Rechenregeln im Überblick

Potenzgesetze

Lisa von OnMathe

Einleitung

Findest du auch, dass Potenzgesetze wahnsinnig kompliziert aussehen? Das muss nicht sein. Wir führen dich an einfachen Beispielen durch alle Potenzgesetze. Am Ende findest du Übungsaufgaben um dich selbst zu testen.
Gleiche Basis
Potenzen mit gleicher Basis werden multipliziert, indem man die Exponenten addiert, und die Basis beibehält.
\( {\textcolor{orange}{a}}^{\textcolor{green}{m}} \cdot {\textcolor{orange}{a}}^{\textcolor{green}{n}} = {\textcolor{orange}{a}}^{\textcolor{green}{m+n}} \)
Potenzen mit gleicher Basis werden dividiert, indem man die Exponenten subtrahiert, und die Basis beibehält.
\( \dfrac{{\textcolor{orange}{a}}^{\textcolor{green}{m}}}{{\textcolor{orange}{a}}^{\textcolor{green}{n}}} = {\textcolor{orange}{a}}^{\textcolor{green}{m-n}} \)
Gleicher Exponent
Potenzen mit gleichem Exponenten werden multipliziert, indem man die Basen multipliziert, und den Exponenten beibehält.
\( {\textcolor{orange}{a}}^{\textcolor{green}{m}} \cdot {\textcolor{orange}{b}}^{\textcolor{green}{m}} = ({\textcolor{orange}{a \cdot b}})^{\textcolor{green}{m}} \)
Potenzen mit gleichem Exponenten werden dividiert, indem man die Basen dividiert, und den Exponenten beibehält.
\( \dfrac{{\textcolor{orange}{a}}^{\textcolor{green}{m}}}{{\textcolor{orange}{b}}^{\textcolor{green}{m}}} = \left({\textcolor{orange}{\dfrac{a}{b}}}\right)^{\textcolor{green}{m}} \)
Potenzieren
Potenzen werden potenziert, indem man die Exponenten multipliziert, und die Basis beibehält.
\( ({\textcolor{orange}{a}}^{\textcolor{green}{m}})^{\textcolor{green}{n}} = {\textcolor{orange}{a}}^{\textcolor{green}{m \cdot n}}\)

Inhaltsverzeichnis

Das erwartet Dich

Einleitung
Was sind Potenzen?
Potenzen mit gleicher Basis
Potenzen mit gleichem Exponenten
Potenzieren von Potenzen
Besonderheiten

Einleitung

Findest du auch, dass Potenzgesetze wahnsinnig kompliziert aussehen? Das muss nicht sein. Wir führen dich an einfachen Beispielen durch alle Potenzgesetze. Am Ende findest du Übungsaufgaben um dich selbst zu testen.
Gleiche Basis
Potenzen mit gleicher Basis werden multipliziert, indem man die Exponenten addiert, und die Basis beibehält.
\( {\textcolor{orange}{a}}^{\textcolor{green}{m}} \cdot {\textcolor{orange}{a}}^{\textcolor{green}{n}} = {\textcolor{orange}{a}}^{\textcolor{green}{m+n}} \)
Potenzen mit gleicher Basis werden dividiert, indem man die Exponenten subtrahiert, und die Basis beibehält.
\( \dfrac{{\textcolor{orange}{a}}^{\textcolor{green}{m}}}{{\textcolor{orange}{a}}^{\textcolor{green}{n}}} = {\textcolor{orange}{a}}^{\textcolor{green}{m-n}} \)
Gleicher Exponent
Potenzen mit gleichem Exponenten werden multipliziert, indem man die Basen multipliziert, und den Exponenten beibehält.
\( {\textcolor{orange}{a}}^{\textcolor{green}{m}} \cdot {\textcolor{orange}{b}}^{\textcolor{green}{m}} = ({\textcolor{orange}{a \cdot b}})^{\textcolor{green}{m}} \)
Potenzen mit gleichem Exponenten werden dividiert, indem man die Basen dividiert, und den Exponenten beibehält.
\( \dfrac{{\textcolor{orange}{a}}^{\textcolor{green}{m}}}{{\textcolor{orange}{b}}^{\textcolor{green}{m}}} = \left({\textcolor{orange}{\dfrac{a}{b}}}\right)^{\textcolor{green}{m}} \)
Potenzieren
Potenzen werden potenziert, indem man die Exponenten multipliziert, und die Basis beibehält.
\( ({\textcolor{orange}{a}}^{\textcolor{green}{m}})^{\textcolor{green}{n}} = {\textcolor{orange}{a}}^{\textcolor{green}{m \cdot n}}\)

Was sind Potenzen?

Zunächst betrachten wir, was Potenzen sind und wie sie gebildet werden. Nehmen wir einmal die folgende Rechnung:
\(\textcolor{orange}{3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3}\)
Ganz schön viele Dreier, oder? Konntest du zählen, wie oft wir hier die \(3\) multiplizieren müssen? Mühsam, oder? Und wie schnell schleichen sich dabei Fehler ein..
Und genau dafür haben wir die Potenzen. Wir zählen einmal genau nach, wie oft die \(3\) multipliziert wird und schauen, wie wir das in einer Potenz schreiben.
\(\underbrace{\textcolor{orange}{3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3}}_{\textcolor{green}{7}} = {\textcolor{orange}{3}}^{\textcolor{green}{7}}\)
Die Zahl, die mehrfach multipliziert wird, bildet die Basis der Potenz.
Die Anzahl, wie oft diese Zahl multipliziert wird, bildet den Exponenten der Potenz.
Merke
\(\underbrace{{\textcolor{orange}{a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot \ ...}}}_{{\textcolor{green}{m}}} = {\textcolor{orange}{a}}^{\textcolor{green}{m}}\)
Eine Potenz setzt sich zusammen aus Basis und Exponent.

Potenzen mit gleicher Basis

Potenzen mit gleicher Basis werden multipliziert, indem man die Exponenten addiert, und die Basis beibehält.
Beispiele
\( {\textcolor{orange}{4}}^{\textcolor{green}{2}} \cdot {\textcolor{orange}{4}}^{\textcolor{green}{6}} = {\textcolor{orange}{4}}^{\textcolor{green}{2+6}} = {\textcolor{orange}{4}}^{\textcolor{green}{8}} \)
\( {\textcolor{orange}{x}}^{\textcolor{green}{-1}} \cdot {\textcolor{orange}{x}}^{\textcolor{green}{4}} = {\textcolor{orange}{x}}^{\textcolor{green}{-1+4}} = {\textcolor{orange}{x}}^{\textcolor{green}{3}} \)
\( {\textcolor{orange}{3}}^{\textcolor{green}{5}} \cdot {\textcolor{orange}{3}}^{\textcolor{green}{-3}} = {\textcolor{orange}{3}}^{\textcolor{green}{5+(-3)}} = {\textcolor{orange}{3}}^{\textcolor{green}{2}} \)
Potenzen mit gleicher Basis werden dividiert, indem man die Exponenten subtrahiert, und die Basis beibehält.
Beispiele
\( \dfrac{{\textcolor{orange}{5}}^{\textcolor{green}{7}}}{{\textcolor{orange}{5}}^{\textcolor{green}{3}}} = {\textcolor{orange}{5}}^{\textcolor{green}{7-3}} = {\textcolor{orange}{5}}^{\textcolor{green}{4}} \)
\( \dfrac{{\textcolor{orange}{x}}^{\textcolor{green}{5}}}{{\textcolor{orange}{x}}^{\textcolor{green}{2}}} = {\textcolor{orange}{x}}^{\textcolor{green}{5-2}} = {\textcolor{orange}{x}}^{\textcolor{green}{3}} \)
\( \dfrac{{\textcolor{orange}{3}}^{\textcolor{green}{2}}}{{\textcolor{orange}{3}}^{\textcolor{green}{-4}}} = {\textcolor{orange}{3}}^{\textcolor{green}{2-(-4)}} = {\textcolor{orange}{3}}^{\textcolor{green}{6}} \)
\( \dfrac{{\textcolor{orange}{y}}^{\textcolor{green}{-4}}}{{\textcolor{orange}{y}}^{\textcolor{green}{2}}} = {\textcolor{orange}{y}}^{\textcolor{green}{-4-2}} = {\textcolor{orange}{y}}^{\textcolor{green}{-6}} \)
Schau dir die Beispiele ganz in Ruhe an. Sie zeigen verschiedene Situationen, die beim multiplizieren und dividieren von Potenzen mit gleicher Basis auftreten können.
Merke
\( {\textcolor{orange}{a}}^{\textcolor{green}{m}} \cdot {\textcolor{orange}{a}}^{\textcolor{green}{n}} = {\textcolor{orange}{a}}^{\textcolor{green}{m+n}} \)
\( \dfrac{{\textcolor{orange}{a}}^{\textcolor{green}{m}}}{{\textcolor{orange}{a}}^{\textcolor{green}{n}}} = {\textcolor{orange}{a}}^{\textcolor{green}{m-n}} \)

Potenzen mit gleichem Exponenten

Potenzen mit gleichem Exponenten werden multipliziert, indem man die Basen multipliziert, und den Exponenten beibehält.
Beispiele
\( {\textcolor{orange}{2}}^{\textcolor{green}{3}} \cdot {\textcolor{orange}{4}}^{\textcolor{green}{3}} = {\textcolor{orange}{(2 \cdot 4)}}^{\textcolor{green}{3}} = {\textcolor{orange}{8}}^{\textcolor{green}{3}} \)
\( {\textcolor{orange}{(-3)}}^{\textcolor{green}{2}} \cdot {\textcolor{orange}{2}}^{\textcolor{green}{2}} = {\textcolor{orange}{((-3) \cdot 2 )}}^{\textcolor{green}{2}} = {\textcolor{orange}{(-6)}}^{\textcolor{green}{2}} \)
\( {\textcolor{orange}{4}}^{\textcolor{green}{x}} \cdot {\textcolor{orange}{5}}^{\textcolor{green}{x}} = {\textcolor{orange}{(4 \cdot 5)}}^{\textcolor{green}{x}} = {\textcolor{orange}{20}}^{\textcolor{green}{x}} \)
Potenzen mit gleichem Exponenten werden dividiert, indem man die Basen dividiert, und den Exponenten beibehält.
Beispiele
\( \dfrac{{\textcolor{orange}{4}}^{\textcolor{green}{7}}}{{\textcolor{orange}{2}}^{\textcolor{green}{7}}} = {\textcolor{orange}{\left(\dfrac{4}{2}\right)}}^{\textcolor{green}{7}} = {\textcolor{orange}{2}}^{\textcolor{green}{7}} \)
\( {\textcolor{orange}{10}}^{\textcolor{green}{y}} : {\textcolor{orange}{2}}^{\textcolor{green}{y}} = {\textcolor{orange}{\left(10 : 2 \right)}}^{\textcolor{green}{y}} = {\textcolor{orange}{5}}^{\textcolor{green}{y}} \)
\( \dfrac{{\textcolor{orange}{12}}^{\textcolor{green}{2}}}{{\textcolor{orange}{4}}^{\textcolor{green}{2}}} = {\textcolor{orange}{\left(\dfrac{12}{4}\right)}}^{\textcolor{green}{2}} = {\textcolor{orange}{3}}^{\textcolor{green}{2}} \)
Lass dich beim Dividieren nicht verunsichern. Es macht für deine Rechnung keinen Unterschied, ob die Division in einem Bruch oder mit dem Rechenzeichen : dargestellt ist.
Merke
\( {\textcolor{orange}{a}}^{\textcolor{green}{m}} \cdot {\textcolor{orange}{b}}^{\textcolor{green}{m}} = ({\textcolor{orange}{a \cdot b}})^{\textcolor{green}{m}} \)
\( \dfrac{{\textcolor{orange}{a}}^{\textcolor{green}{m}}}{{\textcolor{orange}{b}}^{\textcolor{green}{m}}} = \left({\textcolor{orange}{\dfrac{a}{b}}}\right)^{\textcolor{green}{m}} \)

Potenzieren von Potenzen

Potenzen werden potenziert, indem man die Exponenten multipliziert, und die Basis beibehält.
Beispiele
\(({\textcolor{orange}{2}}^{\textcolor{green}{3}})^{\textcolor{green}{2}} = {\textcolor{orange}{2}}^{\textcolor{green}{3 \cdot 2}} = {\textcolor{orange}{2}}^{\textcolor{green}{6}}\)
\(({\textcolor{orange}{x}}^{\textcolor{green}{-2}})^{\textcolor{green}{4}} = {\textcolor{orange}{x}}^{\textcolor{green}{(-2) \cdot 4}} = {\textcolor{orange}{x}}^{\textcolor{green}{-8}}\)
\(({\textcolor{orange}{a}}^{\textcolor{green}{-1}})^{\textcolor{green}{-3}} = {\textcolor{orange}{a}}^{\textcolor{green}{(-1) \cdot (-3)}} = {\textcolor{orange}{a}}^{\textcolor{green}{3}}\)
Du solltest bei allen Potenzgesetzen darauf achten, die Vorzeichen der Exponenten korrekt in die Berechnung einzubeziehen.
Merke
\( ({\textcolor{orange}{a}}^{\textcolor{green}{m}})^{\textcolor{green}{n}} = {\textcolor{orange}{a}}^{\textcolor{green}{m \cdot n}}\)

Besonderheiten

Es gibt ein Paar Tricks und Kniffe, die du im Umgang mit Potenzen kennen solltest und die dir die Rechnungen erleichtern.

Was passiert, wenn eine Potenz Null im Exponenten stehen hat siehst du, wenn du einmal verschiedene solcher Potenzen in den Taschenrechner eingibst.
Null im Exponenten
\(127^0=1\)
\(0,16534^0=1\)
\((\dfrac{7}{25})^0=1\)
\((-6)^0=1\)
Wie sehr du dich auch anstrengst, jede Zahl (außer Null selbst) hoch Null ergibt 1.

Kein Exponent, oder?
\(14=14^1=14\)
\(0,234=0,234^1=0,234\)
\(\dfrac{1}{6}=(\dfrac{1}{6})^1=\dfrac{1}{6}\)
\(-6=(-6)^1=-6\)
Steht im Exponenten scheinbar keine Zahl, so steht dort doch immer eine Eins. Das Ergebnis einer solchen Potenz ist immer die Zahl selbst.

Auch bei Wurzeltermen kannst du die Potenzgesetze nutzen. Du brauchst lediglich einen kleinen Trick, um die Wurzel in eine Potenz umzuwandeln.
Wurzeln und Potenzen
\( \sqrt{\textcolor{orange}{4}} = \textcolor{orange}{4}^\frac{1}{2}\)
\( \sqrt[\textcolor{orangered}{3}]{\textcolor{orange}{2}} = \textcolor{orange}{2}^\frac{1}{\textcolor{orangered}{3}}\)
\( \sqrt[{\textcolor{orangered}{4}}]{{\textcolor{orange}{5}}^{\textcolor{blue}{3}}} = {\textcolor{orange}{5}}^\frac{\textcolor{blue}{3}}{\textcolor{orangered}{4}}\)
Schreibst du eine Wurzel als Potenz, entsteht im Exponenten der Potenz ein Bruch. Dabei bildet der Exponent der Zahl unter der Wurzel den Zähler, und der Nenner gibt an, die wievielte Wurzel gezogen wurde.
Das ganze Funktioniert ebenso in die andere Richtung, wenn du eine Potenz mit Bruch im Exponenten in eine Wurzel umwandeln möchtest.
Merke
\( \sqrt[{\textcolor{orangered}{a}}]{\textcolor{orange}{x}^{\textcolor{blue}{b}}} = {\textcolor{orange}{x}}^{\frac{\textcolor{blue}{b}}{\textcolor{orangered}{a}}}\)
Was du tun kannst, wenn eine Potenz einen negativen Exponenten hat, siehst du hier.
Negativer Exponent
\( {\textcolor{orange}{2}}^{\textcolor{green}{-3}} = \dfrac{1}{{\textcolor{orange}{2}}^{\textcolor{green}{3}}}\)
\( {\textcolor{orange}{x}}^{\textcolor{green}{-2}} = \dfrac{1}{{\textcolor{orange}{x}}^{\textcolor{green}{2}}}\)
\( 4 \cdot {\textcolor{orange}{x}}^{\textcolor{green}{-5}} = \dfrac{4}{{\textcolor{orange}{x}}^{\textcolor{green}{5}}}\)
Hat eine Potenz einen negativen Exponenten, schreibst du die Basis der Potenz in den Nenner eines Bruchs. Den Exponenten nimmst du dabei mit, er wird dadurch jedoch positiv. Du kannst auf diese Weise auch Potenzen in einem Bruch umschreiben in Potenzen mit negativem Exponenten.
Merke
\( {\textcolor{orange}{x}}^{\textcolor{green}{-a}} = \dfrac{1}{\textcolor{orange}{x}}^{\textcolor{green}{a}}\)
Lässt du auch gerne Klammern weg in Rechnungen? Wer braucht die schon, sind doch nicht wichtig, oder etwa doch?
Klammern - so wichtig!
\(-4^2 = -4 \cdot 4 = -16\)
\((-4)^2 = (-4) \cdot (-4) = 16\)
\(-2^5 = -2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2= -32\)
\((-2)^5 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = -32\)
\(-5^4 = -5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5= -625\)
\((-5)^4 = (-5) \cdot (-5) \cdot (-5) \cdot (-5) = 625\)
Klammern sind wichtig. Sie definieren ganz klar, was alles potenziert wird. Das macht dann einen großen Unterschied für das Vorzeichen des Ergebnisses.

Teste dein Wissen

Übungen

Potenzen mit gleicher Basis.

a) \( 2^3 \cdot 2^5 \)

b) \( \dfrac{3^6}{3^4} \)

Lösung

a) \( 2^8 \)

b) \( 3^2 \)

Potenzen mit gleichem Exponenten.

a) \( 4^3 \cdot 6^3 \)

b) \( \dfrac{12^x}{3^x} \)

Lösung

a) \( 24^3 \)

b) \( 4^x \)

Potenzieren von Potenzen.

a) \( (4^3)^2 \)

b) \( (6^5)^{-1} \)

Lösung

a) \( 4^6 \)

b) \( 6^{-5} \)

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Mehr dazu

in unseren FAQs

Was sind Potenzgesetze?

Potenzgesetze sind Regeln, die beschreiben, wie man mit Potenzen effizient rechnet. Sie vereinfachen die Multiplikation, Division und Potenzierung von Potenztermen.

‍

Wann wende ich die Potenzgesetze an?

Die Potenzgesetze wendest du immer dann an, wenn du Terme mit Potenzen vereinfachen oder berechnen möchtest, insbesondere bei gleicher Basis.

‍

Wie gehe ich mit negativen Exponenten um?

Ein negativer Exponent bedeutet, dass du den Kehrwert der Basis mit dem entsprechenden positiven Exponenten bildest.

‍

Was passiert, wenn der Exponent null ist?

Jede Zahl, die nicht null ist, ergibt mit einem Exponenten von null den Wert eins.

‍

Kann ich die Potenzgesetze bei unterschiedlichen Basen anwenden?

Die Potenzgesetze gelten nur, wenn die Basen gleich sind. Für unterschiedliche Basen musst du andere Rechenmethoden verwenden.

‍

Vertiefung

Weiterführende Informationen

Potenzgesetze – die Grundregeln der Exponentialrechnung

Die Potenzgesetze sind fundamentale Regeln in der Mathematik, die den Umgang mit Potenzen erheblich vereinfachen. Sie ermöglichen es, Ausdrücke mit Potenzen effizient zu berechnen und zu vereinfachen. Von der Multiplikation bis zur Division und sogar bei der Potenzierung von Potenzen helfen dir diese Gesetze, selbst komplizierte Terme systematisch zu lösen.

‍

Was sind die Potenzgesetze?

Die Potenzgesetze sind ein Satz von Regeln, die beschreiben, wie man mit Potenzen rechnet. Sie gelten für alle Basen und Exponenten, solange die Grundbedingungen erfüllt sind (z. B. keine Division durch null). Hier sind die wichtigsten Gesetze:

  1. Multiplikation von Potenzen mit gleicher Basis: Addiere die Exponenten.
  2. Division von Potenzen mit gleicher Basis: Subtrahiere die Exponenten.
  3. Potenzieren von Potenzen: Multipliziere die Exponenten.
  4. Potenzen mit Exponent null: Jede Zahl außer null hoch null ist eins.
  5. Negative Exponenten: Sie entsprechen dem Kehrwert der Basis mit positivem Exponenten.

‍

Anwendungsbereiche der Potenzgesetze

Die Potenzgesetze sind in vielen mathematischen und praktischen Bereichen unverzichtbar. Sie helfen bei der Vereinfachung von Termen in der Algebra, bei der Berechnung von Wachstums- oder Zerfallsprozessen in der Physik und Chemie sowie in der Informatik, wo Exponentialoperationen eine zentrale Rolle spielen.

‍

Häufige Fehler vermeiden

  • Verwechslung der Reihenfolge: Beim Multiplizieren oder Dividieren darfst du die Exponenten nicht vertauschen.
  • Falscher Umgang mit negativen Exponenten: Sie sind oft verwirrend, aber sie bedeuten einfach, dass du den Kehrwert der Basis bildest.
  • Basen verwechseln: Die Regeln gelten nur für gleiche Basen. Unterschiedliche Basen erfordern andere Rechenwege.

‍

Tipps für den sicheren Umgang mit Potenzgesetzen

  • Schreibe die einzelnen Schritte aus, um Verwechslungen zu vermeiden.
  • Übe regelmäßig mit Aufgaben, die die verschiedenen Gesetze kombinieren.
  • Veranschauliche dir die Gesetze mit Beispielen, um sie besser zu verstehen.

‍

Die Bedeutung der Potenzgesetze in der Praxis

Die Potenzgesetze sind nicht nur in der Mathematik von Bedeutung. Sie finden Anwendung in Naturwissenschaften, Wirtschaft und Technik. Ob es darum geht, Wachstumsraten zu berechnen, elektrische Spannungen zu analysieren oder computerbasierte Algorithmen zu optimieren – die Potenzgesetze sind ein universelles Werkzeug.

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