Quadratische Gleichungen lösen

Quadratische Ergänzung

Lisa & Gregor von OnMathe
two students high five

Auf einen Blick

Quadratische Ergänzung einfach erklärt

In deiner Aufgabe steht „Löse mit der quadratischen Ergänzung“ oder „Forme in die Scheitelpunktform um“? Beide Aufgaben funktionieren mit derselben Idee.

Was du gegeben hast, steht in der Normalform. Sie sieht so aus:

\( x^2+{\textcolor{orange}{6}}x+{\textcolor{steelblue}{5}} \)

Um die Aufgabe zu lösen, brauchen wir die Scheitelpunktform. Sie sieht so aus:

\( (x+3)^2 \)\( -4 \)
Egal, ob du die Gleichung lösen oder den Scheitelpunkt ablesen sollst: In beiden Fällen brauchen wir die quadratische Ergänzung.
Schritt für Schritt

So gehst du bei der quadratischen Ergänzung vor

Die Zahl vor dem \(x\) halbieren und das Ergebnis quadrieren.
Dieses Quadrat addieren und wieder subtrahieren.
Die ersten drei Terme als Binom schreiben.
Die übrigen Zahlen zusammenfassen.
Beispiel

Quadratische Ergänzung vollständig vorgerechnet

Jetzt wenden wir die vier Schritte auf unseren Term an:

\( x^2+{\textcolor{orange}{6}}x+{\textcolor{steelblue}{5}} \)

Vor dem \(x\) steht die \(6\). Wir halbieren sie und quadrieren das Ergebnis:

\( \left(\dfrac{{\textcolor{orange}{6}}}{2}\right)^2={\textcolor{green}{3^2}} \)
Die quadratische Ergänzung ist \({\textcolor{green}{3^2}}\). Wir addieren sie und ziehen sie sofort wieder ab. So verändert sich der Term nicht.
\( x^2+{\textcolor{orange}{6}}x \) \( +{\textcolor{green}{3^2}}-{\textcolor{green}{3^2}} \) \( +{\textcolor{steelblue}{5}} \)
\( =\underbrace{x^2+{\textcolor{orange}{6}}x+{\textcolor{green}{3^2}}}_{\textsf{1. Binom}}-{\textcolor{green}{3^2}}+{\textcolor{steelblue}{5}} \)
\( = \)\( (x+3)^2 \)\( -9+5 \)
\( =(x+3)^2-4 \)

Geschafft: Das Binom ist entstanden. Wie es jetzt weitergeht, hängt davon ab, was in deiner Aufgabe gefragt ist.

Scheitelpunkt ablesen

Sollst du die Funktion in die Scheitelpunktform umformen, bist du jetzt am Ziel und kannst den Scheitelpunkt ablesen:

\( f(x)= \)\( (x+3)^2 \)\( -4 \)
\( S(-3\mid -4) \)
Gleichung lösen

Sollst du die quadratische Gleichung lösen, setzt du den umgeformten Term gleich null und rechnest weiter:

\( (x+3)^2-4=0 \) \( +4 \)
\( (x+3)^2=4 \) \(\sqrt{\phantom{x}}\)
\( x+3=\pm2 \) \( -3 \)
\( x_1+3=2 \qquad x_2+3=-2 \)
\( x_1=-1 \qquad x_2=-5 \)

Im Beitrag zeigen wir dir außerdem, was du bei einer Zahl vor \(x^2\) beachten musst, und besprechen ausführlich, wie du mit der quadratischen Ergänzung Scheitelpunkt und Nullstellen bestimmst.

Inhaltsverzeichnis

Das erwartet Dich

Quadratische Ergänzung Schritt für Schritt
Scheitelpunkt ablesen und Nullstellen berechnen

Auf einen Blick

Quadratische Ergänzung einfach erklärt

In deiner Aufgabe steht „Löse mit der quadratischen Ergänzung“ oder „Forme in die Scheitelpunktform um“? Beide Aufgaben funktionieren mit derselben Idee.

Was du gegeben hast, steht in der Normalform. Sie sieht so aus:

\( x^2+{\textcolor{orange}{6}}x+{\textcolor{steelblue}{5}} \)

Um die Aufgabe zu lösen, brauchen wir die Scheitelpunktform. Sie sieht so aus:

\( (x+3)^2 \)\( -4 \)
Egal, ob du die Gleichung lösen oder den Scheitelpunkt ablesen sollst: In beiden Fällen brauchen wir die quadratische Ergänzung.
Schritt für Schritt

So gehst du bei der quadratischen Ergänzung vor

Die Zahl vor dem \(x\) halbieren und das Ergebnis quadrieren.
Dieses Quadrat addieren und wieder subtrahieren.
Die ersten drei Terme als Binom schreiben.
Die übrigen Zahlen zusammenfassen.
Beispiel

Quadratische Ergänzung vollständig vorgerechnet

Jetzt wenden wir die vier Schritte auf unseren Term an:

\( x^2+{\textcolor{orange}{6}}x+{\textcolor{steelblue}{5}} \)

Vor dem \(x\) steht die \(6\). Wir halbieren sie und quadrieren das Ergebnis:

\( \left(\dfrac{{\textcolor{orange}{6}}}{2}\right)^2={\textcolor{green}{3^2}} \)
Die quadratische Ergänzung ist \({\textcolor{green}{3^2}}\). Wir addieren sie und ziehen sie sofort wieder ab. So verändert sich der Term nicht.
\( x^2+{\textcolor{orange}{6}}x \) \( +{\textcolor{green}{3^2}}-{\textcolor{green}{3^2}} \) \( +{\textcolor{steelblue}{5}} \)
\( =\underbrace{x^2+{\textcolor{orange}{6}}x+{\textcolor{green}{3^2}}}_{\textsf{1. Binom}}-{\textcolor{green}{3^2}}+{\textcolor{steelblue}{5}} \)
\( = \)\( (x+3)^2 \)\( -9+5 \)
\( =(x+3)^2-4 \)

Geschafft: Das Binom ist entstanden. Wie es jetzt weitergeht, hängt davon ab, was in deiner Aufgabe gefragt ist.

Scheitelpunkt ablesen

Sollst du die Funktion in die Scheitelpunktform umformen, bist du jetzt am Ziel und kannst den Scheitelpunkt ablesen:

\( f(x)= \)\( (x+3)^2 \)\( -4 \)
\( S(-3\mid -4) \)
Gleichung lösen

Sollst du die quadratische Gleichung lösen, setzt du den umgeformten Term gleich null und rechnest weiter:

\( (x+3)^2-4=0 \) \( +4 \)
\( (x+3)^2=4 \) \(\sqrt{\phantom{x}}\)
\( x+3=\pm2 \) \( -3 \)
\( x_1+3=2 \qquad x_2+3=-2 \)
\( x_1=-1 \qquad x_2=-5 \)

Im Beitrag zeigen wir dir außerdem, was du bei einer Zahl vor \(x^2\) beachten musst, und besprechen ausführlich, wie du mit der quadratischen Ergänzung Scheitelpunkt und Nullstellen bestimmst.

Quadratische Ergänzung Schritt für Schritt

Steht vor dem \(x^2\) ein Faktor, teilen wir zuerst durch diesen Faktor. Danach ergänzen wir wie gewohnt quadratisch und multiplizieren am Ende wieder zurück.

Gegeben
\( f(x) = {\textcolor{orangered}{2}}x^2 - 12x + 5 \)

Unser Tipp:
Viele klammern hier aus. Wir teilen lieber zuerst durch den Faktor vor \(x^2\). Das ist übersichtlicher — du musst nur daran denken, am Ende wieder zurückzumultiplizieren.

\( f(x) = \) \( {\textcolor{orangered}{2}}x^2 \) \( - \) \( 12x \) \( + \) \( 5 \) \(:{\textcolor{orangered}{2}}\)
\(=\) \( x^2 \) \( - \) \( {\textcolor{orange}{6}}x \) \( + \) \( 2{,}5 \) quadr. Erg.
\(= x^2 - {\textcolor{orange}{6}}x \) \( + {\textcolor{green}{3^2}} - {\textcolor{green}{3^2}} \) \( + 2{,}5 \) ergänzen
\(= \underbrace{ x^2 - {\textcolor{orange}{6}}x + {\textcolor{green}{3^2}} }_{\textcolor{green}{\text{Binom}}} - {\textcolor{green}{3^2}} + 2{,}5 \) Binom finden
\(= (x-3)^2 - 9 + 2{,}5 \) Binom schreiben
\(=\) \( (x-3)^2 \) \( - \) \( 6{,}5 \) \(\cdot{\textcolor{orangered}{2}}\)
\(=\) \( {\textcolor{orangered}{2}}(x-3)^2 \) \( - \) \( {\textcolor{orangered}{2}}\cdot6{,}5 \) beide Teile
\(= {\textcolor{orangered}{2}}(x-3)^2 - 13 \)
Wichtig: Jeder Teil der Funktion wird durch \({\textcolor{orangered}{2}}\) dividiert und am Ende wieder mit \({\textcolor{orangered}{2}}\) multipliziert.
Nochmal genauer

Du hast Probleme beim Dividieren?

Dann schau dir den Schritt noch einmal ausführlich an. Jeder Term wird einzeln durch \({\textcolor{orangered}{2}}\) dividiert.

✓ So geht's
\( \begin{array}{ccc} {\textcolor{orangered}{2}}x^2 & -12x & +5 \\[0.35em] \downarrow :{\textcolor{orangered}{2}} & \downarrow :{\textcolor{orangered}{2}} & \downarrow :{\textcolor{orangered}{2}} \\[0.35em] x^2 & -{\textcolor{orange}{6}}x & +2{,}5 \end{array} \)

Mit \(f(x)\ {\textcolor{orangered}{:2}}\) merken wir uns: Am Ende müssen wir wieder mit \( {\textcolor{orangered}{2}} \) multiplizieren.

Auch bei Minus

Steht vor dem \(x^2\) ein negativer Faktor, ändert sich das Verfahren nicht. Du teilst dann jeden Term durch den negativen Faktor.

\( f(x) = {\textcolor{orangered}{-2}}x^2 + 12x + 4 \)
\( f(x):{\textcolor{orangered}{(-2)}} = x^2 - {\textcolor{orange}{6}}x - 2 \)

Beim Teilen durch \( {\textcolor{orangered}{-2}} \) wechseln die Vorzeichen. Danach ergänzt du wieder ganz normal quadratisch.

Bei so vielen kleinen Schritten geht schnell einer verloren. Dein Tutor achtet darauf, dass keiner fehlt.

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Scheitelpunkt ablesen und Nullstellen berechnen

Die quadratische Ergänzung bringt eine Funktion in die Scheitelpunktform. Damit können wir den Scheitelpunkt direkt ablesen und anschließend auch die Nullstellen berechnen.

Beispiel
\( f(x) = x^2 - {\textcolor{orange}{10}}x + 21 \)

Zuerst formen wir die Funktion wie gewohnt mit der quadratischen Ergänzung um.

\( f(x) = x^2 - {\textcolor{orange}{10}}x + 21 \) quadr. Erg.
\(= x^2 - {\textcolor{orange}{10}}x \) \( + {\textcolor{green}{5^2}} - {\textcolor{green}{5^2}} \) \( + 21 \) ergänzen
\(= \underbrace{ x^2 - {\textcolor{orange}{10}}x + {\textcolor{green}{5^2}} }_{\textsf{2. Binom}} - {\textcolor{green}{5^2}} + 21 \) Binom finden
\(= (x-5)^2 \) \( - 25 + 21 \) Binom schreiben
\(= (x-5)^2 - 4 \) zusammenfassen
Scheitelpunkt

Den Scheitelpunkt direkt ablesen

Jetzt steht die Funktion in der Scheitelpunktform. Den Scheitelpunkt können wir direkt aus der Funktion ablesen.

\( f(x) = (x-{\textcolor{orange}{5}})^2 {\textcolor{steelblue}{-4}} \)
Der Scheitelpunkt ist \( S({\textcolor{orange}{5}} \mid {\textcolor{steelblue}{-4}}) \).
Denk an das Vorzeichen in der Klammer: Bei \((x-5)^2\) ist die \(x\)-Koordinate des Scheitelpunkts \({\textcolor{orange}{5}}\), nicht \(-5\).
Du möchtest dir die Scheitelpunktform noch einmal genauer anschauen und lernen, wie du den Scheitelpunkt sicher abliest? Dann geht es hier weiter: Scheitelpunktform einfach erklärt .
Nullstellen

Mit der Scheitelpunktform die Nullstellen berechnen

Jetzt nutzen wir die Scheitelpunktform noch einmal. Für die Nullstellen setzen wir \(f(x)=0\) und lösen die Gleichung.

\( (x-5)^2 - 4 = 0 \) \(+4\)
\( (x-5)^2 = 4 \) \(\sqrt{\phantom{4}}\)
\( x-5 = \pm 2 \) \(+5\)
\( x_1=7 \qquad x_2=3 \)
Denk dran: Beim Wurzelziehen gibt es zwei Möglichkeiten, denn \(2^2=4\) und \((-2)^2=4\).
Die Nullstellen sind \(x_1=7\) und \(x_2=3\).
Du möchtest wissen, welche Möglichkeiten es noch gibt, Nullstellen zu berechnen? In unserem Überblick zeigen wir dir die wichtigsten Verfahren: Nullstellen berechnen .

Quadratische Ergänzung? Wir zeigen es dir.

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Übungen

Übung 1
Aufgabe

Welche quadratische Ergänzung brauchst du bei \(x^2+{\textcolor{orange}{10}}x\)?

✗ Falsch
✓ Richtig
✗ Falsch

Lösung

Lösung 1

Zuerst halbierst du die Zahl vor dem \(x\). Danach quadrierst du diese Zahl.

\( {\textcolor{orange}{10}}:2 = {\textcolor{green}{5}} \)
\( {\textcolor{green}{5}} \longrightarrow {\textcolor{green}{5^2}} \)
Die quadratische Ergänzung ist \(5^2\).

Übung 2
Aufgabe

Forme mit quadratischer Ergänzung in die Scheitelpunktform um.

\( f(x) = x^2 + {\textcolor{orange}{6}}x + 2 \)

Halbiere die Zahl vor dem \(x\).

\( {\textcolor{orange}{6}}:2 = {\textcolor{green}{3}} \)

Die quadratische Ergänzung ist also \( {\textcolor{green}{3^2}} \).

Lösung

Lösung 2

Die Hälfte von \(6\) ist \(3\). Deshalb ergänzen wir mit \(3^2\).

\( f(x) = x^2 + {\textcolor{orange}{6}}x + 2 \)
\( f(x) = x^2 + {\textcolor{orange}{6}}x \) \( + {\textcolor{green}{3^2}} - {\textcolor{green}{3^2}} \) \( + 2 \)
\( f(x) = (x+{\textcolor{green}{3}})^2 - 9 + 2 \)
\( f(x) = (x+3)^2 - 7 \)
Die Scheitelpunktform ist \(f(x)=(x+3)^2-7\).

Übung 3
Aufgabe

Forme in die Scheitelpunktform um. Achte besonders auf das Minus vor dem \(x\)-Term.

\( f(x) = x^2 - {\textcolor{orange}{8}}x + 1 \)

Die Zahl vor dem \(x\) ist hier negativ. Für die Ergänzung halbierst du trotzdem zuerst die \(8\).

\( 8:2 = {\textcolor{green}{4}} \)

Weil vor dem \(x\)-Term ein Minus steht, entsteht später \((x-4)^2\).

Lösung

Lösung 3

Die Hälfte von \(8\) ist \(4\). Durch das Minus vor dem \(x\)-Term entsteht später \((x-4)^2\).

\( f(x) = x^2 - {\textcolor{orange}{8}}x + 1 \)
\( f(x) = x^2 - {\textcolor{orange}{8}}x \) \( + {\textcolor{green}{4^2}} - {\textcolor{green}{4^2}} \) \( + 1 \)
\( f(x) = (x-{\textcolor{green}{4}})^2 - 16 + 1 \)
\( f(x) = (x-4)^2 - 15 \)
Die Scheitelpunktform ist \(f(x)=(x-4)^2-15\).

Übung 4
Aufgabe

Welche Scheitelpunktform passt zu \(f(x)=x^2+{\textcolor{orange}{12}}x+20\)?

✗ Falsch
✓ Richtig
✗ Falsch

Lösung

Lösung 4

Die Hälfte von \(12\) ist \(6\). Deshalb ergänzen wir mit \(6^2\).

\( f(x) = x^2 + {\textcolor{orange}{12}}x + 20 \)
\( f(x) = x^2 + {\textcolor{orange}{12}}x \) \( + {\textcolor{green}{6^2}} - {\textcolor{green}{6^2}} \) \( + 20 \)
\( f(x) = (x+{\textcolor{green}{6}})^2 - 36 + 20 \)
\( f(x) = (x+6)^2 - 16 \)
Richtig ist \(f(x)=(x+6)^2-16\).

Übung 5
Aufgabe

Lies den Scheitelpunkt ab.

\( f(x) = (x-{\textcolor{orange}{2}})^2 + {\textcolor{steelblue}{5}} \)

In der Klammer drehst du das Vorzeichen.

\( x-2 \longrightarrow {\textcolor{orange}{2}} \)

Die Zahl hinter der Klammer übernimmst du direkt.

Lösung

Lösung 5
\( f(x) = (x-{\textcolor{orange}{2}})^2 + {\textcolor{steelblue}{5}} \)
\( S( {\textcolor{orange}{2}} \mid {\textcolor{steelblue}{5}} ) \)

Die \(2\) in der Klammer wird zur \(x\)-Koordinate. Das Vorzeichen wird dabei gedreht.

Die \(5\) hinter der Klammer ist die \(y\)-Koordinate.

Der Scheitelpunkt ist \(S(2\mid5)\).

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Mehr dazu

in unseren FAQs

Muss ich die quadratische Ergänzung können, wenn es doch die pq-Formel gibt?

Ja, denn die quadratische Ergänzung zeigt dir, warum viele Lösungswege überhaupt funktionieren. Die pq-Formel ist praktisch, aber sie ist eher ein fertiges Rechenwerkzeug.

pq-Formel: schnell zum Ergebnis.

Quadratische Ergänzung: besser verstehen, wie Scheitelpunktform und Wurzel-Lösen zusammenhängen.

Deshalb lohnt es sich, die Idee hinter der quadratischen Ergänzung einmal wirklich zu verstehen.

Wann ist quadratische Ergänzung besonders praktisch?

Besonders praktisch ist sie, wenn du den Scheitelpunkt brauchst. Denn die pq-Formel liefert dir Nullstellen, aber nicht direkt den Scheitelpunkt.

\( f(x)=x^2+8x+7 \)
\( \downarrow \)
\( f(x)=(x+4)^2-9 \)

In der Scheitelpunktform siehst du sofort, wo die Parabel ihren tiefsten oder höchsten Punkt hat.

Genau deshalb ist quadratische Ergänzung nicht nur Rechnen, sondern auch eine Hilfe beim Verstehen des Graphen.

Warum kommt quadratische Ergänzung später immer wieder vor?

Weil viele quadratische Terme übersichtlicher werden, wenn man sie als Quadrat schreibt.

\( x^2+6x+9 = (x+3)^2 \)

Aus mehreren einzelnen Teilen wird eine übersichtliche Klammer.

Diese Idee brauchst du später nicht nur bei Parabeln, sondern auch bei Gleichungen, Extrempunkten und manchmal sogar bei Kreisen.

Was ist der Unterschied zwischen Normalform und Scheitelpunktform?

Beide Formen beschreiben dieselbe Parabel. Sie zeigen dir nur unterschiedliche Dinge schneller.

\( f(x)=x^2+8x+7 \)

Die Normalform ist praktisch, wenn du mit der Funktion weiterrechnen oder sie ausmultipliziert sehen möchtest.

\( f(x)=(x+4)^2-9 \)

Die Scheitelpunktform ist praktisch, wenn du den Scheitelpunkt direkt ablesen möchtest.

Du formst also nicht um, weil sich die Parabel verändert, sondern weil eine andere Form gerade nützlicher ist.

Kann ich quadratische Ergänzung auch zum Lösen von Gleichungen benutzen?

Ja. Wenn eine Gleichung als Quadrat geschrieben ist, kannst du sie oft direkt mit der Wurzel lösen.

\( (x+4)^2=9 \)
\( x+4=\pm3 \)

Das Quadrat wird freigestellt, danach entstehen beim Wurzelziehen zwei Fälle.

Genau deshalb ist die quadratische Ergänzung mehr als nur Umformen: Sie kann auch ein Lösungsweg für quadratische Gleichungen sein.

Mehr dazu

Weiterführende Informationen

Die Idee hinter der quadratischen Ergänzung

Bei der quadratischen Ergänzung passiert im Grunde nur eins: Wir formen den Anfang der Funktion so um, dass darin eine binomische Formel steckt. Wir denken das Binom also rückwärts.

Beispiel

So sieht die Funktion zuerst in der Normalform aus:

\( f(x) = x^2 + {\textcolor{orange}{6}}x + 5 \)

Nach der quadratischen Ergänzung soll daraus eine Scheitelpunktform werden:

\( f(x) = (x+{\textcolor{green}{3}})^2 - {\textcolor{steelblue}{4}} \)

Der wichtige Teil ist die Klammer. Darin steckt ein Binom. Deshalb ist die wichtigste Frage: Welche Zahl muss in die Klammer?

Rückwärts denken

Welche Zahl gehört in die Klammer?

Aus dem vorderen Teil der Normalform soll gleich das Binom entstehen. Das bedeutet: Wir müssen etwas ergänzen.

\( x^2 + {\textcolor{orange}{6}}x + \square^2 = (x+\square)^2 \)

Wir betrachten das Ganze einmal von der anderen Seite. Wenn wir die Klammer ausmultiplizieren, sieht das allgemein so aus:

\( (x+\square)^2 = x^2 + 2\cdot x\cdot \square + \square^2 \)

Jetzt zoomen wir auf den mittleren Term. Er muss zum \( {\textcolor{orange}{6}}x \) aus der Normalform passen.

\( 2\cdot x\cdot \square = {\textcolor{orange}{6}}x \)
\( 2\cdot x\cdot {\textcolor{green}{3}} = {\textcolor{orange}{6}}x \)

In die Lücke gehört also die \( {\textcolor{green}{3}} \). Diese \(3\) steckt schon im mittleren Term \( {\textcolor{orange}{6}}x \), denn \(2\cdot x\cdot 3=6x\).

Vorzeichen in der Klammer

Ob du das erste oder das zweite Binom benutzt, erkennst du am Vorzeichen vor dem \(x\)-Term.

\( x^2 \) \( + \ {\textcolor{orange}{8}}x \) \( + 7 = (x \) \( + \ {\textcolor{green}{4}} \) \( )^2 - 9 \)
1. Binom, weil vor dem \(x\)-Term ein Plus steht
\( x^2 \) \( - \ {\textcolor{orange}{6}}x \) \( + 5 = (x \) \( - \ {\textcolor{green}{3}} \) \( )^2 - 4 \)
2. Binom, weil vor dem \(x\)-Term ein Minus steht

Die Zahl in der Klammer ist immer die Hälfte der Zahl vor dem \(x\). Das Vorzeichen nimmst du aus dem \(x\)-Term mit.

Quadratisch ergänzen

Zum Binom fehlt noch das Quadrat

Die \( {\textcolor{green}{3}} \) ist die Zahl, die wir suchen. Jetzt können wir alle Lücken mit ihr füllen.

\( (x+{\textcolor{green}{3}})^2 = x^2 + {\textcolor{orange}{6}}x + {\textcolor{green}{3^2}} \)

Genau deshalb heißt es quadratische Ergänzung: Wir ergänzen das Quadrat der Zahl, die in die Klammer gehört.

Ausgleichen

Die Funktion darf sich nicht verändern

Bis jetzt haben wir nur mit dem vorderen Teil der Normalform gearbeitet. Die ursprüngliche Funktion hat aber noch die Zahl am Ende:

\( f(x) = x^2 + {\textcolor{orange}{6}}x + {\textcolor{steelblue}{5}} \)

Den vorderen Teil haben wir jetzt so ergänzt, dass daraus ein Binom entstehen kann. Also würde die Funktion im Moment so aussehen:

\( f(x) = x^2 + {\textcolor{orange}{6}}x + {\textcolor{green}{3^2}} + {\textcolor{steelblue}{5}} \)

Aber dadurch hätten wir der Funktion einfach \( {\textcolor{green}{3^2}} \) hinzugefügt. Das würde die Funktion verändern. Deshalb müssen wir dieselbe Zahl sofort wieder abziehen.

\( f(x) = x^2 + {\textcolor{orange}{6}}x \) \( + {\textcolor{green}{3^2}} - {\textcolor{green}{3^2}} \) \( + {\textcolor{steelblue}{5}} \)

Das \( {\textcolor{green}{+3^2}} \) baut das Binom. Das \( {\textcolor{green}{-3^2}} \) gleicht sofort wieder aus, damit die Funktion gleich bleibt.

Zusammenbauen

Vorne entsteht das Binom, hinten wird gerechnet

Jetzt können wir den vorderen Teil als Binom schreiben. Alles, was dahinter steht, wird zusammengefasst.

\( f(x) = x^2 + {\textcolor{orange}{6}}x \) \( + {\textcolor{green}{3^2}} - {\textcolor{green}{3^2}} \) \( + {\textcolor{steelblue}{5}} \)
\( f(x) = \underbrace{ x^2 + {\textcolor{orange}{6}}x + {\textcolor{green}{3^2}} }_{\textcolor{green}{\text{Binom}}} - {\textcolor{green}{3^2}} + {\textcolor{steelblue}{5}} \)
\( f(x) = (x+{\textcolor{green}{3}})^2 - 9 + {\textcolor{steelblue}{5}} \)
\( f(x) = (x+3)^2 - 4 \)

Die quadratische Ergänzung ist abgeschlossen. Die Funktion steht jetzt in der Scheitelpunktform.

Kurz gesagt

Quadratische Ergänzung klingt schwerer, als sie ist

Merke

Hinter der quadratischen Ergänzung steckt nur diese Idee: Du ergänzt einen Term so, dass vorne eine binomische Formel entsteht.

\( x^2 + {\textcolor{orange}{6}}x \) \( + {\textcolor{green}{3^2}} - {\textcolor{green}{3^2}} \)
\( = (x+{\textcolor{green}{3}})^2 - {\textcolor{green}{3^2}} \)

Das Plus macht das Binom möglich. Das Minus sorgt dafür, dass du die Funktion nicht veränderst.

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