Extrempunkte und Monotonie

Wir gehen Schritt für Schritt eine Extrempunktberechnung durch. 1. Schritt: Leite die Funktion zweimal ab. 2. Schritt: Berechne die Nullstellen der 1. Ableitung → \(f'(x)=0\) Die Nullstellen der 1. Ableitung sind die möglichen Extremstellen der Funktion. Mit Hilfe der 2. Ableitung schauen wir uns diese Stellen genauer an.
3. Schritt: Setze die berechneten x-Werte in die 2. Ableitung ein. 4. Schritt: Schau dir an, ob der Wert der 2. Ableitung positiv oder negativ ist. Danach entscheidet sich, ob es sich um einen Hochpunkt, oder um einen Tiefpunkt handelt. 5. Schritt: Setze die x-Werte in die Ausgangsfunktion \(f(x)\) ein, um die y-Koordinaten der Extrempunkte zu bestimmen. Ergebnis:

Das Monotonieverhalten einer Funktion gibt uns Auskunft darüber, in welchen Bereichen die Funktion steigt, und in welchen Bereichen die Funktion fällt.
Ist der Graph der Funktion gegeben, kannst du diese Bereiche ablesen.

BILD MONO ABLESEN

Die grünen Bereiche sind die Bereiche, in denen die Funktion steigt - sie ist streng monoton steigend.
Die roten Bereiche sind die Bereiche, in denen die Funktion fällt - sie ist streng monoton fallend.
Betrachten wir nun die Bereiche etwas genauer, und lesen die Stellen ab, an denen sie beginnen und enden. So bestimmen wir die Monotonieintervalle. Ergebnis: Dort, wo ein Wechsel der Monotonie stattfindet, liegen die Extrempunkte der Funktion. Steigt sie zuerst an, und fällt dann, liegt dazwischen ein Hochpunkt. Fällt sie zuerst ab, und steigt dann, liegt dazwischen ein Tiefpunkt. Übertragen wir dieses Wissen auf unsere Beispielfunktion: Möchtest du die Monotonieintervalle bestimmen, ohne den Graphen der Funktion gegeben zu haben, musst du die 1. Ableitung betrachten. Sie erzählt die alles über Monotonie und Extrempunkte einer Funktion.
Wie genau das geht, lernen wir in den nächsten Abschnitten.

Du hast gelernt, die Extrempunkte mit Hilfe der 2. Ableitung zu bestimmen. In vielen Fällen ist das eine gute Wahl, doch es gibt noch andere Möglichkeiten herausfinden, ob es sich um einen Hochpunkt, oder einen Tiefpunkt handelt.
Eine Variante ist die Vorzeichentabelle. Sie ist vor allem dann interessant, wenn du auch einen Überblick über das Monotonieverhalten bekommen möchtest. Diese Methode erspart dir außerdem die 2. Ableitung.
Wir gehen das ganze Schritt für Schritt an unserem Beispiel durch. Leite die Funktion ab und berechne die Nullstellen wie zuvor: Statt die 2. Ableitung zu bilden, legen wir nun eine Vorzeichentabelle an. Dort betrachten wir die Vorzeichen der 1. Ableitung in den Bereichen zwischen den Nullstellen, also: An die Position von \({\textcolor{orange}{x_1}}\) und \({\textcolor{green}{x_2}}\) schreiben wir die Nullstellen der 1. Ableitung.
Jetzt ergänzen wir die fehlenden x-Werte... ...und setzen diese in die 1. Ableitung ein, um die Tabelle zu füllen. In einer zusätzlichen Zeile ergänzen wir das Vorzeichen der Ableitung in den einzelnen Bereichen. Diese Zeile zeigt dir, ob die Ableitung dort positiv oder negativ ist. Das Vorzeichen der 1. Ableitung gibt uns Auskunft über das Monotonieverhalten der Funktion. Sie sagt uns, ob die Funktion steigt, oder fällt. Dieses Wissen wenden wir nun auf unsere Funktion an: Und nun stell dir einmal vor, du läufst auf der Funktion von links nach rechts. Zuerst geht es bergauf, dann ist die Steigung 0 und dann geht es bergab. Hast du nun auf einem Gipfel (HP) oder in einem Tal (TP) gestanden?
Stellst du dir an jeder Stelle mit der Steigung 0 diese Frage, kannst du deine Tabelle vervollständigen. Jetzt bestimmst du wieder die y-Werte der Extrempunkte mit der Ausgangsfunktion: Dank der Tabelle können wir nicht nur die Frage nach den Hoch- und Tiefpunkten beantworten, wir können auch die Monotonieintervalle ablesen.
Ergebnis:

Es gibt noch eine weitere Variante die Art der Extrempunkte, sowie das Monotonieverhalten zu bestimmen. Dazu betrachten wir den Graphen der Ableitung. Die ersten Schritte bleiben auch hier gleich - Funktion ableiten und Nullstellen bestimmen. An dieser Stelle schreiben wir uns die Nullstellen der Ableitung heraus und befassen uns mit dem groben Verlauf der Funktion. Dabei interessiert uns lediglich der höchste Exponent und das Vorzeichen dieses Summanden. Mit diesen Informationen können wir eine Skizze der Ableitungsfunktion anfertigen.

BILD VERLAUF ABLEITUNG

Wie du siehst, hat die Ableitung Bereiche, in denen sie positiv (oberhalb der x-Achse) ist, und Bereiche, in denen sie negativ (unterhalb der x-Achse) ist.
Das ist die Information, die wir brauchen, um das Monotonieverhalten der Funktion abzulesen. Und nun stell dir noch einmal vor, du läufst auf der Funktion von links nach rechts. Zuerst geht es bergauf, dann ist die Steigung 0 und dann geht es bergab. Hast du nun auf einem Gipfel (HP) oder in einem Tal (TP) gestanden?
Auf diese Weise laufen wir die komplette Funktion entlang und erhalten die noch fehlenden Informationen. Ergebnis:

Wie du siehst stehen Funktion und Ableitung in direktem Zusammenhang. Die Ableitung verrät uns alles über das Monotonieverhalten und die Extrempunkte der Funktion.