Quadratische Gleichungen lösen
Die Mitternachtsformel
Einleitung
Mit der Mitternachtsformel findest du die Nullstellen einer quadratischen Funktion – also die Lösungen der Gleichung. Schau dir direkt ein Beispiel an:
Im Beitrag lernst du jeden Schritt verständlich kennen – inklusive Sonderfällen, typischen Fehlern und Übungsaufgaben.
Einleitung
Mit der Mitternachtsformel findest du die Nullstellen einer quadratischen Funktion – also die Lösungen der Gleichung. Schau dir direkt ein Beispiel an:
Im Beitrag lernst du jeden Schritt verständlich kennen – inklusive Sonderfällen, typischen Fehlern und Übungsaufgaben.
Beispiel: zwei Lösungen
Die Gleichung ist schon in der Normalform. So kannst du \({\textcolor{orangered}{a}}\), \({\textcolor{orange}{b}}\) und \({\textcolor{green}{c}}\) direkt ablesen.
Jetzt setzen wir unsere Werte in die Mitternachtsformel ein...
...und fassen den Term unter der Wurzel zusammen.
Am Ende trennen wir \( x_1 \) und \( x_2 \):
Die Lösungen der quadratsischen Gleichung sind gleichzeitig die Nullstellen der Funktion:
Beispiel: keine Lösung
Wir lesen wieder die Werte für \({\textcolor{orangered}{a}}\), \({\textcolor{orange}{b}}\) und \({\textcolor{green}{c}}\) ab. Wir zeigen dir auch, was vor dem \(x^2\) steht.
steht dort immer eine 1.
Jetzt wenden wir die Mitternachtsformel an und fassen zusammen.
Beispiel: eine Lösung
Zuerst lesen wir wieder die Werte für \({\textcolor{orangered}{a}}\), \({\textcolor{orange}{b}}\) und \({\textcolor{green}{c}}\) heraus. Wie zuvor steht vor dem \({\textcolor{orangered}{a}}\) eine "unsichtbare" \({\textcolor{orangered}{1}}\).
Jetzt kommt wieder die Mitternachtsformel. Wir setzen die Zahlen ein und rechnen wie gewohnt weiter
Besonderheit: Unter der Wurzel steht eine 0 - es kommt also nichts dazu, es fällt nichts weg. Wir brauchen keine Fallunterscheidung.
Exkurs: Diskriminante
Du hast gesehen: Die Anzahl der Lösungen hängt davon ab, was unter der Wurzel steht.
Dieser Teil hat einen Namen. Er heißt Diskriminante – klingt schwierig, bedeutet aber nur: „Die Zahl unter der Wurzel“.
Man kann die Mitternachtsformel deshalb auch so schreiben:
Die Diskriminante wird mit dem Buchstaben \( D \) abgekürzt:
Rechnen wir das einmal bei allen drei Beispielen nach:
→ Die Zahl unter der Wurzel ist positiv. Also gibt es zwei Lösungen.
→ Unter der Wurzel steht eine negative Zahl. Das bedeutet: Es gibt keine Lösung.
→ Die Zahl unter der Wurzel ist genau null. Also gibt es nur eine Lösung.
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Übungen
Bestimme die Lösung mit Hilfe der Mitternachtsformel.
Lösung
\( {\textcolor{orangered}{a}} = {\textcolor{orangered}{2}} \quad {\textcolor{orange}{b}} = {\textcolor{orange}{-3}} \quad {\textcolor{green}{c}} = {\textcolor{green}{-5}} \)
\( x_{1,2} = \dfrac{-({\textcolor{orange}{-3}}) \pm \sqrt{({\textcolor{orange}{-3}})^2 - 4 \cdot {\textcolor{orangered}{2}} \cdot {\textcolor{green}{-5}}}}{2 \cdot {\textcolor{orangered}{2}}} \)
\( x_{1,2} = \dfrac{3 \pm \sqrt{49}}{4} \)
\( {\textcolor{green}{x_1}} = 2{,}5 \quad {\textcolor{orangered}{x_2}} = -1 \)
Lösung
\( {\textcolor{orangered}{1}}x^2 \;{\textcolor{orange}{-6}}x \;{\textcolor{green}{+9}} =0 \)
\( {\textcolor{orangered}{a}} = {\textcolor{orangered}{1}} \quad {\textcolor{orange}{b}} = {\textcolor{orange}{-6}} \quad {\textcolor{green}{c}} = {\textcolor{green}{9}} \)
\( x_{1,2} = \dfrac{-({\textcolor{orange}{-6}}) \pm \sqrt{({\textcolor{orange}{-6}})^2 - 4 \cdot {\textcolor{orangered}{1}} \cdot {\textcolor{green}{9}}}}{2} \)
\( x = 3 \)
Lösung
\( {\textcolor{orangered}{1}}x^2 \;{\textcolor{orange}{+2}}x \;{\textcolor{green}{+5}} = 0 \)
\( {\textcolor{orangered}{a}} = {\textcolor{orangered}{1}} \quad {\textcolor{orange}{b}} = {\textcolor{orange}{2}} \quad {\textcolor{green}{c}} = {\textcolor{green}{5}} \)
\( x_{1,2} = \dfrac{-({\textcolor{orange}{2}}) \pm \sqrt{({\textcolor{orange}{2}})^2 - 4 \cdot {\textcolor{orangered}{1}} \cdot {\textcolor{green}{5}}}}{2} \)
\( x_{1,2} = \dfrac{-2 \pm \sqrt{-16}}{2} \quad \Rightarrow \)
keine LösungAusgewählt für Dich
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Mehr dazu
in unseren FAQs
Was muss ich bei der Mitternachtsformel zuerst prüfen?
Die Gleichung muss in der Normalform stehen: \( {\textcolor{orangered}{a}}x^2 + {\textcolor{orange}{b}}x + {\textcolor{green}{c}} = 0 \). Erst dann darfst du die Mitternachtsformel anwenden.
Was ist die Diskriminante und wozu brauche ich sie?
Die Diskriminante zeigt, wie viele Lösungen es gibt: \( D = {\textcolor{orange}{b}}^2 - 4 \cdot {\textcolor{orangered}{a}} \cdot {\textcolor{green}{c}} \). Je nach Wert von \( D \) gibt es zwei, eine oder keine Lösungen.
Was mache ich, wenn vor dem x² keine Zahl steht?
Dann steht dort automatisch eine 1. Beispiel: \( 0 = x^2 - 3x + 2 \Rightarrow {\textcolor{orangered}{a}} = {\textcolor{orangered}{1}} \).
Wie erkenne ich, ob die Mitternachtsformel zwei, eine oder keine Lösung ergibt?
Was mache ich, wenn unter der Wurzel eine negative Zahl steht?
Dann endet die Rechnung hier. Aus einer negativen Zahl kannst du keine Wurzel ziehen – die Funktion besitzt also keine Nullstellen.
Vertiefung
Weiterführende Informationen
Kann man aus einer negativen Zahl die Wurzel ziehen?
Stell dir die Wurzel wie eine Frage vor:
So eine Zahl gibt es nicht – keine Zahl mal sich selbst ergibt eine negative Zahl.
Die Rechnung endet hier.
Setzen wir das direkt an der Mitternachtsformel um:
Unter der Wurzel steht hier eine negative Zahl – das ist der Grund, warum wir nicht weiterrechnen können.
Wie liest man a, b, c richtig ab?
Damit du die Mitternachtsformel anwenden kannst, musst du zuerst \({\textcolor{orangered}{a}}, {\textcolor{orange}{b}}\) und \({\textcolor{green}{c}}\) aus der Gleichung herauslesen. Die Normalform hilft dir dabei:
Schreiben wir sie und die Beispielgleichung direkt untereinander, sehen wir , wo \( {\textcolor{orangered}{a}}, {\textcolor{orange}{b}} \) und \( {\textcolor{green}{c}} \) stecken:
Was, wenn die Gleichung nicht in der Normalform steht?
Die Mitternachtsformel funktioniert nur, wenn die Gleichung so aussieht:
Sieht sie nicht so aus, musst du sie zuerst auf null bringen.
Typische Fehler – und wie du sie vermeidest
Bei der Mitternachtsformel tauchen immer wieder die gleichen Fehler auf. Wenn du weißt, worauf du achten musst, kannst du sie ganz leicht vermeiden.
Viele lesen hier falsch ab und schreiben \( {\textcolor{orange}{b}} = 4 \). Aber das Minus gehört mit dazu:
Viele übersehen hier die versteckte 1 vor dem \(x^2\) und lesen \( {\textcolor{orangered}{a}} = 0 \). Aber: Steht nichts davor, ist es immer eine 1.
Viele quadrieren die -2 falsch und schreiben \( -2^2 \) statt \( (-2)^2 \). Aber: Ohne Klammern wird nur die 2 quadriert – das Minus nicht!
Wusstest du schon…?
Die Mitternachtsformel heißt nur im deutschsprachigen Raum so. In fast allen anderen Ländern nennt man sie einfach quadratic formula.
Aber warum „Mitternachtsformel“?
Früher hat man Schülern gesagt, dass sie diese Formel sogar
mitten in der Nacht aufsagen können müssen –
sogar wenn man sie aufweckt.
So bekam sie ihren Namen.
In den USA lernen viele Schüler dafür sogar ein Merklied, um sich die Formel zu merken – inklusive Melodie.
Und in einem japanischen Mathebuch wurde sie einmal als „Formel zur Rettung in letzter Sekunde“ bezeichnet. Gar nicht so falsch – manchmal rettet sie die Klassenarbeit wirklich..
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