Ganzrationale Funktionen
Symmetrie
Lisa von OnMathe
Einleitung
In deinem Alltag begegnen dir oft symmetrische Dinge. Gesichter sind symmetrisch, genauso wie Schmetterlinge, und viele Werkzeuge, wie Zangen oder Scheren.
Alle diese Dinge haben einen Punkt oder eine Achse, an denen man sie spiegeln kann.
Auch in der Mathematik begegnet uns die Symmetrie häufig. Heute wollen wir dir alles zur Symmetrie ganzrationaler Funktionen zeigen und sie dir mit einfachen Beispielen und abschließenden Übungsaufgaben näher bringen.
→ Alle Exponenten betrachten!
Alle diese Dinge haben einen Punkt oder eine Achse, an denen man sie spiegeln kann.
Auch in der Mathematik begegnet uns die Symmetrie häufig. Heute wollen wir dir alles zur Symmetrie ganzrationaler Funktionen zeigen und sie dir mit einfachen Beispielen und abschließenden Übungsaufgaben näher bringen.
Merke
- Exponenten gerade: Symmetrie zur y-Achse
- Exponenten ungerade: Symmetrie zum Ursprung
Einleitung
In deinem Alltag begegnen dir oft symmetrische Dinge. Gesichter sind symmetrisch, genauso wie Schmetterlinge, und viele Werkzeuge, wie Zangen oder Scheren.
Alle diese Dinge haben einen Punkt oder eine Achse, an denen man sie spiegeln kann.
Auch in der Mathematik begegnet uns die Symmetrie häufig. Heute wollen wir dir alles zur Symmetrie ganzrationaler Funktionen zeigen und sie dir mit einfachen Beispielen und abschließenden Übungsaufgaben näher bringen.
→ Alle Exponenten betrachten!
Alle diese Dinge haben einen Punkt oder eine Achse, an denen man sie spiegeln kann.
Auch in der Mathematik begegnet uns die Symmetrie häufig. Heute wollen wir dir alles zur Symmetrie ganzrationaler Funktionen zeigen und sie dir mit einfachen Beispielen und abschließenden Übungsaufgaben näher bringen.
Merke
- Exponenten gerade: Symmetrie zur y-Achse
- Exponenten ungerade: Symmetrie zum Ursprung
Was ist Symmetrie?
Alle diese Figuren sind symmetrisch. Schau mal, was passiert, wenn wir die Hälfte der Figur ausradieren.
Du weißt noch ganz genau, wie die vollständige Figur aussieht, oder?
Genau das beschreibt Symmetrie. Es ist vollkommen ausreichend, die Hälfte einer symmetrischen Figur zu kennen, wenn man die andere ergänzen möchte - man spiegelt sie einfach!
Genau das beschreibt Symmetrie. Es ist vollkommen ausreichend, die Hälfte einer symmetrischen Figur zu kennen, wenn man die andere ergänzen möchte - man spiegelt sie einfach!
Symmetrie am Graphen
Ganzrationale Funktionen lassen sich - bezogen auf die Symmetrie - in 3 Gruppen einteilen:
Die kubische Funktion \(f(x)=x^3-2x\) ist symmetrisch zum Ursprung - betrachtest du den linken, orangenen Teil der Funktion und drehst ihn um 180° in Pfeilrichtung, passt er exakt auf den rechten, grauen Teil der Funktion.
Die Funktion \(f(x)=0,5 x^4+x^3-x+1\) verläuft ohne erkennbares Muster - wir können keinen Spiegel anlegen - sie hat keine einfache Symmetrie.
- symmetrisch zur y-Achse
- symmetrisch zum Ursprung
- keine einfache Symmetrie
Merke
Kannst du an diesen Stellen keinen Spiegel ins Koordinatensystem legen, liegt keine einfache Symmetrie vor.
Symmetrie an der Funktionsgleichung erkennen
Du weißt jetzt, wie man Symmetrie am Graphen erkennt und welche Arten von Symmetrie wir voneinander unterscheiden können.
Aber was, wenn es keinen Graphen gibt und du nur die Funktionsgleichung hast, um eine Aussage über die Symmetrie des Graphen zu treffen?
\(f(x)=4x^{\textcolor{orange}{4}}+3x^{\textcolor{orange}{2}}+2\)
Um zu entscheiden, welche Art von Symmetrie vorliegt, musst du alle Exponenten betrachten.
Sind alle Exponenten gerade, ist die Funktion symmetrisch zur y-Achse.
Schauen wir uns das Beispiel einmal an:
\(f(x)=x^{\textcolor{orange}{3}}+2x^{\textcolor{orange}{3}}+2x\)
Auch im zweiten Beispiel müssen wir alle Exponenten betrachten um zu entscheiden, ob sie gerade oder ungerade sind.
Wir stolpern erneut über eine Stelle, die wir genauer betrachten müssen.
\(f(x)=4x^{\textcolor{orange}{4}}+3x^{\textcolor{orange}{2}}+2x+1\)
Wir schauen uns noch ein letztes Beispiel an. Wieder ist der erste Schritt, für jeden Exponenten zu entscheiden, ist er gerade, oder ungerade.
In diesem Beispiel haben wir sowohl gerade als auch ungerade Exponenten. Ist das der Fall, liegt keine einfache Symmetrie vor.
→ Alle Exponenten betrachten!
Beispiel 1
Schauen wir uns das Beispiel einmal an:
\(f(x)=\underbrace{4x^{\textcolor{orange}{4}}}_{gerade}+\underbrace{3x^{\textcolor{orange}{2}}}_{gerade}+\underbrace{2}_{?}\)
Was ist mit der \(2\) in der Funktionsgleichung? Ist dort der Exponent gerade oder ungerade?
\(2=2x^{\textcolor{orange}{0}}\) → gerade
Diese Darstellung ist möglich, da \(x^0=1\) ist. Also gilt:
\(2=2x^{\textcolor{orange}{0}}= 2\cdot 1 = 2\)
Das alles bedeutet für unsere Beispielfunktion:
\(f(x)=\underbrace{4x^{\textcolor{orange}{4}}}_{gerade}+\underbrace{3x^{\textcolor{orange}{2}}}_{gerade}+\underbrace{2}_{gerade}\)
Alle Exponenten gerade → Symmetrie zur y-Achse
Beispiel 2
\(f(x)=\underbrace{x^{\textcolor{orange}{5}}}_{ungerade}+\underbrace{2x^{\textcolor{orange}{3}}}_{ungerade}+\underbrace{4x}_{?}\)
\(4x=4x^{\textcolor{orange}{1}}\) → ungerade
Steht am \(x\) kein Exponent, so ist dieser \(1\).
\(f(x)=\underbrace{x^{\textcolor{orange}{5}}}_{ungerade}+\underbrace{2x^{\textcolor{orange}{3}}}_{ungerade}+\underbrace{4x}_{ungerade}\)
Alle Exponenten ungerade → Symmetrie zum Ursprung
Beispiel 3
\(f(x) = \underbrace{4x^{\textcolor{orange}{4}}}_{gerade} + \underbrace{2x^{\textcolor{orange}{1}}}_{ungerade} + \underbrace{3x^{\textcolor{orange}{2}}}_{gerade} + \underbrace{1x^{\textcolor{orange}{0}}}_{gerade}
\)
Merke
- gerade→ Symmetrie zur y-Achse
- ungerade→ Symmetrie zum Ursprung
- gemischt→ keine einfache Symmetrie