Gar nicht so schwer
Der Logarithmus - verständlich erklärt
Lisa von OnMathe
Einleitung
Mit dem Logarithmus findest du heraus, welche Zahl im Exponenten einer Potenz stehen muss.
Frage: Wie oft muss ich die \(\textcolor{orange}{2}\) mit sich selbst multiplizieren, um \(\textcolor{orangered}{8}\) zu erhalten (oder: \(\textcolor{orange}{2}\) hoch wieviel ergibt \(\textcolor{orangered}{8}\))?
\( \textcolor{orange}{2}^{\textcolor{green}{?}} = \textcolor{orangered}{8} \)
Wir nutzen den Logarithmus:
\( \log_{\textcolor{orange}{2}}(\textcolor{orangered}{8}) = \textcolor{green}{?} \)
Der Taschenrechner hilft:
\( {\textcolor{green}{?}} = {\textcolor{green}{3}} \)
Das bedeutet für unsere Potenz:
\( \textcolor{orange}{2}^{\textcolor{green}{3}}
= \textcolor{orangered}{8} \)
Auführlich formuliert:
\( \textcolor{orange}{2} \cdot \textcolor{orange}{2} \cdot \textcolor{orange}{2}
= \textcolor{orange}{2}^{\textcolor{green}{3}}
= \textcolor{orangered}{8} \)
Im Beitrag erfährst du, wie das funktioniert – und wie du es selbst anwenden kannst.
Merke
\( \textcolor{orange}{a}^{\textcolor{green}{x}} = \textcolor{orangered}{b}
\quad\Leftrightarrow\quad
\textcolor{green}{x} = \log_{\textcolor{orange}{a}}(\textcolor{orangered}{b}) \)
- a → Basis (bleibt gleich)
- x → gesuchte Hochzahl / Exponent
- b → Argument / Ergebnis der Potenz
Einleitung
Mit dem Logarithmus findest du heraus, welche Zahl im Exponenten einer Potenz stehen muss.
Frage: Wie oft muss ich die \(\textcolor{orange}{2}\) mit sich selbst multiplizieren, um \(\textcolor{orangered}{8}\) zu erhalten (oder: \(\textcolor{orange}{2}\) hoch wieviel ergibt \(\textcolor{orangered}{8}\))?
\( \textcolor{orange}{2}^{\textcolor{green}{?}} = \textcolor{orangered}{8} \)
Wir nutzen den Logarithmus:
\( \log_{\textcolor{orange}{2}}(\textcolor{orangered}{8}) = \textcolor{green}{?} \)
Der Taschenrechner hilft:
\( {\textcolor{green}{?}} = {\textcolor{green}{3}} \)
Das bedeutet für unsere Potenz:
\( \textcolor{orange}{2}^{\textcolor{green}{3}}
= \textcolor{orangered}{8} \)
Auführlich formuliert:
\( \textcolor{orange}{2} \cdot \textcolor{orange}{2} \cdot \textcolor{orange}{2}
= \textcolor{orange}{2}^{\textcolor{green}{3}}
= \textcolor{orangered}{8} \)
Im Beitrag erfährst du, wie das funktioniert – und wie du es selbst anwenden kannst.
Merke
\( \textcolor{orange}{a}^{\textcolor{green}{x}} = \textcolor{orangered}{b}
\quad\Leftrightarrow\quad
\textcolor{green}{x} = \log_{\textcolor{orange}{a}}(\textcolor{orangered}{b}) \)
- a → Basis (bleibt gleich)
- x → gesuchte Hochzahl / Exponent
- b → Argument / Ergebnis der Potenz
Wozu brauche ich den Logarithmus
Du kennst Potenzen – aber was macht der Logarithmus anders? Schau dir den Unterschied an:
Potenzrechnen: → Ergebnis suchen
\( \textcolor{orange}{2}^{\textcolor{green}{3}} = \textcolor{orangered}{x} \)
Logarithmus: → Hochzahl suchen
\( \textcolor{orange}{2}^{\textcolor{green}{x}} = \textcolor{orangered}{8} \)
Wichtig
Der Logarithmus denkt eine Potenz rückwärts.
Er hilft dir, den Exponenten einer Gleichung zu finden.
Beispiel
\( \textcolor{orange}{2}^{\textcolor{green}{x}} = \textcolor{orangered}{8} \)
Frage: Wie oft muss ich die \(\textcolor{orange}{2}\) mit sich selbst multiplizieren, um \(\textcolor{orangered}{8}\) zu erhalten (oder: \(\textcolor{orange}{2}\) hoch wieviel ergibt \(\textcolor{orangered}{8}\))?
Die Antwort darauf liefert der Logarithmus:
\( \log_{\textcolor{orange}{2}}(\textcolor{orangered}{8}) = \textcolor{green}{x} \)
Um den Wert von \( \textcolor{green}{x} \) zu bestimmen, verwenden wir den Taschenrechner:
\( \textcolor{green}{x} = 3 \)
Also gilt
\( \textcolor{orange}{2}^{\textcolor{green}{3}}
= \textcolor{orangered}{8} \)
Denn:
\( \textcolor{orange}{2} \cdot \textcolor{orange}{2} \cdot \textcolor{orange}{2}
= \textcolor{orange}{2}^{\textcolor{green}{3}}
= \textcolor{orangered}{8} \)
Merke
\( \textcolor{orange}{a}^{\textcolor{green}{x}} = \textcolor{orangered}{b}
\quad\Leftrightarrow\quad
\textcolor{green}{x}
= \log_{\textcolor{orange}{a}}(\textcolor{orangered}{b}) \)
Der Logarithmus ist die Frage nach der Hochzahl.
Von der Potenz zum Logarithmus:
• Die Basis der Potenz
bleibt die Basis des Logarithmus
• Das Ergebnis der Potenz
wird zum Argument im Logarithmus
• Die gesuchte Hochzahl
wird zum Ergebnis des Logarithmus
Beispiel
Gesucht ist der Exponent:
\( \textcolor{orange}{3}^{\textcolor{green}{x}} = \textcolor{orangered}{81} \)
Wir rechnen mit dem Logarithmus:
\( \log_{\textcolor{orange}{3}}(\textcolor{orangered}{81}) = \textcolor{green}{x} \)
Der Taschenrechner liefert:
\( \textcolor{green}{x} = 4 \)
Also gilt:
\( \textcolor{orange}{3}^{\textcolor{green}{4}} = \textcolor{orangered}{81} \)
Denn:
\( \textcolor{orange}{3} \cdot \textcolor{orange}{3} \cdot \textcolor{orange}{3} \cdot \textcolor{orange}{3}
= \textcolor{orange}{3}^{\textcolor{green}{4}}
= \textcolor{orangered}{81} \)
Wichtig
Lies: \( \log_{\textcolor{orange}{2}}(\textcolor{orangered}{8}) \)
→ „Logarithmus von \( {\textcolor{orangered}{8}} \)
zur Basis \( {\textcolor{orange}{2}} \)“
Allgemein:
\( \log_{\textcolor{orange}{a}}(\textcolor{orangered}{b}) \)
→ „Logarithmus von \( {\textcolor{orangered}{b}} \)
zur Basis \( {\textcolor{orange}{a}} \)“
Kopfrechnen mit dem Logarithmus
Wenn du einen Logarithmus ohne Taschenrechner berechnen willst, musst du dich fragen:
Wichtig
Welchen Exponenten braucht die
Basis,
damit ich das Argument bekomme?
Beispiel
\( \log_{\textcolor{orange}{2}}({\textcolor{orangered}{8}}) = \textcolor{green}{?} \)
Um den Logarithmus im Kopf zu berechnen, wandeln wir ihn zurück in eine Potenzfrage:
\( \textcolor{orange}{2}^{\textcolor{green}{?}} = \textcolor{orangered}{8} \)
(2 hoch wieviel ergibt 8?)
Wir gehen die Potenzen der Basis durch – bis wir beim Argument landen:
\( {\textcolor{orange}{2}}^{\textcolor{green}{?}} = {\textcolor{orangered}{8}} \)
\( {\textcolor{orange}{2}}^{\textcolor{green}{1}} = {\textcolor{orangered}{2}} \)
\( {\textcolor{orange}{2}}^{\textcolor{green}{2}} = {\textcolor{orangered}{4}} \)
\( {\textcolor{orange}{2}}^{\textcolor{green}{3}} = {\textcolor{orangered}{8}} \)
Also gilt:
\( \log_{\textcolor{orange}{2}}({\textcolor{orangered}{8}}) = \textcolor{green}{3} \)
Weitere Beispiele
\( \log_{\textcolor{orange}{10}}({\textcolor{orangered}{1000}}) = \textcolor{green}{?}
\;\Rightarrow\;
{\textcolor{orange}{10}}^{\textcolor{green}{?}} = {\textcolor{orangered}{1000}} \)
\( {\textcolor{orange}{10}}^{\textcolor{green}{1}} = 10 \quad
{\textcolor{orange}{10}}^{\textcolor{green}{2}} = 100 \quad
{\textcolor{orange}{10}}^{\textcolor{green}{3}} = 1000 \)
→ \( \log_{\textcolor{orange}{10}}({\textcolor{orangered}{1000}}) = \textcolor{green}{3}
\quad \textsf{denn } {\textcolor{orange}{10}}^{\textcolor{green}{3}} = \textcolor{orangered}{1000} \)
\( \log_{\textcolor{orange}{3}}({\textcolor{orangered}{81}}) = \textcolor{green}{4}
\quad \textsf{denn } {\textcolor{orange}{3}}^{\textcolor{green}{4}} = \textcolor{orangered}{81} \)
\( \log_{\textcolor{orange}{5}}({\textcolor{orangered}{125}}) = \textcolor{green}{3}
\quad \textsf{denn } {\textcolor{orange}{5}}^{\textcolor{green}{3}} = \textcolor{orangered}{125} \)
So kannst du viele Logarithmen im Kopf berechnen – durch Rückwärtsdenken mit Potenzen.
Merke
\( \log_{\textcolor{orange}{a}}(\textcolor{orangered}{b}) = \textcolor{green}{?}
\quad\Rightarrow\quad
{\textcolor{orange}{a}}^{\textcolor{green}{?}} = {\textcolor{orangered}{b}} \)
Gehe die Potenzen der Basis durch – bis du beim Argument ankommst.
Überblick: Logarithmengesetze
Jetzt zeigen wir dir noch die wichtigsten Logarithmengesetze – damit du sicher und schnell umformen kannst.
Produktregel
Steht im Argument ein Produkt,
darfst du es in eine Summe zerlegen.
\( \log_{\textcolor{orange}{a}}({\textcolor{orangered}{x \cdot y}})
= \log_{\textcolor{orange}{a}}({\textcolor{orangered}{x}})
+ \log_{\textcolor{orange}{a}}({\textcolor{orangered}{y}}) \)
Beispiel
\( \log_{\textcolor{orange}{2}}({\textcolor{orangered}{6 \cdot 5}})
= \log_{\textcolor{orange}{2}}({\textcolor{orangered}{6}})
+ \log_{\textcolor{orange}{2}}({\textcolor{orangered}{5}}) \)
Quotientenregel
Steht im Argument ein Bruch,
darfst du ihn als Differenz schreiben.
\( \log_{\textcolor{orange}{a}}
\left( \dfrac{\textcolor{orangered}{x}}{\textcolor{orangered}{y}} \right)
= \log_{\textcolor{orange}{a}}({\textcolor{orangered}{x}})
- \log_{\textcolor{orange}{a}}({\textcolor{orangered}{y}}) \)
Beispiel
\( \log_{\textcolor{orange}{3}}
\left(\dfrac{\textcolor{orangered}{81}}{\textcolor{orangered}{9}}\right)
= \log_{\textcolor{orange}{3}}({\textcolor{orangered}{81}})
- \log_{\textcolor{orange}{3}}({\textcolor{orangered}{9}}) \)
Potenzregel
Steht im Argument eine Potenz,
darfst du den Exponent nach vorne ziehen.
\( \log_{\textcolor{orange}{a}}({\textcolor{orangered}{x}}^{\textcolor{green}{n}})
= {\textcolor{green}{n}} \cdot \log_{\textcolor{orange}{a}}({\textcolor{orangered}{x}}) \)
Beispiel
\( \log_{\textcolor{orange}{5}}({\textcolor{orangered}{2}}^{\textcolor{green}{3}})
= \textcolor{green}{3} \cdot \log_{\textcolor{orange}{5}}({\textcolor{orangered}{2}}) \)
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Übungen
Bestimme \( x \): \( \log_{\textcolor{orange}{2}}(\textcolor{orangered}{16}) = x \)
Lösung
Wir suchen die Hochzahl: \( {\textcolor{orange}{2}}^{\textcolor{green}{x}} = \textcolor{orangered}{16} \)
Potenzen prüfen: \( 2^{1} = 2,\; 2^{2} = 4,\; 2^{3} = 8,\; 2^{4} = 16 \)
Also: \( x = \textcolor{green}{4} \)
Berechne im Kopf: \( \log_{\textcolor{orange}{3}}(\textcolor{orangered}{27}) \)
Lösung
Rückwärtsdenken: \( {\textcolor{orange}{3}}^{\textcolor{green}{?}} = \textcolor{orangered}{27} \)
Potenzen: \( 3^{1}=3,\; 3^{2}=9,\; 3^{3}=27 \)
Ergebnis: \( \log_{\textcolor{orange}{3}}(\textcolor{orangered}{27}) = \textcolor{green}{3} \)
Bestimme \( x \):
\( \log_{\textcolor{orange}{4}}(\textcolor{orangered}{64}) = x \)
Lösung
Rückwärtsdenken: \( {\textcolor{orange}{4}}^{\textcolor{green}{x}} = \textcolor{orangered}{64} \)
Potenzen prüfen:
\( 4^{1}=4,\; 4^{2}=16,\; 4^{3}=64 \)
Also: \( x = \textcolor{green}{3} \)
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in unseren FAQs
Wozu braucht man überhaupt Logarithmen?
Logarithmen helfen dir, aus einer Potenz die fehlende Hochzahl zu bestimmen.
Beispiel: Du weißt \( a^{x} = b \), suchst aber \( x \).
→ Dann nutzt du \( x = \log_{a}(b) \).
Sie sind also das „Umkehren“ einer Potenz.
Woran erkenne ich, was Basis und was Argument ist?
Die Basis ist die Zahl, die im Logarithmus unten steht:
\( \log_{\textcolor{orange}{a}}(\textcolor{orangered}{b}) \)
Das Argument ist der Wert in der Klammer: \( b \).
Gesucht ist immer der Exponent \( x \), für den \( a^{x} = b \) gilt.
Was mache ich, wenn mein Taschenrechner kein log zur passenden Basis hat?
Dann nutzt du die Basiswechsel-Formel.
Für \( \log_{a}(b) \) gibst du ein:
\( \dfrac{\log(b)}{\log(a)} \)
Das funktioniert mit jedem Taschenrechner.
Kann der Logarithmus auch negative Zahlen annehmen?
Nein. Ein Logarithmus ist nur definiert für Argumente \( b > 0 \).
Hintergrund: Eine Potenz \( a^{x} \) kann nie negativ werden.
→ Also kann \( \log_{a}(b) \) nur funktionieren, wenn \( b \) positiv ist.
Wie löse ich eine Gleichung mit unbekanntem Exponenten am besten?
Schritt 1: Forme sie in die Struktur \( a^{x} = b \) um.
Schritt 2: Wende den Logarithmus an:
\( x = \log_{a}(b) \)
Schritt 3: Wert mit dem Rechner berechnen – fertig.
Vertiefung
Weiterführende Informationen
Vom Wurzelziehen zum Logarithmus – Gegenspieler beim Lösen
Beim Gleichungen lösen nutzt du immer die Gegenspieler der Rechenarten, um an das \( \textcolor{green}{x} \) heranzukommen.
Beispiel
\( \textcolor{green}{x}^2 = 9 \quad \mid \sqrt{\phantom{x}}\)
\( \sqrt{\textcolor{green}{x}^2} = \sqrt{9} \)
\( \textcolor{green}{x} = \pm 3 \)
Gegenspieler
Die Wurzel macht das Quadrat rückgängig:
\( \sqrt{\textcolor{green}{x}^2} = \textcolor{green}{x} \).
Genau so brauchst du zum Lösen von Potenzgleichungen den Gegenspieler zur Potenz – den Logarithmus.
Statt \( \textcolor{green}{x}^2 = 9 \) betrachten wir jetzt eine allgemeine Potenzgleichung:
\( \textcolor{orange}{a}^{\textcolor{green}{x}} = \textcolor{orangered}{b} \)
Auch hier suchst du wieder die Hochzahl \( \textcolor{green}{x} \). Der Logarithmus ist die Umkehrrechnung zu dieser Potenz.
Beispiel
\( \textcolor{orange}{2}^{\textcolor{green}{x}} = \textcolor{orangered}{8} \)
Wir wollen die Hochzahl finden – also den Exponenten. Deshalb wenden wir den Logarithmus zur Basis 2 an – denn die Basis bleibt immer gleich.
\( \textcolor{orange}{2}^{\textcolor{green}{x}} = \textcolor{orangered}{8}
\quad \bigg|\, \log_{\textcolor{orange}{2}} \)
\( \log_{\textcolor{orange}{2}}\!\big(\textcolor{orange}{2}^{\textcolor{green}{x}}\big)
= \log_{\textcolor{orange}{2}}(\textcolor{orangered}{8}) \)
Links wenden wir das 3. Logarithmengesetz an: \( \log_{\textcolor{orange}{a}}({\textcolor{orangered}{x}}^{\textcolor{green}{n}}) = {\textcolor{green}{n}} \cdot \log_{\textcolor{orange}{a}}({\textcolor{orangered}{x}}) \)
Dieses Gesetz sagt nur:
Der Exponent darf aus dem Logarithmus heraus –
und vor die Klammer wandern.
\( \textcolor{green}{x} \cdot \log_{\textcolor{orange}{2}}(\textcolor{orange}{2})
= \log_{\textcolor{orange}{2}}(\textcolor{orangered}{8}) \)
Da \( \log_{\textcolor{orange}{2}}(\textcolor{orange}{2}) = 1 \), bleibt links nur noch \( \textcolor{green}{x} \):
\( \textcolor{green}{x} = \log_{\textcolor{orange}{2}}(\textcolor{orangered}{8}) \)
Jetzt kann man den Taschenrechner benutzen – oder rückwärts denken:
\( \log_{\textcolor{orange}{2}}(\textcolor{orangered}{8}) = \textcolor{green}{3} \)
Kontrolle: \( \textcolor{orange}{2}^{\textcolor{green}{3}} = \textcolor{orangered}{8} \)
Merke
Quadrat und Wurzel sind Gegenspieler:
\( \sqrt{\textcolor{green}{x}^2} = \textcolor{green}{x} \).
Potenz und Logarithmus sind ebenfalls Gegenspieler:
\( \textcolor{orange}{a}^{\textcolor{green}{x}} = \textcolor{orangered}{b}
\quad\Leftrightarrow\quad
\textcolor{green}{x} = \log_{\textcolor{orange}{a}}(\textcolor{orangered}{b}) \)
Zum Lösen von Potenzgleichungen benutzt du deshalb den Logarithmus.
Logarithmen in der realen Welt
Logarithmen klingen erstmal trocken – aber sie begegnen dir in der echten Welt viel öfter, als du denkst! Wir zeigen dir zwei Beispiele.
Beispiel 1
Du legst 1 000 € zu 5 % Zinsen pro Jahr an.
Nach wie vielen Jahren hat sich dein Geld verdoppelt?
Nach wie vielen Jahren hat sich dein Geld verdoppelt?
Gesucht: Anzahl der Jahre \( \textcolor{green}{x} \)
Anfangskapital \( K_0 = 1000 \)
Endkapital \( K = 2000 \)
Zinsfaktor \( \textcolor{orange}{q} = 1{,}05 \)
Zinsformel: \( K = K_0 \cdot \textcolor{orange}{q}^{\textcolor{green}{x}} \)
\(\Rightarrow\; 2000 = 1000 \cdot \textcolor{orange}{1{,}05}^{\textcolor{green}{x}} \)
Durch \( 1000 \) teilen:
\( 2 = \textcolor{orange}{1{,}05}^{\textcolor{green}{x}} \)
Logarithmus nutzen, um \( \textcolor{green}{x} \) zu isolieren:
\( \textcolor{green}{x} = \log_{\textcolor{orange}{1{,}05}}(2) \)
Taschenrechner liefert:
\( \textcolor{green}{x} \approx 14{,}2 \)
Nach rund 14,2 Jahren hat sich das Kapital verdoppelt.
Beispiel 2
Eine Tablette verliert pro Stunde etwa 20 % ihrer Wirkung.
Nach wie vielen Stunden ist nur noch die Hälfte wirksam?
Gesucht: Wirkungsdauer \( \textcolor{green}{x} \) in Stunden
Startwert \( W_0 = 100 \% \)
Restwert \( W = 50 \% \)
Abbau-Faktor \( \textcolor{orange}{q} = 0{,}80 \)
Formel: \( W = W_0 \cdot \textcolor{orange}{q}^{\textcolor{green}{x}} \)
\( 0{,}5 = \textcolor{orange}{0{,}80}^{\textcolor{green}{x}} \)
Logarithmus nutzen, um \( \textcolor{green}{x} \) zu finden:
\( \textcolor{green}{x} = \log_{\textcolor{orange}{0{,}80}}(0{,}5) \)
Taschenrechner liefert:
\( \textcolor{green}{x} \approx 3{,}1 \)
Nach etwa 3 Stunden ist nur noch die Hälfte der Wirkung vorhanden.
Sollte dein Taschenrechner keine log-Taste haben, bei der du die Basis selbst eingeben kannst, brauchst du den Basiswechsel.
Besondere Logarithmen – die wichtigsten im Überblick
Bei einigen Logarithmen wird die Basis nicht extra dazugeschrieben – weil sie immer dieselbe Zahl ist. Genau deshalb haben sie eigene Namen und sogar eigene Tasten auf dem Taschenrechner.
„log(…)"?
Wenn keine Basis angegeben ist, wird sie nicht weggelassen – sie ist nur immer gleich:
\( \log(\textcolor{orangered}{b})
\quad\Rightarrow\quad
\log_{\textcolor{orange}{10}}(\textcolor{orangered}{b}) \)
Die Basis ist also immer 10 – deshalb nennt man ihn den dekadischen Logarithmus.
Beispiel
\( \log(\textcolor{orangered}{1000}) = \textcolor{green}{3} \)
\( \log_{\textcolor{orange}{10}}(\textcolor{orangered}{1000}) = \textcolor{green}{3} \)
Denn:
\( \textcolor{orange}{10}^{\textcolor{green}{3}} = \textcolor{orangered}{1000} \)
„ln(…)"?
Auch hier wird die Basis nicht weggelassen – sie ist nur immer dieselbe:
\( \ln(\textcolor{orangered}{b})
\quad\Rightarrow\quad
\log_{\textcolor{orange}{e}}(\textcolor{orangered}{b}) \)
Die Basis ist immer \( e \approx 2{,}718 \) – deshalb heißt er der natürliche Logarithmus.
Beispiel
\( \ln(\textcolor{orangered}{e^2}) = \textcolor{green}{2} \)
\( \log_{\textcolor{orange}{e}}(\textcolor{orangered}{e^2}) = \textcolor{green}{2} \)
Denn:
\( \textcolor{orange}{e} \cdot \textcolor{orange}{e} = \textcolor{orange}{e}^{\textcolor{green}{2}} = \textcolor{orangered}{e^2} \)
Warum „natürlich“?
- Die Basis des natürlichen Logarithmus ist \( \textcolor{orange}{e} \approx 2{,}718 \) – die Eulersche Zahl.
- Sie entsteht, wenn man natürliches Wachstum mathematisch beschreibt → Wenn etwas natürlich wächst oder zerfällt (z. B. Populationen, Zinsen, Radioaktivität) taucht \( \textcolor{orange}{e} \) auf.
- Darum verwendet die Wissenschaft fast immer den natürlichen Logarithmus \( \ln(\textcolor{orangered}{b}) \).
Merke
\(
\log(\textcolor{orangered}{b})
\;\Leftrightarrow\;
\log_{\textcolor{orange}{10}}(\textcolor{orangered}{b})
\)
→ heißt dekadischer Logarithmus
(Basis 10)
\(
\ln(\textcolor{orangered}{b})
\;\Leftrightarrow\;
\log_{\textcolor{orange}{e}}(\textcolor{orangered}{b})
\)
→ heißt natürlicher Logarithmus
(Basis e ≈ 2,718)
Wann darf ich den Logarithmus nutzen?
Du kannst den Logarithmus nicht immer nutzen, es gibt einige Einschränkungen zu beachten, die wir uns nacheinander anschauen.
Argument ist 0
\( \log_{\textcolor{orange}{a}}(\textcolor{orangered}{0}) \)
ist nicht definiert – denn
\( \textcolor{orange}{a}^{\textcolor{green}{x}} \)
kann nie 0 ergeben.
Erklärung
\( \textcolor{orange}{3}^{\textcolor{green}{0}}
= \textcolor{orangered}{1} \) – und nicht 0.
\( \textcolor{orange}{5}^{\textcolor{green}{0}}
= \textcolor{orangered}{1} \) – immer 1, niemals 0.
Es gibt es kein
\( \textcolor{green}{x} \) mit
\( \textcolor{orange}{a}^{\textcolor{green}{x}} =
\textcolor{orangered}{0} \) →
Logarithmus nicht möglich.
Basis negativ
Wenn die Basis negativ ist – z. B.
\( \textcolor{orangered}{(-2)}^{\textcolor{green}{x}} \) –
hängen die Ergebnisse davon ab, ob
\( \textcolor{green}{x} \) gerade oder ungerade ist.
Das Problem: Der Logarithmus braucht eine
eindeutige Lösung – sonst kann er nicht
„rückwärts denken“.
Erklärung
Stell dir vor, du sollst folgende Gleichung lösen:
z. B. \( \textcolor{orange}{(-2)}^{\textcolor{green}{x}} = \textcolor{orangered}{8} \)
Wir wissen inzwischen, dass \( \textcolor{green}{x = 3} \) sein müsste → doch es gibt ein Problem, denn:
\( \textcolor{orange}{(-2)}^{\textcolor{green}{3}} = \textcolor{orangered}{-8} \quad \) nicht \( \quad \textcolor{orangered}{8} \)
Es gibt also keinen passenden Exponenten →
der Logarithmus wäre nicht lösbar.
Basis ist 1
Auch \( \log_{\textcolor{orange}{1}}(\textcolor{orangered}{b}) \) ist
nicht erlaubt.
Denn egal, welchen Exponenten man nimmt:
\( \textcolor{orange}{1}^{\textcolor{green}{x}} = \textcolor{orangered}{1} \)
– es entsteht immer dasselbe Ergebnis.
Erklärung
\( \textcolor{orange}{1}^{\textcolor{green}{2}} =
\textcolor{orangered}{1} \)
\( \textcolor{orange}{1}^{\textcolor{green}{7}} =
\textcolor{orangered}{1} \)
Es gibt also keinen Exponenten,
der z. B. \( \textcolor{orangered}{5} \) erzeugt →
\( \log_{\textcolor{orange}{1}}(\textcolor{orangered}{5}) \)
ist nicht lösbar.
Argument negativ
Auch \( \log_{\textcolor{orange}{a}}(\textcolor{orangered}{-4}) \)
geht nicht – denn eine
positive Basis
erzeugt niemals ein
negatives Ergebnis.
Erklärung
\( \textcolor{orange}{4}^{\textcolor{green}{1}} =
\textcolor{orangered}{4} \)
\( \textcolor{orange}{4}^{\textcolor{green}{2}} =
\textcolor{orangered}{16} \)
\( \textcolor{orange}{4}^{\textcolor{green}{3}} =
\textcolor{orangered}{64} \)
Alle Ergebnisse sind positiv –
ein Wert wie \( \textcolor{orangered}{-4} \)
kann nie entstehen.
Deshalb ist der Logarithmus hier nicht definiert.
Warum müssen beide Werte positiv sein?
Einfach ausgedrückt: Der Logarithmus denkt eine Potenz rückwärts. Daher darf nur das vorkommen, was bei Potenzen überhaupt entstehen kann.
Merke
Damit ein Logarithmus erlaubt ist, müssen diese Bedingungen immer gelten:
\( \textcolor{orange}{a} > 0 \quad \text{und} \quad \textcolor{orange}{a} \ne 1 \)
→ die Basis muss positiv sein und darf nicht 1 sein.
\( \textcolor{orangered}{b} > 0 \)
→ das Argument muss positiv sein – nie 0 oder negativ.
Wusstest du schon…?
Der Logarithmus wurde vor über 400 Jahren erfunden – lange vor Taschenrechnern. Er war eine mathematische Revolution, denn er machte komplizierte Rechnungen viel einfacher.
Statt mühsam zu multiplizieren und zu dividieren,
konnte man plötzlich nur addieren und subtrahieren – dank Logarithmen.
konnte man plötzlich nur addieren und subtrahieren – dank Logarithmen.
Deshalb waren Logarithmen früher in der Astronomie, Physik und Seefahrt unverzichtbar. Sogar für die erste Mondlandung wurden Berechnungen mit Logarithmen durchgeführt.
Kurz gesagt: Ohne Logarithmen hätten wir vielleicht nie das Weltall erforscht.
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