Die Mitternachtsformel

Stell dir die Wurzel wie eine Frage vor:

So eine Zahl gibt es nicht – keine Zahl mal sich selbst ergibt eine negative Zahl.

Setzen wir das direkt an der Mitternachtsformel um:

Unter der Wurzel steht hier eine negative Zahl – das ist der Grund, warum wir nicht weiterrechnen können.

Damit du die Mitternachtsformel anwenden kannst, musst du zuerst \({\textcolor{orangered}{a}}, {\textcolor{orange}{b}}\) und \({\textcolor{green}{c}}\) aus der Gleichung herauslesen. Die Normalform hilft dir dabei:

Schreiben wir sie und die Beispielgleichung direkt untereinander, sehen wir , wo \( {\textcolor{orangered}{a}}, {\textcolor{orange}{b}} \) und \( {\textcolor{green}{c}} \) stecken:

Die Mitternachtsformel funktioniert nur, wenn die Gleichung so aussieht:

Sieht sie nicht so aus, musst du sie zuerst auf null bringen.

Bei der Mitternachtsformel tauchen immer wieder die gleichen Fehler auf. Wenn du weißt, worauf du achten musst, kannst du sie ganz leicht vermeiden.

Viele lesen hier falsch ab und schreiben \( {\textcolor{orange}{b}} = 4 \). Aber das Minus gehört mit dazu:

Viele übersehen hier die versteckte 1 vor dem \(x^2\) und lesen \( {\textcolor{orangered}{a}} = 0 \). Aber: Steht nichts davor, ist es immer eine 1.

Viele quadrieren die -2 falsch und schreiben \( -2^2 \) statt \( (-2)^2 \). Aber: Ohne Klammern wird nur die 2 quadriert – das Minus nicht!

Die Mitternachtsformel ist keine „Zauberformel“, sondern eine allgemeine Lösungsmethode für quadratische Gleichungen.

Jede quadratische Gleichung beschreibt mathematisch eine Parabel. Die Lösungen der Gleichung sind genau die Stellen, an denen diese Parabel die x-Achse schneidet.

Der entscheidende Teil der Mitternachtsformel ist der Ausdruck unter der Wurzel. Er entscheidet darüber, wie viele Schnittpunkte existieren.

Ist der Ausdruck unter der Wurzel positiv, gibt es zwei verschiedene Lösungen.

Ist er null, berührt die Parabel die x-Achse genau einmal – es gibt eine doppelte Lösung.

Ist der Ausdruck negativ, schneidet die Parabel die x-Achse gar nicht. Die Gleichung hat dann keine reelle Lösung.

Damit die Mitternachtsformel angewendet werden kann, muss die Gleichung in der Normalform stehen. Nur dann lassen sich die Zahlen eindeutig zuordnen.

Das sorgt dafür, dass jede quadratische Gleichung nach demselben Schema gelöst werden kann – unabhängig davon, wie kompliziert sie aussieht.

Wer jedoch versteht, was der Ausdruck unter der Wurzel bedeutet und warum die Normalform nötig ist, kann Lösungen oft schon vor dem Rechnen einschätzen.