Gleichungen mit Potenzen
Exponentialgleichungen lösen
Bei einer Exponentialgleichung steht die gesuchte Unbekannte im Exponenten. Du suchst also die Hochzahl, mit der die Gleichung stimmt.
Schau auf das \(x\) – es steht oben, im Exponenten.
Bei \(\textcolor{orange}{x}^2=16\) steht das \(x\) dagegen in der Basis. Das ist eine Potenzgleichung – hier suchst du die Basis, nicht die Hochzahl.
Zwei Wege zur Lösung
- Exponentenvergleich: Schreibe beide Seiten als Potenzen derselben Basis. Ist diese Basis positiv und ungleich \(1\), kannst du die Exponenten gleichsetzen.
- Logarithmus: Deine Universalwaffe, wenn sich die Hochzahl nicht direkt ablesen lässt. Mit ihm kannst du den Exponenten berechnen.
Gesucht ist die Hochzahl \(x\):
1. Gleiche Basis herstellen
Du weißt: \(16=2^4\). Schreibe die rechte Seite um:
2. Exponenten vergleichen
Die Basis \(2\) ist auf beiden Seiten gleich. Deshalb lassen wir sie weg und betrachten nur noch die Exponenten:
Die Lösung ist also \(x=4\), denn \(2^4=16\).
Gesucht ist die Hochzahl \(x\):
1. Den Logarithmus anwenden
Hier wenden wir auf beide Seiten den natürlichen Logarithmus an:
2. Das \(x\) nach vorne holen
Der Logarithmus erlaubt uns, den Exponenten als Faktor nach vorne zu schreiben:
3. Das \(x\) freistellen
Wir teilen beide Seiten durch \(\ln(2)\). Links bleibt \(x\), rechts entsteht ein Bruch:
Diesen Bruch berechnen wir mit dem Taschenrechner:
Die Lösung ist also ungefähr \(3{,}322\).
Exponentenvergleich
Schreibe beide Seiten als Potenzen derselben Basis. Ist die Basis positiv und ungleich \(1\), kannst du die Exponenten gleichsetzen.
Logarithmus
Wende auf beide Seiten den Logarithmus an. Mit der Potenzregel wird das \(x\) im Exponenten zu einem Faktor. Danach kannst du nach \(x\) auflösen.
Damit kennst du beide Lösungswege. Als Nächstes schauen wir uns an, wie du die Potenz zuerst freistellst und bei umfangreicheren Gleichungen vorgehst.
Bei einer Exponentialgleichung steht die gesuchte Unbekannte im Exponenten. Du suchst also die Hochzahl, mit der die Gleichung stimmt.
Schau auf das \(x\) – es steht oben, im Exponenten.
Bei \(\textcolor{orange}{x}^2=16\) steht das \(x\) dagegen in der Basis. Das ist eine Potenzgleichung – hier suchst du die Basis, nicht die Hochzahl.
Zwei Wege zur Lösung
- Exponentenvergleich: Schreibe beide Seiten als Potenzen derselben Basis. Ist diese Basis positiv und ungleich \(1\), kannst du die Exponenten gleichsetzen.
- Logarithmus: Deine Universalwaffe, wenn sich die Hochzahl nicht direkt ablesen lässt. Mit ihm kannst du den Exponenten berechnen.
Gesucht ist die Hochzahl \(x\):
1. Gleiche Basis herstellen
Du weißt: \(16=2^4\). Schreibe die rechte Seite um:
2. Exponenten vergleichen
Die Basis \(2\) ist auf beiden Seiten gleich. Deshalb lassen wir sie weg und betrachten nur noch die Exponenten:
Die Lösung ist also \(x=4\), denn \(2^4=16\).
Gesucht ist die Hochzahl \(x\):
1. Den Logarithmus anwenden
Hier wenden wir auf beide Seiten den natürlichen Logarithmus an:
2. Das \(x\) nach vorne holen
Der Logarithmus erlaubt uns, den Exponenten als Faktor nach vorne zu schreiben:
3. Das \(x\) freistellen
Wir teilen beide Seiten durch \(\ln(2)\). Links bleibt \(x\), rechts entsteht ein Bruch:
Diesen Bruch berechnen wir mit dem Taschenrechner:
Die Lösung ist also ungefähr \(3{,}322\).
Exponentenvergleich
Schreibe beide Seiten als Potenzen derselben Basis. Ist die Basis positiv und ungleich \(1\), kannst du die Exponenten gleichsetzen.
Logarithmus
Wende auf beide Seiten den Logarithmus an. Mit der Potenzregel wird das \(x\) im Exponenten zu einem Faktor. Danach kannst du nach \(x\) auflösen.
Damit kennst du beide Lösungswege. Als Nächstes schauen wir uns an, wie du die Potenz zuerst freistellst und bei umfangreicheren Gleichungen vorgehst.
Exponentialgleichungen mit dem Logarithmus lösen
Jetzt schauen wir uns an, was passiert, wenn die Gleichungen ein wenig komplizierter aussehen:
Die Potenz soll allein stehen. Die \(5\) und der Faktor \(3\) müssen also weg. Das erreichen wir durch einfache Äquivalenzumformungen:
| \( \textcolor{steelblue}{3}\cdot 2^{\textcolor{orange}{x}}\textcolor{orangered}{+5}=29 \) | \( \textcolor{orangered}{-5} \) | |
| \( \textcolor{steelblue}{3}\cdot 2^{\textcolor{orange}{x}}=24 \) | \( \textcolor{steelblue}{:3} \) | |
| \( 2^{\textcolor{orange}{x}}=8 \) |
Jetzt steht \(2^{\textcolor{orange}{x}}\) allein. Genau das bedeutet „die Potenz freistellen“.
Was jetzt kommt, kennen wir bereits: \(8=2^3\). Also vergleichen wir die Exponenten:
Die Lösung ist also \(x=3\), denn \(3\cdot 2^3+5=29\).
Erst die Potenz allein stellen, dann den Exponenten bestimmen.
So soll die Gleichung vor dem Logarithmieren aussehen:
Potenz allein? Schau zuerst auf die Basis und die rechte Seite.
Ist \(a\) positiv und ungleich \(1\) und ist \(b\) positiv, kannst du beide Seiten logarithmieren. Ist \(b\) null oder negativ, gibt es bei einer positiven Basis keine reelle Lösung, denn \(a^x\) ist immer positiv.
Bei \(a=1\) steht links immer \(1\). Ist \(b=1\), ist jede reelle Zahl eine Lösung. Für alle anderen Werte von \(b\) gibt es keine Lösung.
Steht noch etwas davor oder dahinter? Forme zuerst um!
Was, wenn im Exponenten mehr als nur x steht?
Die Potenz steht allein. Aber schau dir jetzt einmal den Exponenten an:
Der gesamte orange Ausdruck gehört zum Exponenten – nicht nur das \(x\).
An unserem Vorgehen ändert das nichts: auf beiden Seiten den Logarithmus anwenden und den Exponenten nach vorne holen.
1. Beide Seiten logarithmieren
Jetzt holen wir alles, was im Exponenten steht, nach vorne.
Die Klammer hält den bisherigen Exponenten \(3x-1\) zusammen.
2. Jetzt das x allein stellen
Jetzt formen wir die Gleichung so um, dass links nur noch \(x\) steht:
| \( \textcolor{orange}{(3x-1)}\cdot\textcolor{steelblue}{\ln(2)}=\ln(10) \) | \( \textcolor{steelblue}{:\ln(2)} \) | |
| \( 3\textcolor{orange}{x}\textcolor{orangered}{-1}=\dfrac{\ln(10)}{\ln(2)} \) | \( \textcolor{orangered}{+1} \) | |
| \( \textcolor{steelblue}{3}\textcolor{orange}{x}=\dfrac{\ln(10)}{\ln(2)}+1 \) | \( \textcolor{steelblue}{:3} \) | |
| \( \textcolor{orange}{x}=\dfrac{\dfrac{\ln(10)}{\ln(2)}+1}{3} \) |
Lass dich nicht verunsichern - \(\ln(2)\) ist auch nur eine Zahl – genau wie \(2\) oder \(3\). Du kannst damit ganz normal rechnen.
Diesen Ausdruck berechnen wir mit dem Taschenrechner. Runde erst ganz am Ende:
Die Lösung ist also ungefähr \(1{,}441\).
Steht im Exponenten mehr als nur \(x\), kommt der ganze Ausdruck nach vorne:
Dabei muss die Basis \(a\) positiv sein.
Die Klammer hält den bisherigen Exponenten zusammen. Danach formst du um, bis \(x\) allein steht.
Lösen mit dem Exponentenvergleich
Jetzt schauen wir uns den Exponentenvergleich genauer an. Was bedeutet das Wort? Ganz einfach: Exponenten vergleichen. Das dürfen wir aber nur, wenn wir auf beiden Seiten die gleiche Basis haben.
Schauen wir uns ein Beispiel an:
Links steht die \(2\) als Basis, rechts steht einfach die Zahl \(32\). Kein Exponent zu sehen. Trotzdem können wir die Aufgabe mit dem Exponentenvergleich lösen.
Die Zahl als Potenz schreiben
Um das zu verstehen, schauen wir uns die \(32\) genauer an. Wir können sie auch so schreiben:
Wir ersetzen also \(32\) durch \(2^5\). Jetzt steht auf beiden Seiten die Basis \(2\):
Die Basis ist gleich. Deshalb lassen wir sie weg und betrachten nur noch die Exponenten. Anschließend stellen wir \(x\) allein:
| \( \textcolor{orange}{x}\textcolor{orangered}{+1}=5 \) | \( \textcolor{orangered}{-1} \) | |
| \( \textcolor{green}{x=4} \) |
Die Lösung ist also \(x=4\)
Was, wenn wir beide Seiten umschreiben müssen?
Im nächsten Beispiel steht links die Basis \(4\), rechts die Zahl \(64\):
Auch hier können wir beide Seiten mit der Basis \(2\) schreiben:
Wir ersetzen \(4\) durch \(2^2\) und \(64\) durch \(2^6\). Danach fassen wir die linke Potenz zusammen:
Links steht eine Potenz, die noch einmal potenziert wird. Dafür gilt \((a^m)^n=a^{m\cdot n}\). Aus \((2^2)^x\) wird also \(2^{2\cdot x}\).
Jetzt ist die Basis \(2\) auf beiden Seiten gleich. Wir setzen die Exponenten gleich und lösen nach \(x\) auf:
| \( \textcolor{steelblue}{2}\textcolor{orange}{x}=6 \) | \( \textcolor{steelblue}{:2} \) | |
| \( \textcolor{green}{x=3} \) |
Die Lösung ist also \(x=3\), denn \(4^3=64\).
Erst die gemeinsame Basis finden, dann die Exponenten vergleichen.
Gleichungen mit e lösen
Was machen wir, wenn in der Basis keine \(2\) oder \(4\), sondern ein \(e\) steht?
Lass dich vom Buchstaben nicht verunsichern: \(e\) ist einfach eine Zahl. Sie beginnt mit \(2{,}71828\ldots\) und hat unendlich viele Nachkommastellen. Statt sie auszuschreiben, verwenden wir das Zeichen \(e\).
Zum Lösen wenden wir auf beide Seiten den natürlichen Logarithmus \(\ln\) an:
Die Lösung ist also ungefähr \(1{,}609\).
Was, wenn noch mehr in der Gleichung steht?
Schauen wir uns ein Beispiel mit einem Vorfaktor und einem längeren Exponenten an:
Zuerst soll die markierte Potenz allein stehen. Wir teilen beide Seiten durch \(3\):
| \( \textcolor{steelblue}{3}\cdot e^{\textcolor{orange}{2x-1}}=12 \) | \( \textcolor{steelblue}{:3} \) | |
| \( e^{\textcolor{orange}{2x-1}}=4 \) |
Jetzt wenden wir auf beide Seiten \(\ln\) an. Links heben sich \(\ln\) und \(e\) auf. Der gesamte Exponent \(2x-1\) bleibt übrig:
Übrig bleibt alles, was oben stand – nicht nur das \(x\).
Jetzt formen wir die Gleichung so um, dass links nur noch \(x\) steht:
| \( 2\textcolor{orange}{x}\textcolor{orangered}{-1}=\ln(4) \) | \( \textcolor{orangered}{+1} \) | |
| \( \textcolor{steelblue}{2}\textcolor{orange}{x}=\ln(4)+1 \) | \( \textcolor{steelblue}{:2} \) | |
| \( \textcolor{orange}{x}=\dfrac{\ln(4)+1}{2} \) |
Den Ausdruck berechnen wir mit dem Taschenrechner. Die Lösung ist:
\(e\) und \(\ln\) sind Gegenspieler.
Wendest du \(\ln\) auf eine Potenz mit der Basis \(e\) an, bleibt der Exponent übrig:
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Übungen
Löse die Gleichung durch Exponentenvergleich.
Schreibe \(81\) als Potenz zur Basis \(3\). Vergleiche dann die ganze Hochzahl \(x-1\) mit der Hochzahl auf der rechten Seite.
Lösung
Wir schreiben \(81\) als \(3^4\). Jetzt haben beide Potenzen dieselbe Basis und wir können die Exponenten gleichsetzen.
Wir addieren auf beiden Seiten \(1\).
Bei welcher Gleichung ist die Lösung für \(x\) größer?
Entscheide, ohne die Lösungen auszurechnen.
Lösung
Bei der Basis \(2\) gilt: Je größer die Hochzahl, desto größer der Potenzwert. Um auf \(7\) statt auf \(5\) zu kommen, brauchst du also eine größere Hochzahl.
Löse die Gleichung. Gib die genaue Lösung und einen Näherungswert an.
Stelle zuerst die Potenz allein. Kümmere dich um die addierte Zahl, bevor du durch den Vorfaktor teilst.
Für \(u\) setzt du den gesamten Ausdruck ein, der im Exponenten steht.
Lösung
Wir ziehen auf beiden Seiten \(3\) ab und teilen danach durch \(4\):
Jetzt steht die Potenz allein. Wir wenden auf beide Seiten \(\ln\) an:
Wir addieren auf beiden Seiten \(1\) und teilen anschließend durch \(2\):
Jemand hat beide Seiten logarithmiert und dann so umgeformt:
Was muss in der zweiten Zeile korrigiert werden?
Lösung
Die \(-1\) gehört mit zum Exponenten. Deshalb kommt sie zusammen mit \(2x\) nach vorne:
Wenn wir links die Klammer auflösen, sehen wir, wo der Faktor \(\ln(5)\) in beiden Teilen auftaucht:
In einem Versuch nimmt die Menge eines Farbstoffs exponentiell ab. Pro Stunde werden \(20\,\%\) der jeweils vorhandenen Menge abgebaut. Wann sind im Modell noch \(40\,\mathrm{mg}\) übrig? Stelle eine Gleichung auf und berechne die Zeit.
Überlege zuerst, wie viel Prozent nach einer Stunde noch übrig sind. Daraus bekommst du den Zerfallsfaktor.
Für \(t\) Stunden ist die Menge der Startwert mal Zerfallsfaktor hoch \(t\). Setze diese Menge gleich dem Zielwert.
Lösung
Pro Stunde bleiben \(80\,\%\) der Menge übrig. Der Zerfallsfaktor ist deshalb \(0{,}8\). Gesucht ist die Zeit \(t\) in Stunden:
Wir teilen beide Seiten durch \(160\). Rechts steht dann \(0{,}25\), denn die Zielmenge ist ein Viertel der Anfangsmenge. Jetzt wenden wir auf beide Seiten \(\ln\) an:
Mit dem Taschenrechner erhalten wir \(t\approx 6{,}21\).
Zur Kontrolle setzen wir die gerundete Zeit in das Modell ein:
Die kleine Abweichung entsteht, weil wir die Zeit gerundet haben.
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in unseren FAQs
Kann ich statt ln auch log verwenden?
Ja. Du kannst auf beiden Seiten \(\ln\) oder auf beiden Seiten \(\log_{10}\) anwenden. Beide Wege führen zur gleichen Lösung.
\(\ln\): Logarithmus zur Basis \(e\).
\(\log_{10}\): Logarithmus zur Basis \(10\).
Bleib innerhalb der Rechnung bei deiner Wahl. Bei \(2^x=6\) kannst du \(\ln(6)\) durch \(\ln(2)\) teilen oder \(\log_{10}(6)\) durch \(\log_{10}(2)\).
Kann ich die Lösung auch am Graphen ablesen?
Ja. Zeichne für jede Seite der Gleichung einen Graphen. Wo sich die Graphen schneiden, haben beide Seiten denselben Wert.
Lies am Schnittpunkt den \(x\)-Wert ab. Der \(y\)-Wert ist hier \(6\), also die Höhe, auf der sich beide Graphen treffen.
Aus der Zeichnung bekommst du meist nur einen Näherungswert. Hier liegt der Schnittpunkt bei \(x\approx 2{,}585\).
Kann die Lösung einer Exponentialgleichung negativ sein?
Ja. Ein negativer Exponent kann sogar genau das sein, was du brauchst: Bei \(2^x=\tfrac18\) ist die Lösung \(x=-3\).
Das Minus im Exponenten macht aus der Potenz ihren Kehrwert.
Bei der Basis \(2\) gilt: \(2^0=1\). Ist der gesuchte Potenzwert kleiner als \(1\) und größer als \(0\), muss die Hochzahl negativ sein.
Was mache ich mit 3,80 Stunden, wenn nur volle Stunden zählen?
Wenn du wissen willst, nach wie vielen vollen Stunden sich der Bestand mindestens verdoppelt hat, prüfst du die vollen Stunden direkt vor und nach der berechneten Zeit.
Nach \(3\) Stunden ist der Bestand noch nicht doppelt so groß.
Nach \(4\) Stunden ist die Schwelle erstmals bei einer Messung zur vollen Stunde erreicht.
Hier rundest du also auf. Entscheidend ist, ab wann die Bedingung erfüllt ist – auch wenn die berechnete Zeit näher an der kleineren ganzen Zahl liegt.
Was passiert, wenn beim Umformen alle x wegfallen?
Schau, was übrig bleibt. Bei dieser Gleichung setzen wir die Exponenten gleich und ziehen auf beiden Seiten \(x\) ab:
\(1=2\) ist immer falsch. Die Gleichung hat also keine Lösung.
Bleibt dagegen etwas übrig, das immer stimmt, etwa \(0=0\), ist jeder zulässige \(x\)-Wert eine Lösung. Das passiert zum Beispiel bei \(4^x=2^{2x}\), weil beide Seiten dieselbe Potenz beschreiben.
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Weiterführende Informationen
Warum funktioniert der Exponentenvergleich?
Wir haben die gemeinsame Basis einfach weggelassen und die Exponenten gleichgesetzt. Aber warum dürfen wir das?
Schauen wir uns die Potenzen mit der Basis \(2\) an:
Je größer die Hochzahl, desto größer wird das Ergebnis. Das gilt auch für Hochzahlen zwischen den ganzen Zahlen. Der Wert wächst immer weiter – er kommt nicht noch einmal bei demselben Ergebnis an.
Die Zahl \(32\) bekommen wir deshalb nur mit der Hochzahl \(5\). Wenn also gilt:
… dann muss links ebenfalls die Hochzahl \(5\) stehen. Also:
Wir kürzen die Basis nicht weg. Wir nutzen, dass zwei verschiedene Hochzahlen bei dieser Basis nie dasselbe Ergebnis liefern.
Warum muss die Basis positiv sein?
Mit einer negativen Basis kannst du bei ganzen Hochzahlen rechnen: \((-2)^2=4\). Aber was passiert, wenn die Hochzahl \(\tfrac12\) ist?
Keine reelle Zahl ergibt beim Quadrieren \(-2\). Deshalb gibt es für diese Hochzahl keinen reellen Potenzwert. Mit einer positiven Basis ist die Potenz dagegen für jede reelle Hochzahl definiert.
Was ist bei einer Basis kleiner als 1?
Bei der Basis \(0{,}5\) werden die Ergebnisse mit jeder größeren Hochzahl kleiner:
Die Richtung ist anders, aber auch hier kommt kein Ergebnis zweimal vor. Deshalb funktioniert der Exponentenvergleich ebenso bei einer positiven Basis kleiner als \(1\).
Bei der Basis \(1\) bleibt das Ergebnis immer gleich:
Die Potenzwerte sind gleich, obwohl die Exponenten verschieden sind. Hier dürfen wir die Exponenten also nicht gleichsetzen.
Deshalb gilt: Bei einer positiven gemeinsamen Basis ungleich \(1\) bedeuten gleiche Potenzwerte auch gleiche Exponenten.
Was, wenn auf beiden Seiten ein x steht?
Diesmal steckt das \(x\) gleich zweimal oben: links in \(x+1\) und rechts in \(x\).
Auf jeder Seite steht bereits eine Potenz allein. Eine gemeinsame Basis lässt sich hier nicht leicht finden. Deshalb lösen wir die Gleichung mit dem Logarithmus.
1. Beide Exponenten nach vorne holen
Wir wenden auf beide Seiten \(\ln\) an. So können wir links \(x+1\) und rechts \(x\) nach vorne holen:
2. Die Terme mit x sammeln
Jetzt steht \(x\) nicht mehr im Exponenten. Wir lösen links die Klammer auf. Dabei multiplizieren wir beide Teile der Klammer mit \(\ln(2)\):
Wir ziehen auf beiden Seiten \(x\cdot\ln(2)\) ab. So stehen beide Terme mit \(x\) auf der rechten Seite:
3. x ausklammern und allein stellen
Rechts steckt in beiden Termen ein \(x\). Wir klammern es aus:
Die ganze Klammer ist jetzt der Faktor vor \(x\). Wir teilen also durch \(\ln(3)-\ln(2)\):
Gib beim Taschenrechner den ganzen Nenner in Klammern ein: \(\ln(2)\) geteilt durch \(\bigl(\ln(3)-\ln(2)\bigr)\).
Die Lösung ist \(x\approx 1{,}710\).
Durch das Logarithmieren ist aus der Exponentialgleichung eine lineare Gleichung geworden. Ab da ging es wie gewohnt weiter: Terme mit \(x\) sammeln, \(x\) ausklammern und allein stellen.
Wachstum und Zerfall bestimmen
Wann hat sich ein Bestand verdoppelt? Wann ist nur noch die Hälfte übrig? Jetzt suchen wir keine beliebige Hochzahl mehr, sondern eine Zeit. Dafür schreiben wir \(t\) statt \(x\) in den Exponenten.
Wachstum: Wann sind es doppelt so viele?
Eine Bakterienkultur startet mit \(200\) Bakterien. Im Modell wächst der Bestand pro Stunde um \(20\,\%\). Nach jeder Stunde haben wir also \(120\,\%\) des vorherigen Bestands. Der Wachstumsfaktor ist \(1{,}2\).
In beiden Modellen kannst du auch Zeiten zwischen zwei vollen Stunden einsetzen. Für \(1{,}5\) Stunden setzt du zum Beispiel \(t=1{,}5\) ein.
Wir wollen wissen, wann der Bestand \(400\) erreicht. Gesucht ist die Zeit \(t\) in Stunden:
Wir teilen beide Seiten durch den Startwert \(200\). Rechts steht danach \(2\): Der gesuchte Bestand ist doppelt so groß wie am Anfang.
Jetzt steht die Potenz allein. Wir logarithmieren beide Seiten und lösen nach \(t\) auf:
Nach etwa \(3{,}80\) Stunden hat sich der Bestand im Modell verdoppelt.
\(3{,}80\) Stunden sind etwa \(3\) Stunden und \(48\) Minuten: Für die Minuten rechnest du \(0{,}80\cdot 60\).
Zerfall: Wann ist nur noch die Hälfte übrig?
Von einem Farbstoff sind anfangs \(80\,\mathrm{mg}\) vorhanden. Pro Stunde werden \(25\,\%\) der vorhandenen Menge abgebaut. Wann sind noch \(40\,\mathrm{mg}\) übrig?
Für die Gleichung zählt, wie viel übrig bleibt: Nach einer Stunde sind es \(75\,\%\), also ist der Zerfallsfaktor \(0{,}75\).
Wir teilen durch \(80\). Rechts bleibt \(\tfrac12\), denn am gesuchten Zeitpunkt ist noch die Hälfte der Anfangsmenge da:
Im Bruch sind Zähler und Nenner negativ. Die berechnete Zeit ist deshalb positiv.
Nach etwa \(2{,}41\) Stunden ist noch die Hälfte des Farbstoffs vorhanden.
Teile den Zielwert durch den Startwert. So siehst du, auf welchen Anteil oder auf welches Vielfache sich die Menge verändert hat. Der berechnete Exponent sagt dir, wie lange das dauert – hier in Stunden.
13:00–18:30 Uhr
Schüler- und Studentenförderung