Binomialverteilte Zufallsgrößen
Die Binomialverteilung – mit Formel & Beispielen
Einleitung
Die Binomialverteilung ist die Übersicht aller Wahrscheinlichkeiten für die möglichen Trefferzahlen einer Bernoulli-Kette.
→ ein einzelner Versuch mit Treffer / kein Treffer
→ dasselbe Bernoulli-Experiment mehrfach hintereinander
→ Übersicht aller \( P(X={\textcolor{blue}{k}}) \) für \( {\textcolor{blue}{k}} = 0,1,2,\dots,{\textcolor{orange}{n}} \)
→ mehrere Trefferzahlen zusammengefasst
z. B. „höchstens \( {\textcolor{blue}{3}} \) Treffer“
Kumulierte Wahrscheinlichkeiten - höchstens
Eine kumulierte Wahrscheinlichkeit fasst mehrere Trefferzahlen in einem Ergebnis zusammen.
Schauen wir uns das direkt an einem Beispiel an.
Treffer: jede gewürfelte 5.
„Höchstens 3“ bedeutet:
- keine 5 → \( P(X=0) \)
- genau eine 5 → \( P(X=1) \)
- genau zwei 5en → \( P(X=2) \)
- genau drei 5en → \( P(X=3) \)
Diese Einzelwahrscheinlichkeiten können wir mit der Bernoulli-Formel berechnen.
So berechnen wir alle Einzelwahrscheinlichkeiten …
… und addieren, um die gesuchte kumulierte Wahrscheinlichkeit zu erhalten.
Das funktioniert – ist aber bei großen \( {\textcolor{orange}{n}} \) sehr aufwendig.
Deshalb nutzen wir den Taschenrechner, er übernimmt diese Arbeit.
Die Funktion, die wir brauchen, ist
binomCDF.
binomCDF(n, p, k)
berechnet automatisch:
So sieht das am Taschenrechner konkret aus:
binomCDF(10, 1/6, 3), also:\( p= 1/6 \)
\(k = 3\)
Bei „höchstens“ und „mindestens“ weißt du mit deinem Tutor sofort, was zu tun ist.
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Arbeiten mit dem Taschenrechner
Ein kleines Problem beim Taschenrechner:
binomCDF kann nur höchstens rechnen,
also \( P(X \le k) \).
Treffer: jede gewürfelte 5.
Wir schauen uns das am Zahlenstrahl an:
Orange: Das wollen wir berechnen.
Grün: Das kann der Taschenrechner rechnen.
Um mit dem Taschenrechner arbeiten zu können, müssen wir zunächst den grünen Bereich berechnen.
Jetzt rechnen wir mit dem Taschenrechner:
Das ist der grüne Bereich. Gesucht ist der orangene Bereich.
Beide sind Gegenteile → wir nutzen das Gegenereignis.
Wie du siehst, gibt es noch weitere Situationen, in denen du für den Taschenrechner umformen musst – immer dann, wenn dort nicht direkt \( P(X \le k) \) steht.
Orange: Das wollen wir berechnen.
Grün: Das kann der Taschenrechner rechnen.
Der gesuchte Bereich liegt bereits auf derselben Seite wie der TR-Bereich – ein Gegenereignis brauchst du hier nicht, wir passen nur die Grenzen an.
Wir schauen zuerst auf den Zahlenstrahl:
Der Taschenrechner kann nur links rechnen: \( {\textcolor{green}{P(X \le k)}} \).
Also bauen wir den Bereich 2 bis 6 aus zwei TR-Bereichen:
Zuerst der Bereich bis zur 6:
Dann der Bereich bis zur 1 (ist zu viel, muss weg):
Jetzt bleibt genau der mittlere Bereich übrig:
Ob Abitur oder Statistik an der Uni: Dein eigener Tutor schaut dir bei der Eingabe über die Schulter.
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Histogramme erstellen
Ein Histogramm macht die Binomialverteilung sichtbar: Jede Trefferzahl \(k\) bekommt einen Balken – und die Balkenhöhe ist die Wahrscheinlichkeit \(P(X=k)\).
binomPDF(n, p, k)
Ein Histogramm hat auf der x-Achse alle Werte für \(k\) und auf der y-Achse die Wahrscheinlichkeit.
Über jedem \(k\) zeichnest du einen Balken – so hoch wie \(P(X=k)\), die berechnete Wahrscheinlichkeit.
Im Histogramm siehst du die Verteilung der Wahrscheinlichkeiten – am höchsten Balken kannst du den Erwartungswert abschätzen.
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Weiterführende Informationen
Kumulierte Wahrscheinlichkeiten im Histogramm
Ein Histogramm ist die grafische Darstellung einer Binomialverteilung. Es zeigt dir also die Wahrscheinlichkeiten für alle möglichen Trefferzahlen in einer Bernoulli-Kette.
Er wirft insgesamt \( {\textcolor{orange}{10}} \)-mal.
„Höchstens 3 Treffer“ bedeutet: Wir zählen alle Fälle mit
Im Histogramm sind das genau die orangenen Balken (von links).
- Ein Balken steht für eine Trefferzahl \( {\textcolor{blue}{k}} \).
- „Höchstens \( {\textcolor{blue}{3}} \) Treffer“ bedeutet: alle Balken von \( {\textcolor{blue}{0}} \) bis \( {\textcolor{blue}{3}} \).
-
Die kumulierte Wahrscheinlichkeit ist dann:
Summe dieser Balken \( \Rightarrow P(X \le {\textcolor{blue}{3}}) \)
Genau diese Summe mehrerer Balken ist eine kumulierte Wahrscheinlichkeit.
PDF oder CDF - den Taschenrechner richtig nutzen
Der Erwartungswert in der Binomialverteilung
Ein Histogramm zeigt dir anschaulich, wie sich die Wahrscheinlichkeiten einer Binomialverteilung verteilen. An ihm kannst du sowohl den Erwartungswert als auch die Streuung gut erkennen.
Der Erwartungswert gibt an, wo sich die Verteilung im Durchschnitt zentriert.
Der Erwartungswert \( \mu = {\textcolor{orange}{n}} \cdot {\textcolor{green}{p}} \) liegt hier bei \( \mu = 3 \).
Im Histogramm erkennst du ihn am höchsten Balken.
Ist der Erwartungswert keine ganze Zahl, liegen die höchsten Balken oft links und rechts davon.
Die Standardabweichung beschreibt, wie stark die Werte um den Erwartungswert streuen.
Im Histogramm erkennst du die Streuung daran, wie breit oder schmal die Verteilung ist.
Typische Formulierungen in Aufgaben
Nerdecke
