Gleichsetzungsverfahren

Wir gehen das Gleichsetzungsverfahren Schritt für Schritt an einem Beispiel durch.

Beim Gleichsetzungsverfahren ist es wichtig, dass beide Gleichungen das Gleiche beschreiben. Das bedeutet: Beide Gleichungen sagen entweder

Sie erzählen dir also beide etwas über die gleiche Variable.

Betrachten wir die Gleichungen aus dem Beispiel, sehen wir, dass beide mit \( {\textcolor{green}{y}} = \) beginnen. Es ist also alles bereit, um mit dem Gleichsetzungsverfahren loszulegen.

1. Schritt: Wir setzen die 1. Gleichung I und die 2. Gleichung II einfach gleich.
Das bedeutet, wir schreiben sie in eine Zeile und verbinden sie mit einem Gleichzeichen.

Wie du siehst, ist durch das Gleichsetzen das {\textcolor{green}{y}} verschwunden. Genau das ist unser Ziel beim Lösen von Gleichungssystemen: Wir müssen eine Variable eliminieren, denn wir können nicht zwei Variablen auf einmal berechnen.
Nun, da nur noch {\textcolor{orange}{x}} übrig ist, können wir die Gleichung lösen und so \( {\textcolor{orange}{x}} \) bestimmen.

2. Schritt: Löse die Gleichung nach \( {\textcolor{orange}{x}} \) auf.

Nun, da wir \({\textcolor{orange}{x}}\) kennen, ist es ganz leicht, auch \({\textcolor{green}{y}}\) zu berechnen. Wir müssen nur unser berechnetes \({\textcolor{orange}{x}}\) in eine der Ausgangsgleichungen (I oder II) einsetzen und so \( {\textcolor{green}{y}} \) bestimmen.

3. Schritt: Setze \( {\textcolor{orange}{x}} = {\textcolor{orange}{2}} \) in eine der beiden Ausgangsgleichungen ein:

Jetzt haben wir die beiden Variablen berechnet und können die Lösung angeben.

4. Schritt: Notiere die Lösung als Punkt. Ergebnis: Die beiden Geraden schneiden sich im Punkt \(({\textcolor{orange}{2}} \mid {\textcolor{green}{5}})\).

Nicht immer können wir sofort gleichsetzen. Im Gegenteil: In den meisten Fällen müssen wir noch ein paar Vorbereitungen treffen.
Wir betrachten nun ein Beispiel, bei dem eine der beiden Gleichungen noch nicht nach \( {\textcolor{green}{y}} \) aufgelöst ist.

Damit wir das Gleichsetzungsverfahren anwenden können, müssen beide Gleichungen nach derselben Variablen aufgestellt sein. Gleichung II ist schon nach \( {\textcolor{green}{y}} \) aufgelöst, Gleichung I noch nicht. Also lösen wir I zunächst nach \( {\textcolor{green}{y}} \) auf:

Jetzt stehen beide Gleichungen in der Form \( {\textcolor{green}{y}} = \dots \) und wir können wie gewohnt weitermachen.

1. Schritt: Setze die beiden Gleichungen gleich.

Das \( {\textcolor{green}{y}} \) ist verschwunden, und wir haben nur noch eine Gleichung mit \( {\textcolor{orange}{x}} \). Lösen wir sie Schritt für Schritt:

2. Schritt: Löse die Gleichung nach \( {\textcolor{orange}{x}} \) auf.

Nun setzen wir das berechnete \( {\textcolor{orange}{x}} \) in eine der beiden Ausgangsgleichungen ein, um \( {\textcolor{green}{y}} \) zu berechnen.

3. Schritt: Setze \( {\textcolor{orange}{x}} = {\textcolor{orange}{\dfrac{8}{3}}} \) in Gleichung II ein.

Damit haben wir beide Variablen berechnet.

4. Schritt: Notiere die Lösung als Punkt. Ergebnis: Die beiden Geraden schneiden sich im Punkt \(\left({\textcolor{orange}{\dfrac{8}{3}}} \mid {\textcolor{green}{\dfrac{5}{3}}}\right)\).

In Anwendungsaufgaben geht es nicht nur darum, ein Gleichungssystem zu lösen, sondern zuerst die wichtigen Informationen aus einem Text zu filtern und in Gleichungen umzuwandeln. Genau das wollen wir uns nun anschauen.

Um die Aufgabe zu lösen, müssen wir als Erstes die wichtigen Informationen aus dem Text herausschreiben. Schauen wir uns den Text noch einmal genau an:

Die Grundgebühr ist das, was sich nicht verändert: Sie wird jeden Monat gezahlt und bleibt immer gleich. Daher bekommt sie in einer Gleichung keine Variable.
Die Kosten fürs Telefonieren verändern sich mit der Gesprächsdauer. Wir berechnen sie, indem wir die telefonierten Minuten mit dem Preis pro Minute multiplizieren. Dieser Teil bekommt die Variable für die Minuten.

Schritt 1: Lege die Variablen fest.

Jetzt schreiben wir das, was wir im Text markiert haben, geordnet zusammen.

Schritt 2: Stelle die Gleichungen auf.

Ab diesem Punkt weißt du bereits, was zu tun ist. Wir haben jetzt zwei Gleichungen in einem Gleichungssystem und können das Gleichsetzungsverfahren nutzen.

Schritt 3: Löse das Gleichungssystem mit dem Gleichsetzungsverfahren.

Wir erinnern uns: \( {\textcolor{green}{y}} \) steht für die monatlichen Kosten und \( {\textcolor{orange}{x}} \) für die telefonierten Minuten. Daraus formulieren wir die Antwort: