Stochastik leicht gemacht

Die Bernoulli-Formel: Grundlagen der Binomialverteilung

Lisa von OnMathe
two students high five

Einleitung

Mit der Bernoulli-Formel berechnest du die Wahrscheinlichkeit für eine bestimmte Trefferanzahl \( {\textcolor{blue}{k}} \) in einer Bernoulli-Kette.
Schau dir direkt ein Beispiel an:

Aufgabe:
Ein Spieler trifft mit \( {\textcolor{green}{80\%}} \) und wirft \( {\textcolor{orange}{5}} \)-mal.
Wie wahrscheinlich sind genau \( {\textcolor{blue}{4}} \) Treffer?
Bernoulli-Formel:
\( \displaystyle P(X = {\textcolor{blue}{k}}) = \binom{{\textcolor{orange}{n}}}{{\textcolor{blue}{k}}} \cdot {\textcolor{green}{p}}^{\textcolor{blue}{k}} \cdot (1-{\textcolor{green}{p}})^{{\textcolor{orange}{n}}-{\textcolor{blue}{k}}} \)
Einzusetzende Werte:
\( {\textcolor{orange}{n = 5}}, \quad {\textcolor{green}{p = 0{,}8}}, \quad {\textcolor{blue}{k = 4}} \)
Einsetzen und ausrechnen:
\( \displaystyle P(X = {\textcolor{blue}{4}}) = \binom{{\textcolor{orange}{5}}}{{\textcolor{blue}{4}}} \cdot {\textcolor{green}{0{,}8}}^{\textcolor{blue}{4}} \cdot (1-{\textcolor{green}{0{,}8}})^{{\textcolor{orange}{5}}-{\textcolor{blue}{4}}} \)
\( P(X = {\textcolor{blue}{4}}) = 0{,}4096 \)

Im Beitrag lernst du, wie du \( {\textcolor{orange}{n}} \), \( {\textcolor{green}{p}} \) und \( {\textcolor{blue}{k}} \) aus dem Text herausliest, richtig einsetzt und typische Fehler vermeidest.

Du willst wissen, wie man mehrere Bernoulli-Experimente zusammenfasst? Dann schau dir unseren Beitrag zur Binomialverteilung an.
Merke
\( \displaystyle P(X = k) = \binom{\textcolor{orange}{n}}{\textcolor{blue}{k}} \cdot \textcolor{green}{p}^{\textcolor{blue}{k}} \cdot (1 - \textcolor{green}{p})^{\textcolor{orange}{n} - \textcolor{blue}{k}} \)
\( {\textcolor{orange}{n}} \): Anzahl der Versuche
\( {\textcolor{blue}{k}} \): Trefferanzahl (genau!)
\( {\textcolor{green}{p}} \): Trefferwahrscheinlichkeit

Inhaltsverzeichnis

Das erwartet Dich

Einleitung
Rechnen mit der Bernoulli-Formel
Die Bernoulli-Formel verstehen
Was ist ein Bernoulli-Experiment

Einleitung

Mit der Bernoulli-Formel berechnest du die Wahrscheinlichkeit für eine bestimmte Trefferanzahl \( {\textcolor{blue}{k}} \) in einer Bernoulli-Kette.
Schau dir direkt ein Beispiel an:

Aufgabe:
Ein Spieler trifft mit \( {\textcolor{green}{80\%}} \) und wirft \( {\textcolor{orange}{5}} \)-mal.
Wie wahrscheinlich sind genau \( {\textcolor{blue}{4}} \) Treffer?
Bernoulli-Formel:
\( \displaystyle P(X = {\textcolor{blue}{k}}) = \binom{{\textcolor{orange}{n}}}{{\textcolor{blue}{k}}} \cdot {\textcolor{green}{p}}^{\textcolor{blue}{k}} \cdot (1-{\textcolor{green}{p}})^{{\textcolor{orange}{n}}-{\textcolor{blue}{k}}} \)
Einzusetzende Werte:
\( {\textcolor{orange}{n = 5}}, \quad {\textcolor{green}{p = 0{,}8}}, \quad {\textcolor{blue}{k = 4}} \)
Einsetzen und ausrechnen:
\( \displaystyle P(X = {\textcolor{blue}{4}}) = \binom{{\textcolor{orange}{5}}}{{\textcolor{blue}{4}}} \cdot {\textcolor{green}{0{,}8}}^{\textcolor{blue}{4}} \cdot (1-{\textcolor{green}{0{,}8}})^{{\textcolor{orange}{5}}-{\textcolor{blue}{4}}} \)
\( P(X = {\textcolor{blue}{4}}) = 0{,}4096 \)

Im Beitrag lernst du, wie du \( {\textcolor{orange}{n}} \), \( {\textcolor{green}{p}} \) und \( {\textcolor{blue}{k}} \) aus dem Text herausliest, richtig einsetzt und typische Fehler vermeidest.

Du willst wissen, wie man mehrere Bernoulli-Experimente zusammenfasst? Dann schau dir unseren Beitrag zur Binomialverteilung an.
Merke
\( \displaystyle P(X = k) = \binom{\textcolor{orange}{n}}{\textcolor{blue}{k}} \cdot \textcolor{green}{p}^{\textcolor{blue}{k}} \cdot (1 - \textcolor{green}{p})^{\textcolor{orange}{n} - \textcolor{blue}{k}} \)
\( {\textcolor{orange}{n}} \): Anzahl der Versuche
\( {\textcolor{blue}{k}} \): Trefferanzahl (genau!)
\( {\textcolor{green}{p}} \): Trefferwahrscheinlichkeit

Rechnen mit der Bernoulli-Formel

Wir schauen uns ein weiteres Beispiel an und gehen die einzelnen Schritte bewusst langsam durch.

Eine Multiple-Choice-Frage wird mit \( {\textcolor{green}{25\%}} \) richtig beantwortet.
Es werden \( {\textcolor{orange}{6}} \) Fragen beantwortet. Wie wahrscheinlich sind genau \( {\textcolor{blue}{2}} \) richtige Antworten?

Schritt 1: Wichtige Informationen erkennen

\( {\textcolor{orange}{n}} \): Anzahl der Versuche → \( {\textcolor{orange}{n = 6}} \)
\( {\textcolor{green}{p}} \): Trefferwahrscheinlichkeit → \( {\textcolor{green}{p = 0{,}25}} \)
\( {\textcolor{blue}{k}} \): gewünschte Trefferanzahl → \( {\textcolor{blue}{k = 2}} \)
Schritt 2: Wir schreiben die Bernoulli-Formel auf und setzen ein
\( \displaystyle P(X = {\textcolor{blue}{k}}) = \binom{{\textcolor{orange}{n}}}{{\textcolor{blue}{k}}} \cdot {\textcolor{green}{p}}^{\textcolor{blue}{k}} \cdot (1-{\textcolor{green}{p}})^{{\textcolor{orange}{n}}-{\textcolor{blue}{k}}} \)
\( \displaystyle P(X = {\textcolor{blue}{2}}) = \binom{{\textcolor{orange}{6}}}{{\textcolor{blue}{2}}} \cdot {\textcolor{green}{0{,}25}}^{\textcolor{blue}{2}} \cdot (1-{\textcolor{green}{0{,}25}})^{{\textcolor{orange}{6}}-{\textcolor{blue}{2}}} \)

Schritt 3: Wir berechnen die Wahrscheinlichkeit.

\( P(X = {\textcolor{blue}{2}}) \approx 0{,}2966 \)

Die Wahrscheinlichkeit für genau zwei richtige Antworten beträgt also etwa \( 29{,}7\% \).

Wichtig
Den Ausdruck \( \displaystyle \binom{\textcolor{orange}{n}}{\textcolor{blue}{k}} \) gibst du am Taschenrechner mit der Taste nCr (oder nCk) ein.
So tippst du den Binomialkoeffizienten:
\( \displaystyle \binom{\textcolor{orange}{n}}{\textcolor{blue}{k}} \;=\; {\textcolor{orange}{n}} \ \texttt{nCr} \ {\textcolor{blue}{k}} \)
Beispiel:
\( \displaystyle \binom{\textcolor{orange}{6}}{\textcolor{blue}{2}} \;=\; {\textcolor{orange}{6}} \ \texttt{nCr} \ {\textcolor{blue}{2}} \)
Merke
\( \displaystyle P(X = k) = \binom{\textcolor{orange}{n}}{\textcolor{blue}{k}} \cdot \textcolor{green}{p}^{\textcolor{blue}{k}} \cdot (1 - \textcolor{green}{p})^{\textcolor{orange}{n} - \textcolor{blue}{k}} \)
\( {\textcolor{orange}{n}} \): Anzahl der Versuche
\( {\textcolor{blue}{k}} \): Trefferanzahl (genau!)
\( {\textcolor{green}{p}} \): Trefferwahrscheinlichkeit
In der Bernoulli-Formel steckt auch Kombinatorik. Wie der Binomialkoeffizient entsteht und was er bedeutet, erklären wir dir im Beitrag Kombinatorik.
Tipps & Tricks
  • Zuerst \( \textcolor{orange}{n}, \textcolor{blue}{k}, \textcolor{green}{p} \) aus dem Text bestimmen.
  • Binomialkoeffizient \( \displaystyle \binom{\textcolor{orange}{n}}{\textcolor{blue}{k}} \) am Taschenrechner mit nCr
  • Gegenwahrscheinlichkeit nicht vergessen: \( 1 - \textcolor{green}{p} \).
  • Dezimalwertesinnvoll runden oder als Prozentwert angeben.

Die Bernoulli-Formel verstehen

Ein Baumdiagramm zeigt dir anschaulich, wie die Bernoulli-Formel entsteht.

Trefferwahrscheinlichkeit: \( {\textcolor{green}{p = 0{,}8}} \), Würfe: \( {\textcolor{orange}{n = 3}} \)
Wie wahrscheinlich ist genau \( {\textcolor{blue}{k = 1}} \) Treffer?
Gesucht sind alle Pfade, in denen genau ein Treffer vorkommt.
→ Das sind hier insgesamt \( {\textcolor{midnightblue}{3}} \) Pfade.
Mit Pfadregeln würdest du so rechnen:
Ein Pfad:
\( {\textcolor{green}{0{,}8}} \cdot {\textcolor{orangered}{0{,}2}} \cdot {\textcolor{orangered}{0{,}2}} \)
Alle 3 Pfade:
\( 3 \cdot (0{,}8 \cdot 0{,}2 \cdot 0{,}2) \)
\( = 3 \cdot {\textcolor{green}{0{,}8}}^{\textcolor{blue}{1}} \cdot {\textcolor{orangered}{0{,}2}}^{\textcolor{blue}{2}} \)
Allgemeine Struktur:
\( = {\textsf{Anzahl Pfade}} \cdot {\textcolor{green}{\textsf{Treffer}}}^{\textcolor{blue}{\textsf{Anzahl}}} \cdot {\textcolor{orangered}{\textsf{Fehlwurf}}}^{\textcolor{blue}{\textsf{Anzahl}}} \)
Genau diese Rechnung bekommst du auch mit der Bernoulli-Formel – nur zusammengefasst.
\( \displaystyle P(X=\textcolor{blue}{k}) = \binom{\textcolor{orange}{n}}{\textcolor{blue}{k}} \cdot (\textcolor{green}{p})^{\textcolor{blue}{k}} \cdot (1-\textcolor{green}{p})^{\textcolor{orange}{n}-\textcolor{blue}{k}} \)
\( \displaystyle P(X=\textcolor{blue}{1}) \;=\; \binom{\textcolor{orange}{3}}{\textcolor{blue}{1}} \cdot (\textcolor{green}{0{,}8})^{\textcolor{blue}{1}} \cdot (1-\textcolor{green}{0{,}8})^{\textcolor{orange}{3}-\textcolor{blue}{1}} \)
\( \displaystyle =\; \binom{\textcolor{orange}{3}}{\textcolor{blue}{1}} \cdot \textcolor{green}{0{,}8}^{\textcolor{blue}{1}} \cdot \textcolor{orangered}{0{,}2}^{\textcolor{blue}{2}} \)
\( =\; \textcolor{midnightblue}{3} \cdot \textcolor{green}{0{,}8}^{\textcolor{blue}{1}} \cdot \textcolor{orangered}{0{,}2}^{\textcolor{blue}{2}} \)
\( = \textsf{Anzahl Pfade} \cdot {\textcolor{green}{\textsf{Treffer}}}^{\textcolor{blue}{\textsf{Anzahl}}} \cdot {\textcolor{orangered}{\textsf{Fehlwurf}}}^{\textcolor{blue}{\textsf{Anzahl}}} \)
→ Baumdiagramm und Bernoulli-Formel führen zum gleichen Ergebnis.
Wichtig
Beim Baumdiagramm musst du alle passenden Pfade finden und addieren.
Bei \( {\textcolor{orange}{n}} = 3 \) geht das noch. Aber bei \( {\textcolor{orange}{n}} = 20 \) wird es unmöglich.
Die Bernoulli-Formel übernimmt diese Arbeit automatisch.

Was ist ein Bernoulli-Experiment

Die Bernoulli-Formel darfst du nur anwenden, wenn du ein Bernoulli-Experiment mehrmals wiederholst und zählst, wie oft ein Treffer vorkommt.

Merke
Bedingungen für ein Bernoulli-Experiment:
  • Genau zwei Ergebnisse: Treffer / kein Treffer
  • Der Treffer ist eindeutig festgelegt
  • Die Trefferwahrscheinlichkeit ist bekannt und konstant

Schauen wir uns einige typische Beispiele an:

Du wirfst eine Münze. Treffer: Kopf.
  • Zwei Ergebnisse: Kopf oder Zahl
  • Treffer eindeutig festgelegt
  • \( \textcolor{green}{p = 0{,}5} \)
→ Bernoulli-Experiment
Du ziehst eine Kugel aus einer Urne mit 3 roten, 2 blauen und 1 grünen Kugel. Treffer: rot.
  • Treffer = rot, alle anderen = kein Treffer
  • Genau zwei Ergebnisse
  • \( \textcolor{green}{p = \dfrac{3}{6} = 0{,}5} \)
→ Bernoulli-Experiment
Du würfelst einmal und betrachtest die Augenzahl.
  • Mehr als zwei mögliche Ergebnisse
  • Kein festgelegter Treffer
→ kein Bernoulli-Experiment
Du misst die Temperatur draußen.
  • Unendlich viele mögliche Ergebnisse
  • Messung statt Treffer / kein Treffer
→ kein Bernoulli-Experiment
Wichtig
Nur zwei Ergebnisse? → mögliche Bernoulli-Situation
Messen oder mehr als zwei Ergebnisse? → keine Bernoulli-Formel
Merke
Wiederholst du ein Bernoulli-Experiment mehrmals hintereinander, entsteht eine Bernoulli-Kette.
Für eine bestimmte Trefferanzahl nutzt du dann die Bernoulli-Formel.
\( \displaystyle P(X=\textcolor{blue}{k}) = \binom{\textcolor{orange}{n}}{\textcolor{blue}{k}} \cdot \textcolor{green}{p}^{\textcolor{blue}{k}} \cdot (1-\textcolor{green}{p})^{\textcolor{orange}{n}-\textcolor{blue}{k}} \)

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Übungen

Gegeben: \( {\textcolor{orange}{n = 10}} \), \( {\textcolor{green}{p = 0{,}3}} \), \( {\textcolor{blue}{k = 4}} \).
Berechne \( P(X = {\textcolor{blue}{4}}) \) mit der Bernoulli-Formel.

Lösung

Bernoulli-Formel:
\( \displaystyle P(X = {\textcolor{blue}{k}}) = \binom{{\textcolor{orange}{n}}}{{\textcolor{blue}{k}}} \cdot {\textcolor{green}{p}}^{\textcolor{blue}{k}} \cdot (1-{\textcolor{green}{p}})^{{\textcolor{orange}{n}}-{\textcolor{blue}{k}}} \)
Einsetzen:
\( \displaystyle P(X = {\textcolor{blue}{4}}) = \binom{{\textcolor{orange}{10}}}{{\textcolor{blue}{4}}} \cdot {\textcolor{green}{0{,}3}}^{\textcolor{blue}{4}} \cdot (1-{\textcolor{green}{0{,}3}})^{{\textcolor{orange}{10}}-{\textcolor{blue}{4}}} \)
Ausrechnen:
\( \displaystyle P(X = {\textcolor{blue}{4}}) = 210 \cdot 0{,}3^4 \cdot 0{,}7^6 \)
\( \displaystyle P(X = {\textcolor{blue}{4}}) \approx \textcolor{midnightblue}{0{,}200} \)
→ Also etwa 20,0 %.
Tipp: \( \displaystyle \binom{10}{4} \) rechnest du mit \( {\textcolor{orange}{10}} \ \texttt{nCr} \ {\textcolor{blue}{4}} \).

Ein Spieler trifft einen Freiwurf mit \( {\textcolor{green}{p = 0{,}8}} \). Er wirft \( {\textcolor{orange}{n = 6}} \)-mal.
Wie wahrscheinlich sind genau \( {\textcolor{blue}{k = 5}} \) Treffer?

Lösung

Werte aus dem Text:
\( {\textcolor{orange}{n = 6}}, \quad {\textcolor{green}{p = 0{,}8}}, \quad {\textcolor{blue}{k = 5}} \)
Bernoulli-Formel:
\( \displaystyle P(X = {\textcolor{blue}{k}}) = \binom{{\textcolor{orange}{n}}}{{\textcolor{blue}{k}}} \cdot {\textcolor{green}{p}}^{\textcolor{blue}{k}} \cdot (1-{\textcolor{green}{p}})^{{\textcolor{orange}{n}}-{\textcolor{blue}{k}}} \)
Einsetzen:
\( \displaystyle P(X = {\textcolor{blue}{5}}) = \binom{{\textcolor{orange}{6}}}{{\textcolor{blue}{5}}} \cdot {\textcolor{green}{0{,}8}}^{\textcolor{blue}{5}} \cdot (1-{\textcolor{green}{0{,}8}})^{{\textcolor{orange}{6}}-{\textcolor{blue}{5}}} \)
Ausrechnen:
\( \displaystyle P(X = {\textcolor{blue}{5}}) = 6 \cdot 0{,}8^5 \cdot 0{,}2^1 \)
\( \displaystyle P(X = {\textcolor{blue}{5}}) \approx \textcolor{midnightblue}{0{,}393} \)
→ Also etwa 39,3 %.
Tipp: Gegenereignis: \( 1-0{,}8 = 0{,}2 \) (kein Treffer).

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Mehr dazu

in unseren FAQs

Wann darf ich die Bernoulli-Formel verwenden?

Wenn ein Versuch mehrfach unter gleichen Bedingungen durchgeführt wird.
→ Es gibt immer nur Treffer oder kein Treffer und die Trefferwahrscheinlichkeit bleibt gleich.

Was bedeutet „genau k Treffer“?

„Genau“ heißt: nicht mehr und nicht weniger.
→ Genau \( {\textcolor{blue}{k}} \) Treffer und alle anderen Versuche sind kein Treffer.

Warum kommt in der Bernoulli-Formel auch das Gegenereignis vor?

Wenn wir Treffer zählen, müssen wir auch wissen, was in den anderen Versuchen passiert.
→ Diese Versuche sind kein Treffer und werden mit dem Gegenereignis beschrieben.

Was ist der Unterschied zwischen Bernoulli-Formel und Binomialverteilun

Die Bernoulli-Formel berechnet die Wahrscheinlichkeit für eine feste Trefferzahl.
→ Die Binomialverteilung fasst die Wahrscheinlichkeiten für alle möglichen Trefferzahlen zusammen.

Muss ich mit der Bernoulli-Formel immer per Hand rechnen

Nein.
In Klassenarbeiten wird der Taschenrechner verwendet, besonders für den Binomialkoeffizienten.
→ Wichtig ist vor allem, die Werte richtig aus dem Text zu lesen.

Mehr dazu

Weiterführende Informationen

Was ist eine Bernoulli-Kette

Eine Bernoulli-Kette entsteht, wenn man ein Bernoulli-Experiment mehrfach hintereinander ausführt.

Du wirfst eine Münze.
Treffer: Es kommt Kopf.

Dieser einzelne Münzwurf ist ein Bernoulli-Experiment:

• genau zwei Ergebnisse: Kopf oder Zahl
• Treffer ist festgelegt
• Trefferwahrscheinlichkeit immer \( {\textcolor{green}{p = 0{,}5}} \)

Jetzt werfen wir die Münze mehrmals hintereinander. So entsteht eine Bernoulli-Kette.

Auch bei vielen Würfen gilt immer:

Treffer: Kopf
Kein Treffer: Zahl
Trefferwahrscheinlichkeit bleibt: \( {\textcolor{green}{p = 0{,}5}} \)
Merke
Viele gleiche Bernoulli-Experimente hintereinander \( \Rightarrow \) Bernoulli-Kette mit:
• \( {\textcolor{orange}{n}} \): Anzahl der Wiederholungen
• \( {\textcolor{green}{p}} \): Trefferwahrscheinlichkeit
• \( {\textcolor{blue}{k}} \): Anzahl der Treffer
Für unser Beispiel gilt, wenn wir \({\textcolor{orange}{n = 10}}\) mal werfen:
\( {\textcolor{orange}{n = 10}}, \quad {\textcolor{green}{p = 0{,}5}}, \quad {\textcolor{blue}{k = 3}} \)
\( \displaystyle P(X=\textcolor{blue}{3}) = \binom{\textcolor{orange}{10}}{\textcolor{blue}{3}} \cdot \textcolor{green}{0{,}5}^{\textcolor{blue}{3}} \cdot (1-\textcolor{green}{0{,}5})^{\textcolor{orange}{10}-\textcolor{blue}{3}} \)
\( = 120 \cdot 0{,}5^3 \cdot 0{,}5^7 \)
\( \approx \textcolor{midnightblue}{0{,}117} \)
→ Die Wahrscheinlichkeit für genau 3 Treffer beträgt also etwa 11,7 %.
Würden wir diese Rechnung nun für alle möglichen Trefferzahlen (\( k = 0, 1, 2, \dots, 10 \)) durchführen und übersichtlich darstellen, entstünde eine Binomialverteilung.
Merke
  • Bernoulli-Experiment
    → ein einzelner Versuch mit genau zwei Ergebnissen
  • Bernoulli-Kette
    → viele gleiche Bernoulli-Experimente hintereinander
  • Binomialverteilung
    → Übersicht aller Wahrscheinlichkeiten für \( 0 \) bis \( {\textcolor{orange}{n}} \) Treffer

Bernoulli-Formel und Binomialverteilung

Mit der Bernoulli-Formel berechnest du immer nur die Wahrscheinlichkeit für eine feste Trefferzahl \( {\textcolor{blue}{k}} \).

Berechnen wir diese Wahrscheinlichkeit für alle möglichen Trefferzahlen, entsteht eine Binomialverteilung.

Ein Spieler trifft einen Freiwurf mit \( {\textcolor{green}{60\%}} \) Wahrscheinlichkeit.
Er wirft \( {\textcolor{orange}{8}} \)-mal.

Mögliche Trefferzahlen sind:

\( k = 0, 1, 2, \dots, 8 \)

Für jede Trefferzahl entsteht eine eigene Wahrscheinlichkeit.

Stellt man diese einzelnen Wahrscheinlichkeiten in einem Säulendiagramm dar, entsteht ein Histogramm – die grafische Darstellung einer Binomialverteilung.

So sieht die Binomialverteilung für dieses Beispiel aus:
Jeder Balken steht für eine bestimmte Trefferzahl \( {\textcolor{blue}{k}} \).
Die Höhe des Balkens zeigt, wie wahrscheinlich diese Trefferzahl ist.
Wichtig
• ein Balken → Wahrscheinlichkeit für eine Trefferzahl \( {\textcolor{blue}{k}} \)
• alle Balken zusammen → Binomialverteilung
• Summe aller Balken → 1 (= 100 %)
• höchster Balken → am wahrscheinlichste Trefferzahl
Merke
Bernoulli-Formel
→ Wahrscheinlichkeit für genau eine Trefferzahl \( k \)
Binomialverteilung
→ Übersicht aller Wahrscheinlichkeiten für \( k = 0 \) bis \( {\textcolor{orange}{n}} \)

Aus einer Binomialverteilung lassen sich später Erwartungswert und Standardabweichung ablesen.

Das Gegenereignis in der Formel

In der Bernoulli-Formel taucht immer auch das Gegenereignis \( 1-{\textcolor{green}{p}} \) auf.

Warum das so ist, sieht man am besten an einem Beispiel.

Ein Spieler trifft einen Wurf mit \( {\textcolor{green}{p = 0{,}7}} \).
Er wirft \( {\textcolor{orange}{n = 5}} \)-mal.

Bei jedem einzelnen Wurf gibt es zwei Möglichkeiten:

Treffer: Wahrscheinlichkeit \( {\textcolor{green}{p = 0{,}7}} \)
Kein Treffer: Wahrscheinlichkeit \( 1-{\textcolor{green}{p}} = 0{,}3 \)

Suchen wir zum Beispiel die Wahrscheinlichkeit für genau \( {\textcolor{blue}{k = 2}} \) Treffer, dann gilt:

2 Treffer → 3 Fehlwürfe

Beides muss in der Rechnung vorkommen.

\( \displaystyle P(X=\textcolor{blue}{2}) = \binom{\textcolor{orange}{5}}{\textcolor{blue}{2}} \cdot ({\textcolor{green}{p}})^{\textcolor{blue}{2}} \cdot (1-{\textcolor{green}{p}})^{\textcolor{orange}{5}-\textcolor{blue}{2}} \)
Wichtig
  • Jeder Versuch endet entweder mit Treffer oder Fehlschuss.
  • Ein Fehlschuss bedeutet: kein Treffer = Gegenereignis → \( (1-{\textcolor{green}{p}}) \).
  • Die Treffer allein, sind nicht alles, auch die Fehler gehören zum Versuch.
  • In der Bernoulli-Formel steht neben \( {\textcolor{green}{p}}^{\textcolor{blue}{k}} \) für die Treffer auch \( (1-{\textcolor{green}{p}})^{\textcolor{orange}{n-k}} \) für die Anzahl der Fehlschüsse.
Merke
In der Bernoulli-Formel wird jeder Versuch vollständig erfasst:
Treffer \( \Rightarrow {\textcolor{green}{p}}^{\textcolor{blue}{k}} \) kein Treffer \( \Rightarrow (1-{\textcolor{green}{p}})^{\textcolor{orange}{n-k}} \)
Der Rest der Formel zählt nur, wie viele solcher Fälle es gibt.

Nerdecke

Warum sieht die Bernoulli-Formel genau so aus?

Die Bernoulli-Formel wirkt auf den ersten Blick wie eine reine Rechenvorschrift. Tatsächlich steckt dahinter eine sehr klare Idee.

Jede Bernoulli-Aufgabe beschreibt eine Situation mit Treffer und Fehlwurf, die sich mehrfach wiederholt.

Ein Baumdiagramm zeigt genau diese Wiederholungen: jeder Pfad steht für eine mögliche Abfolge aus Treffern und Fehlwürfen.

→ Die Bernoulli-Formel ist nichts anderes als alle passenden Pfade zusammengefasst in einer einzigen Rechnung.

Der Binomialkoeffizient \( \binom{n}{k} \) zählt dabei, wie viele dieser Pfade zu genau \( k \) Treffer führen.

Die Potenzen von \( p \) und \( 1-p \) beschreiben, wie wahrscheinlich ein einzelner Pfad mit dieser Trefferanzahl ist.

Anzahl der Pfade × Wahrscheinlichkeit eines Pfades → Gesamtwahrscheinlichkeit
Bernoulli-Formel und Binomialverteilung

Wendest du die Bernoulli-Formel nur für eine einzige Trefferzahl an, berechnest du:

\( P(X = k) \)

Berechnest du diese Wahrscheinlichkeit für alle Trefferzahlen \( k = 0, 1, 2, \dots, n \), entsteht daraus die Binomialverteilung.

Als Säulendiagramm dargestellt, siehst du sie als Histogramm.

Typischer Denkfehler
Viele Schülerinnen und Schüler verwenden die Bernoulli-Formel auch bei Aufgaben wie „höchstens“, „mindestens“ oder „zwischen“.
→ Das ist falsch.

Die Bernoulli-Formel berechnet immer nur eine ganz bestimmte Trefferzahl.

Für zusammengefasste Ereignisse musst du entweder mehrere Bernoulli-Wahrscheinlichkeiten addieren oder den Taschenrechner mit kumulierten Wahrscheinlichkeiten nutzen.

Merke
Die Bernoulli-Formel beantwortet immer nur die Frage:
Wie wahrscheinlich sind genau \( k \) Treffer?
Führt man ein Bernoulli-Experiment mehrfach hintereinander durch, entsteht die Binomialverteilung. Wie man damit rechnet und den Taschenrechner nutzt, zeigen wir dir im Beitrag zur Binomialverteilung.
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