Stochastik verstehen
Kombinatorik Formeln
Lisa von OnMathe
Einleitung
Die Kombinatorik beantwortet eine zentrale Frage der Mathematik:
Wie viele Möglichkeiten gibt es?
Die folgenden Übersichten zeigen dir auf einen Blick,
welche Formel zu welcher Situation passt.
| mit Zurücklegen |
ohne Zurücklegen |
|
|---|---|---|
|
Reihenfolge wichtig → Variation |
\( {\textcolor{orange}{n}}^{\textcolor{green}{k}} \) | \( \dfrac{{\textcolor{orange}{n}}!}{({\textcolor{orange}{n}}-{\textcolor{green}{k}})!} \) |
|
Reihenfolge egal → Kombination |
\(\displaystyle \binom{{\textcolor{orange}{n}}+{\textcolor{green}{k}}-1}{{\textcolor{green}{k}}}\) | \(\displaystyle \binom{{\textcolor{orange}{n}}}{{\textcolor{green}{k}}}\) |
|
mit Zurücklegen |
ohne Zurücklegen |
|
|---|---|---|
|
Reihenfolge wichtig → Variation |
\( {\textcolor{orange}{n}}^{\textcolor{green}{k}} \) | \( \dfrac{{\textcolor{orange}{n}}!}{({\textcolor{orange}{n}}-{\textcolor{green}{k}})!} \) |
|
Reihenfolge egal → Kombination |
\( \tbinom{{\textcolor{orange}{n}}+{\textcolor{green}{k}}-1}{{\textcolor{green}{k}}} \) | \(\displaystyle \binom{{\textcolor{orange}{n}}}{{\textcolor{green}{k}}} \) |
| Formel | Wann passt sie? |
|---|---|
| \( {\textcolor{orange}{n}}! \) | Alle Objekte sind verschieden und die Reihenfolge ist wichtig. |
| \( \dfrac{{\textcolor{orange}{n}}!}{{\textcolor{green}{k_1}}!\cdot{\textcolor{green}{k_2}}!\cdot\dots} \) | Einige Objekte sind identisch. |
Du willst Permutation wirklich verstehen? Dann schau dir unseren Beitrag
Permutation an.
Diese Tabellen helfen dir, jede Kombinatorik-Aufgabe schnell richtig einzuordnen. In den nächsten Abschnitten siehst du, wie die einzelnen Formeln entstehen – Schritt für Schritt an verständlichen Beispielen.
Merke
Entscheide immer in dieser Reihenfolge:
1. Alle Objekte oder nur eine Auswahl?
2. Ist die Reihenfolge wichtig?
3. Wird zurückgelegt?
2. Ist die Reihenfolge wichtig?
3. Wird zurückgelegt?
Einleitung
Die Kombinatorik beantwortet eine zentrale Frage der Mathematik:
Wie viele Möglichkeiten gibt es?
Die folgenden Übersichten zeigen dir auf einen Blick,
welche Formel zu welcher Situation passt.
| mit Zurücklegen |
ohne Zurücklegen |
|
|---|---|---|
|
Reihenfolge wichtig → Variation |
\( {\textcolor{orange}{n}}^{\textcolor{green}{k}} \) | \( \dfrac{{\textcolor{orange}{n}}!}{({\textcolor{orange}{n}}-{\textcolor{green}{k}})!} \) |
|
Reihenfolge egal → Kombination |
\(\displaystyle \binom{{\textcolor{orange}{n}}+{\textcolor{green}{k}}-1}{{\textcolor{green}{k}}}\) | \(\displaystyle \binom{{\textcolor{orange}{n}}}{{\textcolor{green}{k}}}\) |
|
mit Zurücklegen |
ohne Zurücklegen |
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|---|---|---|
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Reihenfolge wichtig → Variation |
\( {\textcolor{orange}{n}}^{\textcolor{green}{k}} \) | \( \dfrac{{\textcolor{orange}{n}}!}{({\textcolor{orange}{n}}-{\textcolor{green}{k}})!} \) |
|
Reihenfolge egal → Kombination |
\( \tbinom{{\textcolor{orange}{n}}+{\textcolor{green}{k}}-1}{{\textcolor{green}{k}}} \) | \(\displaystyle \binom{{\textcolor{orange}{n}}}{{\textcolor{green}{k}}} \) |
| Formel | Wann passt sie? |
|---|---|
| \( {\textcolor{orange}{n}}! \) | Alle Objekte sind verschieden und die Reihenfolge ist wichtig. |
| \( \dfrac{{\textcolor{orange}{n}}!}{{\textcolor{green}{k_1}}!\cdot{\textcolor{green}{k_2}}!\cdot\dots} \) | Einige Objekte sind identisch. |
Du willst Permutation wirklich verstehen? Dann schau dir unseren Beitrag
Permutation an.
Diese Tabellen helfen dir, jede Kombinatorik-Aufgabe schnell richtig einzuordnen. In den nächsten Abschnitten siehst du, wie die einzelnen Formeln entstehen – Schritt für Schritt an verständlichen Beispielen.
Merke
Entscheide immer in dieser Reihenfolge:
1. Alle Objekte oder nur eine Auswahl?
2. Ist die Reihenfolge wichtig?
3. Wird zurückgelegt?
2. Ist die Reihenfolge wichtig?
3. Wird zurückgelegt?
Variation - mit Wiederholung
Bei der Variation mit Wiederholung werden k Plätze nacheinander gefüllt. Dabei darf jedes Objekt mehrmals vorkommen und die Reihenfolge spielt eine Rolle.
In einer Schachtel liegen 5 verschiedenfarbige Kugeln.
Du ziehst 3-mal und legst jedes Mal zurück.
Wie viele verschiedene Reihenfolgen sind möglich?
Kugeln: \( {\textcolor{orange}{n}} = 5 \)
Züge: \( {\textcolor{green}{k}} = 3 \)
Formel:
\( V = {\textcolor{orange}{n}}^{\textcolor{green}{k}} \)
Einsetzen:
\( V = {\textcolor{orange}{5}}^{\textcolor{green}{3}}
= {\textcolor{midnightblue}{125}} \)
Es gibt 125 verschiedene Reihenfolgen.
Wichtig
• es werden k Plätze betrachtet
• Reihenfolge ist entscheidend
• jedes Objekt darf mehrmals gewählt werden
Merke
Variation mit Wiederholung
Reihenfolge wichtig, Wiederholungen erlaubt.
Reihenfolge wichtig, Wiederholungen erlaubt.
\( V = {\textcolor{orange}{n}}^{\textcolor{green}{k}} \)
\( {\textcolor{orange}{n}} \): Anzahl der verschiedenen Objekte
\( {\textcolor{green}{k}} \): Anzahl der Auswahlplätze
\( {\textcolor{green}{k}} \): Anzahl der Auswahlplätze
Sonderfall
Bei der Variation wird normalerweise
nur ein Teil k, der Objekte betrachtet.
Sonderfall: Wenn \( {\textcolor{green}{k}} = {\textcolor{orange}{n}} \) gilt,
werden alle Plätze betrachtet.
\( V = {\textcolor{orange}{n}}^{\textcolor{orange}{n}} \)
Das ist keine Permutation:
Bei einer Permutation ordnest du eine feste Menge an.
Bei \( {\textcolor{orange}{n}}^{\textcolor{orange}{n}} \) triffst du an jedem Platz eine neue Wahl
– deshalb bleibt es eine Variation mit Wiederholung.
Typische Situationen: Zahlenschlösser,
Passwörter, PIN-Codes.
Variation - ohne Wiederholung
Bei der Variation ohne Wiederholung werden
k Plätze nacheinander gefüllt.
Jedes Objekt darf nur einmal vorkommen,
und die Reihenfolge ist entscheidend.
In einer Schachtel liegen 5 verschiedenfarbige Kugeln.
Du ziehst 3-mal nacheinander jeweils eine Kugel
und legst sie nicht zurück.
Wie viele verschiedene Reihenfolgen sind möglich?
Wie viele verschiedene Reihenfolgen sind möglich?
Kugeln: \( {\textcolor{orange}{n}} = 5 \)
Züge: \( {\textcolor{green}{k}} = 3 \)
Formel:
\( V = \dfrac{{\textcolor{orange}{n}}!}{({\textcolor{orange}{n}}-{\textcolor{green}{k}})!} \)
Einsetzen:
\( V = \dfrac{{\textcolor{orange}{5}}!}{{\textcolor{orange}{2}}!}
= {\textcolor{orange}{5}} \cdot {\textcolor{orange}{4}} \cdot {\textcolor{orange}{3}}
= {\textcolor{midnightblue}{60}} \)
Es gibt 60 verschiedene Reihenfolgen.
Wichtig
• es werden k Plätze betrachtet
• keine Wiederholung → nicht zurücklegen
• Reihenfolge ist wichtig
Merke
Variation ohne Wiederholung
Reihenfolge ist wichtig, Objekte dürfen nur einmal vorkommen.
Reihenfolge ist wichtig, Objekte dürfen nur einmal vorkommen.
\( V = \dfrac{{\textcolor{orange}{n}}!}{({\textcolor{orange}{n}}-{\textcolor{green}{k}})!} \)
→ \( {\textcolor{orange}{n}} \): Gesamtzahl aller Objekte
→ \( {\textcolor{green}{k}} \): Anzahl der ausgewählten / belegten Plätze
Kombination- ohne Wiederholung
Bei der Kombination ohne Wiederholung wird aus einer gegebenen Menge ein Teil der Objekte ausgewählt..
Die Reihenfolge ist egal,
und jedes Objekt darf nur einmal vorkommen.
In einer Schachtel liegen 5 verschiedenfarbige Kugeln.
Du ziehst 3 Kugeln ohne Zurücklegen
und die Reihenfolge ist egal.
Wie viele unterschiedliche Kombinationen gibt es?
Kugeln: \( {\textcolor{orange}{n}} = 5 \)
Auswahl: \( {\textcolor{green}{k}} = 3 \)
Formel:
\(\displaystyle \binom{{\textcolor{orange}{n}}}{{\textcolor{green}{k}}} \)
Einsetzen:
\(\displaystyle \binom{{\textcolor{orange}{5}}}{{\textcolor{green}{3}}}
= {\textcolor{midnightblue}{10}} \)
Es gibt 10 verschiedene Kombinationen – die Reihenfolge spielt dabei keine Rolle.
Wichtig
• es wird eine Auswahl getroffen
• keine Wiederholung
• Reihenfolge egal
Dafür verwenden wir den Binomialkoeffizienten („n über k“):
\( \displaystyle \binom{{\textcolor{orange}{n}}}{{\textcolor{green}{k}}} \)
Taschenrechner:
\( {\textcolor{orange}{5}} \rightarrow \textsf{nCr} \rightarrow {\textcolor{green}{3}}
= {\textcolor{midnightblue}{10}} \)
Merke
Kombination ohne Wiederholung
Reihenfolge egal, Objekte dürfen nur einmal vorkommen.
Reihenfolge egal, Objekte dürfen nur einmal vorkommen.
\( \binom{{\textcolor{orange}{n}}}{{\textcolor{green}{k}}} \)
→ \( {\textcolor{orange}{n}} \): Gesamtzahl aller Objekte
→ \( {\textcolor{green}{k}} \): Anzahl der ausgewählten Objekte
→ \( {\textcolor{green}{k}} \): Anzahl der ausgewählten Objekte
Kombination - mit Wiederholung
Bei der Kombination mit Wiederholung wird eine Gruppe ausgewählt, in der Objekte mehrfach vorkommen dürfen. Die Reihenfolge spielt keine Rolle.
In einer Schachtel liegen 4 Farben.
Du ziehst 3 Kugeln
mit Zurücklegen,
die Reihenfolge ist egal.
Wie viele unterschiedliche Kombinationen gibt es?
Farben: \( {\textcolor{orange}{n}} = 4 \)
Auswahl: \( {\textcolor{green}{k}} = 3 \)
Formel:
\( \displaystyle \binom{{\textcolor{orange}{n}} + {\textcolor{green}{k}} - 1}{{\textcolor{green}{k}}} \)
Einsetzen:
\( \displaystyle \binom{{\textcolor{orange}{4}} + {\textcolor{green}{3}} - 1}{{\textcolor{green}{3}}}
= \binom{{\textcolor{midnightblue}{6}}}{{\textcolor{green}{3}}}
= {\textcolor{midnightblue}{20}} \)
Es gibt 20 verschiedene Kombinationen aus 3 Kugeln von 4 Farben, auch wenn dieselbe Farbe mehrfach vorkommt.
Wichtig
- es wird nur ein Teil der Objekte ausgewählt
- mit Zurücklegen → Objekte dürfen mehrfach vorkommen
- Reihenfolge egal → nur die Auswahl zählt
Wir verwenden den Binomialkoeffizienten mit Wiederholung:
\( \displaystyle \binom{{\textcolor{orange}{n}} + {\textcolor{green}{k}} - 1}{{\textcolor{green}{k}}} \)
Taschenrechner:
\( ({\textcolor{orange}{4}} + {\textcolor{green}{3}} - 1)
\rightarrow \textsf{nCr} \rightarrow {\textcolor{green}{3}}
= {\textcolor{midnightblue}{20}} \)
Merke
Kombination mit Wiederholung
Reihenfolge egal, Zurücklegen erlaubt.
Reihenfolge egal, Zurücklegen erlaubt.
\( \displaystyle \binom{{\textcolor{orange}{n}} + {\textcolor{green}{k}} - 1}{{\textcolor{green}{k}}} \)
→ \( {\textcolor{orange}{n}} \): Anzahl der verschiedenen Objekte
→ \( {\textcolor{green}{k}} \): Anzahl der ausgewählten Objekte
→ \( {\textcolor{green}{k}} \): Anzahl der ausgewählten Objekte
Zusammenfassung
Merke
• Du bringst eine feste Anzahl Objekte in eine Reihenfolge
→ Permutation
→ Permutation
Wiederholen sich Objekte?
→ Nein → Permutation ohne Wiederholung
→ Ja → Permutation mit Wiederholung
→ Nein → Permutation ohne Wiederholung
→ Ja → Permutation mit Wiederholung
• Du wählst gezielt Objekte aus einer größeren Menge aus
Ist die Reihenfolge wichtig?
→ Ja → Variation
→ Nein → Kombination
→ Ja → Variation
→ Nein → Kombination
Dürfen Objekte mehrfach vorkommen?
→ Ja oder Nein bestimmt die passende Formel
→ Ja oder Nein bestimmt die passende Formel
Entscheidest du in dieser Reihenfolge, landest du immer bei der richtigen Formel.
Permutation
• eine feste Menge an Objekten wird vollständig angeordnet
• es gibt keine Auswahl – alle Objekte sind fest vorgegeben
• die Reihenfolge ist wichtig
• es gibt keine Auswahl – alle Objekte sind fest vorgegeben
• die Reihenfolge ist wichtig
Ohne Wiederholung:
\( P = {\textcolor{orange}{n}}! \)
Mit Wiederholung:
\( P = \dfrac{{\textcolor{orange}{n}}!}
{{\textcolor{green}{k_1}}!\cdot{\textcolor{green}{k_2}}!\cdot\ldots} \)
→ \( {\textcolor{green}{k_1}}, {\textcolor{green}{k_2}}, \ldots \) sind die Anzahlen gleicher Objekte
Variation
• es werden k Auswahlplätze nacheinander gefüllt
• an jedem Platz triffst du eine aktive Wahl
• die Reihenfolge ist wichtig
• an jedem Platz triffst du eine aktive Wahl
• die Reihenfolge ist wichtig
Ohne Wiederholung:
\( V = \dfrac{{\textcolor{orange}{n}}!}{({\textcolor{orange}{n}}-{\textcolor{green}{k}})!} \)
Mit Wiederholung:
\( V = {\textcolor{orange}{n}}^{\textcolor{green}{k}} \)
Sonderfall: Wenn \( {\textcolor{green}{k}} = {\textcolor{orange}{n}} \)
\( V = {\textcolor{orange}{n}}^{\textcolor{orange}{n}} \)
→ Auch bei \( k = n \) triffst du an jedem Platz eine neue Wahl
→ deshalb bleibt es eine Variation mit Wiederholung
→ es wird nicht angeordnet, sondern gewählt
→ deshalb bleibt es eine Variation mit Wiederholung
→ es wird nicht angeordnet, sondern gewählt
Kombination
• es wird eine Gruppe ausgewählt
• die Reihenfolge spielt keine Rolle
• entscheidend ist nur, welche Objekte dabei sind
• die Reihenfolge spielt keine Rolle
• entscheidend ist nur, welche Objekte dabei sind
Ohne Wiederholung:
\(\displaystyle \binom{{\textcolor{orange}{n}}}{{\textcolor{green}{k}}} \)
Mit Wiederholung:
\(\displaystyle \binom{{\textcolor{orange}{n}}+{\textcolor{green}{k}}-1}{{\textcolor{green}{k}}} \)
→ Jede Anordnung derselben Gruppe zählt nur einmal
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Übungen
In einem Zahlenschloss gibt es 6 verschiedene Ziffern.
Der Code besteht aus 4 Stellen.
Ziffern dürfen sich wiederholen.
Wie viele verschiedene Codes sind möglich?
Lösung
Reihenfolge wichtig, Wiederholung erlaubt → Variation mit Wiederholung
\( V = {\textcolor{orange}{6}}^{\textcolor{green}{4}} = {\textcolor{midnightblue}{1296}} \)
Bei einem Wettlauf starten 10 Läufer.
Es werden nur die ersten 3 Plätze betrachtet.
Wie viele mögliche Ergebnisfolgen gibt es?
Lösung
Reihenfolge wichtig, keine Wiederholung → Variation ohne Wiederholung
\( V = \dfrac{{\textcolor{orange}{10}}!}{({\textcolor{orange}{10}}-{\textcolor{green}{3}})!}
= {\textcolor{orange}{10}}\cdot{\textcolor{orange}{9}}\cdot{\textcolor{orange}{8}}
= {\textcolor{midnightblue}{720}} \)
Aus einer Klasse mit 18 Schülern
werden 4 für ein Projekt ausgewählt.
Die Reihenfolge ist egal.
Wie viele Gruppen sind möglich?
Lösung
Reihenfolge egal, keine Wiederholung → Kombination ohne Wiederholung
\(\displaystyle \binom{{\textcolor{orange}{18}}}{{\textcolor{green}{4}}}
= {\textcolor{midnightblue}{3060}} \)
In einer Eisdiele gibt es 5 Sorten.
Du wählst 3 Kugeln.
Sorten dürfen sich wiederholen, die Reihenfolge ist egal.
Wie viele Kombinationen gibt es?
Lösung
Reihenfolge egal, Wiederholung erlaubt → Kombination mit Wiederholung
\(\displaystyle \binom{{\textcolor{orange}{5}}+{\textcolor{green}{3}}-1}{{\textcolor{green}{3}}}
= \binom{{\textcolor{orange}{7}}}{{\textcolor{green}{3}}}
= {\textcolor{midnightblue}{35}} \)
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in unseren FAQs
Woher weiß ich, ob ich Variation oder Kombination brauche?
Entscheidend ist immer die Reihenfolge.
→ Ändert sich das Ergebnis beim Vertauschen → Variation
→ Bleibt das Ergebnis gleich → Kombination
→ Bleibt das Ergebnis gleich → Kombination
Beispiel:
Anna–Ben–Cara ≠ Cara–Ben–Anna → Variation
Anna, Ben, Cara = dieselbe Gruppe → Kombination
Anna–Ben–Cara ≠ Cara–Ben–Anna → Variation
Anna, Ben, Cara = dieselbe Gruppe → Kombination
Was bedeutet „mit“ oder „ohne Wiederholung“ genau?
Ohne Wiederholung:
Jedes Objekt darf höchstens einmal vorkommen.
Jedes Objekt darf höchstens einmal vorkommen.
Mit Wiederholung:
Dasselbe Objekt darf mehrfach gewählt werden.
Dasselbe Objekt darf mehrfach gewählt werden.
Merksatz:
Zurücklegen → mit Wiederholung
Nicht zurücklegen → ohne Wiederholung
Zurücklegen → mit Wiederholung
Nicht zurücklegen → ohne Wiederholung
Gehört n hoch k zur Permutation?
Nein.
Diese Formel beschreibt eine Variation mit Wiederholung.
Auch wenn zufällig alle Plätze belegt werden,
bleibt es eine Variation,
weil an jedem Platz neu gewählt wird
und Objekte mehrfach vorkommen dürfen.
Wann brauche ich den Binomialkoeffizienten?
Immer dann, wenn:
• nur ein Teil der Objekte ausgewählt wird
• die Reihenfolge egal ist
• die Reihenfolge egal ist
Dann rechnest du mit dem Binomialkoeffizienten –
mit oder ohne Wiederholung, je nach Aufgabe.
Warum lernt man Kombinatorik überhaupt?
Weil Aufzählen sehr schnell unmöglich wird.
Schon bei wenigen Objekten entstehen extrem viele Möglichkeiten.
Kombinatorische Formeln ersetzen lange Listen
durch eine einzige Rechnung
und machen große Zählprobleme überhaupt erst lösbar.
Vertiefung
Weiterführende Informationen
Variation mit Wiederholungen verstehen
Hier erklären wir, wie die Variation mit Wiederholung entsteht und warum die zugehörige Formel genau so aussieht.
Du erstellst einen Zahlencode mit 3 Stellen.
Jede Stelle kann eine Ziffer von 0 bis 9 sein
und darf mehrfach verwendet werden.
Wie viele verschiedene Codes sind möglich?
Stell dir die Situation als Baumdiagramm vor. Da nach jeder Stelle nichts wegfällt, stehen bei jedem Schritt wieder gleich viele Möglichkeiten zur Verfügung.
In unserem Beispiel bedeutet das:
1. Stelle → 10 Möglichkeiten
2. Stelle → 10 Möglichkeiten
3. Stelle → 10 Möglichkeiten
2. Stelle → 10 Möglichkeiten
3. Stelle → 10 Möglichkeiten
Nach den Pfadregeln im Baumdiagramm multiplizieren wir die Möglichkeiten entlang eines Pfades.
\( {\textcolor{orange}{10}} \cdot {\textcolor{orange}{10}} \cdot {\textcolor{orange}{10}}
= {\textcolor{midnightblue}{1000}} \)
Mehrere gleiche Faktoren können wir als Potenz schreiben.
\( {\textcolor{orange}{10}} \cdot {\textcolor{orange}{10}} \cdot {\textcolor{orange}{10}}
= {\textcolor{orange}{10}}^{\textcolor{green}{3}} \)
So entsteht die Formel für die Variation mit Wiederholung:
\( V = {\textcolor{orange}{n}}^{\textcolor{green}{k}} \)
Wichtig
- es wird nur ein Teil der Objekte betrachtet
- jedes Objekt darf mehrfach vorkommen
- die Reihenfolge ist entscheidend
- nach jedem Schritt wird zurückgelegt
Wenn wir die Formel nun direkt anwenden, sieht die Rechnung so aus:
Gegeben:
Ziffern: \( {\textcolor{orange}{n}} = 10 \)
Stellen: \( {\textcolor{green}{k}} = 3 \)
Formel:
\( V = {\textcolor{orange}{n}}^{\textcolor{green}{k}} \)
Einsetzen:
\( V = {\textcolor{orange}{10}}^{\textcolor{green}{3}}
= {\textcolor{midnightblue}{1000}} \)
Merke
Bei der Variation mit Wiederholung gilt:
- es wird nach jedem Schritt zurückgelegt
- die Anzahl der Möglichkeiten bleibt gleich
- die Reihenfolge ist entscheidend
\( V = {\textcolor{orange}{n}}^{\textcolor{green}{k}} \)
\( {\textcolor{orange}{n}} \): Anzahl der möglichen Ziffern
\( {\textcolor{green}{k}} \): Anzahl der Stellen
\( {\textcolor{green}{k}} \): Anzahl der Stellen
Variation ohne Wiederholung verstehen
Hier erklären wir, wie die Formel der Variation ohne Wiederholung entsteht und was mathematisch dahintersteckt.
In einem Rennen starten 8 Läufer.
Du schaust nur auf die ersten 3 Plätze (1., 2., 3.).
Eine Person kann nur einmal vorkommen.
Wie viele Möglichkeiten gibt es für Gold, Silber und Bronze?
Stell dir die Situation als Baumdiagramm vor. Diesmal wird nicht zurückgelegt: Wer schon einen Platz hat, ist für die nächsten Plätze raus.
Das heißt: Die Anzahl der Möglichkeiten wird bei jedem Schritt kleiner.
1. Platz → 8 Möglichkeiten
2. Platz → 7 Möglichkeiten
3. Platz → 6 Möglichkeiten
2. Platz → 7 Möglichkeiten
3. Platz → 6 Möglichkeiten
Nach den Pfadregeln im Baumdiagramm multiplizieren wir die Möglichkeiten entlang eines Pfades.
\( {\textcolor{orange}{8}} \cdot {\textcolor{orange}{7}} \cdot {\textcolor{orange}{6}}
= {\textcolor{midnightblue}{336}} \)
Um zu verstehen, wie daraus die Formel entsteht, arbeiten wir weiter mit genau diesem Beispiel.
Wir starten mit allen 8 Läufern und ordnen sie vollständig an.
\( {\textcolor{orange}{8}}! \)
Uns interessieren aber nur die ersten 3 Plätze. Die restlichen 5 Plätze sind egal. Ihre Reihenfolge ist:
\( {\textcolor{orange}{5}}! \)
Diese überflüssigen Anordnungen kürzen wir heraus:
\( \dfrac{{\textcolor{orange}{8}}!}{{\textcolor{orange}{5}}!}
= \dfrac{{\textcolor{orange}{8}} \cdot {\textcolor{orange}{7}} \cdot {\textcolor{orange}{6}} \cdot
\cancel{{\textcolor{orange}{5}}} \cdot \cancel{{\textcolor{orange}{4}}} \cdot
\cancel{{\textcolor{orange}{3}}} \cdot \cancel{{\textcolor{orange}{2}}} \cdot
\cancel{{\textcolor{orange}{1}}}}
{\cancel{{\textcolor{orange}{5}}} \cdot \cancel{{\textcolor{orange}{4}}} \cdot
\cancel{{\textcolor{orange}{3}}} \cdot \cancel{{\textcolor{orange}{2}}} \cdot
\cancel{{\textcolor{orange}{1}}}} \)
\( {\textcolor{orange}{8}} \cdot {\textcolor{orange}{7}} \cdot {\textcolor{orange}{6}}
= {\textcolor{midnightblue}{336}} \)
So entsteht die Formel: Du startest wie bei einer Permutation, hörst aber nach den ersten \( k \) Plätzen auf.
\( V = \dfrac{{\textcolor{orange}{n}}!}{({\textcolor{orange}{n}}-{\textcolor{green}{k}})!} \)
Wichtig
- es wird nur ein Teil der Objekte ausgewählt
- jedes Objekt darf nur einmal vorkommen
- die Reihenfolge ist entscheidend
- es wird nicht zurückgelegt
- nur die ersten \( {\textcolor{green}{k}} \) Plätze zählen
- die übrigen \( {\textcolor{orange}{n}} - {\textcolor{green}{k}} \) werden gestrichen
Beispiel:
\( {\textcolor{orange}{n}} = 8 \), \( {\textcolor{green}{k}} = 3 \)
→ \( {\textcolor{orange}{8}} - {\textcolor{green}{3}} = {\textcolor{orange}{5}} \)
→ Nenner: \( ({\textcolor{orange}{n}} - {\textcolor{green}{k}})! \)
Wenn wir die Formel nun direkt anwenden, sieht die Rechnung so aus:
Gegeben:
Läufer: \( {\textcolor{orange}{n}} = 8 \)
Plätze: \( {\textcolor{green}{k}} = 3 \)
Formel:
\( V = \dfrac{{\textcolor{orange}{n}}!}{({\textcolor{orange}{n}}-{\textcolor{green}{k}})!} \)
Einsetzen:
\( V = \dfrac{{\textcolor{orange}{8}}!}{({\textcolor{orange}{8}}-{\textcolor{green}{3}})!}
= \dfrac{{\textcolor{orange}{8}}!}{{\textcolor{orange}{5}}!}
= {\textcolor{orange}{8}} \cdot {\textcolor{orange}{7}} \cdot {\textcolor{orange}{6}}
= {\textcolor{midnightblue}{336}} \)
Merke
Bei der Variation ohne Wiederholung gilt:
- es wird nicht zurückgelegt → die Möglichkeiten werden weniger
- die Reihenfolge ist entscheidend
- es werden nur k Plätze aus n Objekten betrachtet
\( V = \dfrac{{\textcolor{orange}{n}}!}{({\textcolor{orange}{n}}-{\textcolor{green}{k}})!} \)
\( {\textcolor{orange}{n}} \): Anzahl der verfügbaren Objekte
\( {\textcolor{green}{k}} \): Anzahl der Plätze / Ziehungen
\( {\textcolor{green}{k}} \): Anzahl der Plätze / Ziehungen
Kombination ohne Wiederholung verstehen
Hier erklären wir, wie die Kombination ohne Wiederholung entsteht und warum ihre Formel genau so aufgebaut ist.
Eine Klasse hat 20 Schüler.
Es sollen 5 Schüler für eine Gruppenarbeit ausgewählt werden.
Wie viele verschiedene Gruppen gibt es?
Hier ist die Reihenfolge egal: Egal wie wir wählen – es ist am Ende dieselbe Gruppe.
Schüler: \( {\textcolor{orange}{n}} = 20 \)
Gruppengröße: \( {\textcolor{green}{k}} = 5 \)
\( \displaystyle \binom{{\textcolor{orange}{n}}}{{\textcolor{green}{k}}}
= \dfrac{{\textcolor{orange}{n}}!}{{\textcolor{green}{k}}!\cdot({\textcolor{orange}{n}}-{\textcolor{green}{k}})!} \)
Die Idee ist: Wir starten wie bei der Variation, aber weil die Reihenfolge egal ist, müssen wir die mehrfach vorkommenden Gruppen herauskürzen.
Anna – Ben – Cara – David – Emma
Ben – Anna – Cara – David – Emma
Cara – David – Anna – Ben – Emma
Das sind keine verschiedenen Gruppen – es sind nur verschiedene Reihenfolgen derselben 5 Schüler.
Für 5 ausgewählte Schüler gibt es 5! verschiedene Anordnungen:
\( {\textcolor{green}{5}}! =
{\textcolor{green}{5}} \cdot {\textcolor{green}{4}} \cdot {\textcolor{green}{3}} \cdot {\textcolor{green}{2}} \cdot {\textcolor{green}{1}} \)
Damit jede Gruppe nur einmal gezählt wird, teilen wir durch \( {\textcolor{green}{k!}} \) und entfernen die Reihenfolge aus der Rechnung.
\(
\dfrac{
\textcolor{orangered}{n!}
}{
\textcolor{orangered}{(n-k)!}
\cdot
\textcolor{green}{{\textcolor{green}{k}}!}
}
\)
→ Variation: zählt alle möglichen Reihenfolgen
→ \(k!\): entfernt die doppelten Reihenfolgen
Wichtig
- es wird nur ein Teil der Objekte ausgewählt
- ohne Zurücklegen → jede Person höchstens einmal
- Reihenfolge egal → nur die Gruppe zählt
Wir nutzen den Binomialkoeffizienten („n über k“):
\( \displaystyle \binom{{\textcolor{orange}{n}}}{{\textcolor{green}{k}}}
= \dfrac{{\textcolor{orange}{n}}!}{{\textcolor{green}{k}}!\cdot({\textcolor{orange}{n}}-{\textcolor{green}{k}})!} \)
Setzen wir das an unserem Beispiel um:
Gegeben:
Schüler: \( {\textcolor{orange}{n}} = 20 \)
Gruppengröße: \( {\textcolor{green}{k}} = 5 \)
Formel:
\( \displaystyle \binom{{\textcolor{orange}{n}}}{{\textcolor{green}{k}}}
= \dfrac{{\textcolor{orange}{n}}!}{{\textcolor{green}{k}}!\cdot({\textcolor{orange}{n}}-{\textcolor{green}{k}})!} \)
Einsetzen:
\( \displaystyle \binom{{\textcolor{orange}{20}}}{{\textcolor{green}{5}}}
= \dfrac{{\textcolor{orange}{20}}!}{{\textcolor{green}{5}}!\cdot{\textcolor{orange}{15}}!} \)
Ergebnis:
\( {\textcolor{midnightblue}{15504}} \)
Es gibt 15 504 verschiedene Gruppen,
die aus 20 Schülern zu je 5 Personen gebildet werden können.
Merke
Kombination ohne Wiederholung
Reihenfolge egal, nicht zurücklegen.
Reihenfolge egal, nicht zurücklegen.
\( \displaystyle \binom{{\textcolor{orange}{n}}}{{\textcolor{green}{k}}}
= \dfrac{{\textcolor{orange}{n}}!}{{\textcolor{green}{k}}!\cdot({\textcolor{orange}{n}}-{\textcolor{green}{k}})!} \)
\( {\textcolor{orange}{n}} \): Gesamtzahl aller Objekte
\( {\textcolor{green}{k}} \): Anzahl der ausgewählten Objekte
\( {\textcolor{green}{k}} \): Anzahl der ausgewählten Objekte
Kombination mit Wiederholung verstehen
Hier erklären wir, wie die Formel der Kombination mit Wiederholung entsteht und warum sie genau diese Form hat.
In einer Bäckerei gibt es 5 verschiedene Brötchensorten.
Du darfst dir 4 Brötchen aussuchen – auch mehrfach dieselbe Sorte.
Wie viele verschiedene Kombinationen sind möglich?
Hier ist die Reihenfolge egal: Ob du erst ein Käsebrötchen nimmst oder zuletzt – entscheidend ist nur, welche Sorten am Ende in deiner Tüte liegen.
Sorten: \( {\textcolor{orange}{n}} = 5 \)
Brötchen: \( {\textcolor{green}{k}} = 4 \)
Die passende Formel ist der Binomialkoeffizient mit Wiederholung:
\( \displaystyle
\binom{{\textcolor{orange}{n}} + {\textcolor{green}{k}} - 1}{{\textcolor{green}{k}}}
= \dfrac{({\textcolor{orange}{n}} + {\textcolor{green}{k}} - 1)!}
{{\textcolor{green}{k}}!\cdot({\textcolor{orange}{n}} - 1)!} \)
Für die Rechnung betrachten wir zwei Dinge:
Wie oft kann ich die Sorte wechseln → \( {\textcolor{orange}{n}} - 1 \)
Hier: \( {\textcolor{orange}{n}} = {\textcolor{orange}{5}} \)
\( {\textcolor{orange}{5}} - 1 = {\textcolor{midnightblue}{4}} \)
→ 4 mögliche Sortenwechsel
Wie viele Brötchen wähle ich → \( {\textcolor{green}{k}} \)
Hier: \( {\textcolor{green}{k}} = {\textcolor{green}{4}} \)
→ 4 ausgewählte Brötchen
Das \( {\textcolor{orange}{n}} + {\textcolor{green}{k}} - 1 \) entsteht, weil wir neben den gewählten Brötchen auch die möglichen Sortenwechsel berücksichtigen.
gewählte Brötchen → \( {\textcolor{green}{k}} \)
Sortenwechsel → \( {\textcolor{orange}{n}} - 1 \)
Das \( {\textcolor{green}{k}} \) steht für die Anzahl der ausgewählten Objekte. In unserem Beispiel sind das 4 Brötchen.
Wichtig
- mit Zurücklegen → Objekte dürfen mehrfach vorkommen
- Reihenfolge egal → nur die Auswahl zählt
- passende Formel: Binomialkoeffizient mit Wiederholung
Taschenrechner:
\( ({\textcolor{orange}{5}} + {\textcolor{green}{4}} - 1)
\rightarrow \textsf{nCr} \rightarrow {\textcolor{green}{4}}
= {\textcolor{midnightblue}{70}} \)
Setzen wir das an unserem Beispiel um:
Gegeben:
Sorten: \( {\textcolor{orange}{n}} = 5 \)
Brötchen: \( {\textcolor{green}{k}} = 4 \)
Formel:
\( \displaystyle
\binom{{\textcolor{orange}{n}} + {\textcolor{green}{k}} - 1}{{\textcolor{green}{k}}}
= \dfrac{({\textcolor{orange}{n}} + {\textcolor{green}{k}} - 1)!}
{{\textcolor{green}{k}}!\cdot({\textcolor{orange}{n}} - 1)!} \)
Einsetzen:
\( \displaystyle
\binom{{\textcolor{orange}{5}} + {\textcolor{green}{4}} - 1}{{\textcolor{green}{4}}}
= \binom{{\textcolor{midnightblue}{8}}}{{\textcolor{green}{4}}} \)
Ausgeschrieben:
\( \displaystyle
= \dfrac{({\textcolor{orange}{5}} + {\textcolor{green}{4}} - 1)!}
{{\textcolor{green}{4}}!\cdot({\textcolor{orange}{5}} - 1)!}
= \dfrac{{\textcolor{midnightblue}{8}}!}
{{\textcolor{green}{4}}!\cdot{\textcolor{orange}{4}}!} \)
Ergebnis:
\( {\textcolor{midnightblue}{70}} \)
Es gibt 70 verschiedene Kombinationen, um 4 Brötchen aus 5 Sorten auszuwählen – auch wenn dieselbe Sorte mehrfach genommen wird.
Merke
Kombination mit Wiederholung
Reihenfolge egal, Wiederholungen erlaubt.
Reihenfolge egal, Wiederholungen erlaubt.
\( \displaystyle
\binom{{\textcolor{orange}{n}} + {\textcolor{green}{k}} - 1}{{\textcolor{green}{k}}}
= \dfrac{({\textcolor{orange}{n}} + {\textcolor{green}{k}} - 1)!}
{{\textcolor{green}{k}}!\cdot({\textcolor{orange}{n}} - 1)!} \)
\( {\textcolor{orange}{n}} \): Anzahl der verschiedenen Objekte
\( {\textcolor{green}{k}} \): Anzahl der ausgewählten Objekte
\( {\textcolor{green}{k}} \): Anzahl der ausgewählten Objekte
Wusstest du schon…?
Kombinatorik ist kein unnötiges Rechenthema – sie ist die Abkürzung für Situationen, die man nicht mehr aufzählen kann.
Stell dir vor, du hast 3 Eissorten und wählst 2 Kugeln:
Vanille – Schoko
Vanille – Erdbeere
Schoko – Erdbeere
Vanille – Erdbeere
Schoko – Erdbeere
Das kann man noch per Hand aufschreiben.
Jetzt ändern wir nur zwei Zahlen: 10 Sorten und 5 Kugeln.
→ Es entstehen 252 verschiedene Kombinationen.
Diese Liste würde mehrere Seiten füllen. Genau hier beginnt die Kombinatorik.
Statt alles aufzuschreiben, nutzt man eine Formel, die alle Möglichkeiten in einem Schritt erfasst.
→ Kombinatorik ist also kein Extra-Stoff, sondern das Werkzeug, um unlösbare Zählprobleme lösbar zu machen.
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