Ein einzelnes Bernoulli-Experiment sagt dir nur, ob du einmal Erfolg hast oder nicht. Doch was, wenn du das Experiment mehrmals wiederholst? Dann hast du eine Bernoulli-Kette.

Du kannst jetzt zum Beispiel berechnen, wie wahrscheinlich es ist, genau 3-mal bei 10 Versuchen Erfolg zu haben. Dafür brauchst du die Bernoulli-Formel.

Doch vielleicht interessiert dich nicht nur dieser eine Fall – sondern auch, wie wahrscheinlich alle anderen Fälle sind:

• Wie wahrscheinlich ist es, gar keinen Erfolg zu haben?
• Wie groß ist die Chance, 4-mal oder öfter zu gewinnen?
• Was ist das häufigste Ergebnis?

Dann reicht eine einzelne Berechnung nicht aus. Du brauchst einen Überblick über alle möglichen Ergebnisse – und ihre Wahrscheinlichkeiten.

Genau hier kommt die Binomialverteilung ins Spiel. Sie zeigt dir, wie die Wahrscheinlichkeiten verteilt sind – zum Beispiel in einem Histogramm. So erkennst du sofort, was du erwarten kannst und was selten vorkommt.

Wir gehen das ganze schrittweise an einem Beispiel durch.

Wenn wir ein Bernoulli-Experiment mehrmals unter denselben Bedingungen wiederholst, entsteht eine Bernoulli-Kette.

In dem Moment, in dem wir die Münze nicht nur einmal werfen, sondern mehrere dieser Zufallsereignisse hintereinander ausführen, und zwar ohne die Bedingungen zu ändern, ist eine Bernoulli-Kette entstanden.

Die Bernoulli-Kette erlaubt es dir, mit der Bernoulli-Formel die Wahrscheinlichkeit für ein konkretes Ergebnis zu berechnen – also zum Beispiel genau 6 Erfolge bei 10 Versuchen.

Doch sobald du wissen willst, wie sich alle möglichen Ergebnisse verhalten – also von 0 bis 10 Erfolgen – brauchst du ein neues Werkzeug: die Binomialverteilung.

Sie zeigt dir auf einen Blick:

• Welche Ergebnisse sind typisch?
• Welche sind selten?
• Wie stark streuen die Wahrscheinlichkeiten?

Ein Histogramm hilft dir dabei, Wahrscheinlichkeiten sichtbar zu machen. Eigentlich ist es nichts anderes, als das Säulendiagramm, das du schon in Klasse 7 kennengelernt hast.
Zum Berechnen der einzelnen Werte nutzt du die Bernoulli-Formel oder in deinem Taschenrechner die Funktion binomialPDF.

Jeder berechnete Wert bekommt einen eigenen Balken. Die Höhe des Balkens zeigt an, wie wahrscheinlich dieses Ergebnis ist.

Wir schauen uns an einem Beispiel an, wie ein Histogramm entsteht.

1. Schritt: berechne die Wahrscheinlichkeiten für jede Trefferanzahl \( \textcolor{blue}{k} \).

Diese Rechnung machst du für jedes \( \textcolor{midnightblue}{k} \) und trägst die Werte in eine Tabelle ein:

Wenn du alle Werte berechnet hast, kannst du daraus ein Histogramm erstellen.

2. Schritt: bereite das Koordinatensystem vor, und trage alle berechneten Wahrscheinlichkeiten ein.

Das Histogramm hat auf der x-Achse alle Werte für \(k\), die y-Achse zeigt die Wahrscheinlichkeiten.

Jetzt zeichnest du über jedem Wert auf der x-Achse einen Balken, der so hoch ist wie seine Wahrscheinlichkeit.

Das Histogramm zeigt dir anschaulich, wie die Wahrscheinlichkeiten in der Binomialverteilung liegen.
Anhand der Balkenhöhe kannst du den Erwartungswert abschätzen.

Das Histogramm zeigt dir bildlich, wie die Wahrscheinlichkeiten in einer Bernoulli-Kette verteilt sind → Binomialverteilung.
Am Histogramm kannst du außerdem auch abschätzen, wo der Erwartungswert liegt. Wollen wir wissen, wie wahrscheinlich es ist höchstens oder mindestens eine bestimmte Trefferanzahl zu bekommen, müssen wir mit der Bernoulli-Formel arbeiten.

Wir gehen es an mehreren Beispielen durch, so dass du am Ende einen guten Überblick darüber hast, was mit der Binomialverteilung möglich ist.

Das Histogramm zu diesem Beispiel sieht so aus:

Du siehst hier in orange alle Balken, die unserer gesuchten Wahrscheinlichkeit entsprechen. Wir wollen wissen, wie wahrscheinlich es ist, höchstens 3-mal eine 5 zu würfeln.
Das bedeutet, wir wollen wissen, wie wahrscheinlich es ist:

Alle diese Wahrscheinlichkeiten kannst du ganz leicht mit der Bernoulli-Formel berechnen.

Jetzt kennen wir die einzelnen Wahrscheinlichkeiten. Doch unser Ziel war es herauszufinden wie wahrscheinlich es ist höchstens 3-mal eine 5 zu würfeln.
Mathematisch Ausgedrückt bedeutet das:

Da wir hier die Wahrscheinlichkeiten mehrerer Einzelergebnisse in einem einzigen Wert zusammenfassen wollen, müssen wir alle diese Einzelwahrscheinlichkeiten addieren. Das nennt man eine kumulierte Wahrscheinlichkeit.

Die Wahrscheinlichkeit, höchstens 3-mal eine 5 zu würfeln, liegt also bei etwa 93 %.

Auf diese Weise lassen sich theoretisch alle kumulierten Wahrscheinlichkeiten berechnen.

In diesem Beispiel konntest du die Wahrscheinlichkeit noch ganz gut selbst berechnen – auch wenn’s schon ein bisschen Aufwand war.

Aber stell dir vor, du wirfst den Würfel 20-, 50- oder 100-mal und willst wissen, wie wahrscheinlich es ist, mindestens 17-mal eine 5 zu würfeln.

Da würdest du ganz schön ins Schwitzen kommen, wenn du das alles von Hand rechnen müsstest!

Spätestens dann brauchst du einen Taschenrechner und die Funktion binomCDF.

Um solche kumulierten Wahrscheinlichkeiten schneller zu berechnen, nutzen wir in unserem Taschenrechner die Funktion binomCDF. Das spart uns enorm viel Arbeit und Zeit. Versuch es doch mal mit unserem Beispiel.

Geh an deinem Taschenrechner zur Funktion binomCDF und gib Folgendes ein:

Das liefert dir direkt die gesuchte Wahrscheinlichkeit:

Du musst nichts mehr von Hand addieren – und bist in wenigen Sekunden am Ziel. Toll, oder?

Ein kleines Problem beim Taschenrechner: Die Funktion binomCDF berechnet immer höchstens \(k\) Treffer, also \(P(X \leq k)\).

Das liegt daran, dass der Rechner die Wahrscheinlichkeiten von \(0\) bis \(k\) aufsummiert, also von links nach rechts arbeitet. Für mindestens oder zwischen musst du deshalb umformen.

Wir verdeutlichen das ganze an einem Zahlenstrahl. Du siehst hier den Bereich, den wir berechnen möchten und den Bereich, den der Taschenrechner zum rechnen braucht. Das bedeutet aus unserem mindestens \( P(X \geq k) \) machen wir ein höchstens \( P(X \le k) \) Das können wir nun mit dem Taschenrechner berechnen.

Doch jetzt haben wir den grünen Bereich berechnet, nicht den orangenen, den wir eigentlich suchen.
Wenn du dir den Zahlenstrahl noch einmal genau anschaust, siehst du, dass der berechnete Bereich und der gesuchte Bereich Gegenteile voneinander sind - wir haben aus einem größer ein kleiner gemacht. Wir nutzen also das Gegenereignis, um das Endergebnis zu bekommen.

Die Wahrscheinlichkeit, mindestens 6 Treffer zu erzielen, ist also sehr gering – sie liegt nur bei etwa 0,24 %.
Mit dem Taschenrechner konnten wir diese komplizierte Rechnung schnell und sicher durchführen, indem wir das Gegenereignis betrachtet haben. Das ist besonders bei großen \(n\) und hohen Trefferzahlen wichtig, weil es sonst schnell unübersichtlich wird.

Es gibt noch mehr Fälle, in denen du umformen musst. Wir wollen sie alle einmal durchgehen.

Der orange gesuchte Bereich liegt schon auf derselben Seite des Zahlenstrahls wie der grüne TR-Bereich - wir haben das kleiner nicht umgedreht, es ist bei kleiner geblieben, daher musst du nur die obere Grenze von 5 auf 4 anpassen, da der Taschenrechner immer mit \(\le\) arbeitet – ein Gegenereignis brauchst du hier nicht.

Hier suchst du die Wahrscheinlichkeit für einen Bereich, der zwischen zwei Zahlen liegt.

Der gesuchte Bereich ist also weder ein klassisches „höchstens“ noch ein „mindestens“ – daher musst du ihn zerlegen.

1. Schritt: Wir berechnen den Bereich \( \textcolor{green}{P(X \leq 6)} \)

2. Schritt: Wir berechnen den Bereich \( \textcolor{green}{P(X \leq 1)} \)

Wenn wir diese beiden Bereiche voneinander subtrahieren, bleibt nur noch unser gesuchter Bereich.

Du kannst also jeden Bereich zwischen zwei Werten berechnen, indem du zwei passende TR-Bereiche kombinierst – meist durch einfache Subtraktion.