Bernoulli-Formel anwenden

Wir schauen uns an zwei Beispielen an, wie man die Bernoulli-Formel nutzt, um einfache Wahrscheinlichkeiten zu berechnen.

Als erstes filtern wir alle wichtigen Informationen aus dem Text heraus:

• Der Würfel wird 6 Mal geworfen → \( \textcolor{orange}{n=6} \)
• Die Wahrscheinlichkeit für eine Sechs bei einem Wurf ist → \( \textcolor{green}{p=\tfrac{1}{6}} \)
• Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für genau 3 Sechsen → \( \textcolor{blue}{k=3} \)

Als nächstes setzen wir die Werte in die Bernoulli-Formel ein:

Nun berechnen wir Schritt für Schritt:

Das bedeutet: Die Wahrscheinlichkeit, dass bei \( \textcolor{orange}{6} \) Würfen genau \( \textcolor{blue}{3} \) Sechsen fallen, liegt bei etwa 5,36 %.

Wir betrachten ein weiteres Beispiel:

Wir filtern die wichtigen Informationen heraus:

Nun setzen wir in die Bernoulli-Formel ein:

Schrittweise berechnen:

Das bedeutet: Die Wahrscheinlichkeit, bei \( \textcolor{orange}{4} \) Fragen genau \( \textcolor{blue}{3} \) richtige Antworten zu haben, beträgt etwa 41,2 %.

Die Bernoulli-Formel darfst du nur anwenden, wenn du eine binomialverteilte Zufallsgröße vor dir hast. Das bedeutet: Du wiederholst ein Bernoulli-Experiment mehrere Male – und zählst, wie oft ein Treffer vorkommt.

Doch machen wir uns zunächst noch einmal klar, was eigentlich ein Bernoulli-Experiment ist.

Ein Bernoulli-Experiment ist ein Zufallsversuch mit genau zwei möglichen Ergebnissen: Treffer oder kein Treffer. Ein Münzwurf, bei dem „Kopf“ als Treffer gilt, ist ein einfaches Beispiel dafür.

Doch nur selten wird ein Versuch bloß einmal durchgeführt.
Wiederholt man ein Bernoulli-Experiment mehrfach und lässt dabei alle Bedingungen gleich, bekommt man eine Bernoulli-Kette.

Wir schauen und an einem Beispiel an, wie aus einem Bernoulli-Experiment eine Bernoulli-Kette entsteht.

Jetzt werfen wir die Münze nicht nur einmal, sondern mehrmals hintereinander.

...und ganz egal wie oft wir die Münze werfen, die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer bleibt immer gleich.

Der Münzwurf ist ein Bernoulli-Experiment. Dieses Bernoulli-Experiment haben wir nun mehrmals hintereinander ausgeführt. Dabei bleiben alle Bedingungen gleich. Ganz egal, wie oft wir die Münze werfen, Treffer ist immer Kopf, die Trefferwahrscheinlichkeit bleibt immer \( \textcolor{green}{p = 0{,}5} \). Es ist eine Bernoulli-Kette entstanden.

Die Parameter \( \textcolor{orange}{n} \) und \( \textcolor{green}{p} \) können wir nutzen, um für jede beliebige Trefferzahl die Wahrscheinlichkeit zu bestimmen.

Schauen wir uns ein konkretes Beispiel an:

Wir lesen die Anzahl der Versuche n, die Trefferwahrscheinlichkeit p und die Anzahl der Treffer k aus der Aufgabe ab.

Jetzt setzen wir die Werte in die Bernoulli-Formel ein...

... und berechnen den Wert mit dem Taschenrechner.

Die Wahrscheinlichkeit, bei \( \textcolor{orange}{10} \) Würfen genau \( \textcolor{blue}{4} \) Treffer zu erzielen, beträgt etwa \( \textcolor{midnightblue}{20{,}5\%} \).

Genauso könntest du auch berechnen, wie wahrscheinlich es ist, genau 3 Mal oder genau 8 Mal Kopf zu werfen – oder jede andere mögliche Trefferzahl zwischen 0 und 10. Es ändert sich dabei immer nur der Wert von \( \textcolor{blue}{k} \), denn \( \textcolor{blue}{k} \) steht für die Trefferanzahl.

Bevor du die Bernoulli-Formel verwendest, schau dir genau an, ob es wirklich eine Bernoulli-Kette ist. Nur dann darfst du die Formel benutzen!

Schauen wir uns vier Situationen an und entscheiden, ob es sich um eine Bernoulli-Kette handelt oder nicht.

Manchmal bietet es sich an, das Gegenereignis zu betrachten. Das ist vor allem dann clever, wenn du sonst sehr viele Einzelwahrscheinlichkeiten addieren müsstest. Statt die gewünschten Wahrscheinlichkeiten direkt aufzusummieren, kannst du die Wahrscheinlichkeit des „anderen“ Ereignisses berechnen und von \( 1 \) abziehen.

Wir könnten jetzt die Wahrscheinlichkeiten für genau 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 und 10 Treffern addieren. Das wäre allerdings verdammt viel Arbeit. Schneller geht es aber mit dem Gegenereignis. Das bedeutet, wir berechnen das, was nicht passieren soll und kehren es dann um:

Die rote \( {\textcolor{orangered}{1}} \) steht für die Gesamtwahrscheinlichkeit.
Die Wahrscheinlichkeiten aller einzelnen Ereignisse eines Experimentes ergeben in Summe immer 1. Um das Eregnis zu bestimmen müssen wir also das Gegenereignis vom Gesamten subtrahieren.