - 4)^3 \)

Lies aus der Funktionsgleichung die Nullstellen und ihre Vielfachheit ab.

\( f(x) = (x - 2)^3 (x + 1)^2 (x - 4) \)

Lösung

\( x_1 = 2 \quad \text{mit Vielfachheit 3} \)
\( x_2 = -1 \quad \text{mit Vielfachheit 2} \)
\( x_3 = 4 \quad \text{mit Vielfachheit 1} \)

\( f(x) = (x + 4)^2 (x - 1)^3 (x + 2) \)

Lösung

\( x_1 = -4 \quad \text{doppelte Nullstelle} \)
\( x_2 = 1 \quad \text{dreifache Nullstelle} \)
\( x_3 = -2 \quad \text{einfache Nullstelle} \)

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Mehr dazu

in unseren FAQs

Was sind Nullstellen einer Funktion?

Nullstellen sind die x-Werte, an denen eine Funktion den Wert 0 annimmt. Graphisch betrachtet sind es die Punkte, an denen der Funktionsgraph die x-Achse schneidet oder berührt.

Welche Arten von Nullstellen gibt es?

Es gibt einfache Nullstellen, mehrfache Nullstellen und Berührstellen. Eine einfache Nullstelle schneidet die x-Achse, während eine doppelte oder mehrfache Nullstelle den Graphen entweder berühren oder mit einer Flachstelle kreuzen kann.

Was bedeutet die Vielfachheit einer Nullstelle?

Die Vielfachheit gibt an, wie oft eine Nullstelle in der Funktionsgleichung vorkommt. Eine Vielfachheit von 1 bedeutet, dass der Graph die x-Achse einfach schneidet. Eine Vielfachheit von 2 oder höher bedeutet, dass der Graph die x-Achse berührt oder mit einer Wellenbewegung kreuzt.

Wie erkennt man die Vielfachheit einer Nullstelle in der Funktionsgleichung?

Die Vielfachheit einer Nullstelle erkennt man an der Hochzahl der entsprechenden Klammer in der faktoriellen Darstellung einer Funktion. Wenn eine Klammer beispielsweise eine Hochzahl von 3 hat, bedeutet das, dass die Nullstelle dreifach vorkommt. Eine Hochzahl von 1 steht für eine einfache Nullstelle, eine Hochzahl von 2 für eine doppelte Nullstelle und so weiter.

Warum ist die Vielfachheit von Nullstellen wichtig?

Die Vielfachheit bestimmt, wie sich der Graph an einer Nullstelle verhält. Sie beeinflusst die Steigung des Graphen und entscheidet, ob die Funktion die x-Achse schneidet, berührt oder sich an ihr windet. Dies ist besonders wichtig in der Analysis, um das Verhalten einer Funktion zu verstehen.

Vertiefung

Weiterführende Informationen

Nullstellen bestimmen – Grundlagen und Bedeutung

Das Nullstellen bestimmen ist eine zentrale Fähigkeit in der Mathematik, die dir hilft, die Punkte zu finden, an denen eine Funktion den Wert Null annimmt. Diese Punkte sind wichtig, um das Verhalten von Funktionen zu verstehen und ihre Graphen korrekt zu zeichnen. Beim Nullstellen bestimmen spielt die Vielfachheit eine entscheidende Rolle, da sie beeinflusst, wie sich der Graph an den Nullstellen verhält. In diesem Beitrag erfährst du, welche Arten von Nullstellen es gibt und wie du sie richtig bestimmst.

Was bedeutet Vielfachheit beim Nullstellen bestimmen?

Beim Nullstellen bestimmen kann eine Funktion nicht nur einfache Nullstellen haben, sondern auch doppelte oder mehrfache Nullstellen. Eine einfache Nullstelle schneidet die x-Achse, während eine doppelte Nullstelle den Graphen nur berührt. Mehrfache Nullstellen sorgen für ein verändertes Krümmungsverhalten der Funktion. Das Nullstellen bestimmen mit Vielfachheit hilft dabei, den Funktionsgraphen präzise zu analysieren.

Wie bestimmt man die Nullstellen einer Funktion?

Beim Nullstellen bestimmen gibt es verschiedene Methoden, die je nach Funktionstyp eingesetzt werden. Während einfache Nullstellen durch direktes Lösen einer Gleichung gefunden werden, können mehrfache Nullstellen durch Faktorisieren oder Ableitungen genauer untersucht werden. Das richtige Vorgehen beim Nullstellen bestimmen ermöglicht eine korrekte Interpretation des Funktionsverlaufs.

Häufige Fehler beim Nullstellen bestimmen

Ein häufiger Fehler beim Nullstellen bestimmen ist das Übersehen der Vielfachheit einer Nullstelle. Wird eine Nullstelle nur einmal berücksichtigt, obwohl sie mehrfach vorkommt, kann dies zu falschen Interpretationen des Graphen führen. Ein weiterer Fehler ist das falsche Anwenden von Rechenmethoden, insbesondere beim Ausklammern oder bei der Anwendung von Wurzelgesetzen. Sorgfältiges Überprüfen hilft, Fehler beim Nullstellen bestimmen zu vermeiden.

Nullstellen bestimmen in der modernen Mathematik

Das Nullstellen bestimmen ist nicht nur eine schulische Übung, sondern spielt auch eine große Rolle in der modernen Mathematik und Wissenschaft. In der Physik werden Nullstellen genutzt, um Gleichgewichtspunkte zu finden, in der Wirtschaftsmathematik helfen sie, Gewinn- und Verlustgrenzen zu bestimmen, und in der Informatik werden sie zur Lösung komplexer Algorithmen verwendet. Das Nullstellen bestimmen bleibt daher eine essenzielle Fähigkeit für viele mathematische und technische Anwendungen.