Methoden zur Nullstellenbestimmung

Horner-Schema

Lisa von OnMathe

Einleitung

Das Horner-Schema ist eine Alternative zur klassischen Polynomdivision. Es hilft dir, Polynome zu vereinfachen und gezielt Linearfaktoren abzuspalten – und das ohne schriftliche Division!
In diesem Beitrag zeigen wir dir in einfachen Schritten, wie du das Horner-Schema anwendest und wo seine Grenzen liegen.
Zum Schluss warten Übungsaufgaben auf dich, mit denen du dein neues Wissen festigen kannst.
Merke
  • Anwendbar nur bei Linearfaktoren der Form \((x \pm c)\).
    1. Koeffizienten des Polynoms in die erste Zeile eintragen.
    2. Bekannte Nullstelle links notieren.
    3. Ersten Wert nach unten übernehmen.
    4. Letzten Wert mit der Nullstelle multiplizieren → mittlere Zeile.
    5. Obere + mittlere Zeile → untere Zeile.
    6. Schritte bis zum Ende wiederholen.
    7. Untere Zeile ergibt neue Funktion (Exponenten um 1 verringert).
\(0={\textcolor{green}{-2}}x^3{\textcolor{orangered}{+18}}x^2{\textcolor{midnightblue}{-48}}x{\textcolor{orange}{+32}}\)
\[ \begin{array}{c|c|c|c|c} \phantom{x} & {\textcolor{green}{-2}} & {\textcolor{orangered}{+18}} & {\textcolor{midnightblue}{-48}} & {\textcolor{orange}{+32}} \\ \hline x_0=1 & \downarrow & -2 & +16 & -32 \\ \hline \phantom{x} & {\textcolor{green}{-2}} & 16 & -32 & 0 \\ \end{array} \]
  • Ergebnis: \(-2x^2 + 16x - 32\)

Einleitung

Das Horner-Schema ist eine Alternative zur klassischen Polynomdivision. Es hilft dir, Polynome zu vereinfachen und gezielt Linearfaktoren abzuspalten – und das ohne schriftliche Division!
In diesem Beitrag zeigen wir dir in einfachen Schritten, wie du das Horner-Schema anwendest und wo seine Grenzen liegen.
Zum Schluss warten Übungsaufgaben auf dich, mit denen du dein neues Wissen festigen kannst.
Merke
  • Anwendbar nur bei Linearfaktoren der Form \((x \pm c)\).
    1. Koeffizienten des Polynoms in die erste Zeile eintragen.
    2. Bekannte Nullstelle links notieren.
    3. Ersten Wert nach unten übernehmen.
    4. Letzten Wert mit der Nullstelle multiplizieren → mittlere Zeile.
    5. Obere + mittlere Zeile → untere Zeile.
    6. Schritte bis zum Ende wiederholen.
    7. Untere Zeile ergibt neue Funktion (Exponenten um 1 verringert).
\(0={\textcolor{green}{-2}}x^3{\textcolor{orangered}{+18}}x^2{\textcolor{midnightblue}{-48}}x{\textcolor{orange}{+32}}\)
\[ \begin{array}{c|c|c|c|c} \phantom{x} & {\textcolor{green}{-2}} & {\textcolor{orangered}{+18}} & {\textcolor{midnightblue}{-48}} & {\textcolor{orange}{+32}} \\ \hline x_0=1 & \downarrow & -2 & +16 & -32 \\ \hline \phantom{x} & {\textcolor{green}{-2}} & 16 & -32 & 0 \\ \end{array} \]
  • Ergebnis: \(-2x^2 + 16x - 32\)

Schritt für Schritt

Beispiel
\(f(x)=-2x^{\textcolor{orange}{3}}+18x^2-48x+32\)
Um das Horner-Schema anwenden zu können, musst du bereits eine Nullstelle kennen.
\(N(1|0) \hspace{0.5cm} → x_0=1\)
Nun erstellen wir die Tabelle zum Horner-Schema und beginnen sie zu füllen. Die Tabelle hat immer 3 Zeilen. Die Anzahl der Spalten wird berechnet mit dem Grad des Polynoms \(+2\).

1. Schritt
Wir erstellen eine Tabelle mit 5 Spalten und 3 Zeilen und füllen sie mit den Koeffizienten der Funktionsgleichung und der ersten Nullstelle \(x_0=1\):
\(0={\textcolor{green}{-2}}x^3{\textcolor{orangered}{+18}}x^2{\textcolor{midnightblue}{-48}}x{\textcolor{orange}{+32}}\)
\(\begin{array}{c|c|c|c|c} \phantom{x} & {\textcolor{green}{-2}} & {\textcolor{orangered}{+18}} & {\textcolor{midnightblue}{-48}} & {\textcolor{orange}{+32}} \\ \hline x_0=1 & \downarrow & \phantom{x} & \phantom{x} & \phantom{x} \\ \hline \phantom{x} & {\textcolor{green}{-2}} & \phantom{x} & \phantom{x} & \phantom{x} \\ \end{array}\)
Den ersten Koeffizienten übernehmen wir direkt nach unten in die letzte Zeile.

2. Schritt
Multipliziere die \({\textcolor{green}{-2}}\) aus der letzten Zeile mit \(1\) - dem Wert der ersten Nullstelle.
Das Ergebnis trägst du in das nächste Feld der mittleren Zeile ein.
\(\begin{array}{c|c|c|c|c} \phantom{x} & {\textcolor{green}{-2}} & {\textcolor{orangered}{+18}} & {\textcolor{midnightblue}{-48}} & {\textcolor{orange}{+48}} \\ \hline x_0=1 & \downarrow & -2 & \phantom{x} & \phantom{x} \\ \hline \phantom{x} & {\textcolor{green}{-2}} & \phantom{x} & \phantom{x} & \phantom{x} \\ \end{array}\)
3. Schritt
\({\textcolor{orangered}{+18}}\) und \(-2\) werden addiert und in das freie Feld darunter geschrieben.
\(\begin{array}{c|c|c|c|c} \phantom{x} & {\textcolor{green}{-2}} & {\textcolor{orangered}{+18}} & {\textcolor{midnightblue}{-48}} & {\textcolor{orange}{+32}} \\ \hline \phantom{x} 1 & \downarrow & -2 & \phantom{x} & \phantom{x} \\ \hline \phantom{x} & {\textcolor{green}{-2}} & 16 & \phantom{x} & \phantom{x} \\ \end{array}\)
Jetzt wird die Nullstelle \(x_0=1\) mit \(16\) multipliziert und das Muster so weiter fortgesetzt.
\(\begin{array}{c|c|c|c|c} \phantom{x} & {\textcolor{green}{-2}} & {\textcolor{orangered}{+18}} & {\textcolor{midnightblue}{-48}} & {\textcolor{orange}{+32}} \\ \hline x_0=1 & \downarrow & -2 & +16 & -32 \\ \hline \phantom{x} & {\textcolor{green}{-2}} & 16 & -32 & 0 \\ \end{array}\)
Nachdem das Horner-Schema vollständig ist, müssen wir bloß noch das neue Polynom aufschreiben. Dort sind alle Exponenten um 1 niedriger als in der ursprünglichen Funktionsgleichung.
\(\begin{array}{c|c|c|c|c} \phantom{x} & {\textcolor{green}{x^3}} & {\textcolor{orangered}{x^2}} & {\textcolor{midnightblue}{x}} & {\textcolor{orange}{}} \\ \phantom{x} & -2 & +18 & -48 & +32 \\ \hline x_0=1 & \downarrow & -2 & +16 & -32 \\ \hline \phantom{x} & -2 & 16 & -32 & 0 \\ \hline \phantom{x} & {\textcolor{green}{x^2}} & {\textcolor{orangered}{x}} & & \\ \end{array}\)
Es bleibt also: \(-2x^2+16x-32\)
Die Lösungen dieser quadratischen Funktion lassen sich ganz leicht mit der Mitternachtsformel oder der pq-Formel bestimmen.
\(0={\textcolor{orangered}{-2}}x^2{\textcolor{orange}{+16}}x{\textcolor{green}{-32}}\)
\({\textcolor{orangered}{a=-2}} \hspace{0.5cm} {\textcolor{orange}{b=16}} \hspace{0.5cm} {\textcolor{green}{c=-32}}\)
\(x_{1,2} = \dfrac{-{\textcolor{orange}{b}} \pm \sqrt{{\textcolor{orange}{b}}^2 - 4\cdot{\textcolor{orangered}{a}}\cdot{\textcolor{green}{c}}}}{2\cdot{\textcolor{orangered}{a}}}\)
\(x_{1,2} = \dfrac{-{\textcolor{orange}{16}} \pm \sqrt{{\textcolor{orange}{16}}^2 - 4\cdot({\textcolor{orangered}{-2}})\cdot({\textcolor{green}{-32}})}}{2\cdot({\textcolor{orangered}{-2}})}\)
\(x_{1,2} = \dfrac{-16 \pm \sqrt{256-256}}{-4}\)
\(x_{1,2} = \dfrac{-16 \pm \sqrt{0}}{-4}\)
\(x_{1} = \dfrac{-16 + \sqrt{0}}{-4} \hspace{1cm} x_{2} = \dfrac{-16 - \sqrt{0}}{-4}\)
\(x_1=4 \hspace{0.5cm} \textsf{und} \hspace{0.5cm} x_2=4\)
So erhalten wir insgesamt eine doppelte und eine einfache Nullstelle
einfach           doppelt
\(N_1(1|0) \hspace{1cm} N_2(4|0) \)
Grenzen Horner-Schema
Das Horner-Schema hat auch seine Grenzen:
Es kann nur verwendet werden, wenn du durch einen Linearfaktor der Form \((x \pm c)\) dividierst.
Falls du durch ein höhergradiges Polynom, wie z.B. \((x^2-2)\) dividieren musst, ist die klassische Polynomdivision erforderlich. Das kann vor allem dann passieren, wenn du die Asymptote einer gebrochenrationalen Funktion bestimmen möchtest.

Wann brauche ich das Horner-Schema

Wenn du wissen möchtest, ob du das Horner-Schema nutzen solltest, betrachte deine Funktion nach folgenden Aspekten:
  1. Der höchste Exponent ist größer als 2
  2. Die Funktion hat keine wiederkehrenden Muster
Wir werden nun einige Beispiele betrachten um dir zu verdeutlichen wann du das Horner-Schema nutzen musst.
Beispiel 1
\(f(x)=2{\textcolor{blue}{x^2}}+3x^2-6\)
Die erste Funktion ist eine quadratische Funktion. Möchtest du ihre Nullstellen bestimmen kannst die die Mitternachtsformel, oder die pq-Formel nutzen.
Beispiel 2
\(f(x)=2{\textcolor{blue}{x^4}}+4x^2-6\)
Die zweite Beispielfunktion hat in ihrer Funktionsgelichung wiederkehrende Muster. Schau dir dazu diese umgeformte Version an, dann siehst du , dass das \(x^2\) wiederholt auftritt.
\(f(x) =2{\textcolor{blue}{(x^2)^2}}+4x^2-6\)
Für solche Funktionen verwenden wir nicht das Horner-Schema, wir nutzen Substitution. Wenn du mehr über diese Art von Funktionen wissen möchtest, schau dir gerne unseren Beitrag zur Substitution an.
Beispiel 3
\(f(x)=4{\textcolor{blue}{x^3}}+4x^2-6x-2\)
Der höchste Exponent der dieser Beispielfunktion ist größer als 2, es gibt außerdem keine wiederkehrenden Muster. In diesem Fall müssen wir das Horner-Schema anwenden.

Dadurch, dass alle Zahlen in der Funktion ganzzahlig sind, kommen wir durch ausprobieren schnell auf die erste Nullstelle \(x_0=1\) und so auf den Linearfaktor \( (x-1) \), den wir abspalten.
\( 0 = {\textcolor{green}{4}}x^3 + {\textcolor{orangered}{1}}x^2 + {\textcolor{midnightblue}{-4}}x + {\textcolor{orange}{-1}} \) \[ \begin{array}{c|c|c|c|c} & {\textcolor{green}{4}} & {\textcolor{orangered}{1}} & {\textcolor{midnightblue}{-4}} & {\textcolor{orange}{-1}} \\ \hline x_0 = 1 & \downarrow & 4 & 5 & 1 \\ \hline & {\textcolor{green}{4}} & 5 & 1 & 0 \\ \end{array} \] \( f(x) = (4x^2 + 5x + 1) \cdot (x-1) \)

Asymptoten bestimmen mit dem Horner-Schema

Die Asymptote einer Funktion ist die Linie, an die sich der Graph im Unendlichen annähert. Er wird sie niemals berühren oder schneiden. An der Asymptote kannst du ganz leicht das Verhalten im Unendlichen einer gebrochen rationalen Funktion ablesen.
Beispiel
  \( f(x)= \dfrac{{\textcolor{green}{2x^3-3x+1}}}{{\textcolor{orangered}{x+1}}}\)
In einigen Fällen nutzt du das Horner-Schema, um die Asymptote einer gebrochenrationalen Funktion zu bestimmen. Dabei gehst du wie folgt vor:
Merke
Zählerpolynom : Nennerpolynom =Asymptote + Rest
\({\textcolor{green}{(2x^3-3x+1)}} : {\textcolor{orangered}{(x+1)}} = \) \({\textcolor{orange}{2x^2-2x-1}}+{\textcolor{midnightblue}{\dfrac{2}{x+1}}} \)

Für das Horner-Schema brauchen wir immer eine erste Nullstelle. Dividieren wir Zähler und Nenner einer gebrochenrationalen Funktion, ist diese Nullstelle immer die Nullstelle des Nenners.

Nennerpolynom: \((x+1)\)
Nullstelle Nennerpolynom: \(x_0=-1\)
Das vollständige Horner-Schema zu diesem Beispiel sieht so aus:

\( ({\textcolor{green}{2}}x^3 + {\textcolor{orangered}{0}}x^2 + {\textcolor{midnightblue}{-3}}x + {\textcolor{orange}{1}}):(x+1) \)
\( \begin{array}{c|c|c|c|c} & {\textcolor{green}{2}} & {\textcolor{orangered}{0}} & {\textcolor{midnightblue}{-3}} & {\textcolor{orange}{1}} \\ \hline x_0 = -1 & \downarrow & -2 & 2 & 1 \\ \hline & {\textcolor{green}{2}} & -2 & -1 & \color{red}{2} \\ \end{array} \)
Ergebnis: \({\textcolor{orange}{2x^2-2x-1}}+ {\textcolor{midnightblue}{\dfrac{2}{x+1}}} \)
Somit lautet die Gleichung der Asymptote:
\(f_A(x)=2x^2-2x+1\)
An der Skizze der Funktion kannst du sehen, dass Asymptote und Funktion den gleichen Weg haben, wenn wir uns aus dem Bild hinaus, also in Richtung unendlich, bewegen.
Achtung
Das Horner-Schema funktioniert nur, wenn du durch einen Linearfaktor wie \((x \pm c)\) teilst. Sobald der Nenner ein Polynom höheren Grades ist – also z. B. \((x^2 + ...)\) – musst du auf die Polynomdivision zurückgreifen.
Beispiel
Die Funktion \( \ f(x) = \dfrac{2x^3 + x - 4}{x^2 - 1} \)
kann nicht mit dem Horner-Schema gelöst werden – der Nenner hat den höchsten Exponenten 2. In diesem Fall musst du eine Polynomdivision durchführen.

Zusammenfassung

Das Horner-Schema ist ein Rechenverfahren, mit dem du ein Polynom vereinfachen kannst – ähnlich wie bei der Polynomdivision, aber etwas kompakter und übersichtlicher. Wichtig: Es funktioniert nur bei ganzzahligen Nullstellen und Linearfaktoren der Form \((x \pm c)\).

In der Schule nutzt du das Horner-Schema vor allem, wenn du
  • Nullstellen berechnen willst
  • eine ganzrationale Funktion faktorisieren möchtest
Merke
  • Nur anwendbar bei Linearfaktoren \((x \pm c)\)
  • Funktion zuerst absteigend sortieren
  • Fehlende Potenzen mit Nullen ergänzen
  • Koeffizienten in das Schema einsetzen
  • Rechenschritte durchführen: ziehen, multiplizieren, addieren
  • Rest beachten: bei Null → vollständig teilbar
Beispiel

\(f(x) = x^3 - 3x^2 + 0x + 2\)

Geteilt durch \((x - 1), \textsf{also ist} \ x_0=1\)

\( \begin{array}{c|c|c|c|c} & {\textcolor{green}{1}} & {\textcolor{orangered}{-3}} & {\textcolor{midnightblue}{0}} & {\textcolor{orange}{2}} \\ \hline x_0 = 1 & \downarrow & 1 & -2 & -2 \\ \hline & {\textcolor{green}{1}} & -2 & -2 & 0 \\ \end{array} \)

Ergebnis: \((x^2 - 2x - 2)(x - 1)\)

Tipps
  • Schreibe alle Schritte übersichtlich untereinander.
  • Überprüfe deine Rechnung bei Minuszeichen besonders genau!
  • Denke beim Ergebnis daran die Exponenten anzupassen.
Checkliste







Teste dein Wissen

Übungen

Vereinfache mit Hilfe des Horner-Schemas

\(f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 2x - 3\)

Lösung

\(\begin{array}{c|c|c|c|c} x_0 = 1 & 2 & 3 & -2 & -3 \\ \hline & & 2 & 5 & 3 \\ \hline & 2 & 5 & 3 & 0 \end{array}\)
Ergebnis: \(f(x) = (2x^2 + 5x + 3)(x - 1)\)

\(f(x) = x^3 - 3x + 2\)

Lösung

\(f(x)=x^3+0x^2-3x+2\)
\(\begin{array}{c|c|c|c|c} x_0 = 1 & 1 & 0 & -3 & 2 \\ \hline & & 1 & 1 & -2 \\ \hline & 1 & 1 & -2 & 0 \\ \end{array}\)
Ergebnis: \(f(x) = (x^2 + x - 2)(x - 1)\)

Bestimme die Asymptote der Funktion mit dem Horner-Schema.

\(f(x) = \dfrac{2x^3 - 3x + 1}{x + 1}\)

Lösung

Zähler: \(2x^3 + 0x^2 - 3x + 1\)
Nenner: \(x + 1\)
\(\begin{array}{c|c|c|c|c} x_0 = -1 & 2 & 0 & -3 & 1 \\ \hline & & -2 & 2 & 1 \\ \hline & 2 & -2 & -1 & 0 \\ \end{array}\)
Asymptote: \(y = 2x^2 - 2x - 1\)

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Mehr dazu

in unseren FAQs

1. Wann darf ich das Horner-Schema benutzen?

Das Horner-Schema funktioniert nur, wenn du durch ein lineares Polynom teilst – also durch einen Term wie „x + 1“ oder „x – 3“. Ist der Nenner komplizierter, musst du eine Polynomdivision machen.

2. Wozu brauche ich das Horner-Schema überhaupt?

Mit dem Horner-Schema kannst du eine Funktion vereinfachen, zum Beispiel um Nullstellen zu finden oder um bei gebrochenrationalen Funktionen die Asymptote zu berechnen.

3. Was bedeutet es, wenn beim Horner-Schema ein Rest übrig bleibt?

Dann ist die Division nicht ganz aufgegangen – du hast also noch einen Bruchterm übrig. Das ist ganz normal und dieser Rest gehört zum vollständigen Ergebnis dazu.

4. Wie erkenne ich die Asymptote in einer Funktion?

Die Asymptote ist die Linie, der sich der Graph der Funktion annähert, wenn x sehr groß oder sehr klein wird. Sie zeigt, wie sich die Funktion „im Unendlichen“ verhält.

5. Was mache ich, wenn im Zähler der Funktion ein Glied fehlt?

Kein Problem! Du ersetzt die fehlende Potenz durch eine Null. So funktioniert das Schema korrekt.

Vertiefung

Weiterführende Informationen

Das Horner-Schema als praktisches Werkzeug der Mathematik

Das Horner-Schema ist ein cleveres Verfahren, das dir hilft, Polynome schnell und einfach zu vereinfachen. Gerade wenn du auf der Suche nach Nullstellen bist oder das Verhalten einer Funktion im Unendlichen verstehen möchtest, ist das Horner-Schema eine echte Abkürzung. Es spart dir viel Rechenaufwand – vor allem im Vergleich zur klassischen Polynomdivision.

Stell dir das Horner-Schema wie eine kompakte Version der schriftlichen Division vor – aber eben speziell für Polynome. Du arbeitest nicht mit Variablen und Termen, sondern nur mit den Zahlen, die davorstehen: den sogenannten Koeffizienten. Das macht die Rechnung übersichtlicher und schneller. In der Schule wirst du das Horner-Schema besonders oft einsetzen, wenn du Funktionen vereinfachen oder gebrochen rationale Terme untersuchen willst.

Was genau macht das Horner-Schema?

Das Horner-Schema hilft dir dabei, ein Polynom durch einen Linearfaktor zu teilen – also durch einen Ausdruck wie „x + 1“. Im Gegensatz zur Polynomdivision brauchst du hier weniger Platz und kannst oft schneller ans Ziel kommen. Besonders praktisch ist das Horner-Schema auch, wenn du einen Term umformen willst, um damit weiterzurechnen – zum Beispiel bei der Bestimmung von Asymptoten oder beim Lösen von Gleichungen.

Häufige Fehler vermeiden

Ein häufiger Fehler beim Horner-Schema ist das Vergessen einer Null für fehlende Glieder. Wenn z. B. ein x^2-Term fehlt, musst du an dieser Stelle trotzdem eine Null eintragen – sonst funktioniert das Schema nicht korrekt. Auch das falsche Einsetzen der Nullstelle oder das Vertauschen von Vorzeichen kommt häufig vor. Aber keine Sorge: Mit ein bisschen Übung bekommst du schnell ein Gefühl dafür, worauf du achten musst.

Tipps für effektives Lernen

Übe das Horner-Schema mit einfachen Beispielen und steigere dann langsam die Schwierigkeit. Achte darauf, deine Zahlen ordentlich untereinander zu schreiben, und kontrolliere am Ende dein Ergebnis. Hilfreich kann es auch sein, dir zunächst die Schritte der klassischen Polynomdivision einzuprägen – so verstehst du besser, wie das Horner-Schema eigentlich funktioniert. Und: Nutze die Methode regelmäßig, denn gerade beim Vereinfachen von Funktionen ist das Horner-Schema ein echter Zeitgewinn.

Ursprünge des Horner-Schemas

Das Horner-Schema geht auf den Mathematiker William George Horner zurück, der es im 19. Jahrhundert entwickelte. Seine Idee war es, das Rechnen mit Polynomen effizienter zu gestalten – und genau das ist ihm gelungen. Auch heute noch wird das Horner-Schema in Schule, Studium und sogar in der Informatik verwendet, weil es bei vielen Berechnungen wertvolle Zeit spart.

Das Horner-Schema in der modernen Mathematik

Ob in der Schule, in der Technik oder bei komplexen Computeralgorithmen – das Horner-Schema ist ein vielseitiges und nützliches Werkzeug. Es verbindet mathematisches Verständnis mit praktischer Effizienz. Wer das Horner-Schema einmal verstanden hat, wird es immer wieder anwenden – nicht nur bei der Berechnung von Nullstellen, sondern überall dort, wo es auf schnelles und sicheres Rechnen ankommt.