Stochastik verstehen
Kombinatorik Formeln
Einleitung
Wie viele Möglichkeiten gibt es, ein Outfit zusammenzustellen, ein Passwort zu wählen oder Lotto zu spielen? Solche Fragen gehören zur Kombinatorik – dem Teil der Mathematik, der sich mit dem Zählen von Möglichkeiten beschäftigt.
Am Anfang wirkt das oft verwirrend: mal zählt die Reihenfolge, mal nicht, manchmal darf man etwas wiederverwenden und manchmal nicht. Aber keine Sorge – hier bekommst du eine klare Übersicht über alle wichtigen Formeln und lernst, wann du welche verwenden musst.
Permutation – alle Elemente werden betrachtet
| Formel | Beschreibung |
|---|---|
| \( n! \) | Alle Objekte sind verschieden. |
| \( \displaystyle \dfrac{n!}{k_1! \cdot k_2! \cdot k_3! \dots} \) | Einige Objekte sind identisch (z. B. mehrere Kugeln einer Farbe). |
Variation und Kombination – nur ein Teil der Elemente wird betrachtet
| mit Zurücklegen |
ohne Zurücklegen |
|
|---|---|---|
|
Reihenfolge wichtig → Variation |
\( n^k \) | \( \dfrac{n!}{(n-k)!} \) |
|
Reihenfolge egal → Kombination |
\( \displaystyle \binom{n+k-1}{k} \) | \( \displaystyle \binom{n}{k} \) |
Diese beiden Tabellen zeigen dir auf einen Blick, welche Formel du in der Kombinatorik wann brauchst. In den nächsten Abschnitten lernst du, sie sicher zu erkennen und richtig anzuwenden.
Einleitung
Wie viele Möglichkeiten gibt es, ein Outfit zusammenzustellen, ein Passwort zu wählen oder Lotto zu spielen? Solche Fragen gehören zur Kombinatorik – dem Teil der Mathematik, der sich mit dem Zählen von Möglichkeiten beschäftigt.
Am Anfang wirkt das oft verwirrend: mal zählt die Reihenfolge, mal nicht, manchmal darf man etwas wiederverwenden und manchmal nicht. Aber keine Sorge – hier bekommst du eine klare Übersicht über alle wichtigen Formeln und lernst, wann du welche verwenden musst.
Permutation – alle Elemente werden betrachtet
| Formel | Beschreibung |
|---|---|
| \( n! \) | Alle Objekte sind verschieden. |
| \( \displaystyle \dfrac{n!}{k_1! \cdot k_2! \cdot k_3! \dots} \) | Einige Objekte sind identisch (z. B. mehrere Kugeln einer Farbe). |
Variation und Kombination – nur ein Teil der Elemente wird betrachtet
| mit Zurücklegen |
ohne Zurücklegen |
|
|---|---|---|
|
Reihenfolge wichtig → Variation |
\( n^k \) | \( \dfrac{n!}{(n-k)!} \) |
|
Reihenfolge egal → Kombination |
\( \displaystyle \binom{n+k-1}{k} \) | \( \displaystyle \binom{n}{k} \) |
Diese beiden Tabellen zeigen dir auf einen Blick, welche Formel du in der Kombinatorik wann brauchst. In den nächsten Abschnitten lernst du, sie sicher zu erkennen und richtig anzuwenden.
Permutation - alle Objekte verschieden
Bei einer Permutation ohne Wiederholung werden alle Objekte in eine Reihenfolge gebracht, und jedes kommt genau einmal vor. Die Reihenfolge ist entscheidend – jede andere Anordnung ergibt ein neues Ergebnis.
Alle 6 Läuferinnen treten gleichzeitig an – jede kann auf jedem Platz landen. Für den 1. Platz gibt es 6 Möglichkeiten, für den 2. Platz noch 5, und so weiter. Wir multiplizieren alle Möglichkeiten miteinander → das ergibt die Fakultät von \( {\textcolor{orange}{n}} \).
Gesamtzahl aller Objekte: \( {\textcolor{orange}{n}} = 6 \)
Ergebnis: 720 verschiedene Reihenfolgen → jede neue Reihenfolge ist eine eigene Permutation.
Jede Karte steht für ein eigenes Objekt. Die Gesamtzahl aller Karten ist \( {\textcolor{orange}{n}} = 8 \). Alle werden angeordnet, keine wiederholt sich.
Antwort: Es gibt 40320 Möglichkeiten, die 8 Ziffern zu einer Zahl anzuordnen.
Permutation - einige Objekte sind gleich
Bei einer Permutation mit Wiederholung werden alle Objekte geordnet, aber einige sind identisch. Wenn gleiche Objekte vertauscht werden, entsteht kein neues Ergebnis – der Unterschied ist nicht sichtbar. Darum zählen wir solche Vertauschungen nicht doppelt.
Zuerst bestimmst du die Gesamtzahl aller Objekte: \( {\textcolor{orange}{n}} = 8 \). Dann schaust du, wie viele identische Gruppen es gibt: \( {\textcolor{green}{k_1}} = 4 \) rote, \( {\textcolor{green}{k_2}} = 3 \) gelbe und \( {\textcolor{green}{k_3}} = 1 \) blaue Klötze.
Wenn alle Klötze verschieden wären, gäbe es \( {\textcolor{orange}{8}}! \) Möglichkeiten. Aber bei mehreren gleichfarbigen Klötzen ist das anders: Vertauschst du zum Beispiel zwei rote Klötze, sieht der Turm trotzdem gleich aus. Diese „doppelten“ Varianten zählen also nicht extra. Darum teilen wir die Gesamtzahl aller Möglichkeiten durch die Anordnungen der identischen Gruppen.
Es gibt also 280 verschiedene Türme, wenn gleiche Farben nicht unterschieden werden. Je mehr gleiche Klötze vorkommen, desto weniger verschiedene Anordnungen bleiben übrig.
Gesamtzahl: \( {\textcolor{orange}{n}} = 6 \) → identische Gruppen: \( {\textcolor{green}{k_1}} = 3 \), \( {\textcolor{green}{k_2}} = 3 \)
Ergebnis: 20 verschiedene Anordnungen → Vertauschen gleicher Kugeln verändert das Ergebnis nicht.
Variation (Reihenfolge wichtig) - mit Zurücklegen
Bei der Variation mit Wiederholung wird nur ein Teil der Objekte ausgewählt, aber jedes darf mehrmals vorkommen. Die Reihenfolge spielt eine Rolle – jede neue Anordnung, auch mit denselben Farben oder Ziffern, ist eine eigene Variation.
Da du die Kugeln nach jedem Zug zurücklegst, bleibt die Auswahl immer gleich → eine Variation mit Wiederholung.
Wie bei den Pfadregeln im Baumdiagramm multiplizierst du die Möglichkeiten miteinander:
Es gibt also 125 verschiedene Reihenfolgen.
Antwort: 10 000 verschiedene Zahlencodes.
Variation (Reihenfolge wichtig) - ohne Zurücklegen
Bei einer Variation ohne Wiederholung wird nur ein Teil aller Objekte ausgewählt, und die Reihenfolge dieser Auswahl spielt eine wichtige Rolle. Anders als bei der Variation mit Zurücklegen wird jedes Objekt nur einmal verwendet – was einmal gewählt wurde, steht beim nächsten Schritt nicht mehr zur Verfügung.
Bei jedem Zug stehen immer weniger Kugeln zur Verfügung. Beim ersten Ziehen hast du 5 Möglichkeiten, danach 4 und schließlich 3.
Wir wählen also \( {\textcolor{orange}{n}} = 5 \) (Gesamtzahl der Kugeln) und \( {\textcolor{green}{k}} = 3 \) (Anzahl der gezogenen Kugeln). Weil wir nicht zurücklegen, handelt es sich um eine Variation ohne Wiederholung.
Für solche Situationen gibt es eine passende Formel, die genau dieses schrittweise Rechnen abkürzt:
Eingesetzt mit unseren Zahlen:
Ergebnis: Es gibt 60 verschiedene Abfolgen, in denen du 3 Kugeln aus 5 ohne Zurücklegen ziehen kannst.
Gesamtzahl der Läufer: \( {\textcolor{orange}{n}} = 8 \) Platzanzahl: \( {\textcolor{green}{k}} = 3 \)
Ergebnis: 336 verschiedene Möglichkeiten für die Vergabe der ersten drei Plätze.
Kombination (Reihenfolge egal) - ohne Zurücklegen
Bei einer Kombination ohne Wiederholung wählst du k Elemente aus einer Menge von n verschiedenen Objekten aus. Die Reihenfolge spielt keine Rolle und jedes Objekt darf höchstens einmal vorkommen.
Typische Beispiele: Teams bilden, Kartenhand wählen oder Farbkombinationen bestimmen – immer dann, wenn nur zählt, was gewählt wurde, nicht in welcher Reihenfolge.
Ganz egal in welcher Reihenfolge du die Kugeln ziehst, letztlich kommt es nur auf die Auswahl an, die du am Ende vor dir liegen hast.
Für solche Situationen, in denen die Reihenfolge nicht wichtig ist, nutzen wir immer den Binomialkoeffizienten. Er ist ein wichtiges Werkzeug in der Wahrscheinlichkeitsrechnung.
Er setzt sich zusammen aus der Menge aller Objekte \( {\textcolor{orange}{n}} \) und berücksichtigt, dass wir nur einen Teil \( {\textcolor{green}{k}} \) davon auswählen. Übersetzt sagt er: Wie viele Möglichkeiten haben wir, aus \( {\textcolor{orange}{n}} \) Objekten genau \( {\textcolor{green}{k}} \) zu wählen? Man liest es als „n über k“.
Zurück zu unserem Beispiel: Wir haben \( {\textcolor{orange}{n}} = 5 \) und \( {\textcolor{green}{k}} = 3 \) – diese Werte setzen wir in den Binomialkoeffizienten ein.
Ergebnis: Es gibt 10 verschiedene Kombinationen aus 3 Kugeln von 5 – ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge.
Doch wo kommt die 10 her? Du kannst sie ganz einfach mit dem Taschenrechner bestimmen.
Wenn du keine nCr-Taste im Taschenrechner hast, kannst du die ausführliche Form des Binomialkoeffizienten verwenden.
Für unser Beispiel setzen wir \( {\textcolor{orange}{n}} = 5 \) und \( {\textcolor{green}{k}} = 3 \) ein:
So erhältst du dasselbe Ergebnis: 10 verschiedene Kombinationen aus 3 Kugeln von 5.
- ohne Zurücklegen – es gibt jeden Schüler nur einmal
- Reihenfolge egal – es zählen nur die Schüler, die in der Gruppe sind
Formel: Kombination ohne Wiederholung → Binomialkoeffizient
Einsetzen der Werte:
Taschenrechner: \( {\textcolor{orange}{20}} \rightarrow \textsf{nCr} \rightarrow {\textcolor{green}{5}} = {\textcolor{midnightblue}{15504}} \)
Antwort: Es gibt 15 504 verschiedene Gruppen, die aus 20 Schülern zu je 5 Personen gebildet werden können.
Kombination (Reihenfolge egal) - mit Zurücklegen
Bei der Kombination mit Zurücklegen wählst du k Elemente aus einer Menge von n verschiedenen Objekten. Jedes Objekt darf dabei mehrmals vorkommen – die Reihenfolge spielt aber keine Rolle. Wir zählen also nur, welche Objekte am Ende gewählt wurden, nicht in welcher Reihenfolge.
Bei dieser Kombination betrachten wir nicht nur die Anzahl der gewählten Objekte, sondern auch, wie oft wir uns für eine neue Sorte entscheiden könnten.
Da du die Kugeln nach jedem Zug zurücklegst,
kannst du dieselbe Farbe mehrfach ziehen.
Für solche Fälle verwenden wir die Formel des Binomialkoeffizienten mit Zurücklegen:
Er ist nichts weiter als ein Binomialkoeffizient, berücksichtigt aber im oberen Teil, dass mehrfach dieselbe Auswahl möglich ist. Der Ausdruck \( {\textcolor{orange}{n}} + {\textcolor{green}{k}} - 1 \) zeigt, dass wir neben der eigentlichen Auswahl auch noch entscheiden, wann wir zur nächsten Sorte wechseln. Wir kombinieren also zwei Dinge: die tatsächlich gewählten Objekte \( {\textcolor{green}{k}} \) und die möglichen Sortenwechsel \( {\textcolor{orange}{n}} - 1 \).
Ergebnis: Es gibt 20 verschiedene Kombinationen aus 3 Kugeln von 4 Farben – auch wenn dieselbe Farbe mehrfach vorkommt.
Doch wo kommt die 20 her? Du kannst sie ganz einfach mit dem Taschenrechner bestimmen.
Wenn du keine nCr-Taste im Taschenrechner hast, kannst du die ausführliche Form des Binomialkoeffizienten verwenden.
Für unser Beispiel setzen wir \( {\textcolor{orange}{n}} = 4 \) und \( {\textcolor{green}{k}} = 3 \) ein:
So erhältst du dasselbe Ergebnis: 20 verschiedene Kombinationen aus 3 Kugeln von 4 Farben – auch wenn dieselbe Farbe mehrfach vorkommt.
- mit Zurücklegen – dieselbe Sorte darf mehrfach gewählt werden
- Reihenfolge egal – nur die Auswahl zählt
Formel: Kombination mit Zurücklegen → angepasster Binomialkoeffizient
Einsetzen der Werte:
Taschenrechner: \( ({\textcolor{orange}{5}} + {\textcolor{green}{4}} - 1) = {\textcolor{midnightblue}{8}} \rightarrow \textsf{nCr} \rightarrow {\textcolor{green}{4}} = {\textcolor{midnightblue}{70}} \)
Antwort: Es gibt 70 verschiedene Möglichkeiten, \( {\textcolor{green}{4}} \) Brötchen aus \( {\textcolor{orange}{5}} \) Sorten zu wählen – auch wenn du dieselbe Sorte mehrfach nimmst.
Zusammenfassung
In der Kombinatorik geht es immer darum, herauszufinden: Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es? Dafür musst du nur drei Fragen in der richtigen Reihenfolge beantworten. Wenn du das schaffst, weißt du automatisch, welche Formel du brauchst.
→ Wenn nein → Kombination
Wenn du diese Schritte sicher kannst, wirst du jede Kombinatorik-Aufgabe richtig einordnen und weißt immer genau, welche Formel du brauchst.
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Übungen
Lösung
\( P = n! = 6! = 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 720 \)
Es gibt \( 720 \) verschiedene Reihenfolgen.
Lösung
\( P = \dfrac{n!}{k_1!} = \dfrac{4!}{2!} = \dfrac{24}{2} = 12 \)
Es gibt \( 12 \) verschiedene Anordnungen des Wortes.
Lösung
\( V = n^k = 10^3 = 1000 \)
Es gibt \( 1000 \) verschiedene Zahlencodes.
Lösung
\( V = \dfrac{n!}{(n-k)!} = \dfrac{5!}{(5-3)!} = \dfrac{120}{2} = 60 \)
Es gibt \( 60 \) verschiedene Platzierungen.
Lösung
\( \displaystyle \binom{n}{k} = \dfrac{10!}{4! \cdot (10-4)!} = \dfrac{10!}{4! \cdot 6!} = 210 \)
Es gibt \( 210 \) verschiedene Teams.
Lösung
\( \displaystyle \binom{n + k - 1}{k} = \binom{5 + 3 - 1}{3} = \binom{7}{3} = 35 \)
Es gibt \( 35 \) verschiedene Eiskombinationen.
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in unseren FAQs
1. Woran erkenne ich, ob die Reihenfolge wichtig ist?
Frag dich: Ändert sich das Ergebnis, wenn ich die Reihenfolge tausche? Wenn ja, ist die Reihenfolge wichtig → Variation. Wenn nein, ist sie egal → Kombination.
2. Was bedeutet „Zurücklegen“ in der Kombinatorik?
„Zurücklegen“ heißt, dass du ein Element nach der Auswahl wieder in die Menge zurückgibst. Es kann also mehrfach vorkommen, wie beim mehrmaligen Ziehen derselben Kugel.
3. Wann benutze ich die Fakultät n! ?
Immer dann, wenn alle Objekte unterschiedlich sind und in eine Reihenfolge gebracht werden. Das ist der Fall bei Permutationen – also wenn jedes Objekt genau einmal vorkommt.
4. Was ist der Unterschied zwischen Variation und Kombination?
Bei der Variation ist die Reihenfolge wichtig, bei der Kombination nicht. Du kannst dir merken: Variation = Reihenfolge zählt, Kombination = Reihenfolge egal.
5. Wie merke ich mir, welche Formel ich nehmen muss?
Beantworte drei Fragen:
- Nutze ich alle oder nur einen Teil?
- Wird zurückgelegt?
- Ist die Reihenfolge wichtig?
- Die Antworten führen dich automatisch zur richtigen Formel.
Vertiefung
Weiterführende Informationen
Kombinatorik als Werkzeug
Die Kombinatorik ist wie ein Werkzeugkasten der Mathematik. Mit ihr kannst du herausfinden, wie viele Möglichkeiten es in einer Situation gibt – egal ob bei Sitzordnungen, Zahlencodes oder beim Ziehen von Kugeln. Sie hilft dir, systematisch zu entscheiden, welche Regel du brauchst, und zeigt, dass scheinbar komplizierte Aufgaben logisch lösbar sind.
Was ist das?
In der Kombinatorik geht es darum, Möglichkeiten zu zählen. Sie beantwortet Fragen wie: „Wie viele verschiedene Reihenfolgen gibt es?“ oder „Wie viele Auswahlmöglichkeiten habe ich?“ Dabei geht es weniger ums Rechnen als ums Denken. Wer Kombinatorik versteht, muss keine Formeln auswendig lernen, sondern erkennt, welche Idee hinter jeder Formel steckt.
Mathematische Bedeutung
Die Kombinatorik ist die Grundlage der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Sie hilft, Zufallsexperimente zu verstehen, Daten zu strukturieren und in der Informatik Kombinationen von Zeichen oder Codes zu berechnen. So trainiert sie das logische Denken und zeigt, wie man Muster erkennt und Ergebnisse richtig einschätzt.
Typische Fehler und Lerntipps
Viele Schüler wählen zu früh eine Formel, ohne die Situation richtig zu analysieren. Frag dich deshalb immer zuerst: Wird zurückgelegt? Und ist die Reihenfolge wichtig? Diese beiden Fragen entscheiden über die richtige Vorgehensweise. Auch das Übersehen identischer Objekte – zum Beispiel doppelte Buchstaben in einem Wort – führt oft zu Fehlern. Tipp: Stell dir die Aufgabe bildlich vor – mit Kugeln, Karten oder Kuchenstücken – und beobachte, was sich verändert und was gleich bleibt.
Ursprung und moderne Anwendung
Die Kombinatorik hat ihren Ursprung im 17. Jahrhundert bei Pascal und Bernoulli, die sich mit Zufall und Wahrscheinlichkeit beschäftigten. Heute ist sie in vielen Bereichen wichtig – in Statistik, Informatik, Kryptografie und Biologie, etwa bei genetischen Kombinationen. Im Unterricht hilft sie dir, strukturiert zu denken, Aufgaben logisch aufzubauen und mit klaren Entscheidungen zum richtigen Ergebnis zu kommen.
13:00 -18:30 Uhr
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