Stochastik verstehen
Permutation – wie viele Möglichkeiten?
Lisa von OnMathe
Einleitung
Bei der Permutation werden alle gegebenen Objekte angeordnet – die ≈angeordnet ist entscheidend.
Schau dir ein einfaches Beispiel an:
\( {\textcolor{orange}{5}} \) verschiedene Bücher sollen ins Regal gestellt werden.
\( {\textcolor{orange}{n}} = {\textcolor{orange}{5}} \)
Permutation ohne Wiederholung:
\( P = {\textcolor{orange}{n}}! = {\textcolor{orange}{5}}! \)
\( {\textcolor{orange}{5}}! = {\textcolor{orange}{5}} \cdot {\textcolor{orange}{4}} \cdot
{\textcolor{orange}{3}} \cdot {\textcolor{orange}{2}} \cdot {\textcolor{orange}{1}} =
{\textcolor{midnightblue}{120}} \)
→ Es gibt 120 verschiedene Reihenfolgen.
Merke
Permutation ohne Wiederholung
→ alle Objekte sind verschieden und werden vollständig angeordnet
→ alle Objekte sind verschieden und werden vollständig angeordnet
\( P_{\textcolor{midnightblue}{\text{ohne}}} = {\textcolor{orange}{n}}! \)
Jetzt betrachten wir einen zweiten Fall, bei dem nicht alle Objekte verschieden sind:
\( {\textcolor{orange}{6}} \) Kugeln sollen in einer Reihe angeordnet werden: \(
{\textcolor{green}{3}} \) sind blau, \( {\textcolor{green}{2}} \) rot und \( {\textcolor{green}{1}}
\) gelb.
\( {\textcolor{orange}{n}} = {\textcolor{orange}{6}} \), davon \( {\textcolor{green}{k_1}} =
{\textcolor{green}{3}} \), \( {\textcolor{green}{k_2}} = {\textcolor{green}{2}} \), \(
{\textcolor{green}{k_3}} = {\textcolor{green}{1}} \).
Permutation mit Wiederholung:
\( P = \dfrac{{\textcolor{orange}{6}}!} {{\textcolor{green}{3}}! \cdot {\textcolor{green}{2}}! \cdot
{\textcolor{green}{1}}!} \)
\( P = \dfrac{{\textcolor{midnightblue}{720}}} {{\textcolor{midnightblue}{12}}} =
{\textcolor{midnightblue}{60}} \)
→ Es gibt 60 verschiedene Reihenfolgen.
Merke
Permutation mit Wiederholung
→ alle Objekte werden angeordnet, aber es gibt identische Objekte
→ alle Objekte werden angeordnet, aber es gibt identische Objekte
\( P_{\textcolor{midnightblue}{\text{mit}}} = \dfrac{{\textcolor{orange}{n}}!}
{{\textcolor{green}{k_1}}! \cdot {\textcolor{green}{k_2}}! \cdot {\textcolor{green}{k_3}}! \dots} \)
Wichtig
Eine Permutation beschreibt, wie viele
verschiedene Anordnungen möglich sind, wenn alle Objekte verwendet
werden und ihre Reihenfolge entscheidend ist.
→ Bei der Permutation werden alle Elemente geordnet.
Im Beitrag lernst du alle Fälle verständlich kennen – Permutation mit und ohne Wiederholung, typischen Fehlern und Übungsaufgaben.
Einleitung
Bei der Permutation werden alle gegebenen Objekte angeordnet – die ≈angeordnet ist entscheidend.
Schau dir ein einfaches Beispiel an:
\( {\textcolor{orange}{5}} \) verschiedene Bücher sollen ins Regal gestellt werden.
\( {\textcolor{orange}{n}} = {\textcolor{orange}{5}} \)
Permutation ohne Wiederholung:
\( P = {\textcolor{orange}{n}}! = {\textcolor{orange}{5}}! \)
\( {\textcolor{orange}{5}}! = {\textcolor{orange}{5}} \cdot {\textcolor{orange}{4}} \cdot
{\textcolor{orange}{3}} \cdot {\textcolor{orange}{2}} \cdot {\textcolor{orange}{1}} =
{\textcolor{midnightblue}{120}} \)
→ Es gibt 120 verschiedene Reihenfolgen.
Merke
Permutation ohne Wiederholung
→ alle Objekte sind verschieden und werden vollständig angeordnet
→ alle Objekte sind verschieden und werden vollständig angeordnet
\( P_{\textcolor{midnightblue}{\text{ohne}}} = {\textcolor{orange}{n}}! \)
Jetzt betrachten wir einen zweiten Fall, bei dem nicht alle Objekte verschieden sind:
\( {\textcolor{orange}{6}} \) Kugeln sollen in einer Reihe angeordnet werden: \(
{\textcolor{green}{3}} \) sind blau, \( {\textcolor{green}{2}} \) rot und \( {\textcolor{green}{1}}
\) gelb.
\( {\textcolor{orange}{n}} = {\textcolor{orange}{6}} \), davon \( {\textcolor{green}{k_1}} =
{\textcolor{green}{3}} \), \( {\textcolor{green}{k_2}} = {\textcolor{green}{2}} \), \(
{\textcolor{green}{k_3}} = {\textcolor{green}{1}} \).
Permutation mit Wiederholung:
\( P = \dfrac{{\textcolor{orange}{6}}!} {{\textcolor{green}{3}}! \cdot {\textcolor{green}{2}}! \cdot
{\textcolor{green}{1}}!} \)
\( P = \dfrac{{\textcolor{midnightblue}{720}}} {{\textcolor{midnightblue}{12}}} =
{\textcolor{midnightblue}{60}} \)
→ Es gibt 60 verschiedene Reihenfolgen.
Merke
Permutation mit Wiederholung
→ alle Objekte werden angeordnet, aber es gibt identische Objekte
→ alle Objekte werden angeordnet, aber es gibt identische Objekte
\( P_{\textcolor{midnightblue}{\text{mit}}} = \dfrac{{\textcolor{orange}{n}}!}
{{\textcolor{green}{k_1}}! \cdot {\textcolor{green}{k_2}}! \cdot {\textcolor{green}{k_3}}! \dots} \)
Wichtig
Eine Permutation beschreibt, wie viele
verschiedene Anordnungen möglich sind, wenn alle Objekte verwendet
werden und ihre Reihenfolge entscheidend ist.
→ Bei der Permutation werden alle Elemente geordnet.
Im Beitrag lernst du alle Fälle verständlich kennen – Permutation mit und ohne Wiederholung, typischen Fehlern und Übungsaufgaben.
Permutation - ohne Wiederholung
Bei der Permutation ohne Wiederholung werden alle Objekte angeordnet –
und jedes kommt genau einmal vor. Jede neue Reihenfolge zählt.
Sechs Läuferinnen laufen ein Rennen. Wie viele mögliche
Ergebnisreihenfolgen gibt es?
Für den 1. Platz kommen 6 Läuferinnen infrage. Ist dieser vergeben, bleiben für den 2. Platz noch 5, für den 3. Platz 4 usw. – bis am Ende nur noch 1 Läuferin übrig ist.
Gesamtheit aller Objekte:
Läuferinnen → \( {\textcolor{orange}{n}} = {\textcolor{orange}{6}} \)
Alle Möglichkeiten multiplizieren:
\( {\textcolor{orange}{6}} \cdot {\textcolor{orange}{5}} \cdot {\textcolor{orange}{4}} \cdot
{\textcolor{orange}{3}} \cdot {\textcolor{orange}{2}} \cdot {\textcolor{orange}{1}} =
{\textcolor{midnightblue}{720}} \)
Kurzschreibweise (Fakultät):
\( {\textcolor{orange}{6}}! = {\textcolor{midnightblue}{720}} \)
- insgesamt 6 Läuferinnen
- alle sind verschieden (keine gleichen Objekte)
- jede Läuferin kommt genau einmal vor
- andere Reihenfolge → anderes Ergebnis
Es gibt also 720 verschiedene Reihenfolgen – also 720 mögliche Zieleinläufe im Rennen.
Merke
Bei der Permutation ohne Wiederholung sind alle Objekte verschieden
und kommen genau einmal vor.
\( P = {\textcolor{orange}{n}}! \)
Fakultät
Das Ausrufezeichen hinter einer Zahl steht für die Fakultät.
Das bedeutet: Multipliziere die Zahl mit allen kleineren positiven Zahlen bis 1.
Das bedeutet: Multipliziere die Zahl mit allen kleineren positiven Zahlen bis 1.
\( {\textcolor{orange}{n}}! = {\textcolor{orange}{n}} \cdot ({\textcolor{orange}{n}}-1) \cdot
({\textcolor{orange}{n}}-2) \cdot \dots \cdot {\textcolor{orange}{1}} \)
\( {\textcolor{orange}{4}}! = {\textcolor{orange}{4}} \cdot {\textcolor{orange}{3}} \cdot
{\textcolor{orange}{2}} \cdot {\textcolor{orange}{1}} = {\textcolor{midnightblue}{24}} \)
Permutation - mit Wiederholung
Bei der Permutation mit Wiederholung werden alle Objekte angeordnet –
aber einige sind identisch. Vertauscht man gleiche Objekte, sieht das Ergebnis gleich aus.
Du hast 8 Bauklötze für einen Turm:
4 rote, 3 gelbe und
1 blauen Klotz.
Auf wie viele verschiedene Weisen kannst du die Klötze stapeln?
An den untersten Platz kannst du einen von 8 Klötzen setzen. Danach bleiben 7, dann 6 … bis nur noch 1 übrig ist.
Aber: einige Klötze sehen gleich aus - 4 rote, 3 gelbe und 1 blauer. Vertauscht man gleiche Klötze, entsteht kein neuer Turm.
Gesamtheit aller Objekte:
Klötze → \( {\textcolor{orange}{n}} = {\textcolor{orange}{8}} \)
Identische Gruppen:
\( {\textcolor{green}{k_1}} = {\textcolor{green}{4}} \) (rot),
\( {\textcolor{green}{k_2}} = {\textcolor{green}{3}} \) (gelb),
\( {\textcolor{green}{k_3}} = {\textcolor{green}{1}} \) (blau)
Allgemeine Formel:
\( P =
\dfrac{{\textcolor{orange}{n}}!}
{{\textcolor{green}{k_1}}! \cdot
{\textcolor{green}{k_2}}! \cdot
{\textcolor{green}{k_3}}! \dots} \)
Einsetzen:
\( P =
\dfrac{{\textcolor{orange}{8}}!}
{{\textcolor{green}{4}}! \cdot
{\textcolor{green}{3}}! \cdot
{\textcolor{green}{1}}!} \)
\( P =
\dfrac{{\textcolor{midnightblue}{40320}}}
{{\textcolor{midnightblue}{144}}}
= {\textcolor{midnightblue}{280}} \)
- insgesamt 8 Klötze
- 4× rot, 3× gelb, 1× blau
- gleiche Farben → nicht unterscheidbar
- Vertauschen gleicher Klötze → keine neue Anordnung
- Mehrfach gezählten Anordnungen müssen wir herausdividieren
Es gibt also 280 wirklich unterschiedliche Türme.
Merke
Bei der Permutation mit Wiederholung kommen einige Objekte mehrfach vor
und sind nicht unterscheidbar.
\( P =
\dfrac{{\textcolor{orange}{n}}!}
{{\textcolor{green}{k_1}}! \cdot
{\textcolor{green}{k_2}}! \cdot
{\textcolor{green}{k_3}}! \dots} \)
\( {\textcolor{orange}{n}} \) ist die Gesamtanzahl aller Objekte.
Die Werte \( {\textcolor{green}{k_1}}, {\textcolor{green}{k_2}}, {\textcolor{green}{k_3}}, \dots \)
sind die Häufigkeiten der identischen Gruppen.
Abschlussbeispiel
Zum Schluss zwei Aufgaben, bei denen du entscheiden musst: Liegt eine Permutation ohne Wiederholung oder eine Permutation mit Wiederholung vor?
Vier Freundinnen wollen sich für ein Foto
nebeneinander aufstellen.
Wie viele verschiedene Reihenfolgen sind möglich?
Alle Personen sind verschieden → ohne Wiederholung.
\( {\textcolor{orange}{n}} = {\textcolor{orange}{4}} \)
\( P = {\textcolor{orange}{n}}! = {\textcolor{orange}{4}}! \)
\( {\textcolor{orange}{4}}! =
{\textcolor{orange}{4}} \cdot
{\textcolor{orange}{3}} \cdot
{\textcolor{orange}{2}} \cdot
{\textcolor{orange}{1}} =
{\textcolor{midnightblue}{24}} \)
→ Es gibt 24 verschiedene Reihenfolgen.
Betrachte die Ziffernfolge: \( 2, 3, 3, 5, 5, 5 \).
Wie viele unterschiedliche Anordnungen sind möglich?
Einige Ziffern kommen mehrfach vor → mit Wiederholung.
\( {\textcolor{orange}{n}} = {\textcolor{orange}{6}} \) Ziffern
\( {\textcolor{green}{k_1}} = 1 \) (2),
\( {\textcolor{green}{k_2}} = 2 \) (3),
\( {\textcolor{green}{k_3}} = 3 \) (5)
Allgemeine Formel:
\( P =
\dfrac{{\textcolor{orange}{n}}!}
{{\textcolor{green}{k_1}}! \cdot
{\textcolor{green}{k_2}}! \cdot
{\textcolor{green}{k_3}}! \dots} \)
Einsetzen:
\( P =
\dfrac{{\textcolor{orange}{6}}!}
{{\textcolor{green}{1}}! \cdot
{\textcolor{green}{2}}! \cdot
{\textcolor{green}{3}}!} \)
\( P =
\dfrac{{\textcolor{midnightblue}{720}}}
{{\textcolor{midnightblue}{12}}}
= {\textcolor{midnightblue}{60}} \)
→ Es gibt 60 verschiedene Anordnungen.
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Übungen
Sechs Schülerinnen stellen sich für ein Klassenfoto in einer Reihe auf.
Wie viele verschiedene Aufstellungen sind möglich?
Lösung
Es werden alle \( 6 \) Personen verwendet und jede kommt genau einmal vor →
Permutation ohne Wiederholung.
\( {\textcolor{orange}{n}} = 6 \Rightarrow P = {\textcolor{orange}{n}}! = 6! = 720 \)
Aus den Buchstaben des Wortes „MAMA“ sollen alle möglichen verschiedenen
Anordnungen gebildet werden. Wie viele unterschiedliche „Wörter“ entstehen?
Lösung
Insgesamt \( 4 \) Buchstaben, davon \( 2 \) mal \( M \) und \( 2 \) mal \( A \) →
Permutation mit Wiederholung.
\( {\textcolor{orange}{n}} = 4 \Rightarrow
P = \dfrac{4!}{2! \cdot 2!} = \dfrac{24}{4} = 6 \)
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in unseren FAQs
Woran erkenne ich schnell, ob ich „mit“ oder „ohne Wiederholung“ rechnen muss?
Wenn jedes Objekt einzigartig ist → ohne Wiederholung:
\( {\textcolor{orange}{n}}! \)
Wenn Objekte gleich aussehen → mit Wiederholung:
\( P = \dfrac{{\textcolor{orange}{n}}!}
{{\textcolor{green}{k_1}}! \cdot {\textcolor{green}{k_2}}! \dots} \)
Warum muss man bei Wiederholung durch die Fakultäten der Gruppen teilen?
Gleiche Objekte erzeugen keine neuen Anordnungen.
Durch das Dividieren entfernst du alle Varianten, die optisch identisch sind.
Was bedeutet die Fakultät überhaupt?
Die Fakultät \( {\textcolor{orange}{n}}! \) zählt alle Reihenfolgen,
wenn jedes Objekt genau einmal vorkommt.
\( {\textcolor{orange}{5}}! =
5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 =
{\textcolor{midnightblue}{120}} \)
Muss ich die Objekte immer komplett verwenden?
Ja. Bei Permutationen werden immer alle Plätze gefüllt und alle Objekte genutzt.
Wenn du nur einige auswählst, bist du bei Kombinationen oder Variationen.
Was ist der häufigste Fehler bei Permutationen?
Viele starten sofort mit \( n\! \), ohne zu prüfen, ob es identische Objekte gibt.
→ Erst unterscheiden, ob Wiederholung vorliegt, dann die passende Formel wählen.
Vertiefung
Weiterführende Informationen
Ohne vs. mit Wiederholung – der Vergleich
Jetzt weißt du, wie beide Arten der Permutation funktionieren. In dieser Übersicht siehst du noch einmal, wann du welche Variante verwendest.
| ohne Wiederholung | mit Wiederholung | |
|---|---|---|
| Bedeutung | Jedes Objekt wird nur einmal verwendet. | Manche Objekte wiederholen sich oder sehen gleich aus. |
| Beispiel | 6 Läuferinnen in einem Rennen – jede belegt einen anderen Platz. | 8 Bauklötze mit gleichen Farben – vertauschte gleiche Klötze ergeben kein neues Ergebnis. |
| Formel | \( P = {\textcolor{orange}{n}}! \) | \( P = \dfrac{{\textcolor{orange}{n}}!} {{\textcolor{green}{k_1}}! \cdot {\textcolor{green}{k_2}}! \cdot {\textcolor{green}{k_3}}! \dots} \) |
| Typischer Gedanke | „Ich verwende jedes Teil genau einmal.“ | „Einige Teile sind gleich – ich muss sie nicht doppelt zählen.“ |
| ohne Wiederholung | mit Wiederholung |
|---|---|
|
Bedeutung: Jedes Objekt wird nur einmal verwendet. |
Bedeutung: Manche Objekte wiederholen sich oder sehen gleich aus. |
|
Beispiel: 6 Läuferinnen – jede belegt einen anderen Platz. |
Beispiel: 8 Bauklötze mit gleichen Farben – vertauschte gleiche Klötze ergeben kein neues Ergebnis. |
|
Formel: \( P = {\textcolor{orange}{n}}! \) |
Formel: \( P = \dfrac{{\textcolor{orange}{n}}!} {{\textcolor{green}{k_1}}! \cdot {\textcolor{green}{k_2}}! \cdot {\textcolor{green}{k_3}}! \dots} \) |
|
Typischer Gedanke: „Ich verwende jedes Teil genau einmal.“ |
Typischer Gedanke: „Einige Teile sind gleich – ich muss sie nicht doppelt zählen.“ |
Kurz gesagt: ohne Wiederholung nutzt du die einfache Fakultät \( {\textcolor{orange}{n}}! \). Bei Wiederholung startest du ebenfalls mit \( {\textcolor{orange}{n}}! \), teilst aber durch die Fakultäten der identischen Gruppen.
Merke
Prüfe immer zuerst: Kommen Objekte doppelt vor?
• alle Objekte verschieden → \( P = {\textcolor{orange}{n}}! \)
• einige Objekte gleich
→ \( P = \dfrac{{\textcolor{orange}{n}}!} {{\textcolor{green}{k_1}}! \cdot {\textcolor{green}{k_2}}! \cdot {\textcolor{green}{k_3}}! \dots} \)
→ \( P = \dfrac{{\textcolor{orange}{n}}!} {{\textcolor{green}{k_1}}! \cdot {\textcolor{green}{k_2}}! \cdot {\textcolor{green}{k_3}}! \dots} \)
Die Formel verstehen
Die Formel für Permutationen mit Wiederholung kennst du bereits – jetzt zeigen wir dir, warum sie so aussieht.
Wichtig
• alle Objekte werden verwendet
• einige Objekte sind identisch
• gleiche Objekte → ergeben dieselbe Anordnung
Du hast 8 Klötze:
4 rot, 3 gelb,
1 blau.
Wie viele verschiedene Türme kannst du bauen?
Baust du den Turm Stein für Stein, hast du zuerst 8 Möglichkeiten, dann 7, dann 6 … bis der letzte Platz mit 1 Klotz gefüllt wird.
Anzahl Möglichkeiten zu bauen:
\( {\textcolor{orange}{8}} \cdot
{\textcolor{orange}{7}} \cdot
{\textcolor{orange}{6}} \cdot
{\textcolor{orange}{5}} \cdot
{\textcolor{orange}{4}} \cdot
{\textcolor{orange}{3}} \cdot
{\textcolor{orange}{2}} \cdot
{\textcolor{orange}{1}}
= {\textcolor{midnightblue}{40320}} \)
→ Das ist die Fakultät \( {\textcolor{orange}{8}}! \)
- insgesamt 8 Klötze → \( {\textcolor{orange}{8}}! \) Möglichkeiten
- Aber: 4× rot, 3× gelb, 1× blau
- gleiche Farben → nicht unterscheidbar
- Vertauschen gleicher Klötze → keine neue Anordnung, der Turm sieht immer gleich aus.
Vertauschungen, die den Turm nicht verändern:
- \( {\textcolor{green}{4}}! \) → rote Klötze
- \( {\textcolor{green}{3}}! \) → gelbe Klötze
- \( {\textcolor{green}{1}}! \) → blauer Klotz
Gesamt:
\( {\textcolor{green}{4}}! \cdot
{\textcolor{green}{3}}! \cdot
{\textcolor{green}{1}}! \)
Alles, was den Turm optisch nicht verändern, müssen wir aus der Gesamtzahl herausnehmen. Das machen wir, indem wir durch all diese Vertauschungen dividieren.
Gesamtzahl aller Objekte:
\( {\textcolor{orange}{n}} = {\textcolor{orange}{8}} \)
Identische Gruppen:
\( {\textcolor{green}{k_1}} = {\textcolor{green}{4}} \) (rot),
\( {\textcolor{green}{k_2}} = {\textcolor{green}{3}} \) (gelb),
\( {\textcolor{green}{k_3}} = {\textcolor{green}{1}} \) (blau)
Allgemeine Formel:
\( P =
\dfrac{{\textcolor{orange}{n}}!}
{{\textcolor{green}{k_1}}! \cdot
{\textcolor{green}{k_2}}! \cdot
{\textcolor{green}{k_3}}! \dots} \)
Einsetzen:
\( P =
\dfrac{{\textcolor{orange}{8}}!}
{{\textcolor{green}{4}}! \cdot
{\textcolor{green}{3}}! \cdot
{\textcolor{green}{1}}!} \)
\( P =
\dfrac{{\textcolor{midnightblue}{40320}}}
{{\textcolor{midnightblue}{144}}}
= {\textcolor{midnightblue}{280}} \)
Ergebnis: 280 unterschiedliche Türme – alle anderen wären optisch gleich.
Merke
Bei der Permutation mit Wiederholung startest du mit
\( {\textcolor{orange}{n}}! \)
und entfernst alle Anordnungen, die sich durch identische Objekte
nicht unterscheiden.
\( P =
\dfrac{{\textcolor{orange}{n}}!}
{{\textcolor{green}{k_1}}! \cdot
{\textcolor{green}{k_2}}! \cdot
{\textcolor{green}{k_3}}! \dots} \)
\( {\textcolor{orange}{n}} \) = Gesamtzahl aller Objekte
\( {\textcolor{green}{k_i}} \) = Häufigkeiten der identischen Gruppen
Permutation im Alltag – zwei Beispiele
Du begegnest Permutationen ständig im Alltag. Besonders dann, wenn die Reihenfolge etwas verändert oder festlegt. Diese zwei Beispiele zeigen dir, wo Permutationen vorkommen.
Deine Musik läuft im Shuffle-Modus.
Stell dir vor, du hast eine Playlist mit 12 verschiedenen Songs.
Im Shuffle werden alle Songs genau einmal gespielt – aber in immer anderer Reihenfolge.
Wie viele unterschiedliche Reihenfolgen gibt es?
\( {\textcolor{orange}{12}}! =
{\textcolor{midnightblue}{479001600}} \)
→ Es gibt über 479 Millionen mögliche Abspielfolgen.
Wenn ein Song 3 Minuten dauert, bräuchtest du 2 730 000 000 Minuten, um alle Reihenfolgen einmal zu hören. Das sind über 5000 Jahre – verdammt lange, oder?
Warum passt das hier?
• alle Songs sind verschieden
• jeder Song kommt genau einmal vor
• Reihenfolge ändert das Ergebnis → klassische Permutation
Dein Bruder sortiert deine Sneaker um.
Er stellt sie neu in deinem Regal auf – in einer einzigen Reihe.
- 3 gleiche weiße Sneaker
- 2 gleiche schwarze Sneaker
- 1 besonderes Modell (nur einmal vorhanden)
Wie viele verschiedene Reihenfolgen könnte er gebaut haben?
Insgesamt hast du 6 Sneaker. Wären alle verschieden, gäbe es \( {\textcolor{orange}{6}}! = {\textcolor{midnightblue}{720}} \) mögliche Reihenfolgen.
Alle theoretischen Reihenfolgen:
\( {\textcolor{orange}{6}}! =
{\textcolor{orange}{6}} \cdot
{\textcolor{orange}{5}} \cdot
{\textcolor{orange}{4}} \cdot
{\textcolor{orange}{3}} \cdot
{\textcolor{orange}{2}} \cdot
{\textcolor{orange}{1}}
= {\textcolor{midnightblue}{720}} \)
Aber: Die weißen Sneaker sehen gleich aus – und die schwarzen auch. Vertauschst du gleiche Schuhe, ändert sich die Reihenfolge optisch nicht.
Vertauschungen, die das Ergebnis nicht verändern:
- \( {\textcolor{green}{3}}! \) → weiße Sneaker
- \( {\textcolor{green}{2}}! \) → schwarze Sneaker
- \( {\textcolor{green}{1}}! \) → der besondere Sneaker
Gesamt:
\( {\textcolor{green}{3}}! \cdot
{\textcolor{green}{2}}! \cdot
{\textcolor{green}{1}}! \)
Diese „überzähligen“ Varianten müssen wir aus der Gesamtzahl entfernen – also teilen wir durch diese Vertauschungen.
Allgemeine Formel:
\( P =
\dfrac{{\textcolor{orange}{n}}!}
{{\textcolor{green}{k_1}}! \cdot
{\textcolor{green}{k_2}}! \cdot
{\textcolor{green}{k_3}}! \dots} \)
Einsetzen:
\( P =
\dfrac{{\textcolor{orange}{6}}!}
{{\textcolor{green}{3}}! \cdot
{\textcolor{green}{2}}! \cdot
{\textcolor{green}{1}}!} \)
\( P =
\dfrac{{\textcolor{midnightblue}{720}}}
{{\textcolor{midnightblue}{12}}}
= {\textcolor{midnightblue}{60}} \)
Es gibt also 60 verschiedene Anordnungen, die dein Bruder gebaut haben könnte. Wenn er das alles wirklich ausprobiert hat … dann hatte er eindeutig zu viel Zeit. 😉
Grenzen der Permutation – und wie es in der Kombinatorik weitergeht
Permutationen sind ein starkes Werkzeug, wenn du alle Objekte verwendest und die Reihenfolge entscheidend ist. Doch es gibt Situationen, in denen diese Idee nicht mehr ausreicht. Genau hier beginnt der Rest der Kombinatorik.
Wichtig
Permutation passt nur, wenn alle Objekte benutzt werden.
Sobald du nur einen Teil auswählst oder die Reihenfolge egal ist,
brauchst du andere Werkzeuge.
Die typischen Fälle, in denen Permutationen an ihre Grenzen stoßen:
-
Du verwendest nicht alle Objekte.
Beispiel: Aus 10 Büchern sollen nur 3 ausgewählt und angeordnet werden.
→ Das ist keine Permutation mehr, sondern eine Variation. -
Die Reihenfolge spielt keine Rolle.
Beispiel: Du stellst ein Team aus 5 Personen zusammen – egal, wer links oder rechts steht.
→ Das ist eine Kombination. -
Es wird gezogen mit Zurücklegen.
Beispiel: Du ziehst mehrmals farbige Kugeln aus einer Box, aber legst jede Kugel wieder zurück.
→ Auch das ist keine Permutation – hier ändern sich die Regeln komplett.
Du merkst: Permutationen sind nur der erste Schritt der Kombinatorik. Sobald sich Auswahlgröße oder Reihenfolge ändern, brauchst du neue Formeln – zum Beispiel die Variation oder die Kombination.
Du willst wissen, wie man auswählt, ohne alles anzuordnen?
Dann schau dir unseren Beitrag
Kombinatorik Formeln an.
Wusstest du schon…?
Permutationen wirken im Unterricht oft „theoretisch“ – aber in Wirklichkeit begegnen sie dir in Bereichen, die unglaublich viel größer sind als unser Alltag. Manche Zahlen aus der Kombinatorik sind so riesig, dass man sie sich kaum vorstellen kann.
Ein klassisches Kartenspiel hat 52 Karten.
Die möglichen Reihenfolgen beim Mischen sind:
\( 52! \approx 8{,}07 \cdot 10^{67} \)
Das ist eine Zahl mit 68 Stellen – größer als die Anzahl aller
Sandkörner auf der Erde.
Wenn du also ein Kartendeck mischst, ist die Wahrscheinlichkeit extrem hoch, dass in der gesamten Menschheitsgeschichte noch nie jemand dieselbe Reihenfolge hatte.
Kurz gesagt: Permutationen sind nicht nur Schulstoff – sie zeigen uns, wie schnell aus wenigen Objekten astronomisch viele Möglichkeiten werden.
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