Quadratische Gleichungen lösen
Quadratische Ergänzung
Quadratische Ergänzung: Aus drei Termen wird eine Klammer
Mit der quadratischen Ergänzung kannst du die Normalform in die Scheitelpunktform umformen. Wir schauen uns sofort an einem Beispiel an, wie das funktioniert.
Die Zahl vor dem \(x\) ist \( {\textcolor{orange}{6}} \). Wir halbieren sie und quadrieren das Ergebnis:
Das ist die quadratische Ergänzung, die wir brauchen. Jetzt passiert Folgendes:
Die ersten drei Terme können wir jetzt mit der binomischen Formel zu einer Klammer zusammenfassen.
\(f(x)=(x+3)^2-7\)
So findest du die quadratische Ergänzung
Im Beispiel haben wir mit konkreten Zahlen gerechnet. Dahinter steckt eine einfache Regel:
Wir betrachten eine quadratische Funktion der Form:
Für die quadratische Ergänzung brauchen wir \( {\textcolor{orange}{b}} \) – die Zahl vor dem \(x\). Wir halbieren sie und quadrieren das Ergebnis:
Diese quadratische Ergänzung kommt direkt hinter den \(x\)-Term:
Wir fügen sie einmal hinzu und ziehen sie direkt wieder ab, damit sich die Funktion nicht verändert.
Wie du die quadratische Ergänzung Schritt für Schritt anwendest und wie du vorgehst, wenn vor \(x^2\) noch eine Zahl steht, lernst du im Beitrag.
Quadratische Ergänzung: Aus drei Termen wird eine Klammer
Mit der quadratischen Ergänzung kannst du die Normalform in die Scheitelpunktform umformen. Wir schauen uns sofort an einem Beispiel an, wie das funktioniert.
Die Zahl vor dem \(x\) ist \( {\textcolor{orange}{6}} \). Wir halbieren sie und quadrieren das Ergebnis:
Das ist die quadratische Ergänzung, die wir brauchen. Jetzt passiert Folgendes:
Die ersten drei Terme können wir jetzt mit der binomischen Formel zu einer Klammer zusammenfassen.
\(f(x)=(x+3)^2-7\)
So findest du die quadratische Ergänzung
Im Beispiel haben wir mit konkreten Zahlen gerechnet. Dahinter steckt eine einfache Regel:
Wir betrachten eine quadratische Funktion der Form:
Für die quadratische Ergänzung brauchen wir \( {\textcolor{orange}{b}} \) – die Zahl vor dem \(x\). Wir halbieren sie und quadrieren das Ergebnis:
Diese quadratische Ergänzung kommt direkt hinter den \(x\)-Term:
Wir fügen sie einmal hinzu und ziehen sie direkt wieder ab, damit sich die Funktion nicht verändert.
Wie du die quadratische Ergänzung Schritt für Schritt anwendest und wie du vorgehst, wenn vor \(x^2\) noch eine Zahl steht, lernst du im Beitrag.
Quadratische Ergänzung Schritt für Schritt
Das Prinzip der quadratischen Ergänzung kennst du jetzt. Schauen wir uns den Rechenweg Schritt für Schritt an. Am Ende steht die Funktion in der Scheitelpunktform und wir können den Scheitelpunkt direkt ablesen.
Quadratisch ergänzen
Zur Erinnerung: Für die quadratische Ergänzung halbierst du die Zahl vor dem \(x\) und quadrierst das Ergebnis.
| \( f(x) = x^2 + {\textcolor{orange}{8}}x + {\textcolor{steelblue}{7}} \) | ||
| \( f(x) = x^2 + {\textcolor{orange}{8}}x \) \( + {\textcolor{green}{4^2}} - {\textcolor{green}{4^2}} \) \( + {\textcolor{steelblue}{7}} \) | quadr. Erg. | |
| \( f(x) = \underbrace{ x^2 + {\textcolor{orange}{8}}x + {\textcolor{green}{4^2}} }_{\textcolor{green}{\text{Binom}}} - {\textcolor{green}{4^2}} + {\textcolor{steelblue}{7}} \) | Binom finden | |
| \( f(x) = (x+{\textcolor{green}{4}})^2 - 16 + {\textcolor{steelblue}{7}} \) | Binom schreiben |
Das ergänzte \( {\textcolor{green}{+4^2}} \) baut das Binom. Das \( {\textcolor{green}{-4^2}} \) gleicht es sofort wieder aus, damit sich die Funktion nicht verändert.
Scheitelpunkt aus der Scheitelpunktform ablesen
Aus der Scheitelpunktform kannst du den Scheitelpunkt direkt ablesen. Wichtig ist nur: In der Klammer ändert sich das Vorzeichen.
Die Zahl in der Klammer gehört zur x-Koordinate des Scheitelpunkts, aber mit gedrehtem Vorzeichen: \(x\ {\textcolor{orange}{+}}\ {\textcolor{orange}{4}}\) wird zu \( {\textcolor{orange}{-4}} \). Der Wert hinter der Klammer ist die y-Koordinate: \( {\textcolor{steelblue}{-9}} \).
Diese Stellen sind besonders wichtig
Bei vielen unserer Schüler sehen wir bei der quadratischen Ergänzung immer diese Fehler:
Erst halbieren, dann quadrieren.
Ergänzen allein verändert die Funktion. Deshalb musst du die ergänzte Zahl sofort wieder abziehen.
Was tun, wenn ein Faktor mit dabei ist?
Manchmal steht vor dem \(x^2\) noch ein Faktor. Das ist kein Problem. Wir müssen nur eine Kleinigkeit vorbereiten, bevor wir wie gewohnt quadratisch ergänzen können.
Erst teilen, dann ergänzen
Gegeben ist die Funktion:
Unser persönlicher Tipp:
Viele arbeiten hier mit Ausklammern.
Wir teilen lieber zuerst durch den Faktor vor \(x^2\).
Das ist oft übersichtlicher — du musst nur daran denken,
am Ende wieder zurückzumultiplizieren.
Durch den Faktor teilen
Wir teilen die Funktion durch \( {\textcolor{orangered}{2}} \). Dadurch steht vorne wieder ein einfaches \(x^2\).
| \( f(x) = {\textcolor{orangered}{2}}x^2 - 12x + 5 \) | \( :{\textcolor{orangered}{2}} \) | |
| \( f(x):{\textcolor{orangered}{2}} = x^2 - {\textcolor{orange}{6}}x + 2{,}5 \) | ||
Wichtig: Wir teilen nicht nur den ersten Term. Die ganze rechte Seite wird durch \( {\textcolor{orangered}{2}} \) geteilt.
Mit \(f(x)\ {\textcolor{orangered}{:2}}\) merken wir uns: Am Ende müssen wir wieder mit \( {\textcolor{orangered}{2}} \) multiplizieren.
Steht vor dem \(x^2\) ein negativer Faktor, ändert sich das Verfahren nicht. Du teilst dann jeden Term durch den negativen Faktor.
Beim Teilen durch \( {\textcolor{orangered}{-2}} \) wechseln die Vorzeichen. Danach ergänzt du wieder ganz normal quadratisch.
Jetzt ganz normal ergänzen
Jetzt steht vor dem \(x^2\) keine Zahl mehr. Wir können wie gewohnt quadratisch ergänzen.
| \( f(x):{\textcolor{orangered}{2}} = x^2 - {\textcolor{orange}{6}}x + 2{,}5 \) |
| \( f(x):{\textcolor{orangered}{2}} = x^2 - {\textcolor{orange}{6}}x \) \( + {\textcolor{green}{3^2}} - {\textcolor{green}{3^2}} \) \( + 2{,}5 \) |
| \( f(x):{\textcolor{orangered}{2}} = \underbrace{ x^2 - {\textcolor{orange}{6}}x + {\textcolor{green}{3^2}} }_{\textcolor{green}{\text{Binom}}} - {\textcolor{green}{3^2}} + 2{,}5 \) |
| \( f(x):{\textcolor{orangered}{2}} = (x-{\textcolor{green}{3}})^2 - 9 + 2{,}5 \) |
Das Minus vor \(6x\) bleibt in der Klammer erhalten. Deshalb entsteht \((x-3)^2\).
Am Ende wieder mit dem Faktor multiplizieren
Wir haben am Anfang durch \( {\textcolor{orangered}{2}} \) geteilt. Deshalb multiplizieren wir jetzt wieder mit \( {\textcolor{orangered}{2}} \). Wichtig ist: Jeder Term rechts wird mit \( {\textcolor{orangered}{2}} \) multipliziert.
| \( f(x):{\textcolor{orangered}{2}} = \) \( (x-3)^2 \) \( - \) \( 6{,}5 \) | \( \cdot {\textcolor{orangered}{2}} \) | |
| \( f(x) = \) \( {\textcolor{orangered}{2}}(x-3)^2 \) \( - \) \( {\textcolor{orangered}{2}}\cdot 6{,}5 \) | beide Teile |
Die blauen Markierungen zeigen die beiden Teile auf der rechten Seite. Beide werden mit \( {\textcolor{orangered}{2}} \) multipliziert.
Den Scheitelpunkt trotz Faktor ablesen
Auch wenn vor der Klammer noch ein Faktor steht, kannst du den Scheitelpunkt direkt ablesen. Die Zahl in der Klammer liefert die x-Koordinate, die Zahl hinter der Klammer die y-Koordinate.
Die Zahl in der Klammer gehört zur x-Koordinate, aber mit gedrehtem Vorzeichen. Der Wert hinter der Klammer ist die y-Koordinate.
Quadratische Ergänzung mit Faktor
Wenn vor dem \(x^2\) ein Faktor steht, teilst du zuerst durch diesen Faktor. Danach ergänzt du wie gewohnt quadratisch und multiplizierst am Ende wieder mit demselben Faktor.
Teste dein Wissen
Übungen
Welche quadratische Ergänzung brauchst du bei \(x^2+{\textcolor{orange}{10}}x\)?
Lösung
Zuerst halbierst du die Zahl vor dem \(x\). Danach quadrierst du diese Zahl.
Forme mit quadratischer Ergänzung in die Scheitelpunktform um.
Halbiere die Zahl vor dem \(x\).
Die quadratische Ergänzung ist also \( {\textcolor{green}{3^2}} \).
Lösung
Die Hälfte von \(6\) ist \(3\). Deshalb ergänzen wir mit \(3^2\).
Forme in die Scheitelpunktform um. Achte besonders auf das Minus vor dem \(x\)-Term.
Die Zahl vor dem \(x\) ist hier negativ. Für die Ergänzung halbierst du trotzdem zuerst die \(8\).
Weil vor dem \(x\)-Term ein Minus steht, entsteht später \((x-4)^2\).
Lösung
Die Hälfte von \(8\) ist \(4\). Durch das Minus vor dem \(x\)-Term entsteht später \((x-4)^2\).
Welche Scheitelpunktform passt zu \(f(x)=x^2+{\textcolor{orange}{12}}x+20\)?
Lösung
Die Hälfte von \(12\) ist \(6\). Deshalb ergänzen wir mit \(6^2\).
Lies den Scheitelpunkt ab.
In der Klammer drehst du das Vorzeichen.
Die Zahl hinter der Klammer übernimmst du direkt.
Lösung
Die \(2\) in der Klammer wird zur \(x\)-Koordinate. Das Vorzeichen wird dabei gedreht.
Die \(5\) hinter der Klammer ist die \(y\)-Koordinate.
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in unseren FAQs
Muss ich die quadratische Ergänzung können, wenn es doch die pq-Formel gibt?
Ja, denn die quadratische Ergänzung zeigt dir, warum viele Lösungswege überhaupt funktionieren. Die pq-Formel ist praktisch, aber sie ist eher ein fertiges Rechenwerkzeug.
pq-Formel: schnell zum Ergebnis.
Quadratische Ergänzung: besser verstehen, wie Scheitelpunktform und Wurzel-Lösen zusammenhängen.
Deshalb lohnt es sich, die Idee hinter der quadratischen Ergänzung einmal wirklich zu verstehen.
Wann ist quadratische Ergänzung besonders praktisch?
Besonders praktisch ist sie, wenn du den Scheitelpunkt brauchst. Denn die pq-Formel liefert dir Nullstellen, aber nicht direkt den Scheitelpunkt.
In der Scheitelpunktform siehst du sofort, wo die Parabel ihren tiefsten oder höchsten Punkt hat.
Genau deshalb ist quadratische Ergänzung nicht nur Rechnen, sondern auch eine Hilfe beim Verstehen des Graphen.
Warum kommt quadratische Ergänzung später immer wieder vor?
Weil viele quadratische Terme übersichtlicher werden, wenn man sie als Quadrat schreibt.
Aus mehreren einzelnen Teilen wird eine übersichtliche Klammer.
Diese Idee brauchst du später nicht nur bei Parabeln, sondern auch bei Gleichungen, Extrempunkten und manchmal sogar bei Kreisen.
Was ist der Unterschied zwischen Normalform und Scheitelpunktform?
Beide Formen beschreiben dieselbe Parabel. Sie zeigen dir nur unterschiedliche Dinge schneller.
Die Normalform ist praktisch, wenn du mit der Funktion weiterrechnen oder sie ausmultipliziert sehen möchtest.
Die Scheitelpunktform ist praktisch, wenn du den Scheitelpunkt direkt ablesen möchtest.
Du formst also nicht um, weil sich die Parabel verändert, sondern weil eine andere Form gerade nützlicher ist.
Kann ich quadratische Ergänzung auch zum Lösen von Gleichungen benutzen?
Ja. Wenn eine Gleichung als Quadrat geschrieben ist, kannst du sie oft direkt mit der Wurzel lösen.
Das Quadrat wird freigestellt, danach entstehen beim Wurzelziehen zwei Fälle.
Genau deshalb ist die quadratische Ergänzung mehr als nur Umformen: Sie kann auch ein Lösungsweg für quadratische Gleichungen sein.
Mehr dazu
Weiterführende Informationen
Die Idee hinter der quadratischen Ergänzung
Bei der quadratischen Ergänzung passiert im Grunde nur eins: Wir formen den Anfang der Funktion so um, dass darin eine binomische Formel steckt. Wir denken das Binom also rückwärts.
So sieht die Funktion zuerst in der Normalform aus:
Nach der quadratischen Ergänzung soll daraus eine Scheitelpunktform werden:
Der wichtige Teil ist die Klammer. Darin steckt ein Binom. Deshalb ist die wichtigste Frage: Welche Zahl muss in die Klammer?
Welche Zahl gehört in die Klammer?
Aus dem vorderen Teil der Normalform soll gleich das Binom entstehen. Das bedeutet: Wir müssen etwas ergänzen.
Wir betrachten das Ganze einmal von der anderen Seite. Wenn wir die Klammer ausmultiplizieren, sieht das allgemein so aus:
Jetzt zoomen wir auf den mittleren Term. Er muss zum \( {\textcolor{orange}{6}}x \) aus der Normalform passen.
In die Lücke gehört also die \( {\textcolor{green}{3}} \). Diese \(3\) steckt schon im mittleren Term \( {\textcolor{orange}{6}}x \), denn \(2\cdot x\cdot 3=6x\).
Ob du das erste oder das zweite Binom benutzt, erkennst du am Vorzeichen vor dem \(x\)-Term.
Die Zahl in der Klammer ist immer die Hälfte der Zahl vor dem \(x\). Das Vorzeichen nimmst du aus dem \(x\)-Term mit.
Zum Binom fehlt noch das Quadrat
Die \( {\textcolor{green}{3}} \) ist die Zahl, die wir suchen. Jetzt können wir alle Lücken mit ihr füllen.
Genau deshalb heißt es quadratische Ergänzung: Wir ergänzen das Quadrat der Zahl, die in die Klammer gehört.
Die Funktion darf sich nicht verändern
Bis jetzt haben wir nur mit dem vorderen Teil der Normalform gearbeitet. Die ursprüngliche Funktion hat aber noch die Zahl am Ende:
Den vorderen Teil haben wir jetzt so ergänzt, dass daraus ein Binom entstehen kann. Also würde die Funktion im Moment so aussehen:
Aber dadurch hätten wir der Funktion einfach \( {\textcolor{green}{3^2}} \) hinzugefügt. Das würde die Funktion verändern. Deshalb müssen wir dieselbe Zahl sofort wieder abziehen.
Das \( {\textcolor{green}{+3^2}} \) baut das Binom. Das \( {\textcolor{green}{-3^2}} \) gleicht sofort wieder aus, damit die Funktion gleich bleibt.
Vorne entsteht das Binom, hinten wird gerechnet
Jetzt können wir den vorderen Teil als Binom schreiben. Alles, was dahinter steht, wird zusammengefasst.
Die quadratische Ergänzung ist abgeschlossen. Die Funktion steht jetzt in der Scheitelpunktform.
Quadratische Ergänzung klingt schwerer, als sie ist
Hinter der quadratischen Ergänzung steckt nur diese Idee: Du ergänzt einen Term so, dass vorne eine binomische Formel entsteht.
Das Plus macht das Binom möglich. Das Minus sorgt dafür, dass du die Funktion nicht veränderst.
Nullstellen berechnen mit der quadratischen Ergänzung
Mit der quadratischen Ergänzung kannst du quadratische Gleichungen auch ohne pq-Formel oder Mitternachtsformel lösen. Der wichtigste Schritt ist: Wir bringen die Gleichung zuerst in eine Form mit einem Quadrat. Danach können wir die Wurzel ziehen.
Wir lösen diese Gleichung:
Die quadratische Ergänzung nutzen wir hier nur als Werkzeug: Sie macht aus der linken Seite eine Scheitelpunktform.
Zuerst entsteht die Scheitelpunktform
Die Zahl vor dem \(x\) ist \( {\textcolor{orange}{10}} \). Die Hälfte davon ist \( {\textcolor{green}{5}} \), also ergänzen wir mit \( {\textcolor{green}{5^2}} \).
| \( x^2 - {\textcolor{orange}{10}}x + 21 = 0 \) | |
| \( x^2 - {\textcolor{orange}{10}}x \) \( + {\textcolor{green}{5^2}} - {\textcolor{green}{5^2}} \) \( + 21 = 0 \) | |
| \( (x-{\textcolor{green}{5}})^2 - 25 + 21 = 0 \) |
Quadrat freistellen und Wurzel ziehen
Jetzt steht die Gleichung in einer Form, mit der wir direkt weiterrechnen können. Zuerst stellen wir das Quadrat frei. Danach ziehen wir die Wurzel und lösen beide Fälle.
| \( (x-5)^2 - 4 = 0 \) | \(+4\) | |||
| \( (x-5)^2 = 4 \) | \(\sqrt{\phantom{4}}\) | |||
Denk dran: beim Wurzelziehen entstehen immer zwei Fälle - Plus und Minus.
| \( x-5 = 2 \) | \( x-5 = -2 \) | \(+5\) | ||
| \( x_1 = 7 \) | \( x_2 = 3 \) |
Die Lösungen der Gleichung sind die Nullstellen der Funktion.
Beim Wurzelziehen fragst du nicht nur: Was ist die Wurzel? Sondern: Welche Zahlen ergeben beim Quadrieren diese Zahl?
Deshalb entstehen beim Wurzelziehen immer zwei Fälle:
Der erste Fall mit Plus, die zweite mit Minus.
Es geht auch ohne Lösungsformel
Quadratische Gleichungen musst du nicht immer mit der pq-Formel oder der Mitternachtsformel lösen. Mit der quadratischen Ergänzung geht es auch: Du formst zuerst zur Scheitelpunktform um und löst dann mit der Wurzel.
Besonders praktisch ist das, wenn die Scheitelpunktform schnell entsteht.
13:00 -18:30 Uhr
Alle Rechte vorbehalten.
Schüler- und Studentenförderung