lineare Gleichungssysteme
Gleichsetzungsverfahren
Lisa von OnMathe
Einleitung
Mit dem Gleichsetzungsverfahren löst du ein lineares Gleichungssystem, indem du beide Gleichungen nach derselben Variable auflöst und die beiden Ausdrücke dann gleichsetzt.
Wir starten sofort mit einem Beispiel:\( \textsf{I. } \ \ {\textcolor{orange}{x}} = 7 - {\textcolor{green}{y}} \)
\( \textsf{II. } \ \ {\textcolor{orange}{x}} = 2{\textcolor{green}{y}} + 1 \)
1. Schritt: Beide rechten Seiten gleichsetzen.
\( 7 - {\textcolor{green}{y}} = 2{\textcolor{green}{y}} + 1 \)
2. Schritt: Nach \( {\textcolor{green}{y}} \) auflösen.
\( 7 - {\textcolor{green}{y}} = 2{\textcolor{green}{y}} + 1 \hspace{1cm} |{\textcolor{orangered}{+}}{\textcolor{green}{y}} \)
\( 7 = 3{\textcolor{green}{y}} + 1 \hspace{1cm} |{\textcolor{orangered}{-}}1 \)
\( 6 = 3{\textcolor{green}{y}} \hspace{1cm} |:3 \)
\( {\textcolor{green}{y}} = {\textcolor{green}{2}} \)
3. Schritt: \( {\textcolor{green}{y=2}} \) in eine Ausgangsgleichung einsetzen.
\( {\textcolor{orange}{x}} = 7 - {\textcolor{green}{2}} \)
\( {\textcolor{orange}{x}} = {\textcolor{orange}{5}} \)
4. Schritt: Lösung als Punkt notieren.
\( \textsf{L}\big({\textcolor{orange}{5}} \mid {\textcolor{green}{2}}\big) \)
Zwei Gleichungen nach derselben Variable aufschreiben, gleichsetzen und lösen.
Wie das genau funktioniert, übst du im Beitrag Schritt für Schritt mit Aufgaben.
Merke
1. Beide Gleichungen nach derselben Variable auflösen
2. Die beiden Ausdrücke gleichsetzen
3. Erste Variable berechnen → rückeinsetzen
Einleitung
Mit dem Gleichsetzungsverfahren löst du ein lineares Gleichungssystem, indem du beide Gleichungen nach derselben Variable auflöst und die beiden Ausdrücke dann gleichsetzt.
Wir starten sofort mit einem Beispiel:\( \textsf{I. } \ \ {\textcolor{orange}{x}} = 7 - {\textcolor{green}{y}} \)
\( \textsf{II. } \ \ {\textcolor{orange}{x}} = 2{\textcolor{green}{y}} + 1 \)
1. Schritt: Beide rechten Seiten gleichsetzen.
\( 7 - {\textcolor{green}{y}} = 2{\textcolor{green}{y}} + 1 \)
2. Schritt: Nach \( {\textcolor{green}{y}} \) auflösen.
\( 7 - {\textcolor{green}{y}} = 2{\textcolor{green}{y}} + 1 \hspace{1cm} |{\textcolor{orangered}{+}}{\textcolor{green}{y}} \)
\( 7 = 3{\textcolor{green}{y}} + 1 \hspace{1cm} |{\textcolor{orangered}{-}}1 \)
\( 6 = 3{\textcolor{green}{y}} \hspace{1cm} |:3 \)
\( {\textcolor{green}{y}} = {\textcolor{green}{2}} \)
3. Schritt: \( {\textcolor{green}{y=2}} \) in eine Ausgangsgleichung einsetzen.
\( {\textcolor{orange}{x}} = 7 - {\textcolor{green}{2}} \)
\( {\textcolor{orange}{x}} = {\textcolor{orange}{5}} \)
4. Schritt: Lösung als Punkt notieren.
\( \textsf{L}\big({\textcolor{orange}{5}} \mid {\textcolor{green}{2}}\big) \)
Zwei Gleichungen nach derselben Variable aufschreiben, gleichsetzen und lösen.
Wie das genau funktioniert, übst du im Beitrag Schritt für Schritt mit Aufgaben.
Merke
1. Beide Gleichungen nach derselben Variable auflösen
2. Die beiden Ausdrücke gleichsetzen
3. Erste Variable berechnen → rückeinsetzen
Beispiel 1: Schritt für Schritt
Wir lösen ein lineares Gleichungssystem mit dem Einsetzungsverfahren.
Ziel: Eine Gleichung wird nach einer Variable umgestellt und in die andere eingesetzt.
\( \textsf{I. } \ \ {\textcolor{orange}{x}} = 4 - {\textcolor{green}{y}} \)
\( \textsf{II. } \ \ 2{\textcolor{orange}{x}} + {\textcolor{green}{y}} = 7 \)
Gleichung I ist bereits nach \(x\) aufgelöst. Diesen Ausdruck können wir direkt in Gleichung II einsetzen.
1. Schritt: Ausdruck aus Gleichung I in Gleichung II einsetzen.
\( 2{\textcolor{orange}{x}} + {\textcolor{green}{y}} = 7 \)
\( 2({\textcolor{orange}{4 - y}}) + {\textcolor{green}{y}} = 7 \)
Jetzt kommt nur noch eine Variable vor – wir können ganz normal weiterrechnen.
\( 8 - 2{\textcolor{green}{y}} + {\textcolor{green}{y}} = 7 \)
\( 8 - {\textcolor{green}{y}} = 7 \hspace{1cm} |-8 \)
\( -{\textcolor{green}{y}} = -1 \hspace{1cm} |\cdot(-1) \)
\( {\textcolor{green}{y}} = {\textcolor{green}{1}} \)
2. Schritt: \( {\textcolor{green}{y}} \) in Gleichung I einsetzen.
\( {\textcolor{orange}{x}} = 4 - {\textcolor{green}{y}} \)
\( {\textcolor{orange}{x}} = 4 - {\textcolor{green}{1}} \)
\( {\textcolor{orange}{x}} = {\textcolor{orange}{3}} \)
3. Schritt: Lösung als Punkt notieren.
\( \textsf{L}\big({\textcolor{orange}{3}} \mid {\textcolor{green}{1}}\big) \)
Ergebnis: Die beiden Geraden schneiden sich in \( \big({\textcolor{orange}{3}} \mid {\textcolor{green}{1}}\big) \).
Wichtig
Du kannst selbst entscheiden, welche Variable du zuerst umstellst.
Praktisch ist die Gleichung, die sich leicht umformen lässt.
Merke
1) Eine Gleichung nach einer Variable umstellen
2) Ausdruck in die andere Gleichung einsetzen
3) Eine Variable berechnen
4) Rückeinsetzen → zweite Variable → Punkt \( \big(x \mid y\big) \)
Beispiel 2: Gleichungen umstellen
Oft musst du eine Gleichung zuerst so umstellen, dass eine Variable allein steht.
Schauen wir uns das direkt an einem Beispiel an.
\( \textsf{I. } \ \ 2{\textcolor{orange}{x}} + {\textcolor{green}{y}} = {\textcolor{midnightblue}{8}} \)
\( \textsf{II. } \ \ {\textcolor{orange}{x}} - {\textcolor{green}{y}} = {\textcolor{midnightblue}{1}} \)
So wie die Gleichungen hier stehen, können wir noch nichts direkt gleichsetzen. Also lösen wir beide Gleichungen zuerst nach derselben Variable auf.
Wir lösen beide Gleichungen nach \( {\textcolor{orange}{x}} \) auf.
\( \textsf{II.}\quad {\textcolor{orange}{x}} - {\textcolor{green}{y}} = {\textcolor{midnightblue}{1}}
\hspace{1cm} |+{\textcolor{green}{y}} \)
\( \textsf{II.}\quad {\textcolor{orange}{x}} = {\textcolor{midnightblue}{1}} + {\textcolor{green}{y}} \)
\( \textsf{I.}\quad 2{\textcolor{orange}{x}} + {\textcolor{green}{y}} = {\textcolor{midnightblue}{8}}
\hspace{1cm} |-{\textcolor{green}{y}} \)
\( \textsf{I.}\quad 2{\textcolor{orange}{x}} = {\textcolor{midnightblue}{8}} - {\textcolor{green}{y}}
\hspace{1cm} |:2 \)
\( \textsf{I.}\quad {\textcolor{orange}{x}} = 4 - 0{,}5{\textcolor{green}{y}} \)
Wichtig
Ziel ist immer: Beide Gleichungen müssen nach
derselben Variable aufgelöst sein.
Nun setzen wir die beiden Ausdrücke für \( {\textcolor{orange}{x}} \) gleich.
\( 4 - 0{,}5{\textcolor{green}{y}} = 1 + {\textcolor{green}{y}} \)
Jetzt kommt nur noch \( {\textcolor{green}{y}} \) vor – wir rechnen weiter.
\( 4 - 0{,}5{\textcolor{green}{y}} = 1 + {\textcolor{green}{y}}
\hspace{1cm} |{\textcolor{orangered}{+}}0{,}5{\textcolor{green}{y}} \)
\( 4 = 1 + 1{,}5{\textcolor{green}{y}}
\hspace{1cm} |{\textcolor{orangered}{-}}1 \)
\( 3 = 1{,}5{\textcolor{green}{y}}
\hspace{1cm} |:1{,}5 \)
\( {\textcolor{green}{y}} = {\textcolor{green}{2}} \)
Das \( {\textcolor{green}{y}} \) setzen wir wieder in eine Ausgangsgleichung ein (z. B. in II).
\( {\textcolor{orange}{x}} = 1 + {\textcolor{green}{y}} \)
\( {\textcolor{orange}{x}} = 1 + {\textcolor{green}{2}} \)
\( {\textcolor{orange}{x}} = {\textcolor{orange}{3}} \)
Damit kennen wir beide Variablen.
\( {\textcolor{orange}{x}} = {\textcolor{orange}{3}} \)
\( {\textcolor{green}{y}} = {\textcolor{green}{2}} \)
Zum Schluss schreiben wir die Lösung als Punkt.
\( \textsf{L}\big({\textcolor{orange}{3}} \mid {\textcolor{green}{2}}\big) \)
Merke
• Vor dem Gleichsetzen beide Gleichungen nach derselben Variable auflösen.
• Ergebnisse sinnvoll vereinfachen (keine unnötigen Brüche).
• Die Lösung am Ende als Punkt notieren: \((x \mid y)\).
Textaufgaben lösen
In Anwendungsaufgaben filterst du zuerst die Infos aus dem Text und stellst daraus zwei Gleichungen auf.
Zwei Kinokarten kosten zusammen 18 €.
Die Erwachsenenkarte kostet 4 € mehr als die Kinderkarte.
Wie teuer ist jede Karte?
Zuerst sammeln wir die wichtigen Informationen aus dem Text.
Gesamtkosten: 18 €
Erwachsene: 4 € mehr
Kinderkarte: günstiger
Jetzt legen wir fest, wofür unsere Variablen stehen.
\( {\textcolor{green}{y}} = \) Preis der Kinderkarte
\( {\textcolor{orange}{x}} = \) Preis der Erwachsenenkarte
Aus dem Text formulieren wir nun die Gleichungen. Zunächst in Worten und dann setzen wir unsere Variablen ein.
\( \textsf{I. } \ \textsf{Preis Erw.}
= \textsf{Preis Kinder} + 4 \)
\( \textsf{II. } \ \textsf{Preis Erw.}
+ \textsf{Preis Kinder} = 18 \)
\( \textsf{I. } \ {\textcolor{orange}{x}} = {\textcolor{green}{y}} + 4 \)
\( \textsf{II. } \ {\textcolor{orange}{x}} + {\textcolor{green}{y}} = 18 \)
Für das Einsetzungsverfahren ist das ideal: Gleichung I ist bereits nach \( {\textcolor{orange}{x}} \) aufgelöst.
Wir setzen den Ausdruck aus Gleichung I in Gleichung II ein.
\( {\textcolor{orange}{x}} + {\textcolor{green}{y}} = 18 \)
\( ({\textcolor{orange}{y + 4}}) + {\textcolor{green}{y}} = 18 \)
Jetzt kommt nur noch eine Variable vor – wir rechnen weiter.
\( 2{\textcolor{green}{y}} + 4 = 18 \hspace{1cm} |-4 \)
\( 2{\textcolor{green}{y}} = 14 \hspace{1cm} |:2 \)
\( {\textcolor{green}{y}} = 7 \)
Am Ende setzen wir \( {\textcolor{green}{y}} = 7 \) in Gleichung I ein.
\( {\textcolor{orange}{x}} = {\textcolor{green}{y}} + 4 \)
\( {\textcolor{orange}{x}} = 7 + 4 \)
\( {\textcolor{orange}{x}} = 11 \)
Damit kennen wir beide Preise.
Die Kinderkarte kostet \( {\textcolor{green}{7}} \) €
und die Erwachsenenkarte \( {\textcolor{orange}{11}} \) €.
Merke
• Text lesen → Abhängigkeiten erkennen
• Eine Gleichung beschreibt oft direkt: „… ist … mehr als …“
• Diese Gleichung einsetzen und weiterrechnen
• Ergebnis als Antwort formulieren
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Übungen
Löse mit dem Gleichsetzungsverfahren.
\( \textsf{I. } \ \ {\textcolor{green}{y}} = 2{\textcolor{orange}{x}} + 1 \)
\( \textsf{II. } \ \ {\textcolor{green}{y}} = -{\textcolor{orange}{x}} + 7 \)
Lösung
Schritt 1: Beide Gleichungen beschreiben \( {\textcolor{green}{y}} \) → gleichsetzen.
\( 2{\textcolor{orange}{x}} + 1 = -{\textcolor{orange}{x}} + 7 \)
\( 3{\textcolor{orange}{x}} = 6 \hspace{1cm} |:3 \)
\( {\textcolor{orange}{x}} = 2 \)
Schritt 2: Rückeinsetzen (z. B. in Gleichung I).
\( {\textcolor{green}{y}} = 2\cdot 2 + 1 = 5 \)
Lösung: \( \textsf{L}(2 \mid 5) \)
\( \textsf{I. } \ \ {\textcolor{green}{y}} = 3{\textcolor{orange}{x}} - 4 \)
\( \textsf{II. } \ \ {\textcolor{green}{y}} = {\textcolor{orange}{x}} + 2 \)
Lösung
Schritt 1: Gleichungen gleichsetzen.
\( 3{\textcolor{orange}{x}} - 4 = {\textcolor{orange}{x}} + 2 \)
\( 2{\textcolor{orange}{x}} = 6 \hspace{1cm} |:2 \)
\( {\textcolor{orange}{x}} = 3 \)
Schritt 2: Rückeinsetzen.
\( {\textcolor{green}{y}} = 3 + 2 = 5 \)
Lösung: \( \textsf{L}(3 \mid 5) \)
Stelle ein LGS auf und bestimme die Lösung.
Textaufgabe:
Zwei Handytarife berechnen die monatlichen Kosten unterschiedlich.
Tarif A: 12 € Grundgebühr und 1 € pro GB
Tarif B: 6 € Grundgebühr und 2 € pro GB
Ab welcher Datenmenge sind beide Tarife gleich teuer?
Lösung
Schritt 1: Variablen festlegen.
\( {\textcolor{orange}{x}} = \) Datenmenge in GB
\( {\textcolor{green}{y}} = \) monatliche Kosten in €
Schritt 2: Gleichungen aufstellen.
\( \textsf{I. } \ {\textcolor{green}{y}} = 12 + {\textcolor{orange}{x}} \)
\( \textsf{II. } \ {\textcolor{green}{y}} = 6 + 2{\textcolor{orange}{x}} \)
Schritt 3: Gleichsetzen.
\( 12 + {\textcolor{orange}{x}} = 6 + 2{\textcolor{orange}{x}} \)
\( {\textcolor{orange}{x}} = 6 \)
Schritt 4: Rückeinsetzen.
\( {\textcolor{green}{y}} = 12 + 6 = 18 \)
Antwort:
Bei \( {\textcolor{orange}{6}} \) GB kosten beide Tarife
\( {\textcolor{green}{18}} \) €.
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Mehr dazu
in unseren FAQs
Wann ist das Gleichsetzungsverfahren sinnvoll?
Das Gleichsetzungsverfahren ist besonders sinnvoll,
wenn beide Gleichungen nach derselben Variable aufgelöst sind.
Typisch ist:
→ beide Gleichungen beginnen z. B. mit \( y = \)
→ dieselbe Größe wird auf zwei Arten beschrieben
→ dieselbe Größe wird auf zwei Arten beschrieben
Warum darf ich die Gleichungen einfach gleichsetzen?
Beide Gleichungen beschreiben dieselbe Variable
(z. B. dieselben Kosten oder dieselbe Strecke).
→ Wenn beide gleich groß sind,
→ dürfen ihre rechten Seiten gleichgesetzt werden.
→ dürfen ihre rechten Seiten gleichgesetzt werden.
Was passiert nach dem Gleichsetzen?
Nach dem Gleichsetzen entsteht eine Gleichung
mit nur einer Variablen.
Diese löst du ganz normal.
Anschließend setzt du den Wert
in eine der Ausgangsgleichungen ein.
Welche Fehler passieren beim Gleichsetzungsverfahren häufig?
Typische Fehler sind:
→ Gleichungen mit verschiedenen Variablen gleichsetzen
→ Vorzeichen beim Umformen übersehen
→ Rückeinsetzen vergessen
→ Vorzeichen beim Umformen übersehen
→ Rückeinsetzen vergessen
Muss ich immer das Gleichsetzungsverfahren verwenden?
Nein.
Es gibt mehrere Lösungsverfahren.
→ Wähle immer das Verfahren,
→ das am besten zur Aufgabenstellung passt.
→ das am besten zur Aufgabenstellung passt.
Mehr dazu
Weiterführende Informationen
Gleichsetzungsverfahren: Erst vorbereiten, dann einsetzen
Beim Gleichsetzungsverfahren müssen die Gleichungen zuerst nach derselben Variable umgestellt werden. Erst danach kannst du sie gleichsetzen und lösen.
\( \textsf{I.}\quad 2{\textcolor{orange}{x}} + {\textcolor{green}{y}} = {\textcolor{midnightblue}{14}} \)
\( \textsf{II.}\quad 1{,}5{\textcolor{orange}{x}} + 3{\textcolor{green}{y}} = {\textcolor{midnightblue}{24}} \)
Ansage: Für das Gleichsetzungsverfahren müssen
beide Gleichungen nach derselben Variable aufgelöst sein.
Welche Variable du wählst, ist dir überlassen.
1. Schritt: Beide Gleichungen nach
\({\textcolor{green}{y}}\) auflösen.
\( 2{\textcolor{orange}{x}} + {\textcolor{green}{y}} = 14
\hspace{1cm} |{\textcolor{orangered}{-}}2{\textcolor{orange}{x}} \)
\( {\textcolor{green}{y}} = 14 - 2{\textcolor{orange}{x}} \)
\( 1{,}5{\textcolor{orange}{x}} + 3{\textcolor{green}{y}} = 24
\hspace{1cm} |{\textcolor{orangered}{-}}1{,}5{\textcolor{orange}{x}} \)
\( 3{\textcolor{green}{y}} = 24 - 1{,}5{\textcolor{orange}{x}}
\hspace{1cm} |:3 \)
\( {\textcolor{green}{y}} = 8 - 0{,}5{\textcolor{orange}{x}} \)
2. Schritt: Jetzt sind beide Gleichungen nach
\( {\textcolor{green}{y}} \) aufgelöst → wir können sie gleichsetzen.
\( 14 - 2{\textcolor{orange}{x}} = 8 - 0{,}5{\textcolor{orange}{x}} \)
\( -2{\textcolor{orange}{x}} + 0{,}5{\textcolor{orange}{x}} = 8 - 14 \)
\( -1{,}5{\textcolor{orange}{x}} = -6
\hspace{1cm} |:(-1{,}5) \)
\( {\textcolor{orange}{x}} = {\textcolor{orange}{4}} \)
3. Schritt: \( {\textcolor{orange}{x}} \) in eine der
Ausgangsgleichungen einsetzen und \( {\textcolor{green}{y}} \) berechnen.
\( {\textcolor{green}{y}} = 14 - 2\cdot{\textcolor{orange}{4}} \)
\( {\textcolor{green}{y}} = {\textcolor{green}{6}} \)
Ergebnis: Lösung als Punkt notieren.
\( \textsf{L}\big({\textcolor{orange}{4}} \mid {\textcolor{green}{6}}\big) \)
Merke
Prüfungsfall (typisch):
Beide Variablen haben Vorfaktoren.
1) Beide Gleichungen nach derselben Variable auflösen
2) gleichsetzen → eine Variable bleibt
3) lösen und einmal rückeinsetzen
Das richtige Verfahren erkennen
Hier siehst du, wann welches Verfahren passt – an kurzen Beispielen.
\( \textsf{I.}\quad {\textcolor{green}{y}} = 3{\textcolor{orange}{x}} - 2 \)
\( \textsf{II.}\quad {\textcolor{green}{y}} = -{\textcolor{orange}{x}} + 10 \)
→ beide Gleichungen beschreiben dieselbe Größe
→ beide sind nach \(y\) aufgelöst
→ Gleichsetzen ist direkt möglich
Das Gleichsetzungsverfahren ist ideal, wenn eine Variable zweimal beschrieben wird – zum Beispiel durch zwei unterschiedliche Rechenwege.
→ beide Ausdrücke gleichsetzen
→ eine Gleichung mit nur einer Variablen lösen
→ eine Gleichung mit nur einer Variablen lösen
\( \textsf{I.}\quad {\textcolor{green}{y}} = 2{\textcolor{orange}{x}} + 1 \)
\( \textsf{II.}\quad 4{\textcolor{orange}{x}} + {\textcolor{green}{y}} = 13 \)
→ eine Variable ist bereits freigestellt
→ Einsetzen geht ohne Vorbereitung
→ Einsetzungsverfahren
Du willst sehen, wie man hier sauber einsetzt?
Dann schau dir unseren Beitrag
Einsetzungsverfahren an.
\( \textsf{I.}\quad 5{\textcolor{orange}{x}} + {\textcolor{green}{y}} = 11 \)
\( \textsf{II.}\quad -5{\textcolor{orange}{x}} + 3{\textcolor{green}{y}} = 1 \)
→ eine Variable hat entgegengesetzte Vorzeichen
→ sie fällt beim Addieren sofort weg
→ Additionsverfahren
Du willst sehen, wie das Addieren funktioniert?
Dann schau dir unseren Beitrag
Additionsverfahren an.
Merke
Es gibt nicht das beste Verfahren.
→ Lies die Gleichungen genau
→ wähle das Verfahren mit den wenigsten Umformungen
→ wähle das Verfahren mit den wenigsten Umformungen
Typische Fehler beim Gleichsetzungsverfahren
Hier siehst du typische Fehler beim Gleichsetzungsverfahren – erst falsch, dann richtig.
\( \textsf{I.}\quad {\textcolor{green}{y}} = 2{\textcolor{orange}{x}} - 1 \)
\( \textsf{II.}\quad {\textcolor{orange}{x}} = {\textcolor{green}{y}} + 3 \)
Typischer Fehler:
Es werden verschiedene Variablen gleichgesetzt.
\( 2{\textcolor{orange}{x}} - 1 = {\textcolor{green}{y}} + 3 \)
Problem:
Hier steht links ein Ausdruck für \(y\),
rechts aber ein Ausdruck für \(x\).
Richtig:
Beide Gleichungen müssen nach derselben Variable aufgelöst sein.
\( {\textcolor{green}{y}} = 2{\textcolor{orange}{x}} - 1 \)
\( {\textcolor{green}{y}} = {\textcolor{orange}{x}} - 3 \)
\( \textsf{I.}\quad -2{\textcolor{orange}{x}} - {\textcolor{green}{y}} = 3 \)
\( \textsf{II.}\quad {\textcolor{green}{y}} = {\textcolor{orange}{x}} + 1 \)
Typischer Fehler:
Beim Umstellen wird das Minus vor \(y\) einfach vergessen.
\( -2{\textcolor{orange}{x}} - {\textcolor{green}{y}} = 3
\hspace{1cm} |+2{\textcolor{orange}{x}} \)
\( {\textcolor{green}{y}} = 3 + 2{\textcolor{orange}{x}} \)
Problem:
Das Minus vor \(y\) wurde beim Umstellen einfach weggelassen.
Richtig:
Zuerst vollständig nach \(y\) umstellen – dann das Vorzeichen korrekt wechseln.
\( -2{\textcolor{orange}{x}} - {\textcolor{green}{y}} = 3
\hspace{1cm} |+2{\textcolor{orange}{x}} \)
\( -{\textcolor{green}{y}} = 3 + 2{\textcolor{orange}{x}} \hspace{1cm} |\cdot(-1) \)
\( {\textcolor{green}{y}} = -3 - 2{\textcolor{orange}{x}} \)
\( \textsf{I.}\quad {\textcolor{green}{y}} = 2{\textcolor{orange}{x}} + 1 \)
\( \textsf{II.}\quad {\textcolor{green}{y}} = -{\textcolor{orange}{x}} + 7 \)
Typischer Fehler:
Beim Umstellen wird mit demselben Rechenzeichen weitergerechnet,
statt mit dem Gegenzeichen.
\( 2{\textcolor{orange}{x}} + 1 = -{\textcolor{orange}{x}} + 7
\hspace{1cm} |-{\textcolor{orange}{x}} \)
\( {\textcolor{orange}{x}} + 1 = 7 \)
Falsch gedacht:
Das \(-x\) wird mit -\(x\) „rübergeholt“,
statt mit dem Gegenzeichen.
Richtig: Beim Umstellen immer das Gegenzeichen verwenden.
\( 2{\textcolor{orange}{x}} + 1 = -{\textcolor{orange}{x}} + 7
\hspace{1cm} |+{\textcolor{orange}{x}} \)
\( 3{\textcolor{orange}{x}} +1 = 7 \hspace{1cm} |-1 \)
\( 3{\textcolor{orange}{x}} = 6 \hspace{1cm} |:3 \)
\( {\textcolor{orange}{x}} = 2 \)
Danach: Rückeinsetzen nicht vergessen.
\( {\textcolor{green}{y}} = 2\cdot{\textcolor{orange}{2}} + 1 \)
\( {\textcolor{green}{y}} = 5 \)
Ergebnis: Lösung als Punkt notieren.
\( \textsf{L}\big({\textcolor{orange}{2}} \mid {\textcolor{green}{5}}\big) \)
Textaufgaben durch Gleichsetzen lösen
In Textaufgaben geht es zuerst ums Erkennen: Lassen sich beide Größen direkt beschreiben?
Ansage: Beim Gleichsetzungsverfahren hast du meistens
→ zwei Größen (z. B. Alter, Preise, Strecken)
→ zwei Beziehungen, die beide Größen beschreiben
Paul ist 3 Jahre jünger als Lara.
Tom ist 5 Jahre älter als Lara.
Größe 1: Alter von Paul
Größe 2: Alter von Tom
Beziehung 1: Paul = Lara − 3
Beziehung 2: Tom = Lara + 5
Ansage: Beide Größen lassen sich direkt ausdrücken.
\( {\textcolor{green}{y}} \) = Alter von Lara
\( {\textcolor{orange}{x}} \) = Alter der gesuchten Person
\( \textsf{I.}\quad {\textcolor{orange}{x}} = {\textcolor{green}{y}} - 3 \)
\( \textsf{II.}\quad {\textcolor{orange}{x}} = {\textcolor{green}{y}} + 5 \)
→ beide Gleichungen nach derselben Variable aufgelöst
→ direkt gleichsetzen
→ Gleichsetzungsverfahren
Noch ein typisches Beispiel:
Zwei Stromanbieter haben unterschiedliche Tarife.
Anbieter A verlangt 8 € Grundpreis und 0,30 € pro kWh.
Anbieter B verlangt 2 € Grundpreis und 0,45 € pro kWh.
Ab welchem Verbrauch sind beide Tarife gleich teuer?
Größe 1: Stromverbrauch
Größe 2: Gesamtkosten
Beziehung 1: Kosten bei Anbieter A
Beziehung 2: Kosten bei Anbieter B
Ansage: Beide Tarife beschreiben die Gesamtkosten – aber auf unterschiedliche Weise.
\( {\textcolor{orange}{x}} \) = Stromverbrauch in kWh
\( {\textcolor{green}{y}} \) = Gesamtkosten in €
\( \textsf{I.}\quad {\textcolor{green}{y}} = 8 + 0{,}3{\textcolor{orange}{x}} \)
\( \textsf{II.}\quad {\textcolor{green}{y}} = 2 + 0{,}45{\textcolor{orange}{x}} \)
→ beide Gleichungen sind nach \(y\) aufgelöst
→ beide beschreiben dieselbe Größe (Kosten)
→ Gleichsetzungsverfahren
Wusstest du schon…?
Das Gleichsetzungsverfahren spielt eine wichtige Rolle in der Wirtschaft – auch wenn man es dort oft anders nennt.
Unternehmen vergleichen häufig zwei Beschreibungen für dieselbe Größe: Kosten und Einnahmen.
→ Die Kosten steigen mit jeder produzierten Einheit.
→ Die Einnahmen steigen ebenfalls – aber oft anders.
→ Die Einnahmen steigen ebenfalls – aber oft anders.
Die entscheidende Frage lautet dann:
Ab wann lohnt sich das Ganze?
Also: Ab welchem Punkt sind Einnahmen und Kosten gleich groß?
Genau hier greift das Gleichsetzungsverfahren:
→ Kosten = Einnahmen
→ beide Seiten beschreiben denselben Geldbetrag
→ beide Seiten beschreiben denselben Geldbetrag
Wird dieser Punkt überschritten, arbeitet ein Unternehmen wirtschaftlich und macht Gewinn.
Mathematisch ist das nichts anderes als das Berechnen des Schnittpunkts zweier Geraden – und genau das leistet das Gleichsetzungsverfahren.
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