Stochastik leicht gemacht
Die Bernoulli-Formel: Grundlagen der Binomialverteilung
Einleitung
Rechnen mit der Bernoulli-Formel
Wir schauen uns ein weiteres Beispiel an und gehen die einzelnen Schritte bewusst langsam durch.
Eine Multiple-Choice-Frage wird mit
\( {\textcolor{green}{25\%}} \)
richtig beantwortet.
Es werden
\( {\textcolor{orange}{6}} \)
Fragen beantwortet.
Wie wahrscheinlich sind
genau
\( {\textcolor{blue}{2}} \)
richtige Antworten?
Schritt 1: Wichtige Informationen erkennen
\( {\textcolor{orange}{n}} \): Anzahl der Versuche
→ \( {\textcolor{orange}{n = 6}} \)
\( {\textcolor{green}{p}} \): Trefferwahrscheinlichkeit
→ \( {\textcolor{green}{p = 0{,}25}} \)
\( {\textcolor{blue}{k}} \): gewünschte Trefferanzahl
→ \( {\textcolor{blue}{k = 2}} \)
Schritt 2: Wir schreiben die Bernoulli-Formel auf und setzen ein
\( \displaystyle P(X = {\textcolor{blue}{k}}) =
\binom{{\textcolor{orange}{n}}}{{\textcolor{blue}{k}}}
\cdot {\textcolor{green}{p}}^{\textcolor{blue}{k}}
\cdot (1-{\textcolor{green}{p}})^{{\textcolor{orange}{n}}-{\textcolor{blue}{k}}} \)
\( \displaystyle P(X = {\textcolor{blue}{2}}) =
\binom{{\textcolor{orange}{6}}}{{\textcolor{blue}{2}}}
\cdot {\textcolor{green}{0{,}25}}^{\textcolor{blue}{2}}
\cdot (1-{\textcolor{green}{0{,}25}})^{{\textcolor{orange}{6}}-{\textcolor{blue}{2}}} \)
Schritt 3: Wir berechnen die Wahrscheinlichkeit.
\( P(X = {\textcolor{blue}{2}}) \approx 0{,}2966 \)
Die Wahrscheinlichkeit für genau zwei richtige Antworten beträgt also etwa \( 29{,}7\% \).
Wichtig
Den Ausdruck
\( \displaystyle \binom{\textcolor{orange}{n}}{\textcolor{blue}{k}} \)
gibst du am Taschenrechner mit der Taste
nCr
(oder nCk) ein.
So tippst du den Binomialkoeffizienten:
\( \displaystyle \binom{\textcolor{orange}{n}}{\textcolor{blue}{k}}
\;=\;
{\textcolor{orange}{n}} \ \texttt{nCr} \ {\textcolor{blue}{k}} \)
Beispiel:
\( \displaystyle \binom{\textcolor{orange}{6}}{\textcolor{blue}{2}}
\;=\;
{\textcolor{orange}{6}} \ \texttt{nCr} \ {\textcolor{blue}{2}} \)
Merke
\( \displaystyle P(X = k) = \binom{\textcolor{orange}{n}}{\textcolor{blue}{k}} \cdot \textcolor{green}{p}^{\textcolor{blue}{k}} \cdot (1 - \textcolor{green}{p})^{\textcolor{orange}{n} - \textcolor{blue}{k}} \)
\( {\textcolor{orange}{n}} \): Anzahl der Versuche
\( {\textcolor{blue}{k}} \): Trefferanzahl (genau!)
\( {\textcolor{green}{p}} \): Trefferwahrscheinlichkeit
In der Bernoulli-Formel steckt auch Kombinatorik.
Wie der Binomialkoeffizient entsteht und was er bedeutet,
erklären wir dir im Beitrag
Kombinatorik.
Tipps & Tricks
- Zuerst \( \textcolor{orange}{n}, \textcolor{blue}{k}, \textcolor{green}{p} \) aus dem Text bestimmen.
- Binomialkoeffizient \( \displaystyle \binom{\textcolor{orange}{n}}{\textcolor{blue}{k}} \) am Taschenrechner mit nCr
- Gegenwahrscheinlichkeit nicht vergessen: \( 1 - \textcolor{green}{p} \).
- Dezimalwerte sinnvoll runden oder als Prozentwert angeben.
Im Heft wirkt die Formel harmlos, in der Textaufgabe nicht mehr. Mit deinem Tutor knackst du auch die.
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Die Bernoulli-Formel verstehen
Ein Baumdiagramm zeigt dir anschaulich, wie die Bernoulli-Formel entsteht.
Trefferwahrscheinlichkeit:
\( {\textcolor{green}{p = 0{,}8}} \),
Würfe:
\( {\textcolor{orange}{n = 3}} \)
Wie wahrscheinlich ist
genau
\( {\textcolor{blue}{k = 1}} \) Treffer?
Gesucht sind alle Pfade, in denen
genau ein Treffer vorkommt.
→ Das sind hier insgesamt
\( {\textcolor{midnightblue}{3}} \) Pfade.
Mit Pfadregeln würdest du so rechnen:
Ein Pfad:
\( {\textcolor{green}{0{,}8}} \cdot {\textcolor{orangered}{0{,}2}} \cdot {\textcolor{orangered}{0{,}2}} \)
Alle 3 Pfade:
\( 3 \cdot (0{,}8 \cdot 0{,}2 \cdot 0{,}2) \)
\( = 3 \cdot {\textcolor{green}{0{,}8}}^{\textcolor{blue}{1}}
\cdot {\textcolor{orangered}{0{,}2}}^{\textcolor{blue}{2}} \)
Allgemeine Struktur:
\( =
{\textsf{Anzahl Pfade}}
\cdot
{\textcolor{green}{\textsf{Treffer}}}^{\textcolor{blue}{\textsf{Anzahl}}}
\cdot
{\textcolor{orangered}{\textsf{Fehlwurf}}}^{\textcolor{blue}{\textsf{Anzahl}}} \)
Genau diese Rechnung
bekommst du auch mit der
Bernoulli-Formel –
nur zusammengefasst.
\( \displaystyle P(X=\textcolor{blue}{k}) =
\binom{\textcolor{orange}{n}}{\textcolor{blue}{k}}
\cdot (\textcolor{green}{p})^{\textcolor{blue}{k}}
\cdot (1-\textcolor{green}{p})^{\textcolor{orange}{n}-\textcolor{blue}{k}} \)
\( \displaystyle P(X=\textcolor{blue}{1}) =
\binom{\textcolor{orange}{3}}{\textcolor{blue}{1}}
\cdot (\textcolor{green}{0{,}8})^{\textcolor{blue}{1}}
\cdot (1-\textcolor{green}{0{,}8})^{\textcolor{orange}{3}-\textcolor{blue}{1}} \)
\( \displaystyle =
\binom{\textcolor{orange}{3}}{\textcolor{blue}{1}}
\cdot \textcolor{green}{0{,}8}^{\textcolor{blue}{1}}
\cdot \textcolor{orangered}{0{,}2}^{\textcolor{blue}{2}} \)
\( =
\textcolor{midnightblue}{3}
\cdot \textcolor{green}{0{,}8}^{\textcolor{blue}{1}}
\cdot \textcolor{orangered}{0{,}2}^{\textcolor{blue}{2}} \)
\( = \textsf{Anzahl Pfade}
\cdot {\textcolor{green}{\textsf{Treffer}}}^{\textcolor{blue}{\textsf{Anzahl}}}
\cdot {\textcolor{orangered}{\textsf{Fehlwurf}}}^{\textcolor{blue}{\textsf{Anzahl}}} \)
→ Baumdiagramm und Bernoulli-Formel führen zum gleichen Ergebnis.
Wichtig
Beim Baumdiagramm musst du alle passenden Pfade finden
und addieren.
Bei \( {\textcolor{orange}{n}} = 3 \) geht das noch.
Aber bei \( {\textcolor{orange}{n}} = 20 \) wird es unmöglich.
Die Bernoulli-Formel übernimmt diese Arbeit
automatisch.
Auch bei 20 Würfen ohne Baumdiagramm sicher zum Ergebnis kommen: Das schaffst du mit deinem Tutor.
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Was ist ein Bernoulli-Experiment?
Die Bernoulli-Formel darfst du nur anwenden, wenn du ein Bernoulli-Experiment mehrmals wiederholst und zählst, wie oft ein Treffer vorkommt.
Merke
Bedingungen für ein Bernoulli-Experiment:
- Genau zwei Ergebnisse: Treffer / kein Treffer
- Der Treffer ist eindeutig festgelegt
- Die Trefferwahrscheinlichkeit ist bekannt und konstant
Schauen wir uns einige typische Beispiele an:
Du wirfst eine Münze.
Treffer: Kopf.
- Zwei Ergebnisse: Kopf oder Zahl
- Treffer eindeutig festgelegt
- \( \textcolor{green}{p = 0{,}5} \)
→ Bernoulli-Experiment
Du ziehst eine Kugel aus einer Urne mit
3 roten, 2 blauen und 1 grünen Kugel.
Treffer: rot.
- Treffer = rot, alle anderen = kein Treffer
- Genau zwei Ergebnisse
- \( \textcolor{green}{p = \dfrac{3}{6} = 0{,}5} \)
→ Bernoulli-Experiment
Du würfelst einmal und betrachtest die Augenzahl.
- Mehr als zwei mögliche Ergebnisse
- Kein festgelegter Treffer
→ kein Bernoulli-Experiment
Du misst die Temperatur draußen.
- Unendlich viele mögliche Ergebnisse
- Messung statt Treffer / kein Treffer
→ kein Bernoulli-Experiment
Wichtig
Nur zwei Ergebnisse?
→ mögliche Bernoulli-Situation
Messen oder mehr als zwei Ergebnisse?
→ keine Bernoulli-Formel
Merke
Wiederholst du ein Bernoulli-Experiment
mehrmals hintereinander,
entsteht eine Bernoulli-Kette.
Für eine bestimmte Trefferanzahl
nutzt du dann die Bernoulli-Formel.
\( \displaystyle P(X=\textcolor{blue}{k}) =
\binom{\textcolor{orange}{n}}{\textcolor{blue}{k}}
\cdot \textcolor{green}{p}^{\textcolor{blue}{k}}
\cdot (1-\textcolor{green}{p})^{\textcolor{orange}{n}-\textcolor{blue}{k}} \)
Bernoulli verstehen? Wir erklären es dir.
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in unseren FAQs
Wann darf ich die Bernoulli-Formel verwenden?
Was bedeutet „genau k Treffer“?
Warum kommt in der Bernoulli-Formel auch das Gegenereignis vor?
Was ist der Unterschied zwischen Bernoulli-Formel und Binomialverteilun
Muss ich mit der Bernoulli-Formel immer per Hand rechnen
Mehr dazu
Weiterführende Informationen
Was ist eine Bernoulli-Kette
Bernoulli-Formel und Binomialverteilung
Mit der Bernoulli-Formel berechnest du immer nur die Wahrscheinlichkeit für eine feste Trefferzahl \( {\textcolor{blue}{k}} \).
Berechnen wir diese Wahrscheinlichkeit für alle möglichen Trefferzahlen, entsteht eine Binomialverteilung.
Ein Spieler trifft einen Freiwurf mit
\( {\textcolor{green}{60\%}} \)
Wahrscheinlichkeit.
Er wirft \( {\textcolor{orange}{8}} \)-mal.
Er wirft \( {\textcolor{orange}{8}} \)-mal.
Mögliche Trefferzahlen sind:
\( k = 0, 1, 2, \dots, 8 \)
Für jede Trefferzahl entsteht eine eigene Wahrscheinlichkeit.
Stellt man diese einzelnen Wahrscheinlichkeiten in einem Säulendiagramm dar, entsteht ein Histogramm – die grafische Darstellung einer Binomialverteilung.
So sieht die Binomialverteilung
für dieses Beispiel aus:
Jeder Balken steht für
eine bestimmte Trefferzahl \( {\textcolor{blue}{k}} \).
Die Höhe des Balkens zeigt,
wie wahrscheinlich
diese Trefferzahl ist.
Wichtig
• ein Balken
→ Wahrscheinlichkeit für
eine Trefferzahl
\( {\textcolor{blue}{k}} \)
• alle Balken zusammen
→ Binomialverteilung
• Summe aller Balken
→ 1
(= 100 %)
• höchster Balken
→ am wahrscheinlichste Trefferzahl
Merke
Bernoulli-Formel
→ Wahrscheinlichkeit für genau eine Trefferzahl \( k \)
→ Wahrscheinlichkeit für genau eine Trefferzahl \( k \)
Binomialverteilung
→ Übersicht aller Wahrscheinlichkeiten für \( k = 0 \) bis \( {\textcolor{orange}{n}} \)
→ Übersicht aller Wahrscheinlichkeiten für \( k = 0 \) bis \( {\textcolor{orange}{n}} \)
Aus einer Binomialverteilung lassen sich später Erwartungswert und Standardabweichung ablesen.
Das Gegenereignis in der Formel
Nerdecke
