Stochastik verstehen
Kombinatorik Formeln
Überblick
Die Kombinatorik beantwortet eine zentrale Frage der Mathematik:
Wie viele Möglichkeiten gibt es?
Die folgenden Übersichten zeigen dir auf einen Blick,
welche Formel zu welcher Situation passt.
| mit Zurücklegen |
ohne Zurücklegen |
|
|---|---|---|
|
Reihenfolge wichtig → Variation |
\( {\textcolor{orange}{n}}^{\textcolor{green}{k}} \) | \( \dfrac{{\textcolor{orange}{n}}!}{({\textcolor{orange}{n}}-{\textcolor{green}{k}})!} \) |
|
Reihenfolge egal → Kombination |
\(\displaystyle \binom{{\textcolor{orange}{n}}+{\textcolor{green}{k}}-1}{{\textcolor{green}{k}}}\) | \(\displaystyle \binom{{\textcolor{orange}{n}}}{{\textcolor{green}{k}}}\) |
|
mit Zurücklegen |
ohne Zurücklegen |
|
|---|---|---|
|
Reihenfolge wichtig → Variation |
\( {\textcolor{orange}{n}}^{\textcolor{green}{k}} \) | \( \dfrac{{\textcolor{orange}{n}}!}{({\textcolor{orange}{n}}-{\textcolor{green}{k}})!} \) |
|
Reihenfolge egal → Kombination |
\( \tbinom{{\textcolor{orange}{n}}+{\textcolor{green}{k}}-1}{{\textcolor{green}{k}}} \) | \(\displaystyle \binom{{\textcolor{orange}{n}}}{{\textcolor{green}{k}}} \) |
| Formel | Wann passt sie? |
|---|---|
| \( {\textcolor{orange}{n}}! \) | Alle Objekte sind verschieden und die Reihenfolge ist wichtig. |
| \( \dfrac{{\textcolor{orange}{n}}!}{{\textcolor{green}{k_1}}!\cdot{\textcolor{green}{k_2}}!\cdot\dots} \) | Einige Objekte sind identisch. |
Wenn du die Permutation noch genauer verstehen willst
– mit Beispielen und Übungen –,
schau dir unseren Beitrag
Permutation an.
Diese Tabellen helfen dir, jede Kombinatorik-Aufgabe schnell richtig einzuordnen. In den nächsten Abschnitten siehst du, wie die einzelnen Formeln entstehen – Schritt für Schritt an verständlichen Beispielen.
Merke
Entscheide immer in dieser Reihenfolge:
1. Alle Objekte oder nur eine Auswahl?
2. Ist die Reihenfolge wichtig?
3. Wird zurückgelegt?
2. Ist die Reihenfolge wichtig?
3. Wird zurückgelegt?
Variation - mit Wiederholung
Bei der Variation mit Wiederholung werden k Plätze nacheinander gefüllt. Dabei darf jedes Objekt mehrmals vorkommen und die Reihenfolge spielt eine Rolle.
In einer Schachtel liegen 5 verschiedenfarbige Kugeln.
Du ziehst 3-mal und legst jedes Mal zurück.
Wie viele verschiedene Reihenfolgen sind möglich?
Kugeln: \( {\textcolor{orange}{n}} = 5 \)
Züge: \( {\textcolor{green}{k}} = 3 \)
Formel:
\( V = {\textcolor{orange}{n}}^{\textcolor{green}{k}} \)
Einsetzen:
\( V = {\textcolor{orange}{5}}^{\textcolor{green}{3}}
= {\textcolor{midnightblue}{125}} \)
Es gibt 125 verschiedene Reihenfolgen.
Wichtig
• es werden k Plätze betrachtet
• Reihenfolge ist entscheidend
• jedes Objekt darf mehrmals gewählt werden
Merke
Variation mit Wiederholung
Reihenfolge wichtig, Wiederholungen erlaubt.
Reihenfolge wichtig, Wiederholungen erlaubt.
\( V = {\textcolor{orange}{n}}^{\textcolor{green}{k}} \)
\( {\textcolor{orange}{n}} \): Anzahl der verschiedenen Objekte
\( {\textcolor{green}{k}} \): Anzahl der Auswahlplätze
\( {\textcolor{green}{k}} \): Anzahl der Auswahlplätze
Sonderfall
Bei der Variation wird normalerweise
nur ein Teil k der Objekte betrachtet.
Sonderfall: Wenn \( {\textcolor{green}{k}} = {\textcolor{orange}{n}} \) gilt,
werden alle Plätze betrachtet.
\( V = {\textcolor{orange}{n}}^{\textcolor{orange}{n}} \)
Das ist keine Permutation:
Bei einer Permutation ordnest du eine feste Menge an.
Bei \( {\textcolor{orange}{n}}^{\textcolor{orange}{n}} \) triffst du an jedem Platz eine neue Wahl
– deshalb bleibt es eine Variation mit Wiederholung.
Typische Situationen: Zahlenschlösser,
Passwörter, PIN-Codes.
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Variation - ohne Wiederholung
Kombination - ohne Wiederholung
Bei der Kombination ohne Wiederholung wird aus einer gegebenen Menge ein Teil der Objekte ausgewählt.
Die Reihenfolge ist egal,
und jedes Objekt darf nur einmal vorkommen.
In einer Schachtel liegen 5 verschiedenfarbige Kugeln.
Du ziehst 3 Kugeln ohne Zurücklegen
und die Reihenfolge ist egal.
Wie viele unterschiedliche Kombinationen gibt es?
Kugeln: \( {\textcolor{orange}{n}} = 5 \)
Auswahl: \( {\textcolor{green}{k}} = 3 \)
Formel:
\(\displaystyle \binom{{\textcolor{orange}{n}}}{{\textcolor{green}{k}}} \)
Einsetzen:
\(\displaystyle \binom{{\textcolor{orange}{5}}}{{\textcolor{green}{3}}}
= {\textcolor{midnightblue}{10}} \)
Es gibt 10 verschiedene Kombinationen – die Reihenfolge spielt dabei keine Rolle.
Wichtig
• es wird eine Auswahl getroffen
• keine Wiederholung
• Reihenfolge egal
Dafür verwenden wir den Binomialkoeffizienten („n über k“):
\( \displaystyle \binom{{\textcolor{orange}{n}}}{{\textcolor{green}{k}}} \)
Taschenrechner:
\( {\textcolor{orange}{5}} \rightarrow \textsf{nCr} \rightarrow {\textcolor{green}{3}}
= {\textcolor{midnightblue}{10}} \)
Merke
Kombination ohne Wiederholung
Reihenfolge egal, Objekte dürfen nur einmal vorkommen.
Reihenfolge egal, Objekte dürfen nur einmal vorkommen.
\( \binom{{\textcolor{orange}{n}}}{{\textcolor{green}{k}}} \)
→ \( {\textcolor{orange}{n}} \): Gesamtzahl aller Objekte
→ \( {\textcolor{green}{k}} \): Anzahl der ausgewählten Objekte
→ \( {\textcolor{green}{k}} \): Anzahl der ausgewählten Objekte
Kombination - mit Wiederholung
Bei der Kombination mit Wiederholung wird eine Gruppe ausgewählt, in der Objekte mehrfach vorkommen dürfen. Die Reihenfolge spielt keine Rolle.
In einer Schachtel liegen 4 Farben.
Du ziehst 3 Kugeln
mit Zurücklegen,
die Reihenfolge ist egal.
Wie viele unterschiedliche Kombinationen gibt es?
Farben: \( {\textcolor{orange}{n}} = 4 \)
Auswahl: \( {\textcolor{green}{k}} = 3 \)
Formel:
\( \displaystyle \binom{{\textcolor{orange}{n}} + {\textcolor{green}{k}} - 1}{{\textcolor{green}{k}}} \)
Einsetzen:
\( \displaystyle \binom{{\textcolor{orange}{4}} + {\textcolor{green}{3}} - 1}{{\textcolor{green}{3}}}
= \binom{{\textcolor{midnightblue}{6}}}{{\textcolor{green}{3}}}
= {\textcolor{midnightblue}{20}} \)
Es gibt 20 verschiedene Kombinationen aus 3 Kugeln von 4 Farben, auch wenn dieselbe Farbe mehrfach vorkommt.
Wichtig
- es wird nur ein Teil der Objekte ausgewählt
- mit Zurücklegen → Objekte dürfen mehrfach vorkommen
- Reihenfolge egal → nur die Auswahl zählt
Wir verwenden den Binomialkoeffizienten mit Wiederholung:
\( \displaystyle \binom{{\textcolor{orange}{n}} + {\textcolor{green}{k}} - 1}{{\textcolor{green}{k}}} \)
Taschenrechner:
\( ({\textcolor{orange}{4}} + {\textcolor{green}{3}} - 1)
\rightarrow \textsf{nCr} \rightarrow {\textcolor{green}{3}}
= {\textcolor{midnightblue}{20}} \)
Merke
Kombination mit Wiederholung
Reihenfolge egal, Zurücklegen erlaubt.
Reihenfolge egal, Zurücklegen erlaubt.
\( \displaystyle \binom{{\textcolor{orange}{n}} + {\textcolor{green}{k}} - 1}{{\textcolor{green}{k}}} \)
→ \( {\textcolor{orange}{n}} \): Anzahl der verschiedenen Objekte
→ \( {\textcolor{green}{k}} \): Anzahl der ausgewählten Objekte
→ \( {\textcolor{green}{k}} \): Anzahl der ausgewählten Objekte
Kombinatorik fühlt sich oft nach Raten an. Mit deinem Tutor wird daraus ein klarer Weg.
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Zusammenfassung
Merke
• Du bringst eine feste Anzahl Objekte in eine Reihenfolge
→ Permutation
→ Permutation
Wiederholen sich Objekte?
→ Nein → Permutation ohne Wiederholung
→ Ja → Permutation mit Wiederholung
→ Nein → Permutation ohne Wiederholung
→ Ja → Permutation mit Wiederholung
• Du wählst gezielt Objekte aus einer größeren Menge aus
Ist die Reihenfolge wichtig?
→ Ja → Variation
→ Nein → Kombination
→ Ja → Variation
→ Nein → Kombination
Dürfen Objekte mehrfach vorkommen?
→ Ja oder Nein bestimmt die passende Formel
→ Ja oder Nein bestimmt die passende Formel
Entscheidest du in dieser Reihenfolge, landest du immer bei der richtigen Formel.
Permutation
• eine feste Menge an Objekten wird vollständig angeordnet
• es gibt keine Auswahl – alle Objekte sind fest vorgegeben
• die Reihenfolge ist wichtig
• es gibt keine Auswahl – alle Objekte sind fest vorgegeben
• die Reihenfolge ist wichtig
Ohne Wiederholung:
\( P = {\textcolor{orange}{n}}! \)
Mit Wiederholung:
\( P = \dfrac{{\textcolor{orange}{n}}!}
{{\textcolor{green}{k_1}}!\cdot{\textcolor{green}{k_2}}!\cdot\ldots} \)
→ \( {\textcolor{green}{k_1}}, {\textcolor{green}{k_2}}, \ldots \) sind die Anzahlen gleicher Objekte
Variation
• es werden k Auswahlplätze nacheinander gefüllt
• an jedem Platz triffst du eine aktive Wahl
• die Reihenfolge ist wichtig
• an jedem Platz triffst du eine aktive Wahl
• die Reihenfolge ist wichtig
Ohne Wiederholung:
\( V = \dfrac{{\textcolor{orange}{n}}!}{({\textcolor{orange}{n}}-{\textcolor{green}{k}})!} \)
Mit Wiederholung:
\( V = {\textcolor{orange}{n}}^{\textcolor{green}{k}} \)
Sonderfall: Wenn \( {\textcolor{green}{k}} = {\textcolor{orange}{n}} \)
\( V = {\textcolor{orange}{n}}^{\textcolor{orange}{n}} \)
→ Auch bei \( k = n \) triffst du an jedem Platz eine neue Wahl
→ deshalb bleibt es eine Variation mit Wiederholung
→ es wird nicht angeordnet, sondern gewählt
→ deshalb bleibt es eine Variation mit Wiederholung
→ es wird nicht angeordnet, sondern gewählt
Kombination
• es wird eine Gruppe ausgewählt
• die Reihenfolge spielt keine Rolle
• entscheidend ist nur, welche Objekte dabei sind
• die Reihenfolge spielt keine Rolle
• entscheidend ist nur, welche Objekte dabei sind
Ohne Wiederholung:
\(\displaystyle \binom{{\textcolor{orange}{n}}}{{\textcolor{green}{k}}} \)
Mit Wiederholung:
\(\displaystyle \binom{{\textcolor{orange}{n}}+{\textcolor{green}{k}}-1}{{\textcolor{green}{k}}} \)
→ Jede Anordnung derselben Gruppe zählt nur einmal
Kombinatorik? Wir bringen Struktur.
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Weiterführende Informationen
Variation mit Wiederholungen verstehen
Variation ohne Wiederholung verstehen
Kombination ohne Wiederholung verstehen
Kombination mit Wiederholung verstehen
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