Stochastik leicht gemacht

Das Bernoulli-Experiment: Wie du die Formel richtig nutzt

Lisa von OnMathe
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Einleitung

In diesem Beitrag lernst du die Bernoulli-Formel kennen – sie ist eines der wichtigsten Werkzeuge in der Stochastik und hilft dir beim Berechnen von einzelnen Wahrscheinlichkeiten in Bernoulli-Experimenten.

Merke
Bernoulli-Formel:
\( \displaystyle P(X = k) = \binom{\textcolor{orange}{n}}{\textcolor{blue}{k}} \cdot \textcolor{green}{p}^{\textcolor{blue}{k}} \cdot (1 - \textcolor{green}{p})^{\textcolor{orange}{n} - \textcolor{blue}{k}} \)
\( \textcolor{orange}{n} \): Anzahl der Versuche
\( \textcolor{blue}{k} \): gewünschte Trefferanzahl
\( \textcolor{green}{p} \): Trefferwahrscheinlichkeit

Wir zeigen dir Schritt für Schritt, wie du die Formel anwendest, was ein Bernoulli-Experiment ist und worauf du beim Rechnen achten musst.

Einleitung

In diesem Beitrag lernst du die Bernoulli-Formel kennen – sie ist eines der wichtigsten Werkzeuge in der Stochastik und hilft dir beim Berechnen von einzelnen Wahrscheinlichkeiten in Bernoulli-Experimenten.

Merke
Bernoulli-Formel:
\( \displaystyle P(X = k) = \binom{\textcolor{orange}{n}}{\textcolor{blue}{k}} \cdot \textcolor{green}{p}^{\textcolor{blue}{k}} \cdot (1 - \textcolor{green}{p})^{\textcolor{orange}{n} - \textcolor{blue}{k}} \)
\( \textcolor{orange}{n} \): Anzahl der Versuche
\( \textcolor{blue}{k} \): gewünschte Trefferanzahl
\( \textcolor{green}{p} \): Trefferwahrscheinlichkeit

Wir zeigen dir Schritt für Schritt, wie du die Formel anwendest, was ein Bernoulli-Experiment ist und worauf du beim Rechnen achten musst.

Die Bernoulli-Formel

Mit der Bernoulli-Formel kannst du bestimmte Wahrscheinlichkeiten in einer Bernoulli-Kette berechnen.
Eine Bernoulli-Kette besteht aus \( \textcolor{orange}{n} \) Versuchen. Unsere Aufgabe ist es meist zu berechnen, wie wahrscheinlich es ist, genau \( \textcolor{blue}{k} \) Treffer zu haben.

Merke
Bernoulli-Formel:
\( \displaystyle P(X = k) = \binom{\textcolor{orange}{n}}{\textcolor{blue}{k}} \cdot \textcolor{green}{p}^{\textcolor{blue}{k}} \cdot (1 - \textcolor{green}{p})^{\textcolor{orange}{n} - \textcolor{blue}{k}} \)
\( \textcolor{orange}{n} \): Anzahl der Versuche
\( \textcolor{blue}{k} \): Anzahl der Treffer
\( \textcolor{green}{p} \): Trefferwahrscheinlichkeit

Wir schauen uns an einem Beispiel Schritt für Schritt an, wie man die Bernoulli-Formel anwendet.

Beispiel
Ein Basketballspieler trifft mit einer Wahrscheinlichkeit von \( \textcolor{green}{80\%} \) den Korb.
Er wirft \( \textcolor{orange}{5} \) Mal auf den Korb.
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass er genau \( \textcolor{blue}{4} \) mal den Korb trifft?
Als erstes filtern wir alle wichtigen Informationen aus dem Text heraus. Für die Bernoulli-Formel brauchen wir :
\( \textcolor{orange}{n} \): Anzahl der Versuche
\( \textcolor{blue}{k} \): gewünschte Trefferanzahl
\( \textcolor{green}{p} \): Trefferwahrscheinlichkeit

Der Basketballspieler wirft insgesamt 5 Mal auf den Korb. Das ist unser \( \textcolor{orange}{n} \).
Er trifft den Korb mit einer Wahrscheinlichkeit von \( \textcolor{green}{80\%} \), also gilt \( \textcolor{green}{p=0,8} \)
Wir fragen uns: Wie wahrscheinlich ist es, dass er genau 4 Mal trifft. Das ist unser \( \textcolor{blue}{k} \).

\( \textcolor{orange}{n = 5} \)
\( \textcolor{green}{p = 0{,}8} \)
\( \textcolor{blue}{k = 4} \)
Als nächstes setzen wir alle ermittelten Werte in die Bernoulli-Formel ein.
\( \displaystyle P(X = \textcolor{blue}{k}) = \binom{\textcolor{orange}{n}}{\textcolor{blue}{k}} \cdot \textcolor{green}{p}^{\textcolor{blue}{k}} \cdot (1 - \textcolor{green}{p})^{\textcolor{orange}{n} - \textcolor{blue}{k}} \)
\( \displaystyle P(X = \textcolor{blue}{4}) = \binom{\textcolor{orange}{5}}{\textcolor{blue}{4}} \cdot \textcolor{green}{0{,}8}^{\textcolor{blue}{4}} \cdot (1 - \textcolor{green}{0{,}8})^{\textcolor{orange}{5} - \textcolor{blue}{4}} \)
Nachdem wir eingesetzt haben, müssen wir nur noch alles in den Taschenrechner eingeben und erhalten die gesuchte Wahrscheinlichkeit.
\( \displaystyle P(X = \textcolor{blue}{4}) = 5 \cdot 0{,}4096 \cdot 0{,}2 \)
\( \displaystyle P(X = \textcolor{blue}{4}) = 0{,}4096 \)

Wir wissen nun: Der Basketballspieler trifft bei \( \textcolor{orange}{n = 5} \) Würfen mit einer Wahrscheinlichkeit von \( \textcolor{midnightblue}{40\%} \) genau \( \textcolor{blue}{k = 4} \) Mal den Korb.

Tipps & Tricks
Der Ausdruck \( \displaystyle \binom{\textcolor{orange}{n}}{\textcolor{blue}{k}} \) heißt „n über k“ und wird am Taschenrechner über eine spezielle Taste eingegeben.
Die Taste sieht oft so aus: nCr oder nCk.
Gib zuerst \( \textcolor{orange}{n} \) ein, dann die Taste nCr, danach \( \textcolor{blue}{k} \).
Beispiel: \( \textcolor{orange}{5} \, \texttt{nCr} \, \textcolor{blue}{4} \)

Was ist ein Bernoulli-Experiment

Die Bernoulli-Formel darfst du nur anwenden, wenn du eine binomialverteilte Zufallsgröße vor dir hast. Das bedeutet, du wiederholst ein Bernoulli-Experiment mehrere Male – und zählst, wie oft ein Treffer dabei ist. Doch was ist ein Bernoulli-Experiment?
Ein Bernoulli-Experiment ist ein Zufallsversuch mit genau zwei möglichen Ergebnissen: Treffer oder kein Treffer. Du kannst auch Erfolg und Misserfolg oder Ja und Nein sagen.

Merke
Bedingungen für ein Bernoulli-Experiment:
  • Es gibt genau zwei mögliche Ergebnisse: Treffer oder kein Treffer.
  • Es ist genau definiert, was als „Treffer“ gilt.
  • Die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer ist bekannt und immer gleich.

Wir schauen uns einige Beispiele an und entscheiden, ob es sich um ein Bernoulli-Experiment handelt:

Beispiel 1
Du wirfst eine Münze. Treffer: Es kommt Kopf.
  • Es gibt genau zwei mögliche Ergebnisse: Kopf oder Zahl
  • Es ist klar festgelegt, was als Treffer gilt: Kopf
  • Die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer ist bekannt: \( \textcolor{green}{p = 0{,}5} \)
→ Es handelt sich um ein Bernoulli-Experiment.
Beispiel 2
Du ziehst eine Kugel aus einer Urne mit 3 roten, 2 blauen und 1 grünen Kugel. Treffer: Die Kugel ist rot.
  • Es gibt mehrere mögliche Farben, aber durch die Definition „rot = Treffer“ werden alle anderen (blau und grün) zu „kein Treffer“ zusammengefasst → genau zwei Ergebnisse
  • Es ist klar festgelegt, was als Treffer gilt: rot
  • Die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer ist bekannt: \( \textcolor{green}{p = \dfrac{3}{6} = 0{,}5} \)
→ Es handelt sich um ein Bernoulli-Experiment.
Beispiel 3
Du würfelst einen normalen Würfel und schaust, welche Zahl oben liegt.
  • Es gibt sechs mögliche Ergebnisse: 1 bis 6 → mehr als zwei Möglichkeiten
  • Es ist nicht definiert, was als Treffer gilt
  • Die Wahrscheinlichkeit für ein bestimmtes Ergebnis ist bekannt, aber ohne Treffervorgabe nicht nutzbar
→ Es handelt sich nicht um ein Bernoulli-Experiment.
Beispiel 4
Du misst mit einem Thermometer die Temperatur draußen.
  • Es gibt unendlich viele mögliche Ergebnisse → deutlich mehr als zwei Ausgänge
  • Es ist nicht definiert, was als Treffer gilt
  • Eine konkrete Trefferwahrscheinlichkeit ist nicht gegeben
→ Es handelt sich nicht um ein Bernoulli-Experiment.
Wichtig
Ein Bernoulli-Experiment hat immer nur zwei ErgebnisseTreffer oder nicht Treffer.
Sobald es mehr als zwei Ergebnisse gibt oder etwas gemessen wird, handelt es sich nicht um ein Bernoulli-Experiment.

Was ist eine Bernoulli-Kette

Du hast gelernt, was ein Bernoulli-Experiment ist. Doch nur selten wird ein Versuch bloß einmal durchgeführt.
Wiederholt man ein Bernoulli-Experiment mehrfach und lässt dabei alle Bedingungen gleich, bekommt man eine Bernoulli-Kette.

Merke
Eine Bernoulli-Kette besteht aus \( \textcolor{orange}{n} \) gleichartigen, unabhängigen Bernoulli-Experimenten.
In jedem dieser Experimente bleibt die Trefferwahrscheinlichkeit \( \textcolor{green}{p} \) gleich.
Die Reihenfolge oder auch Positionen, der Treffer im Versuch kommen ist nicht wichtig.

Wir schauen und an einem Beispiel an, wie aus einem Bernoulli-Experiment eine Bernoulli-Kette entsteht.

Bernoulli-Experiment
Du wirfst eine Münze. Treffer ist: Es kommt Kopf.
Das ist ein Bernoulli-Experiment: zwei mögliche Ergebnisse (Kopf oder Zahl), und der Treffer ist klar definiert. Die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer ist immer gleich.

Jetzt werfen wir die Münze nicht nur einmal, sondern mehrmals hintereinander.

Bernoulli-Kette
Du wirfst die Münze \( \textcolor{orange}{10} \) Mal. Jedes Mal gilt: Treffer ist „Kopf“.
Auch, wenn wir die Münze mehrmals hintereinander werfen, bleibt es bei zwei möglichen Ergebnissen...
Treffer: Kopf
Kein Treffer: Zahl

...und ganz egal wie oft wir die Münze werfen, die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer bleibt immer gleich.

Trefferwahrscheinlichkeit: \( \textcolor{green}{p = 0{,}5} \)

Der Münzwurf ist ein Bernoulli-Experiment. Dieses Bernoulli-Experiment haben wir nun mehrmals hintereinander ausgeführt. Dabei bleiben alle Bedingungen gleich. Ganz egal, wie oft wir die Münze werfen, Treffer ist immer Kopf, die Trefferwahrscheinlichkeit bleibt immer \( \textcolor{green}{p = 0{,}5} \). Es ist eine Bernoulli-Kette entstanden.

Die Parameter \( \textcolor{orange}{n} \) und \( \textcolor{green}{p} \) können wir nutzen, um für jede beliebige Trefferzahl die Wahrscheinlichkeit zu bestimmen.

Schauen wir uns ein konkretes Beispiel an:

Beispiel
Eine Münze wird \( \textcolor{orange}{10} \) Mal geworfen. Treffer: Es kommt Kopf.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau \( \textcolor{blue}{4} \) Mal Kopf fällt?

Wir lesen die Anzahl der Versuche n, die Trefferwahrscheinlichkeit p und die Anzahl der Treffer k aus der Aufgabe ab.

\( \textcolor{orange}{n = 10} \)
\( \textcolor{green}{p = 0{,}5} \)
\( \textcolor{blue}{k = 4} \)

Jetzt setzen wir die Werte in die Bernoulli-Formel ein...

\( \displaystyle P(X = \textcolor{blue}{k}) = \binom{\textcolor{orange}{n}}{\textcolor{blue}{k}} \cdot \textcolor{green}{p}^{\textcolor{blue}{k}} \cdot (1 - \textcolor{green}{p})^{\textcolor{orange}{n} - \textcolor{blue}{k}} \)
\( \displaystyle P(X = \textcolor{blue}{4}) = \binom{\textcolor{orange}{10}}{\textcolor{blue}{4}} \cdot \textcolor{green}{0{,}5}^{\textcolor{blue}{4}} \cdot (1 - \textcolor{green}{0{,}5})^{\textcolor{orange}{10} - \textcolor{blue}{4}} \)

... und berechnen den Wert mit dem Taschenrechner.

\( \displaystyle P(X = \textcolor{blue}{4}) = 210 \cdot 0{,}0625 \cdot 0{,}015625 \)
\( \displaystyle P(X = \textcolor{blue}{4}) \approx 0{,}205 \)

Die Wahrscheinlichkeit, bei \( \textcolor{orange}{10} \) Würfen genau \( \textcolor{blue}{4} \) Treffer zu erzielen, beträgt etwa \( \textcolor{midnightblue}{20{,}5\%} \).

Genauso könntest du auch berechnen, wie wahrscheinlich es ist, genau 3 Mal oder genau 8 Mal Kopf zu werfen – oder jede andere mögliche Trefferzahl zwischen 0 und 10. Es ändert sich dabei immer nur der Wert von \( \textcolor{blue}{k} \), denn \( \textcolor{blue}{k} \) steht für die Trefferanzahl.

Merke
Ein einzelner Münzwurf = Bernoulli-Experiment
Mehrere Würfe unter gleichen Bedingungen = Bernoulli-Kette
Wichtig
Ein einzelnes Bernoulli-Experiment hat genau zwei mögliche Ergebnisse: Treffer oder kein Treffer.
Wenn du ein solches Experiment mehrmals unter denselben Bedingungen durchführst, erhälst du eine Bernoulli-Kette.
Wichtig: Die Trefferwahrscheinlichkeit \( \textcolor{green}{p} \) muss bei jedem einzelnen Versuch gleich bleiben und die Reihenfolge der Treffer ist beliebig

Wie erkenne ich eine Bernoulli-Kette

Bevor du die Bernoulli-Formel verwendest, schau dir genau an, ob es wirklich eine Bernoulli-Kette ist. Nur dann darfst du die Formel benutzen!

Merke
Bedingungen für eine Bernoulli-Kette:
  • Ein einzelner Versuch ist ein Bernoulli-Experiment
  • Die Versuche werden mehrfach unter gleichen Bedingungen durchgeführt
  • Alle Versuche sind unabhängig voneinander
  • Die Trefferwahrscheinlichkeit bleibt in jedem Versuch gleich
  • Die Position der Treffer in der Kette ist beliebig

Schauen wir uns vier Situationen an und entscheiden, ob es sich um eine Bernoulli-Kette handelt oder nicht.

Beispiel 1
Du wirfst eine Münze 8 Mal. Treffer ist: Es kommt Kopf.
  • Ein einzelner Münzwurf mit „Kopf = Treffer“ ist ein Bernoulli-Experiment
  • Der Versuch wird mehrfach durchgeführt: 8 Würfe
  • Jeder Wurf ist unabhängig vom vorherigen
  • Die Trefferwahrscheinlichkeit bleibt konstant: \( \textcolor{green}{p = 0{,}5} \)
→ Es handelt sich um eine Bernoulli-Kette.
Beispiel 2
Du ziehst 6 Kugeln nacheinander ohne Zurücklegen aus einer Urne. Treffer ist: Die Kugel ist rot.
  • Ein einzelner Zug mit „rot = Treffer“ ist ein Bernoulli-Experiment
  • Der Versuch wird mehrfach durchgeführt: 6 Ziehungen
  • Da wir ohne Zurücklegen spielen, sind die einzelnen Ziehungen sind nicht unabhängig
  • Die Trefferwahrscheinlichkeit ändert sich bei jedem Zug
→ Es handelt sich nicht um eine Bernoulli-Kette.
Gewusst?
Unabhängig bedeutet:
Was beim ersten Versuch passiert, hat keinen Einfluss auf den nächsten Versuch.
Beispiel: Du wirfst mehrmals eine Münze. Ob beim ersten Wurf „Kopf“ kommt, ändert nichts an der Wahrscheinlichkeit beim zweiten Wurf.
Beispiel 3
Ein Schüler beantwortet 10 Quizfragen. Für jede Frage bekommt er zwei Antwortmöglichkeiten.
Treffer ist: Die Antwort ist richtig.
  • Eine einzelne Frage mit „richtig = Treffer“ ist ein Bernoulli-Experiment
  • Der Versuch wird mehrfach durchgeführt: 10 Fragen
  • Die Antworten sind unabhängig voneinander
  • Die Trefferwahrscheinlichkeit bleibt konstant
→ Es handelt sich um eine Bernoulli-Kette.
Beispiel 4
Du misst morgens an 7 Tagen die Außentemperatur. Treffer ist: Die Temperatur ist über 10 °C.
  • Einzelne Messung mit „über 10 °C = Treffer“ ist kein klares Bernoulli-Experiment
  • Der Versuch wird mehrfach durchgeführt: 7 Messungen
  • Die Messungen sind nicht unabhängig – sie hängen oft vom Wetter der Vortage ab
  • Die Trefferwahrscheinlichkeit kann sich ändern, z. B. bei Wetterumschwung
→ Es handelt sich nicht um eine Bernoulli-Kette.
Wichtig
Eine Bernoulli-Kette liegt nur dann vor, wenn alle Versuche unabhängig sind, genau zwei mögliche Ergebnisse haben und die Trefferwahrscheinlichkeit \( \textcolor{green}{p} \) immer gleich bleibt.

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Übungen

Berechne!

\( P(X = 2), \text{ wenn } n = 5, \, p = 0{,}6 \)

Lösung

\( P(X = 2) = \binom{5}{2} \cdot 0{,}6^2 \cdot 0{,}4^3 = 10 \cdot 0{,}36 \cdot 0{,}064 = 0{,}2304 \)

Löse mit Hilfe der Bernoulli-Formel.

Ein Würfel wird 6-mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau zweimal eine 6 zu würfeln?

Lösung

\( P(X = 2) = \binom{6}{2} \cdot \left(\dfrac{1}{6}\right)^2 \cdot \left(\dfrac{5}{6}\right)^4 = 15 \cdot \dfrac{1}{36} \cdot \dfrac{625}{1296} \approx 0{,}2009 \)

Ein Würfel wird \( 8 \) Mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau \( 3 \) Mal eine Sechs geworfen wird?

Lösung

\( \displaystyle P(X = 3) = \binom{8}{3} \cdot \left(\dfrac{1}{6}\right)^3 \cdot \left(\dfrac{5}{6}\right)^5 \)
\( P(X = 3) = 56 \cdot \dfrac{1}{216} \cdot \dfrac{3125}{7776} \approx 0{,}104 \)

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Mehr dazu

in unseren FAQs

1. Wann darf ich die Bernoulli-Formel verwenden?

Nur wenn es sich um eine sogenannte Bernoulli-Kette handelt – also wenn du einen Zufallsversuch mit zwei möglichen Ausgängen (Erfolg/Misserfolg) mehrmals unter denselben Bedingungen wiederholst.

2. Was ist der Unterschied zwischen einer Bernoulli-Kette und einer normalen Wahrscheinlichkeitsaufgabe?

Bei der Bernoulli-Kette bleibt die Wahrscheinlichkeit für Erfolg oder Misserfolg bei jedem Durchgang gleich – bei normalen Aufgaben kann sie sich ändern, z. B. wenn ohne Zurücklegen gezogen wird.

3. Wie erkenne ich, was in der Aufgabe „Erfolg“ ist?

Das hängt von der Fragestellung ab. Meist steht in der Aufgabe, was genau als Treffer oder Erfolg gezählt werden soll – z. B. „mindestens 3 Sechsen“, „genau 2 Treffer“ oder „höchstens ein Fehler“.

4. Muss ich die Formel auswendig lernen?

Nein, wichtiger ist, dass du sie verstehst. Wenn du weißt, wie sie aufgebaut ist und was die Bestandteile bedeuten, kannst du sie in jeder Situation richtig anwenden – auch mit Formelsammlung.

5. Was mache ich, wenn der Taschenrechner kein nCr oder keine Potenzierung kann?

Dann kannst du die Wahrscheinlichkeit auch Schritt für Schritt mit der Fakultät und der Potenzregel berechnen. Bei Klassenarbeiten wird meist ein Taschenrechner mit Kombinationsfunktion bereitgestellt.

Vertiefung

Weiterführende Informationen

Die Bernoulli-Formel als Werkzeug

Die Bernoulli-Formel ist ein zentrales Hilfsmittel in der Wahrscheinlichkeitsrechnung, wenn du mehrfache, gleichartige Versuche mit nur zwei möglichen Ausgängen untersuchst – also sogenannte Bernoulli-Ketten. Du brauchst sie immer dann, wenn du die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen möchtest, wie oft ein bestimmtes Ergebnis innerhalb einer festen Anzahl an Versuchen eintritt. Egal ob Würfeln, Ziehen oder Raten – mit der Bernoulli-Formel hast du ein mächtiges Werkzeug in der Hand.

Was ist die Bernoulli-Formel?

Die Bernoulli-Formel beschreibt die Wahrscheinlichkeit, dass ein bestimmtes Ereignis bei einer festgelegten Anzahl an Wiederholungen exakt so oft eintritt. Dabei muss der Versuch binär sein, also nur zwei mögliche Ergebnisse haben – Erfolg oder Misserfolg. Die Formel selbst besteht aus drei Bausteinen: einer Kombinatorik-Komponente, einer Erfolgswahrscheinlichkeit und einer Gegenwahrscheinlichkeit. Du setzt sie genau dann ein, wenn du z. B. wissen willst, wie hoch die Wahrscheinlichkeit für „genau 3 Treffer bei 5 Versuchen“ ist.

Häufige Fehler & Tipps zum Lernen

Viele verwechseln die Bernoulli-Formel mit normalen Aufgaben zur Wahrscheinlichkeit. Achte deshalb genau darauf, ob es sich um eine echte Bernoulli-Kette handelt. Ein häufiger Fehler ist auch, den falschen Wert für die Erfolgswahrscheinlichkeit einzusetzen – lies die Aufgabe immer sorgfältig. Tipp: Nutze die Formel nicht mechanisch, sondern versuche wirklich zu verstehen, was sie berechnet. Ein Baumdiagramm vorab hilft oft beim Einordnen. Und ganz wichtig: Prüfe, ob die Wahrscheinlichkeit für Erfolg und Misserfolg in jedem Durchlauf gleich bleibt.

Woher kommt die Bernoulli-Formel?

Die Formel geht zurück auf den Mathematiker Jakob Bernoulli, der im 17. Jahrhundert grundlegende Arbeiten zur Wahrscheinlichkeitsrechnung verfasste. Seine Untersuchungen zu wiederholten Zufallsexperimenten bildeten die Basis für das, was wir heute als Bernoulli-Kette und Bernoulli-Verteilung kennen. Sie zeigen, wie aus einfachen Ja-Nein-Versuchen mathematisch exakte Vorhersagen entstehen können – ein Konzept, das bis heute in der Statistik und in praktischen Anwendungen wie Qualitätskontrolle, Medizin und Informatik verwendet wird.

Moderne Anwendungen der Bernoulli-Formel

Auch heute ist die Bernoulli-Formel in vielen Bereichen relevant: in der Statistik, bei Umfragen, in der Technik und bei Testszenarien. Sie hilft überall dort, wo binäre Ereignisse auftreten – also z. B. beim Modellieren von Fehlerraten, beim Überprüfen von Produktqualität oder bei medizinischen Diagnosen. Besonders bei großen Datenmengen wird die Bernoulli-Formel oft als Teil komplexerer Modelle eingesetzt. Für Schülerinnen und Schüler bleibt sie aber ein klares und verständliches Werkzeug, um Wahrscheinlichkeiten bei wiederholten Versuchen zu bestimmen.