Einsetzungsverfahren

Wir gehen das Einsetzungsverfahren Schritt für Schritt an einem Beispiel durch.

Beim Einsetzungsverfahren ist es wichtig, dass eine Gleichung schon nach einer Variablen aufgelöst ist. So können wir diesen Ausdruck direkt in die andere Gleichung einsetzen.

Betrachten wir die Gleichungen aus dem Beispiel, sehen wir, dass die erste Gleichung bereits mit \( {\textcolor{green}{y}} = \) beginnt. Damit haben wir alles, was wir brauchen, um mit dem Einsetzungsverfahren loszulegen.

1. Schritt: Setze den Term aus I in die zweite Gleichung II ein. Das bedeutet, wir ersetzen dort das \( {\textcolor{green}{y}} \) durch \( {\textcolor{green}{2{\textcolor{orange}{x}} + 1}} \).

Wie du siehst, ist durch das Einsetzen das \({\textcolor{green}{y}}\) verschwunden. Genau das ist unser Ziel beim Lösen von Gleichungssystemen: Wir eliminieren eine Variable, um die andere berechnen zu können.

2. Schritt: Löse die Gleichung nach \( {\textcolor{orange}{x}} \) auf.

Nun, da wir \({\textcolor{orange}{x}}\) kennen, berechnen wir \({\textcolor{green}{y}}\), indem wir in Gleichung I einsetzen.

3. Schritt: Setze \( {\textcolor{orange}{x}} = {\textcolor{orange}{\dfrac{6}{5}}} \) in Gleichung I ein:

Jetzt haben wir beide Variablen berechnet und können die Lösung angeben.

4. Schritt: Notiere die Lösung als Punkt. Ergebnis: Die beiden Geraden schneiden sich im Punkt \( \big({\textcolor{orange}{\dfrac{6}{5}}} \mid {\textcolor{green}{\dfrac{17}{5}}}\big) \).

Nicht immer können wir sofort einsetzen. Im Gegenteil: In den meisten Fällen müssen wir noch ein paar Vorbereitungen treffen.
Wir betrachten nun ein Beispiel, bei dem keine der beiden Gleichungen nach einer Variablen aufgelöst ist.

Damit wir das Einsetzungsverfahren anwenden können, müssen wir zuerst eine der beiden Gleichungen nach einer Variablen umstellen.

1. Schritt: Wir lösen Gleichung I nach \( {\textcolor{green}{y}} \) auf:

Nun setzen wir diesen Ausdruck für \( {\textcolor{green}{y}} \) in Gleichung II ein:

2. Schritt: Löse die Gleichung nach \( {\textcolor{orange}{x}} \) auf.

Nun setzen wir das berechnete \( {\textcolor{orange}{x}} \) in die umgestellte Gleichung I ein, um \( {\textcolor{green}{y}} \) zu bestimmen.

Damit haben wir beide Variablen berechnet.

4. Schritt: Notiere die Lösung als Punkt. Ergebnis: Die beiden Geraden schneiden sich im Punkt \( \left({\textcolor{orange}{\dfrac{18}{7}}} \mid {\textcolor{green}{\dfrac{13}{7}}}\right) \).

In Anwendungsaufgaben geht es nicht nur darum, ein Gleichungssystem zu lösen, sondern zuerst die wichtigen Informationen aus einem Text zu filtern und in Gleichungen umzuwandeln. Genau das wollen wir uns nun anschauen.

Um die Aufgabe zu lösen, müssen wir als Erstes die wichtigen Informationen aus dem Text herausschreiben. Schauen wir uns den Text noch einmal genau an:

Jetzt legen wir die Variablen fest...

...und schreiben das, was wir aus dem Text herausgeschrieben haben, in Gleichungen um.

Nun haben wir die beiden Gleichungen, die wir für unser Gleichungssystem brauchen.

Schritt 1: Stelle eine der Gleichungen nach einer Variablen um (hier: \( {\textcolor{green}{y}} \)).

Schritt 2: Setze den Ausdruck für \( {\textcolor{green}{y}} \) in Gleichung II ein (Klammern nicht vergessen!).

Im ersten Rechenschritt müssen wir die Klammer auflösen.

Schritt 4: Setze \( {\textcolor{orange}{x}} = {\textcolor{orange}{16}} \) in die umgestellte Gleichung ein.

Wir erinnern uns: \( {\textcolor{orange}{x}} \) steht für die Erwachsenen und \( {\textcolor{green}{y}} \) für die Kinder. Daraus formulieren wir die Antwort: