Einleitung

Findest du auch, dass Logarithmengesetze erstmal kompliziert wirken? Keine Sorge! Wir zeigen dir anhand einfacher Beispiele, wie die wichtigsten Regeln funktionieren. Am Ende kannst du dich mit kleinen Aufgaben selbst testen.

Merke

\( \log_{\textcolor{orange}{a}}(\textcolor{midnightblue}{x}) \)

lies: Logarithmus x zur Basis a

a → Basis
x → Argument

Produktregel

Steht im Argument ein Produkt aus zwei Faktoren, darfst du es in eine Summe zerlegen. Die Basis bleibt gleich.

\( \log_{\textcolor{orange}{a}}({\textcolor{midnightblue}{x \cdot y}}) = \log_{\textcolor{orange}{a}}({\textcolor{midnightblue}{x}}) + \log_{\textcolor{orange}{a}}({\textcolor{midnightblue}{y}}) \)

Quotientenregel

Steht im Argument ein Bruch kannst du es als Differenz aus Zähler und Nenner schreiben. Auch hier bleibt die Basis erhalten.

\( \log_{\textcolor{orange}{a}}\left(\dfrac{\textcolor{midnightblue}{x}}{\textcolor{midnightblue}{y}}\right) = \log_{\textcolor{orange}{a}}({\textcolor{midnightblue}{x}}) - \log_{\textcolor{orange}{a}}({\textcolor{midnightblue}{y}}) \)

Potenzregel

Steht im Argument eine Potenz, darfst du den Exponent nach vorne ziehen. Die Basis des Logarithmus bleibt gleich.

\( \log_{\textcolor{orange}{a}}({\textcolor{midnightblue}{x}}^{\textcolor{green}{n}}) = {\textcolor{green}{n}} \cdot \log_{\textcolor{orange}{a}}({\textcolor{midnightblue}{x}}) \)

Inhaltsverzeichnis

Das erwartet Dich

Einleitung

Logarithmus und Potenzen

Den Logarithmus im Kopf berechnen

Produktregel und Quotientenregel

Das Potenzgesetz und die Wurzel

Die Basis umwandeln

Einleitung

Merke

\( \log_{\textcolor{orange}{a}}(\textcolor{midnightblue}{x}) \)

lies: Logarithmus x zur Basis a

a → Basis
x → Argument

Produktregel

Steht im Argument ein Produkt aus zwei Faktoren, darfst du es in eine Summe zerlegen. Die Basis bleibt gleich.

\( \log_{\textcolor{orange}{a}}({\textcolor{midnightblue}{x \cdot y}}) = \log_{\textcolor{orange}{a}}({\textcolor{midnightblue}{x}}) + \log_{\textcolor{orange}{a}}({\textcolor{midnightblue}{y}}) \)

Quotientenregel

Steht im Argument ein Bruch kannst du es als Differenz aus Zähler und Nenner schreiben. Auch hier bleibt die Basis erhalten.

Potenzregel

Steht im Argument eine Potenz, darfst du den Exponent nach vorne ziehen. Die Basis des Logarithmus bleibt gleich.

\( \log_{\textcolor{orange}{a}}({\textcolor{midnightblue}{x}}^{\textcolor{green}{n}}) = {\textcolor{green}{n}} \cdot \log_{\textcolor{orange}{a}}({\textcolor{midnightblue}{x}}) \)

Logarithmus und Potenzen

Was ist eigentlich ein Logarithmus – und was hat er mit Potenzen zu tun?

Stell dir vor, du kennst das Ergebnis einer Potenzrechnung – und willst jetzt den Exponenten herausfinden:

\( {\textcolor{orange}{2}}^{\textcolor{green}{?}} = {\textcolor{midnightblue}{8}} \)

Du fragst dich: Die Basis \(2\) hoch welche Zahl ergibt den Wert \(8\)?
Und um das herauszufinden nutzen wir den Logarithmus.

\( \log_{\textcolor{orange}{2}}({\textcolor{midnightblue}{8}}) = {\textcolor{green}{3}} \)

Du siehst also: Der Logarithmus hilft dir, den Exponenten zu finden – er ist die Rückwärtsrechnung zur Potenz.

Merke

Der Logarithmus hilft dir, den Exponenten einer Potenz zu finden.

Die Basis bleibt gleich – das Argument steht in der Klammer – und das Ergebnis ist der Exponent.

\( {\textcolor{orange}{a}}^{\textcolor{green}{b}} = {\textcolor{midnightblue}{x}} \quad \Rightarrow \quad \log_{\textcolor{orange}{a}}({\textcolor{midnightblue}{x}}) = {\textcolor{green}{b}} \)

Dieser Gedankengang ermöglicht es uns umgekehrt auch, einen Logarithmus im Kopf zu berechnen.

Den Logarithmus im Kopf berechnen

Wenn du einen Logarithmus im Kopf berechnen sollst, musst du dich fragen: Welchen Exponenten muss ich meiner Basis geben, um das Argument zu erhalten?

Die Antwort auf diese Frage ist das Ergebnis des Logarithmus.

Beispiele

\( \log_{\textcolor{orange}{2}}({\textcolor{midnightblue}{8}}) = {\textcolor{green}{?}} \)

Wir gehen die Exponenten im Kopf durch, bis wir auf unser Argument treffen:

\( {\textcolor{orange}{2}}^{\textcolor{green}{?}} = {\textcolor{midnightblue}{8}} \)

\( {\textcolor{orange}{2}}^{\textcolor{green}{1}} ={\textcolor{midnightblue}{2}} \)

\( {\textcolor{orange}{2}}^{\textcolor{green}{2}} = 2 \cdot 2 = {\textcolor{midnightblue}{4}} \)

\( {\textcolor{orange}{2}}^{\textcolor{green}{3}} = 2 \cdot 2 \cdot 2 = {\textcolor{midnightblue}{8}} \)

Da \( {\textcolor{orange}{2}}^{\textcolor{green}{3}} = {\textcolor{midnightblue}{8}} \), gilt für unseren Logarithmus: \( \log_{\textcolor{orange}{2}}(\textcolor{midnightblue}{8}) = \textcolor{green}{3} \)

Beispiele

\( \log_{\textcolor{orange}{2}}(\textcolor{midnightblue}{8}) = \textcolor{green}{3} \quad \textsf{,denn } {\textcolor{orange}{2}}^{\textcolor{green}{3}} = \textcolor{midnightblue}{8} \)

\( \log_{\textcolor{orange}{10}}(\textcolor{midnightblue}{1000}) = \textcolor{green}{3} \quad \textsf{,denn } {\textcolor{orange}{10}}^{\textcolor{green}{3}} = \textcolor{midnightblue}{1000} \)

\( \log_{\textcolor{orange}{3}}(\textcolor{midnightblue}{81}) = \textcolor{green}{4} \quad \textsf{,denn } {\textcolor{orange}{3}}^{\textcolor{green}{4}} = \textcolor{midnightblue}{81} \)

Wir lösen die Aufgaben durch Rückwärtsdenken. Gehe die Potenzen der Basis durch – bis du beim Argument ankommst.

Merke

Wenn du \( \log_{\textcolor{orange}{a}}(\textcolor{midnightblue}{x})= {\textcolor{green}{?}} \) im Kopf berechnen willst, überlege:

Welchen Exponenten muss ich der Basis geben, um das Argument zu erhalten? Also:

\( {\textcolor{orange}{a}}^{\textcolor{green}{?}} = {\textcolor{midnightblue}{b}} \)

Produktregel und Quotientenregel

Logarithmen mit gleicher Basis und einem Produkt im Argument darfst du als Summe der beiden Faktoren schreiben. Die Basis bleibt dabei immer gleich.

Beispiele

\( \log_{\textcolor{orange}{2}}(\textcolor{midnightblue}{4 \cdot 8}) = \log_{\textcolor{orange}{2}}(\textcolor{midnightblue}{4}) + \log_{\textcolor{orange}{2}}(\textcolor{midnightblue}{8}) \)

\( \log_{\textcolor{orange}{3}}(\textcolor{midnightblue}{9x}) = \log_{\textcolor{orange}{3}}(\textcolor{midnightblue}{9}) + \log_{\textcolor{orange}{3}}(\textcolor{midnightblue}{x}) \)

\( \log_{\textcolor{orange}{5}}(\textcolor{midnightblue}{a \cdot b}) = \log_{\textcolor{orange}{5}}(\textcolor{midnightblue}{a}) + \log_{\textcolor{orange}{5}}(\textcolor{midnightblue}{b}) \)

Logarithmen mit gleicher Basis und einem Bruch im Argument darfst du als Differenz aus Zähler und Nenner schreiben. Auch hier bleibt die Basis bleibt immer gleich.

Beispiele

\( \log_{\textcolor{orange}{2}}\left(\dfrac{\textcolor{midnightblue}{16}}{\textcolor{midnightblue}{4}}\right) = \log_{\textcolor{orange}{2}}(\textcolor{midnightblue}{16}) - \log_{\textcolor{orange}{2}}(\textcolor{midnightblue}{4}) \)

\( \log_{\textcolor{orange}{7}}\left(\dfrac{\textcolor{midnightblue}{x}}{\textcolor{midnightblue}{y}}\right) = \log_{\textcolor{orange}{7}}(\textcolor{midnightblue}{x}) - \log_{\textcolor{orange}{7}}(\textcolor{midnightblue}{y}) \)

\( \log_{\textcolor{orange}{a}}\left(\dfrac{\textcolor{midnightblue}{b}}{\textcolor{midnightblue}{c}}\right) = \log_{\textcolor{orange}{a}}(\textcolor{midnightblue}{b}) - \log_{\textcolor{orange}{a}}(\textcolor{midnightblue}{c}) \)

Wie du siehst: Die Basis bleibt immer gleich. Nur das Argument wird aufgeteilt – in eine Summe bei Multiplikation oder eine Differenz bei Division.

Merke

\( \log_{\textcolor{orange}{a}}(\textcolor{midnightblue}{x \cdot y}) = \log_{\textcolor{orange}{a}}(\textcolor{midnightblue}{x}) + \log_{\textcolor{orange}{a}}(\textcolor{midnightblue}{y}) \)

\( \log_{\textcolor{orange}{a}} \left( \dfrac{\textcolor{midnightblue}{x}}{\textcolor{midnightblue}{y}} \right) = \log_{\textcolor{orange}{a}}(\textcolor{midnightblue}{x}) - \log_{\textcolor{orange}{a}}(\textcolor{midnightblue}{y}) \)

Das Potenzgesetz und die Wurzel

Wenn du einen Logarithmus potenzierst, kannst du den Exponenten vor den Logarithmus ziehen:

Beispiele

\( \log_{\textcolor{orange}{2}}(8{\textcolor{green}{^3}}) = {\textcolor{green}{3}} \cdot \log_{\textcolor{orange}{2}}(8) \)

\( \log_{\textcolor{orange}{10}}(10{\textcolor{green}{^2}}) = {\textcolor{green}{2}} \cdot \log_{\textcolor{orange}{10}}(1000) \)

\( \log_{\textcolor{orange}{a}}(b{\textcolor{green}{^n}}) = \textcolor{green}{n} \cdot \log_{\textcolor{orange}{a}}(b) \)

Du siehst: Der Exponent wandert vor den Logarithmus. Dieses Logarithmusgesetz wirst du zum Lösen von Exponentialgleichungen brauchen.

Beispiel

Löse die Gleichung: \( {\textcolor{orange}{3}}^{\textcolor{green}{x}} = \textcolor{midnightblue}{81} \)

Zuerst auf beiden Seiten den Logarithmus mit Basis \( \textcolor{orange}{3} \):

\( \log_{\textcolor{orange}{3}}({\textcolor{orange}{3}}^{\textcolor{green}{x}}) = \log_{\textcolor{orange}{3}}(\textcolor{midnightblue}{81}) \)

Dann wenden wir das Logarithmusgesetz an:

\( \textcolor{green}{x} \cdot \log_{\textcolor{orange}{3}}({\textcolor{orange}{3}}) = \log_{\textcolor{orange}{3}}(\textcolor{midnightblue}{81}) \)

Da \( \log_{\textcolor{orange}{3}}({\textcolor{orange}{3}}) = 1 \), bleibt:

\( \textcolor{green}{x} = \log_{\textcolor{orange}{3}}(\textcolor{midnightblue}{81}) \)

\( \textcolor{green}{x} = 4 \), da \( 3^4 = 81 \)

Merke

\( \log_{\textcolor{orange}{a}}(\textcolor{green}{b^n}) = \textcolor{green}{n} \cdot \log_{\textcolor{orange}{a}}(b) \)

Wurzeln kannst du als Potenzen mit Bruch im Exponenten schreiben. So kannst du die Potenzregel auch auf Logarithmen mit Wurzeln im Argument anwenden.

\({\color{orangered}{\sqrt{{\textcolor{black}{x}}}}}=x^{\textcolor{orangered}{\large\frac{1}{2}}}\)

Diese Umformung gilt nicht nur für unser Beispiel, sondern für alle Wurzeln, ganz egal, was darunter steht. Die Zahl vorne auf der Wurzel wird dabei zum Nenner im Bruch des Exponenten

Beispiele

\( \sqrt{\textcolor{midnightblue}{a}} = \textcolor{midnightblue}{a}^{\textcolor{green}{\frac{1}{2}}} \)

\( \sqrt[{\textcolor{orange}{3}}]{\textcolor{midnightblue}{x}} = {\textcolor{midnightblue}{x}}^{\textcolor{green}{\frac{1}{\textcolor{orange}{3}}}} \)

Das bedeutet für die Anwendung der Logarithmengesetze, dass wir nach dem Umwandeln der Wurzel in eine Potenz die Regeln für Potenzen bei Logarithmen anwenden können.

Beispiele

\( \log_{\textcolor{orange}{b}}(\sqrt{\textcolor{midnightblue}{a}}) = \log_{\textcolor{orange}{b}}({\textcolor{midnightblue}{a}}^{\textcolor{green}{\frac{1}{2}}}) = \textcolor{green}{\frac{1}{2}} \cdot \log_{\textcolor{orange}{b}}({\textcolor{midnightblue}{a}}) \)

\( \log_{\textcolor{orange}{3}}(\sqrt[4]{\textcolor{midnightblue}{81}}) = \log_{\textcolor{orange}{3}}({\textcolor{midnightblue}{81}}^{\textcolor{green}{\frac{1}{4}}}) = \textcolor{green}{\frac{1}{4}} \cdot \log_{\textcolor{orange}{3}}({\textcolor{midnightblue}{81}}) \)

\( \log_{\textcolor{orange}{10}}(\sqrt[3]{\textcolor{midnightblue}{1000}}) = \log_{\textcolor{orange}{10}}({\textcolor{midnightblue}{1000}}^{\textcolor{green}{\frac{1}{3}}}) = \textcolor{green}{\frac{1}{3}} \cdot \log_{\textcolor{orange}{10}}({\textcolor{midnightblue}{1000}}) \)

Merke

Wurzeln kannst du immer als Potenz mit Bruch schreiben:

\( \sqrt{\textcolor{midnightblue}{x}} = \textcolor{midnightblue}{x}^{\textcolor{green}{\frac{1}{2}}} \)
\( \sqrt[n]{\textcolor{midnightblue}{x}} = \textcolor{midnightblue}{x}^{\textcolor{green}{\frac{1}{n}}} \)

Die Basis umwandeln

Um die Basis des Logarithmus zu wechseln kannst du folgende Formel nutzen. Damit kannst du einen Logarithmus mit beliebiger Basis in einen Logarithmus mit beliebiger neuer Basis umrechnen.

Merke

\( \log_{\textcolor{orange}{a}}(\textcolor{midnightblue}{x}) = \dfrac{\log_{\textcolor{green}{b}}(\textcolor{midnightblue}{x})}{\log_{\textcolor{green}{b}}(\textcolor{orange}{a})} \)

Du darfst jede Basis wählen, die dein Taschenrechner unterstützt – also meist \( 10 \) oder \( e \).

Beispiel

Wir wandeln \( \log_{\textcolor{orange}{2}}(\textcolor{midnightblue}{7})\) in den dekadischen Logarithmus mit der Basis 10 um.

\( \log_{\textcolor{orange}{2}}(\textcolor{midnightblue}{7}) = \dfrac{\log_{\textcolor{green}{10}}(\textcolor{midnightblue}{7})}{\log_{\textcolor{green}{10}}(\textcolor{orange}{2})} \)

Warum sollte man die Basis eines Logarithmus überhaupt wechseln?

Ganz einfach: Taschenrechner können meist nur zwei Logarithmen berechnen – den dekadischen Logarithmus \( \log(x) \) zur Basis 10 und den natürlichen Logarithmus \( \ln(x) \) zur Basis \( e \).

Ist im Logarithmus eine andere Basis gegeben, müssen wir sie umwandeln um den Wert mit dem Taschenrechner berechnen zu können.

Beispiel

Wir wollen \( \log_{\textcolor{orange}{2}}(\textcolor{midnightblue}{7}) \) mithilfe des natürlichen Logarithmus berechnen.

Basis alt: \(a=2 \quad \) Basis neu: \(b=e\)

Argument \(x=7\)

Jetzt nutzen wir die Formel zum Basiswechsel..

\( \log_{\textcolor{orange}{a}}(\textcolor{midnightblue}{x}) = \dfrac{\log_{\textcolor{green}{b}}(\textcolor{midnightblue}{x})}{\log_{\textcolor{green}{b}}(\textcolor{orange}{a})} \)

...und setzen die ermittelten Werte ein:

\( \log_{\textcolor{orange}{2}}(\textcolor{midnightblue}{7}) = \dfrac{\log_{\textcolor{green}{e}}(\textcolor{midnightblue}{7})}{\log_{\textcolor{green}{e}}(\textcolor{orange}{2})} \quad , \log_e = \ln\)

\( \log_{\textcolor{orange}{2}}(\textcolor{midnightblue}{7}) = \dfrac{\ln(\textcolor{midnightblue}{7})}{\ln(\textcolor{orange}{2})} \)

\( \log_{\textcolor{orange}{2}}(\textcolor{midnightblue}{7}) = \dfrac{1{,}9459}{0{,}6931} \approx \textcolor{green}{2{,}806} \)

Wenn du einen Logarithmus mit beliebiger Basis in einen natürlichen Logarithmus umwandeln möchtest, kannst du dir die Basiswechsel-Formel mit \( \ln \), also der Basis \( e \) merken.

Merke

\( \log_{\textcolor{orange}{a}}({\textcolor{midnightblue}{x}}) = \dfrac{\ln({\textcolor{midnightblue}{x}})}{\ln({\textcolor{orange}{a}})} \)

Hier musst du nur für \({\textcolor{orange}{a}}\) den Wert der alten Basis einsetzen und für \({\textcolor{midnightblue}{x}}\) das Argument. So kannst du jeden Logarithmus mit deinem Taschenrechner berechnen.

Wichtig

Verwechsele nicht den Basiswechsel mit der Quotientenregel!

\( \dfrac{\ln(\textcolor{midnightblue}{7})}{\ln(\textcolor{orange}{2})} = \log_{\textcolor{orange}{2}}(\textcolor{midnightblue}{7}) \)

Aber: \( \ln\left(\dfrac{\textcolor{midnightblue}{7}}{\textcolor{orange}{2}}\right) = \ln(\textcolor{midnightblue}{7}) - \ln(\textcolor{orange}{2}) \)

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Übungen

Löse mit Hilfe der Logarithmengesetze. Nutze die Tipps zum Kopfrechnen.

\( \log_2(8 \cdot 4) \)

Lösung

\( \log_2(8 \cdot 4) = \log_2(8) + \log_2(4) = 3 + 2 = 5 \)

\( \log_5\left(\dfrac{125}{25}\right) \)

Lösung

\( \log_5\left(\dfrac{125}{25}\right) = \log_5(125) - \log_5(25) = 3 - 2 = 1 \)

\( \log_3(9^2) \)

Lösung

\( \log_3(9^2) = 2 \cdot \log_3(9) = 2 \cdot 2 = 4 \)

Nutze den Basiswechsel zum Berechnen mit dem Taschenrechner.

\( \log_3(20) \)

Lösung

\( \log_3(20) = \dfrac{\ln(20)}{\ln(3)} \approx \dfrac{2{,}9957}{1{,}0986} \approx 2{,}73 \)

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1. Wozu brauche ich die Logarithmengesetze überhaupt?

Die Logarithmengesetze helfen dir, komplizierte Ausdrücke zu vereinfachen oder leichter zu berechnen. Du brauchst sie z. B. beim Umformen von Gleichungen oder beim Rechnen ohne Taschenrechner.

‍

2. Muss ich mir alle Logarithmengesetze merken?

Ja, am besten schon. Aber keine Sorge: Es sind nur drei Hauptgesetze, und sie lassen sich mit ein bisschen Übung leicht merken.

‍

3. Was ist der Unterschied zwischen der Produkt- und der Potenzregel?

Die Produktregel zerlegt ein Produkt in eine Summe. Die Potenzregel holt den Exponenten vor den Logarithmus. Das sind unterschiedliche Rechenwege – also nicht verwechseln!

‍

4. Kann ich jede Logarithmusaufgabe mit diesen Gesetzen lösen?

Nicht alle, aber viele. Vor allem beim Umformen oder beim Rechnen mit mehreren Logarithmen sind die Gesetze fast immer hilfreich.

‍

5. Was mache ich, wenn ich verschiedene Basen habe?

Dann brauchst du die Basiswechselregel. Damit kannst du Logarithmen mit einer bestimmten Basis in eine andere umwandeln – zum Beispiel, um mit dem Taschenrechner zu rechnen.

‍

Der Logarithmus - alle Regeln

Einleitung

Einleitung

Logarithmus und Potenzen

Den Logarithmus im Kopf berechnen

Produktregel und Quotientenregel

Das Potenzgesetz und die Wurzel

Die Basis umwandeln

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Lösung

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Nutze den Basiswechsel zum Berechnen mit dem Taschenrechner.

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4. Kann ich jede Logarithmusaufgabe mit diesen Gesetzen lösen?

5. Was mache ich, wenn ich verschiedene Basen habe?

Weiterführende Informationen

Die Logarithmengesetze als Werkzeug

Was sind Logarithmengesetze?

Mathematische Bedeutung

Häufige Fehler

Lerntipps

Ursprung und Entwicklung

Moderne Anwendung