Hier siehst du eine quadratische Gleichung in der Normalform. Die Normalform einer quadratischen Gleichung ist immer gleich aufgebaut:

Das ermöglicht es uns, aus der Beispielgleichung \( {\textcolor{orange}{a}} \), \( {\textcolor{midnightblue}{b}} \) und \( {\textcolor{green}{c}} \) herauszulesen:

Wir notieren nun die Mitternachtsformel und setzen die ermittelten Werte ein:

Nachdem wir alles vorbereitet haben, können wir mit dem Zusammenfassen beginnen.

Nun schauen wir uns \( x_1 \) und \( x_2 \) genauer an. Vielleicht hast du schon gesehen, dass vor der Wurzel ein + und ein − steht. Das bedeutet für uns:

Dank der Mitternachtsformel haben wir die beiden Lösungen der Gleichung gefunden. Das sind gleichzeitig auch die Nullstellen dieser quadratischen Funktion

Wir betrachten ein weiteres Beispiel.

Wie schon im ersten Beispiel schreiben wir als Erstes die Werte für a, b und c aus der Gleichung heraus.
Hast du eine Idee, welche Zahl vor dem \( x^2 \) steht? Schau mal:

Nachdem wir alles herausgeschrieben haben, setzen wir die Werte in die Mitternachtsformel ein und fassen zusammen:

An dieser Stelle endet unsere Rechnung, denn es ist nicht möglich, aus einer negativen Zahl die Wurzel zu ziehen.

Das bedeutet: Die Gleichung hat keine Lösung und die Funktion somit keine Nullstellen.

Du kennst nun schon einen Sonderfall – aber es gibt noch einen zweiten, den wir uns jetzt anschauen.

Wir identifizieren zunächst \( {\textcolor{orange}{a}} \), \( {\textcolor{midnightblue}{b}} \) und \( {\textcolor{green}{c}} \) in der Gleichung...

... und setzen die Werte anschließend in die Mitternachtsformel ein. Danach fassen wir Schritt für Schritt zusammen:

In diesem Beispiel haben wir es mit einem weiteren Sonderfall zu tun: Unter der Wurzel steht eine Null.

Da sie beim Rechnen nichts verändert – egal ob wir sie addieren oder subtrahieren – können wir sie einfach weglassen.

Die Gleichung hat genau eine Lösung, und die Funktion somit genau eine Nullstelle.

Wenn du mehr über Nullstellen wissen möchtest, schau dir gerne unseren Beitrag dazu an.

In den drei Beispielen hast du gesehen, dass die Anzahl der Lösungen davon abhängt, welcher Wert unter der Wurzel steht. Dieser Wert hat sogar einen eigenen Namen – Diskriminante.

Die Mitternachtsformel können wir deshalb auch so schreiben:

Die Diskriminante wird mit dem Buchstaben \( D \) abgekürzt. Sie bestimmt, wie viele Lösungen eine quadratische Gleichung hat.

Schauen wir uns das an unseren drei Beispielen an:

In diesem Fall ist die Diskriminante positiv. Die Gleichung hat also zwei Lösungen.

Hier ist die Diskriminante negativ. Das bedeutet: Es gibt keine Lösung im Bereich der reellen Zahlen.

In diesem Beispiel ist die Diskriminante gleich null. Die Gleichung hat genau eine Lösung.