Methoden zur Nullstellenbestimmung
Substitution
Aufgabe: Bestimme die Nullstellen von:
Lösung: ?
Du hast keine Ahnung, wie du die Nullstellen dieser Funktion bestimmen sollst?
In der Mathematik stoßen wir oft auf Funktionen, deren Nullstellen nicht sofort erkennbar sind. Eine clevere Lösung dafür ist die Substitution.
In diesem Beitrag erklären wir dir an einfachen Beispielen, wie Substitution funktioniert. Am Ende findest du Übungsaufgaben, um das Gelernte zu vertiefen.
Substitution in vier Schritten
Bei der Substitution ersetzt du einen Term wie \(x^2\) durch eine neue Variable \(z\). So wird aus einer Gleichung vierten Grades eine quadratische Gleichung, die du mit einer bekannten Formel lösen kannst.
Substitution
Mitternachtsformel
Resubstitution
Substitution anwenden
Du kannst die Substitution nutzen, um die Nullstellen komplex wirkender Funktionen zu bestimmen.
Schauen wir uns schrittweise an, wie die Substitution funktioniert.
Bevor wir loslegen, stellen wir sicher, dass die Substitution die richtige Wahl ist:
Alle Exponenten lassen sich als Produkt mit 2 darstellen.
Nun gilt es, die Variablen so zu ersetzen, dass die Exponenten kleiner werden. Dazu setzen wir den Term mit dem kleinsten Exponenten gleich z.
Dank der Potenzgesetze steckt dieser Term auch in den Termen mit höheren Exponenten. Schauen wir uns das genauer an:
Diese Umformung beruht auf dem Potenzieren von Potenzen.
Nach dieser Vorbereitung folgt die eigentliche Substitution - wir ersetzen jetzt \({\textcolor{blue}{x^2}}\) durch \({\textcolor{blue}{z}}\):
Durch die Substitution haben wir eine komplexe Funktion in eine einfache quadratische Funktion verwandelt. Diese können wir nun problemlos mit der Mitternachtsformel oder der pq-Formel lösen.
Da es nicht möglich ist, aus einer negativen Zahl die Wurzel zu ziehen, hat die Gleichung nur zwei Lösungen und unsere Funktion somit zwei Nullstellen.
Gleichungen vierten Grades löst du mit deinem Tutor ruhig und sicher.
Kostenlos testen: Mathe Nachhilfe online bei OnMathe
Wiederkehrende Muster erkennen
Wir möchten dir noch genauer zeigen, wann du die Substitution anwendest.
Dazu suchen wir in der Funktion nach wiederkehrenden Mustern. Meistens zeigen sich diese daran, dass die Exponenten in einem festen Verhältnis zueinander stehen - häufig eine Verdopplung.
Wichtig ist, dass sich diese Verhältnisse in ganzen Zahlen ausdrücken lassen.
Schauen wir uns dazu ein paar Beispiele an:
Wir betrachten alle Exponenten der Funktion:
Exponenten lassen sich alle als Produkt mit 2 ausdrücken → Substitution
Wir schauen uns erneut die Exponenten an:
Exponenten lassen sich alle als Produkt mit 3 ausdrücken → Substitution
Stehen die Exponenten auch hier im gleichen Verhältnis zueinander?
Exponenten stehen in keinem festen Verhältnis - es gibt kein wiederkehrendes Muster → keine Substitution
Und ein letztes Mal überprüfen wir die Exponenten:
Exponenten lassen sich alle als Produkt mit 2 darstellen, ABER nicht nur mit ganzen Zahlen → keine Substitution
Substitution wendest du an, falls alle Exponenten in einem festen Verhältnis stehen - sich alle durch ein ganzzahliges Produkt mit der gleichen Zahl ausdrücken lassen.
Immer derselbe Tutor, der deine Stolpersteine bei solchen Gleichungen kennt: So lernst du bei OnMathe.
Sichere dir deine kostenlose Probestunde bei OnMathe
Zusammenfassung an einem Beispiel
In einem weiteren Beispiel möchten wir dir eine zusammenhängende Nullstellenberechnung mittels Substitution zeigen.
Substitution? Wir bringen Struktur.
Mathe macht Druck? Wir bringen Struktur.
Dein fester Tutor zeigt dir, wie du Muster erkennst und sicher substituierst.
Mathe-Nachhilfe online mit festem Tutor und Crashkurs vor jedem Test.
Ausgewählt für Dich
Empfohlene Beiträge
Mehr dazu
in unseren FAQs
Was bedeutet Substitution in der Mathematik?
Substitution heißt Ersetzen. Du ersetzt einen Term, zum Beispiel \(x^2\), durch eine neue Variable \(z\). Aus \( x^4 - 5x^2 + 4 = 0 \) wird so \( z^2 - 5z + 4 = 0 \), und diese Gleichung kannst du mit der Mitternachtsformel lösen.
Zum Schluss machst du das Ersetzen wieder rückgängig. Das ist die Resubstitution.
Warum ist die Substitution wichtig?
Für Gleichungen vierten Grades gibt es in der Schule keine fertige Formel wie die Mitternachtsformel. Mit der Substitution führst du viele dieser Gleichungen auf eine quadratische Gleichung zurück, die du schon lösen kannst.
Typische Prüfungsaufgaben sind Nullstellen von Funktionen wie \( f(x) = x^4 - 10x^2 + 9 \).
Wie wähle ich die richtige Substitution aus?
Du ersetzt immer den Term mit der kleineren Hochzahl. Bei \(x^4\) und \(x^2\) setzt du \(z = x^2\), bei \(x^6\) und \(x^3\) setzt du \(z = x^3\).
Wichtig ist, dass sich alle Hochzahlen als ganzzahliges Vielfaches derselben Zahl schreiben lassen. Am meisten bringt die Substitution, wenn die größere Hochzahl genau das Doppelte der kleineren ist. Dann entsteht eine quadratische Gleichung.
Was ist der Unterschied zwischen Substitution und anderen Methoden der Vereinfachung?
Jede Methode passt zu einer anderen Art von Gleichung:
- Substitution: passende Hochzahlen, zum Beispiel \( x^4 - 5x^2 + 4 = 0 \)
- Ausklammern: jeder Summand enthält \(x\), zum Beispiel \( x^3 - 4x = 0 \)
- Polynomdivision: nichts davon passt, dann rätst du eine Nullstelle und teilst
Manchmal brauchst du auch zwei Methoden nacheinander, erst Ausklammern und dann Substitution.
Kann die Substitution auch in anderen Bereichen angewendet werden?
Ja. Beim Integrieren gibt es die Integration durch Substitution. Und auch bei Exponentialgleichungen hilft der gleiche Trick:
Bei der Resubstitution brauchst du hier den Logarithmus.
Was ist eine Resubstitution?
Die Resubstitution ist der letzte Schritt der Substitution. Du setzt deine Ergebnisse für \(z\) wieder in die Ersetzung ein und rechnest \(x\) aus.
Ohne Resubstitution hast du nur die Lösungen der Hilfsgleichung, nicht die Nullstellen der Funktion.
Wie viele Lösungen kann eine biquadratische Gleichung haben?
Keine, eine, zwei, drei oder vier. Das hängt davon ab, welche Werte du für \(z\) bekommst: Jedes positive \(z\) liefert zwei Lösungen, \(z = 0\) liefert die Lösung \(x = 0\) und ein negatives \(z\) liefert keine.
Bei \( x^4 + 3x^2 + 2 = 0 \) sind beide Werte für \(z\) negativ. Diese Gleichung hat deshalb gar keine Lösung.
Mehr dazu
Weiterführende Informationen
Biquadratische Gleichungen: Wie viele Lösungen gibt es?
Gleichungen der Form \( ax^4 + bx^2 + c = 0 \) heißen biquadratisch. Sie sind der häufigste Fall für die Substitution, denn mit \( z = x^2 \) wird daraus sofort eine quadratische Gleichung.
Wie viele Lösungen am Ende herauskommen, entscheidet sich erst bei der Resubstitution. Jedes \(z\) liefert dir nämlich keine, eine oder zwei Lösungen für \(x\):
| Ergebnis für z | Lösungen für x |
|---|---|
| positiv, z. B. \( z = 9 \) | zwei: \( x = 3 \) und \( x = -3 \) |
| \( z = 0 \) | eine: \( x = 0 \) |
| negativ, z. B. \( z = -4 \) | keine |
Eine biquadratische Gleichung hat also höchstens vier Lösungen. Vier sind es genau dann, wenn beide Werte für \(z\) positiv sind:
Am Graphen siehst du das gut: Die Kurve ist symmetrisch zur y-Achse und schneidet die x-Achse viermal.
Resubstitution: So kommst du von z zurück zu x
Nach der Substitution hast du Lösungen für \(z\). Gesucht sind aber die Lösungen für \(x\). Deshalb machst du die Ersetzung zum Schluss wieder rückgängig. Das nennt man Resubstitution.
Gerade Hochzahl: an beide Vorzeichen denkenHast du \(z = x^2\) ersetzt, ziehst du aus jedem positiven \(z\) die Wurzel. Denk dabei an beide Vorzeichen, denn \(3^2\) und \((-3)^2\) ergeben beide \(9\):
Hast du \(z = x^3\) ersetzt, ziehst du die dritte Wurzel. Hier gibt es kein Plus und Minus. Dafür findest du auch bei negativen Werten eine Lösung, denn \((-2)^3 = -8\):
Fehlt die Zahl ohne x? Erst ausklammern
Manchmal steckt in einer Gleichung ein \(x\) zu viel, zum Beispiel bei \( x^5 - 13x^3 + 36x = 0 \). Die Hochzahlen 5, 3 und 1 passen so nicht zur Substitution. Klammerst du aber \(x\) aus, passt es wieder:
Ein Produkt ist \(0\), wenn einer der Faktoren \(0\) ist. Der erste Faktor liefert dir sofort \( x_1 = 0 \). Die Klammer löst du mit der Substitution \( z = x^2 \):
Typische Fehler bei der Substitution
Die Substitution selbst ist schnell erledigt. Die meisten Punkte gehen an anderen Stellen verloren:
- Resubstitution vergessen: \(z_1 = 9\) ist noch keine Nullstelle. Erst \(x = \pm 3\) beantwortet die Frage.
- Minus-Lösung vergessen: Aus \(x^2 = 9\) folgt \(x = 3\) und \(x = -3\).
- Negative Werte falsch behandelt: \(x^2 = -4\) hat keine Lösung, \(x^3 = -8\) dagegen schon, nämlich \(x = -2\).
- Falsch ersetzt: Ersetzt wird der Term mit der kleineren Hochzahl. Bei \(x^4\) und \(x^2\) ist das \(z = x^2\), nicht \(z = x^4\).
- Substitution erzwungen: Lassen sich nicht alle Hochzahlen als ganzzahliges Vielfaches derselben Zahl schreiben, wie im 4. Beispiel oben, klappt die Substitution nicht.
Substitution beim Integrieren
Das Wort Substitution begegnet dir in der Oberstufe noch einmal, und zwar beim Integrieren. Die Idee ist dieselbe: Du ersetzt einen störenden Term durch eine neue Variable, damit die Aufgabe einfacher wird.
Bei \( \int 2x \cdot (x^2 + 1)^3 \, dx \) ersetzt du die Klammer durch \( u = x^2 + 1 \). Die Ableitung davon ist \( 2x \), also gilt \( du = 2x \, dx \). Damit wird das Integral ganz einfach:
Auch hier gehört eine Resubstitution dazu: Am Ende ersetzt du \(u\) wieder durch \(x^2 + 1\). Die Integration durch Substitution ist im Grunde die Kettenregel rückwärts.
Substitution oder Polynomdivision?
Die Substitution funktioniert nur, wenn die Hochzahlen zueinander passen. Diese Übersicht hilft dir, den richtigen Weg zu finden:
| Gleichung | Weg |
|---|---|
| \( x^4 - 5x^2 + 4 = 0 \) | Substitution mit \( z = x^2 \) |
| \( x^6 - 35x^3 + 216 = 0 \) | Substitution mit \( z = x^3 \) |
| \( x^3 - 4x = 0 \) | \(x\) ausklammern |
| \( x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0 \) | raten, Polynomdivision |
Passt keine Substitution und lässt sich auch nichts ausklammern, rätst du eine erste Nullstelle. Ganzzahlige Nullstellen sind immer Teiler der Zahl ohne \(x\), hier also \(\pm 1\), \(\pm 2\), \(\pm 3\) oder \(\pm 6\). Mit \(x = 1\) klappt es:
Danach teilst du durch \((x - 1)\) und erhältst eine quadratische Gleichung. Die restlichen Nullstellen sind \(x = 2\) und \(x = 3\).
