Permutation – wie viele Möglichkeiten?

Bei einer Permutation ohne Wiederholung werden alle Objekte verwendet, und jedes Objekt kommt genau einmal vor. Die Reihenfolge ist entscheidend – jede andere Anordnung ergibt ein neues Ergebnis.

Beispiel 1: Wettrennen mit 6 Läuferinnen

Alle 6 Läuferinnen treten gleichzeitig an. Am Ende des Rennens wird eine Rangliste erstellt – von der Ersten bis zur Letzten.

• Die Läuferinnen sind die Objekte.
• Jede Läuferin belegt genau einen Platz.
• Alle Plätze von 1 bis 6 werden vergeben.

Für den 1. Platz kommen 6 Läuferinnen infrage. Ist dieser vergeben, bleiben für den 2. Platz noch 5, für den 3. Platz 4 usw. – bis am Ende nur noch 1 Läuferin übrig ist.

Um herauszufinden, wie viele verschiedene Ergebnislisten möglich sind, multiplizieren wir alle Möglichkeiten miteinander. Das nennt man die Fakultät von \( {\textcolor{orange}{n}} \).

Es gibt also 720 verschiedene Möglichkeiten, wie die 6 Läuferinnen ins Ziel kommen können. Jede andere Reihenfolge ergibt ein anderes Rennergebnis.

Beispiel 2: Farbige Kugeln ordnen

Da jede Kugel unterschiedlich ist, zählt jede neue Anordnung als eigenes Ergebnis. Wir suchen also die Anzahl aller möglichen Reihenfolgen – eine Permutation ohne Wiederholung.

• Gesamtheit aller Kugeln → \( {\textcolor{orange}{n}} = 5 \)
• Jede Kugel wird genau einmal verwendet.
• Jede Reihenfolge zählt als neues Ergebnis.

Das bedeutet: Es gibt 120 verschiedene Möglichkeiten, die 5 verschiedenfarbigen Kugeln in einer Reihe anzuordnen. Jede Reihenfolge ist eine eigene Permutation.

Bei einer Permutation mit Wiederholung werden alle Objekte geordnet, aber einige davon sind identisch. Wenn gleiche Objekte vertauscht werden, ändert sich das Ergebnis nicht sichtbar – deshalb werden solche Vertauschungen nicht mehrfach gezählt.

Beispiel 1: Bauklötze für einen Turm

Bei einer Permutation mit Wiederholung werden alle Objekte verwendet, aber einige sehen gleich aus.

Stell dir vor, du baust den Turm von unten nach oben, Stein für Stein.

Am untersten Platz könntest du einen von allen 8 Klötzen nehmen. Danach sind noch 7 Klötze übrig, dann 6, dann 5 … bis am Ende nur noch 1 Klotz übrig ist. Wenn alle Klötze unterschiedlich wären, gäbe es also \( {\textcolor{orange}{8}}! \) Möglichkeiten.

Aber: Die roten Klötze sind untereinander nicht zu unterscheiden. Egal, welcher rote Klotz an welcher Stelle steckt – der Turm sieht gleich aus. Das Gleiche gilt für die gelben Klötze.

• insgesamt 8 Klötze
• 4× rot, 3× gelb
• mehrere Klötze haben die gleiche Farbe
• vertauschte gleiche Klötze ergeben keine neue Anordnung

Um zu verstehen, wie wir die Anzahl unterschiedlicher Türme berechnen können stell dir folgendes vor:
Du stehst an einer Kuchentheke. Es stehen 4 Kuchen zur Auswahl – 2 Apfelkuchen und 2 Schokokuchen. Du hast also theoretisch 4 Kuchen vor dir, wobei jeweils 2 Kuchen aber identisch sind. Wie viele Kuchen hast du dann tatsächlich zur Auswahl?

Um das zu berechnen dividierst du die Gesamtzahl durch die identischen Varianten:

Genau das machen wir hier auch: Wir nehmen zuerst alle möglichen Varianten \( {\textcolor{orange}{8}}! \) und teilen sie dann durch die Zahl der identischen Anordnungen, die entstehen, wenn gleichfarbige Klötze untereinander vertauscht werden.

Das bedeutet: Wenn du gleiche Farben nicht unterscheidest, bleiben nur 280 wirklich verschiedene Türme.

Beispiel 2: Kugeln gleicher Farbe in einer Reihe

Wir haben insgesamt 6 Kugeln, also \( {\textcolor{orange}{n}} = {\textcolor{orange}{6}} \). Davon sind \( {\textcolor{green}{3}} \) gleich blau und \( {\textcolor{green}{3}} \) gleich rot. Das ist also wieder eine Permutation mit Wiederholung.

Stell dir vor, du vertauschst zwei blaue Kugeln – die Reihe sieht genau gleich aus. Diese mehrfachen Varianten zählen wir nicht doppelt, sondern teilen sie heraus.

Antwort: Es gibt 20 verschiedene Möglichkeiten, die 6 Kugeln in einer Reihe anzuordnen, wenn sich gleichfarbige Kugeln nicht unterscheiden.

Bisher haben wir gesehen, dass es bei Permutationen zwei Varianten gibt: mit und ohne Wiederholung. Aber was heißt das genau?

Der Unterschied liegt darin, ob ein Objekt mehrfach vorkommen darf oder nicht. Das beeinflusst, wie viele verschiedene Anordnungen entstehen können.

Kurz gesagt: Bei der Permutation ohne Wiederholung werden alle Objekte einmalig angeordnet. Bei der Permutation mit Wiederholung gibt es gleiche Objekte, die sich beim Vertauschen nicht unterscheiden.

Zum Schluss zwei typische Aufgaben – eine ohne Wiederholung und eine mit Wiederholung. Wichtig ist zuerst das Herausfiltern der Größen aus dem Text: Was ist die Gesamtzahl aller Objekte \( {\textcolor{orange}{n}} \)? Gibt es identische Objekte mit Häufigkeiten \( {\textcolor{green}{k_i}} \)?

Beispiel 1: Bücher ins Regal (ohne Wiederholung)

Text → Größen filtern

• Alle Objekte werden angeordnet → Permutation.
• Alle Bücher sind verschieden → ohne Wiederholung.
• Gesamtzahl der Objekte: \( {\textcolor{orange}{n}} = {\textcolor{orange}{5}} \).

Formel wählen und einsetzen

Antwort: 120 Anordnungen.

Beispiel 2: Türme aus Klötzen (mit Wiederholung)

Text → Größen filtern

• Alle Objekte werden angeordnet → Permutation.
• Es gibt gleiche Farben → mit Wiederholung.
• Gesamtzahl: \( {\textcolor{orange}{n}} = {\textcolor{orange}{7}} \)
• Häufigkeiten identischer Objekte: \( {\textcolor{green}{k_1}}=3 \) (rot), \( {\textcolor{green}{k_2}}=2 \) (blau), \( {\textcolor{green}{k_3}}=2 \) (gelb)

Formel wählen und einsetzen

Antwort: 105 unterschiedliche Türme.