lineare Gleichungssysteme

Additionsverfahren

Lisa von OnMathe
two students high five

Einleitung

Das Additionsverfahren ist eine Methode, um ein lineares Gleichungssystem zu lösen. Es hilft dir, den Schnittpunkt zweier Geraden zu berechnen, indem du die Gleichungen so umformst, dass sich beim Addieren oder Subtrahieren eine Variable aufhebt.
In diesem Beitrag zeigen wir dir in einfachen Schritten, wie das Verfahren funktioniert und worauf du achten musst.
Zum Schluss warten Übungsaufgaben auf dich, mit denen du dein neues Wissen sofort festigen kannst.
Merke
  1. Schau dir die Zahlen vor dem \(x\) oder \(y\) an (z. B. \(2x\) oder \(3y\)).
  2. Bringe die Gleichungen so in Form, dass bei einer Variablen (\(x\) oder \(y\)) die gleichen Zahlen davor stehen.
  3. Addiere oder subtrahiere die beiden Gleichungen → eine Variable fällt weg.
  4. Löse die neue Gleichung → du erhältst den Wert der ersten Variablen.
  5. Setze diesen Wert in eine der ursprünglichen Gleichungen ein → so berechnest du den Wert der zweiten Variablen.
  6. Schreibe beide Werte als Lösungspunkt auf: \((x \mid y)\).

Inhaltsverzeichnis

Das erwartet Dich

Einleitung
Beispiel 1: Schritt für Schritt
Beispiel 2: Gleichung umstellen
Textaufgaben lösen

Einleitung

Das Additionsverfahren ist eine Methode, um ein lineares Gleichungssystem zu lösen. Es hilft dir, den Schnittpunkt zweier Geraden zu berechnen, indem du die Gleichungen so umformst, dass sich beim Addieren oder Subtrahieren eine Variable aufhebt.
In diesem Beitrag zeigen wir dir in einfachen Schritten, wie das Verfahren funktioniert und worauf du achten musst.
Zum Schluss warten Übungsaufgaben auf dich, mit denen du dein neues Wissen sofort festigen kannst.
Merke
  1. Schau dir die Zahlen vor dem \(x\) oder \(y\) an (z. B. \(2x\) oder \(3y\)).
  2. Bringe die Gleichungen so in Form, dass bei einer Variablen (\(x\) oder \(y\)) die gleichen Zahlen davor stehen.
  3. Addiere oder subtrahiere die beiden Gleichungen → eine Variable fällt weg.
  4. Löse die neue Gleichung → du erhältst den Wert der ersten Variablen.
  5. Setze diesen Wert in eine der ursprünglichen Gleichungen ein → so berechnest du den Wert der zweiten Variablen.
  6. Schreibe beide Werte als Lösungspunkt auf: \((x \mid y)\).

Beispiel 1: Schritt für Schritt

Wir gehen das Additionsverfahren Schritt für Schritt an einem Beispiel durch.
Beispiel
\( \textsf{I. } \ \ 2{\textcolor{orange}{x}} + {\textcolor{green}{y}} = 7 \)
\( \textsf{II. } \ \ 3{\textcolor{orange}{x}} - {\textcolor{green}{y}} = 3 \)

Beim Additionsverfahren ist es wichtig, die Zahlen vor \(x\) oder \(y\) so anzupassen, dass sich beim Addieren oder Subtrahieren eine Variable aufhebt.

Ziel: eine Variable verschwindet.
→ Danach bleibt nur noch \(x\) oder \(y\) übrig.

Schauen wir uns die beiden Gleichungen genauer an, sehen wir, dass bei der ersten Gleichung ein \(+y\) steht und bei der zweiten ein \(-y\). Das ist perfekt – addieren wir die beiden Gleichungen miteinander, hebt sich das \( {\textcolor{green}{y}} \) auf.

1. Schritt: Addiere Gleichung I und II.
\[ \begin{array}{rcrccr} 2{\textcolor{orange}{x}} & & {\textcolor{green}{y}} & & = & 7 \\ {+} & & {+} & & & {+} \\ 3{\textcolor{orange}{x}} & & -{\textcolor{green}{y}}& & = & 3 \\ \hline 5{\textcolor{orange}{x}} & & 0 & & = & 10 \end{array} \]

Wie du siehst, ist durch das Addieren das \( {\textcolor{green}{y}} \) verschwunden. Jetzt können wir direkt \(x\) berechnen.

\( 5{\textcolor{orange}{x}} = 10 \hspace{1cm} |:5 \)
\( {\textcolor{orange}{x}} = {\textcolor{orange}{2}} \)
Da wir nun das \({\textcolor{orange}{x}}\) kennen, können wir es in die andere Gleichung einsetzen, um \({\textcolor{green}{y}}\) zu berechnen.
2. Schritt: Setze \({\textcolor{orange}{x=2}}\) in eine der beiden Gleichungen ein, zum Beispiel in Gleichung I.
\( 2{\textcolor{orange}{x}} + {\textcolor{green}{y}} = 7 \)
\( 2\cdot{\textcolor{orange}{2}} + {\textcolor{green}{y}} = 7 \)
\( 4 + {\textcolor{green}{y}} = 7 \hspace{1cm} |-4 \)
\( {\textcolor{green}{y}} = {\textcolor{green}{3}} \)

Jetzt haben wir beide Variablen berechnet und können die Lösung aufschreiben.

\( {\textcolor{orange}{x}} = {\textcolor{orange}{2}} \)
\( {\textcolor{green}{y}} = {\textcolor{green}{3}} \)
3. Schritt: Notiere die Lösung als Punkt.
\( \textsf{L}\big({\textcolor{orange}{2}} \mid {\textcolor{green}{3}}\big) \)
Ergebnis: Die beiden Geraden schneiden sich im Punkt \( \big({\textcolor{orange}{2}} \mid {\textcolor{green}{3}}\big) \).
Merke
  1. Schau dir an, ob sich eine Variable durch Addieren oder Subtrahieren aufheben lässt.
  2. Falls nicht: Multipliziere eine Gleichung so, dass die Zahlen vor \(x\) oder \(y\) gleich werden.
  3. Addiere oder subtrahiere die Gleichungen → eine Variable verschwindet.
  4. Berechne die erste Variable.
  5. Setze das Ergebnis in eine Ausgangsgleichung ein → zweite Variable berechnen.
  6. Schreibe beide Werte als Lösungspunkt \((x \mid y)\) auf.

Beispiel 2: Gleichung umstellen

Nicht immer können wir sofort addieren. Oft brauchen wir kleine Vorbereitungen, damit beim Addieren oder Subtrahieren eine Variable verschwindet.
Wir betrachten ein Beispiel, bei dem keine der beiden Gleichungen direkt additionsbereit ist - so wie sie sind würde keine Variable wegfallen.

Wichtig
Alles, was wir hier mit \( {\textcolor{green}{y}} \) rechnen, funktioniert genauso mit \( {\textcolor{orange}{x}} \).
Es ist egal, welche Variable du rauswirfst – wichtig ist nur, dass eine Variable eliminiert wird, da wir nur so die verbliebene Variable berechnen können.
Beispiel
\( \textsf{I. } \ \ 2{\textcolor{orange}{x}} + {\textcolor{green}{y}} = {\textcolor{midnightblue}{7}} \)
\( \textsf{II. } \ \ 3{\textcolor{orange}{x}} - 2{\textcolor{green}{y}} = {\textcolor{midnightblue}{4}} \)

Damit wir das Additionsverfahren anwenden können, verändern wir die Gleichungen so, dass sich \( {\textcolor{green}{y}} \) beim Addieren aufhebt (wir könnten auch mit \( {\textcolor{orange}{x}} \) arbeiten).

Um das zu erreichen, multiplizieren wir die komplette Gleichung I mit 2.

\[ \begin{array}{rcrccrc} 2{\textcolor{orange}{x}} & + & {\textcolor{green}{y}} & & = & {\textcolor{midnightblue}{7}} & \big|\,{\textcolor{orangered}{\cdot 2}} \\ {\textcolor{orangered}{\cdot 2}} & & {\textcolor{orangered}{\cdot 2}} & & & {\textcolor{orangered}{\cdot 2}} & \\ 4{\textcolor{orange}{x}} & + & 2{\textcolor{green}{y}} & & = & {\textcolor{midnightblue}{14}} & \end{array} \]
Wichtig
  • Wenn du multiplizierst, musst du ALLES, also Term mit dem Wert multiplizieren – links und rechts vom „=“.
  • In der Tabelle siehst du, dass unter jedem Term ein \({\textcolor{orangered}{\cdot 2}}\) steht (unter \(2x\), unter \(y\) und unter der Zahl rechts).

Nach dem Umformen addieren wir die beiden Gleichungen.

\[ \begin{array}{rcrccr} 4{\textcolor{orange}{x}} & & 2{\textcolor{green}{y}} & & = & {\textcolor{midnightblue}{14}} \\ {+} & & {+} & & & {+} \\ 3{\textcolor{orange}{x}} & & -2{\textcolor{green}{y}}& & = & {\textcolor{midnightblue}{4}} \\ \hline 7{\textcolor{orange}{x}} & & 0 & & = & {\textcolor{midnightblue}{18}} \end{array} \]

Dadurch verschwindet das \({\textcolor{green}{y}}\), und wir können \( {\textcolor{orange}{x}} \) berechnen.

\( 7{\textcolor{orange}{x}} = {\textcolor{midnightblue}{18}} \hspace{1cm} |:7 \)
\( {\textcolor{orange}{x}} = {\textcolor{orange}{\dfrac{18}{7}}} \)

Jetzt setzen wir \( {\textcolor{orange}{x}} = {\textcolor{orange}{\dfrac{18}{7}}} \) in eine der beiden Ausgangsgleichungen ein, um \({\textcolor{green}{y}}\) zu berechnen. Wir nutzen hier Gleichung I.

\( 2{\textcolor{orange}{x}} + {\textcolor{green}{y}} = {\textcolor{midnightblue}{7}} \)
\( 2\cdot{\textcolor{orange}{\dfrac{18}{7}}} + {\textcolor{green}{y}} = {\textcolor{midnightblue}{7}} \)
\( {\textcolor{midnightblue}{\dfrac{36}{7}}} + {\textcolor{green}{y}} = {\textcolor{midnightblue}{7}} \hspace{1cm} \big|\, {\textcolor{orangered}{-\, \dfrac{36}{7}}} \)
\( {\textcolor{green}{y}} = {\textcolor{midnightblue}{7}} - {\textcolor{midnightblue}{\dfrac{36}{7}}} \)
\( {\textcolor{green}{y}} = {\textcolor{green}{\dfrac{13}{7}}} \)

Damit haben wir beide Variablen berechnet.

\( {\textcolor{orange}{x}} = {\textcolor{orange}{\dfrac{18}{7}}} \)
\( {\textcolor{green}{y}} = {\textcolor{green}{\dfrac{13}{7}}} \)

Zum Schluss notieren wir die Lösung als Punkt.

\( \textsf{L}\!\left({\textcolor{orange}{\dfrac{18}{7}}} \mid {\textcolor{green}{\dfrac{13}{7}}}\right) \)
Achtung
  • Vergiss nicht, dass du alle Terme einer Gleichung der Gleichung multiplizieren musst!(links und rechts vom „=“) mitmultiplizieren.
  • Achte auf die Vorzeichen: Nur, wenn sie unterschiedlich sind, fällt die Variable weg
  • Schreibe das Ergebnis am Ende als Lösungspunkt \((x \mid y)\) auf.

Textaufgaben lösen

In Anwendungsaufgaben geht es nicht nur darum, ein Gleichungssystem zu lösen, sondern zuerst die wichtigen Informationen aus einem Text zu filtern und in Gleichungen umzuwandeln. Das schauen wir uns jetzt an.

Beispiel
Auf einem Bauernhof leben Hühner und Schweine.
Insgesamt sind es 30 Tiere.
Zählt man alle Beine zusammen, so sind es 84 Beine.
Wie viele Hühner und wie viele Schweine gibt es?

Um die Aufgabe zu lösen, müssen wir als Erstes die wichtigen Informationen aus dem Text herausschreiben:

Anzahl Tiere: 30
Anzahl Beine: 84
Huhn: 2 Beine
Schwein: 4 Beine

Jetzt legen wir fest, welche Variablen wir verwenden...

\( {\textcolor{orange}{x}} = \) Anzahl Hühner
\( {\textcolor{green}{y}} = \) Anzahl Schweine

...und stellen die Gleichungen auf.
Das machen wir im 1. Schritt in Textform, um uns einen Überblick zu verschaffen...

\( \textsf{I.}\; \textsf{Anzahl Tiere} \;=\; \textsf{Anzahl } \textcolor{orange}{\textsf{Hühner}} \;+\; \textsf{Anzahl } \textcolor{green}{\textsf{Schweine}} \)
\( \textsf{II.}\; \textsf{Anzahl Beine} \;=\; \textcolor{orange}{\textsf{2} \cdot \textsf{(Hühner)}} \;+\; \textcolor{green}{\textsf{4} \cdot \textsf{(Schweine)}} \)
... und bilden daraus, mit dem festgelegten Variablen das Gleichungssystem für unsere Rechnung:
\( \textsf{I. } \ \ \ {\textcolor{orange}{x}} + {\textcolor{green}{y}} = 30 \)
\( \textsf{II. } \ 2{\textcolor{orange}{x}} + 4{\textcolor{green}{y}} = 84 \)

Als nächstes möchten wir \( {\textcolor{orange}{x}} \) eliminieren, so dass nur noch \( {\textcolor{green}{y}} \) übrig bleibt.
Damit das gelingt, multiplizieren Wir die gesamte Gleichung I mit –2 (alle Terme links und rechts vom =).

\[ \begin{array}{rcrcrc} {\textcolor{orange}{x}} & + & {\textcolor{green}{y}} & = & 30 & \big|\,{\textcolor{orangered}{\cdot(-2)}} \\ {\textcolor{orangered}{\cdot(-2)}} & & {\textcolor{orangered}{\cdot(-2)}} & & {\textcolor{orangered}{\cdot(-2)}} & \\ -2{\textcolor{orange}{x}} & - & 2{\textcolor{green}{y}} & = & -60 & \end{array} \]

Jetzt addieren wir die beiden Gleichungen.

\[ \begin{array}{rcrcr} -2{\textcolor{orange}{x}} & - & 2{\textcolor{green}{y}} & = & -60 \\ + & & + & & + \\ 2{\textcolor{orange}{x}} & + & 4{\textcolor{green}{y}} & = & 84 \\ \hline 0 & + & 2{\textcolor{green}{y}} & = & 24 \end{array} \]

Die neue Gleichung enthält nur noch \( {\textcolor{green}{y}} \), also können wir \( {\textcolor{green}{y}} \) berechnen.

\( 2{\textcolor{green}{y}} = 24 \)
\( {\textcolor{green}{y=12}} \)

Im letzten Rechenschritt setzen wir \( {\textcolor{green}{y=12} \) in Gleichung I ein, um \( {\textcolor{orange}{x}} \) zu bestimmen.

\( {\textcolor{orange}{x}} + {\textcolor{green}{y}} = 30 \)
\( {\textcolor{orange}{x}} + 12 = 30 \hspace{1cm} \big|\, {\textcolor{orangered}{-\,12}} \)
\( {\textcolor{orange}{x=18}} \)
Wir erinnern uns, dass \( {\textcolor{orange}{x}} \) die Hühner sind und \( {\textcolor{green}{y}} \) die Schweine. Daraus formulieren wir eine Antwort:
Auf dem Bauernhof gibt es \( {\textcolor{orange}{18}} \) Hühner und \( {\textcolor{green}{12}} \) Schweine.
Merke
  • Bei Kopf-Bein-Aufgaben eignet sich oft das Additionsverfahren.
  • Multipliziere eine Gleichung so, dass sich beim Addieren eine Variable aufhebt.
  • Vergiss bei Textaufgaben nicht eine Antwort zu formulieren.

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Übungen

Löse mit dem Additionsverfahren

\( \textsf{I. } \ \ 2{\textcolor{orange}{x}} + {\textcolor{green}{y}} = 6 \)
\( \textsf{II. } \ \ 3{\textcolor{orange}{x}} - {\textcolor{green}{y}} = 9 \)

Lösung

Schritt 1: Addiere beide Gleichungen.

\( (2{\textcolor{orange}{x}} + {\textcolor{green}{y}}) + (3{\textcolor{orange}{x}} - {\textcolor{green}{y}}) = 6 + 9 \)
\( 5{\textcolor{orange}{x}} = 15 \hspace{1cm} |:5 \)
\( {\textcolor{orange}{x}} = {\textcolor{orange}{3}} \)

Schritt 2: Setze \(x = 3\) in I ein.

\( 2\cdot 3 + {\textcolor{green}{y}} = 6 \)
\( 6 + {\textcolor{green}{y}} = 6 \hspace{1cm} |-6 \)
\( {\textcolor{green}{y}} = 0 \)
Lösung: \( \textsf{L}(3 \mid 0) \)

\( \textsf{I. } \ \ 2{\textcolor{orange}{x}} + {\textcolor{green}{y}} = 7 \)
\( \textsf{II. } \ \ 3{\textcolor{orange}{x}} - 2{\textcolor{green}{y}} = 4 \)

Lösung

Schritt 1: Multipliziere I mit 2, damit sich \(y\) aufhebt.

\( 2{\textcolor{orange}{x}} + {\textcolor{green}{y}} = 7 \hspace{1cm} |\cdot 2 \)
\( 4{\textcolor{orange}{x}} + 2{\textcolor{green}{y}} = 14 \)

Schritt 2: Addiere die beiden Gleichungen.

\[ \begin{array}{rcrccr} 4{\textcolor{orange}{x}} & + & 2{\textcolor{green}{y}} & = & 14 \\ + & & + & & + \\ 3{\textcolor{orange}{x}} & - & 2{\textcolor{green}{y}} & = & 4 \\ \hline 7{\textcolor{orange}{x}} & & 0 & = & 18 \end{array} \]
\( 7{\textcolor{orange}{x}} = 18 \hspace{1cm} |:7 \)
\( {\textcolor{orange}{x}} = {\textcolor{orange}{\dfrac{18}{7}}} \)

Schritt 3: Setze \(x = \dfrac{18}{7}\) in I ein.

\( 2\cdot\dfrac{18}{7} + {\textcolor{green}{y}} = 7 \)
\( \dfrac{36}{7} + {\textcolor{green}{y}} = 7 \hspace{1cm} -\dfrac{36}{7} \)
\( {\textcolor{green}{y}} = \dfrac{13}{7} \)
Lösung: \( \textsf{L}\!\big(\tfrac{18}{7} \mid \tfrac{13}{7}\big) \)

Textaufgabe:
In einer Schule gibt es 26 Schüler, die entweder im Fußballverein oder im Basketballverein sind.
Zusammen zahlen sie Vereinsbeiträge in Höhe von 88 €.
Ein Fußballer zahlt 2 €, ein Basketballer 4 €.
Bestimme die Anzahl der Fußballer und Basketballer.

Lösung

Schritt 1: Lege die Variablen fest.

\( {\textcolor{orange}{x}} = \) Anzahl Fußballer
\( {\textcolor{green}{y}} = \) Anzahl Basketballer

Schritt 2: Stelle die Gleichungen auf.

\( \textsf{I. } \ {\textcolor{orange}{x}} + {\textcolor{green}{y}} = 26 \)
\( \textsf{II. } \ 2{\textcolor{orange}{x}} + 4{\textcolor{green}{y}} = 88 \)

Schritt 3: Multipliziere Gleichung I mit –2, damit sich die \( {\textcolor{orange}{x}} \)-Terme aufheben.

\[ \begin{array}{rcrcrcl} {\textcolor{orange}{x}} & + & {\textcolor{green}{y}} & = & 26 & \big| \cdot {\textcolor{orangered}{(-2)}} \\ -2{\textcolor{orange}{x}} & - & 2{\textcolor{green}{y}} & = & -52 \\ \end{array} \]

Schritt 4: Addiere die beiden Gleichungen.

\[ \begin{array}{rcrcr} -2{\textcolor{orange}{x}} & - & 2{\textcolor{green}{y}} & = & -52 \\ + & & + & & + \\ 2{\textcolor{orange}{x}} & + & 4{\textcolor{green}{y}} & = & 88 \\ \hline 0 & + & 2{\textcolor{green}{y}} & = & 36 \end{array} \]

Schritt 5: Löse nach \(y\) auf.

\( 2{\textcolor{green}{y}} = 36 \)
\( {\textcolor{green}{y}} = 18 \)

Schritt 6: Setze \( {\textcolor{green}{y}} = 18 \) in Gleichung I ein.

\( {\textcolor{orange}{x}} + {\textcolor{green}{18}} = 26 \)
\( {\textcolor{orange}{x}} = 8 \)

Antwort:

Es gibt \( {\textcolor{orange}{8}} \) Fußballer und \( {\textcolor{green}{18}} \) Basketballer.

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Mehr dazu

in unseren FAQs

1. Was ist das Additionsverfahren überhaupt?

Das Additionsverfahren ist eine Methode, mit der man ein lineares Gleichungssystem löst. Dabei werden die Gleichungen so miteinander kombiniert, dass eine Variable verschwindet.

‍

2. Woran erkenne ich, ob das Additionsverfahren passt?

Wenn sich durch geschicktes Addieren oder Subtrahieren die x- oder y-Terme aufheben können, ist das Additionsverfahren sehr praktisch.

‍

3. Muss ich immer vorher eine Gleichung umformen?

Nicht unbedingt. Manchmal heben sich die Variablen schon so auf. Wenn nicht, kannst du eine Gleichung vorher mit einer Zahl multiplizieren, damit es klappt.

‍

4. Was sind typische Fehler beim Additionsverfahren?

Viele vergessen, alle Terme mitzumultiplizieren – auch die Zahl rechts vom Gleichheitszeichen. Ein anderer Fehler ist, falsche Vorzeichen beim Addieren oder Subtrahieren zu verwenden.

‍

5. Was schreibe ich am Ende als Lösung auf?

Am Ende notierst du das Ergebnis immer als Punkt. Damit ist klar, wo sich die beiden Geraden schneiden.

‍

Vertiefung

Weiterführende Informationen

Das Additionsverfahren als Werkzeug

Das Additionsverfahren ist ein zentrales Werkzeug, um lineare Gleichungssysteme zu lösen. Es gehört zu den drei klassischen Methoden neben dem Einsetzungs- und dem Gleichsetzungsverfahren und wird in der Schule häufig angewendet. Besonders praktisch ist es, wenn die Gleichungen so angepasst werden können, dass sich eine Variable beim Addieren oder Subtrahieren aufhebt.

‍

Was ist das Additionsverfahren?

Beim Additionsverfahren bringst du die beiden Gleichungen eines linearen Gleichungssystems in eine passende Form. Ziel ist es, die Vorfaktoren einer Variablen so abzugleichen, dass diese beim Addieren oder Subtrahieren verschwindet. Dadurch bleibt nur noch eine Gleichung mit einer Variablen übrig, die sich leicht berechnen lässt. Danach setzt du den Wert in eine der Ausgangsgleichungen ein und bestimmst die zweite Variable.

‍

Mathematische Bedeutung

Das Additionsverfahren ist nicht nur eine Rechenmethode, sondern zeigt auch den engen Zusammenhang zwischen Algebra und Geometrie. Jedes lineare Gleichungssystem beschreibt zwei Geraden. Das Additionsverfahren hilft, deren Schnittpunkt rechnerisch zu bestimmen. Damit verbindet es algebraisches Umformen mit einem klaren geometrischen Bild.

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Typische Fehler und hilfreiche Tipps

Ein häufiger Fehler ist, beim Multiplizieren einer Gleichung nicht alle Terme links und rechts vom Gleichheitszeichen zu berücksichtigen. Auch das Vorzeichen wird gerne übersehen, wodurch sich falsche Ergebnisse ergeben. Ein Tipp: Schreibe alle Zwischenschritte sauber auf und überprüfe nach dem Addieren oder Subtrahieren, ob die gewählte Variable wirklich verschwunden ist. Außerdem lohnt es sich, die Lösung am Ende kurz durch Einsetzen in beide Gleichungen zu kontrollieren.

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Ursprung und Entwicklung

Das Additionsverfahren ist Teil der klassischen Algebra, deren Grundlagen schon in der Antike entwickelt wurden. Systematische Rechenmethoden für Gleichungen wurden später von Mathematikern wie René Descartes oder Carl Friedrich Gauß weiter ausgearbeitet und präzisiert.

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Moderne Anwendung

Heute ist das Additionsverfahren nicht nur in der Schule wichtig, sondern steckt auch in vielen mathematischen Algorithmen. Computerprogramme zur Lösung von Gleichungssystemen nutzen ähnliche Strategien, allerdings in verallgemeinerter Form. Auch in Wirtschaft, Naturwissenschaften und Technik wird das Additionsverfahren eingesetzt, wenn mehrere Bedingungen gleichzeitig erfüllt sein müssen.

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