Bevor wir mit dem Rechnen starten, wollen wir verstehen, was hinter dem Logarithmus steckt – und wofür man ihn überhaupt braucht.

Du kannst bereits mit Potenzen rechnen.

Die Frage, die wir hier stellen ist: Was kommt raus, wenn ich eine Zahl mehrfach mit sich selbst multipliziere?

Aber was, wenn wir die Frage einfach mal umdrehen?

Genau da kommt der Logarithmus ins Spiel. Er hilft uns, eine Potenz rückwärts zu denken.

Du siehst, der Logarithmus ist nichts Neues – er ist einfach nur die Frage nach der Hochzahl, die man braucht.

Wir wissen jetzt, in welcher Situation wir den Logarithmus brauchen. Doch wie genau funktioniert das eigentlich?
Stell dir vor, du kennst das Ergebnis einer Potenzrechnung – und willst den Exponenten herausfinden:

Du fragst dich: Die Basis \(2\) hoch welche Zahl ergibt den Wert \(8\)?
Und um das herauszufinden, nutzen wir den Logarithmus.

Doch machen wir erst einmal einen Schritt zurück. Du kennst doch bestimmt Gleichungen wie:

Und du weißt sicher auch noch, wie man sie löst, oder? – Richtig, man wendet die Wurzel an. Also:

Das machst du ganz automatisch, weil du weißt: Die Wurzel hebt das Quadrat auf. Sie sind Gegenspieler – die Wurzel löst das Quadrat auf: \(\sqrt{x^2}=x\)

Wenn du eine Gleichung lösen möchtest, benutzt du immer das Gegenteil der angewendeten Rechenart – also die Umkehrrechnung. So kommst du an das x heran.
Und genau dieses Wissen nutzen wir jetzt, denn die Umkehrrechnung zur Potenz ist der Logarithmus.

Jetzt gehen wir zurück zu unserem Beispiel.

Du willst wissen, welche Zahl du als Exponent brauchst, damit du mit der Basis 2 den Wert 8 bekommst.

Um das \( x \) zu berechnen, brauchst du die passende Umkehrrechnung – genau wie bei Quadrat und Wurzel.

In diesem Fall heißt die Umkehrrechnung: Logarithmus

An dieser Stelle „löscht“ der Logarithmus die Basis, weil Potenz und Logarithmus Gegenspieler sind. Es bleibt:

Das kannst du mit dem Taschenrechner berechnen.

Im Umkehrschluss bedeutet das:

Du siehst: Der Logarithmus gibt dir die Hochzahl, die du brauchst, um auf das gegebene Ergebnis zu kommen.

Dieser Gedankengang ermöglicht es dir übrigens auch, manche Logarithmen im Kopf zu berechnen.

Wenn du einen Logarithmus im Kopf berechnen sollst, musst du dich fragen: Welchen Exponenten muss ich meiner Basis geben, um das Argument zu erhalten?

Die Antwort auf diese Frage ist das Ergebnis des Logarithmus

Wir lösen die Aufgaben durch Rückwärtsdenken. Gehe die Potenzen der Basis durch – bis du beim Argument ankommst.

Logarithmen klingen erstmal trocken – aber sie begegnen dir in der echten Welt viel öfter, als du denkst! Schau dir doch einmal die beiden Beispiele an:

• Wenn du eine Zinsrechnung lösen willst (z. B. „Wie lange dauert es, bis mein Geld sich verdoppelt?“)
• Wenn du verstehen willst, wie schnell etwas wächst oder schrumpft – z. B. bei Populationen oder Halbwertszeiten

In beiden diesen Fällen sind Logarithmen dein Werkzeug, um die Aufgaben zu lösen.

Sollte dein Taschenrechner keine log-Taste haben, bei der du die Basis selbst eingeben kannst, brauchst du den Basiswechsel.

Mit dem Logarithmus kannst du nicht nur Potenzen rückwärts denken – es gibt auch praktische Rechenregeln, die dir das Leben leichter machen. Diese Logarithmengesetze stellen wir dir hier kurz vor.