Strukturen in Termen erkennen
Binomische Formeln
Das Wichtigste
Die Klammer sagt dir, welche Formel passt
Die binomischen Formeln sehen vielleicht kompliziert aus — sind sie aber gar nicht. Die Klammer verrät schon fast alles: Plus, Minus oder Plus-und-Minus. Erkennst du die Form, ist der Rechenweg klar.
Hier siehst du zuerst die drei Formeln im Überblick. Danach schauen wir sie uns Schritt für Schritt mit Beispielen an.
| 1. Binom |
\(
({\textcolor{orange}{a}} + {\textcolor{steelblue}{b}})^2
=
{\textcolor{orange}{a}}^2
+ 2 \cdot {\textcolor{orange}{a}} \cdot {\textcolor{steelblue}{b}}
+ {\textcolor{steelblue}{b}}^2
\)
\(
({\textcolor{orange}{x}} + {\textcolor{steelblue}{3}})^2
=
{\textcolor{orange}{x}}^2
+ {\textcolor{green}{6x}}
+ {\textcolor{steelblue}{9}}
\)
|
| 2. Binom |
\(
({\textcolor{orange}{a}} - {\textcolor{steelblue}{b}})^2
=
{\textcolor{orange}{a}}^2
- 2 \cdot {\textcolor{orange}{a}} \cdot {\textcolor{steelblue}{b}}
+ {\textcolor{steelblue}{b}}^2
\)
\(
({\textcolor{orange}{x}} - {\textcolor{steelblue}{3}})^2
=
{\textcolor{orange}{x}}^2
- {\textcolor{orangered}{6x}}
+ {\textcolor{steelblue}{9}}
\)
|
| 3. Binom |
\(
({\textcolor{orange}{a}} + {\textcolor{steelblue}{b}})
({\textcolor{orange}{a}} - {\textcolor{steelblue}{b}})
=
{\textcolor{orange}{a}}^2
- {\textcolor{steelblue}{b}}^2
\)
\(
({\textcolor{orange}{x}} + {\textcolor{steelblue}{3}})
({\textcolor{orange}{x}} - {\textcolor{steelblue}{3}})
=
{\textcolor{orange}{x}}^2
- {\textcolor{steelblue}{9}}
\)
|
Im Beitrag lernst du außerdem, wie du die drei binomischen Formeln sicher erkennst und typische Fehler vermeidest.
Wie funktionieren die binomischen Formeln?
Die drei binomischen Formeln folgen klaren Mustern. Wenn du die Klammern erkennst, weißt du meistens sofort, welche Formel passt.
Zuerst das Vorzeichen anschauen
Die ersten beiden binomischen Formeln unterscheiden sich nur an einer Stelle: beim Rechenzeichen in der Klammer.
Wir rechnen beide Fälle mit fast demselben Beispiel. So siehst du den Unterschied sofort.
Bei der 1. und 2. binomischen Formel zeigt dir das Vorzeichen in der Klammer, welches Vorzeichen vor \(2ab\) steht.
Die ersten beiden Formeln haben denselben Bauplan
Beide Formeln bestehen aus drei Teilen. Nur das Vorzeichen vor dem Mittelterm ändert sich.
| 1. Binom | \( ({\textcolor{orange}{a}} \;{\textcolor{green}{+}}\; {\textcolor{steelblue}{b}})^2 = {\textcolor{orange}{a}}^2 \;{\textcolor{green}{+}}\; 2 \cdot {\textcolor{orange}{a}} \cdot {\textcolor{steelblue}{b}} + {\textcolor{steelblue}{b}}^2 \) |
| 2. Binom | \( ({\textcolor{orange}{a}} \;{\textcolor{orangered}{-}}\; {\textcolor{steelblue}{b}})^2 = {\textcolor{orange}{a}}^2 \;{\textcolor{orangered}{-}}\; 2 \cdot {\textcolor{orange}{a}} \cdot {\textcolor{steelblue}{b}} + {\textcolor{steelblue}{b}}^2 \) |
Vorsicht, wenn vor dem \(x\) eine Zahl steht
Viele Schüler denken zuerst: „Das Quadrat gehört nur zum \(x\).“ Genau dadurch entsteht ein falsches Ergebnis.
Wenn vor dem \(x\) noch eine Zahl steht, gehört sie mit zum Term: Aus \(3x\) wird zuerst \((3x)\).
Lies \(3x\) wie ein Paket. Wenn das Paket quadriert wird, wird auch die \(3\) quadriert.
Plus-Klammer mal Minus-Klammer
Beim dritten Binom steht dieselbe Klammer zweimal da: einmal mit Plus und einmal mit Minus.
Genau deshalb bleibt am Ende nur die Differenz der Quadrate übrig.
3. binomische FormelWarum verschwindet der Mittelterm?
Beim Ausmultiplizieren entstehen zwei gemischte Terme. Sie heben sich gegenseitig auf.
Ein kurzer Blick auf die Klammern reicht oft
Schau zuerst auf die Form der Klammern. Danach wählst du die passende binomische Formel.
| 1. Binom | \( ({\textcolor{orange}{a}} \;{\textcolor{green}{+}}\; {\textcolor{steelblue}{b}})^2 \) | Quadrat einer Summe |
| 2. Binom | \( ({\textcolor{orange}{a}} \;{\textcolor{orangered}{-}}\; {\textcolor{steelblue}{b}})^2 \) | Quadrat einer Differenz |
| 3. Binom | \( ({\textcolor{orange}{a}} \;{\textcolor{green}{+}}\; {\textcolor{steelblue}{b}}) ({\textcolor{orange}{a}} \;{\textcolor{orangered}{-}}\; {\textcolor{steelblue}{b}}) \) | Summe mal Differenz |
Drei fast gleiche Formeln bringen viele durcheinander. Mit deinem Tutor hältst du sie sicher auseinander.
Kostenlos testen: Online Nachhilfe Mathe bei OnMathe
Wenn das Binom versteckt ist
Nicht immer siehst du sofort, welche binomische Formel passt. Du kannst die Aufgabe dann erst umformen — oft ist das aber unnötig kompliziert.
Unsere 2-in-1-Regel machts dir leicht
Du bist unsicher, ob das jetzt die 1. oder die 2. binomische Formel ist? Zerbrich dir daran nicht den Kopf. Es gibt einen einfachen Trick: Wir nehmen die Vorzeichen der Terme direkt mit in die Rechnung.
BeispielDer erste Term ist \( {\textcolor{orange}{-2x}} \), der zweite Term ist \( {\textcolor{steelblue}{-5}} \).
Du musst die Aufgabe also nicht erst in eine schöne Plus- oder Minus-Klammer verwandeln. Setze einfach die beiden Terme so ein, wie sie dastehen — mit Vorzeichen.
\( ({\textcolor{orange}{\textsf{erster Term}}})^2 \)
\( + \;2 \cdot ({\textcolor{orange}{\textsf{erster Term}}}) \cdot ({\textcolor{steelblue}{\textsf{zweiter Term}}}) \)
\( + ({\textcolor{steelblue}{\textsf{zweiter Term}}})^2 \)
Du musst die Formel nicht zuerst benennen können. Setze einfach die ganzen Terme ein — mit Vorzeichen.
Bring das Binom in die gewohnte Reihenfolge
Nicht immer müssen wir Tricks anwenden. Ganz oft reicht es, genau hinzuschauen und den Term vorne mit dem Term hinten zu tauschen.
BeispielDu suchst das passende Binom? Die beiden Terme sind vertauscht!
Jetzt sieht alles aus, wie wir es kennen - du siehst die 2. binomische Formel sofort.
So gehst du bei versteckten Binomen vor
- Zweimal Minus in der Klammer: direkt mit Vorzeichen einsetzen.
- Minus vorne, Plus in der Mitte: Terme tauschen.
Binomische Formeln erkennen
Um zu entscheiden, welche binomische Formel passt, schaust du zuerst auf die Form der Klammern.
Wichtig ist, ob eine Klammer quadriert wird oder zwei Klammern miteinander multipliziert werden.
Binomische Formeln rückwärts rechnen
Binomische Formeln kannst du auch rückwärts anwenden: Du suchst die Quadrate, prüfst den mittleren Term und schreibst daraus wieder eine Klammer.
- Gibt es zwei Quadrate vorne und hinten?
- Gibt es einen Mittelterm und passt er zum Binom?
Drei Terme zurück in eine Klammer
Du siehst, hier stehen drei Teile. Es kann also nur die erste oder die zweite binomische Formel sein. Das dritte Binom hat keinen Mittelterm - es besteht nur aus zwei Teilen.
GegebenAus den Quadraten bekommst du die beiden Terme für die Klammer.
Der Mittelterm passt.
Der mittlere Teil ist positiv, also passt hier das 1. Binom. Wir können den Term wieder in eine Klammer zurückschreiben:
Wir nehmen das \( {\textcolor{orange}{x}} \)
und die \( {\textcolor{steelblue}{3}} \) aus den Quadraten.
Beim 1. Binom kommt ein Plus dazwischen.
Jetzt fehlt nur noch die Klammer mit Quadrat und das 1. Binom ist fertig.
Die Terme vorne und hinten müssen Quadrate oder Quadratzahlen sein. Sind sie das, schreibst du sie rückwärts.
In die Klammer kommt \( {\textcolor{steelblue}{5}} \).
In die Klammer kommt \( {\textcolor{orange}{x}} \).
In die Klammer kommt \( {\textcolor{orange}{3x}} \).
Die Quadrate sind nur der Start. Ob es wirklich ein Binom ist, entscheidet der Mittelterm.
Zwei Quadrate mit Minus dazwischen
Beim 3. Binom ist der Term kürzer. Es gibt keinen Mittelterm — nur zwei Quadrate mit einem Minus dazwischen.
GegebenAuch hier starten wir mit den beiden Quadraten und schreiben sie zurück:
Es gibt keinen Mittelterm, also müssen wir nichts prüfen. Wir haben die beiden Quadrate und können zurück in die Klammer schreiben.
Wir nehmen das \( {\textcolor{orange}{x}} \)
und die \( {\textcolor{steelblue}{4}} \) aus den Quadraten.
Beim 3. Binom entstehen zwei Klammern:
einmal mit Plus,
einmal mit Minus.
| Plus-Klammer | \( ({\textcolor{orange}{x}} \;{\textcolor{green}{+}}\; {\textcolor{steelblue}{4}}) \) |
| Minus-Klammer | \( ({\textcolor{orange}{x}} \;{\textcolor{orangered}{-}}\; {\textcolor{steelblue}{4}}) \) |
Jetzt setzen wir beide Klammern nebeneinander und haben die dritte binomische Formel.
Lies die Formel von hinten nach vorne
Beim Vorwärtsrechnen entstehen aus \( {\textcolor{orange}{a}} \) und \( {\textcolor{steelblue}{b}} \) die drei Teile der binomischen Formel:
Beim Rückwärtsrechnen machst du genau das Gegenteil: Du suchst \( {\textcolor{orange}{a}}^2 \) und \( {\textcolor{steelblue}{b}}^2 \) und fragst: Was stand davor in der Klammer?
Danach prüfst du den Mittelterm: Das gefundene \( {\textcolor{orange}{a}} \) und das gefundene \( {\textcolor{steelblue}{b}} \) müssen ihn bilden.
Jetzt entscheiden der Mittelterm und sein Vorzeichen, wie es weitergeht:
- Mittelterm mit Plus \( ({\textcolor{orange}{a}} + {\textcolor{steelblue}{b}})^2 \)
- Mittelterm mit Minus \( ({\textcolor{orange}{a}} - {\textcolor{steelblue}{b}})^2 \)
- Kein Mittelterm \( ({\textcolor{orange}{a}} + {\textcolor{steelblue}{b}}) ({\textcolor{orange}{a}} - {\textcolor{steelblue}{b}}) \)
Irgendwann siehst du einem Term sofort an, welches Binom darin steckt. Mit deinem Tutor schneller, als du denkst.
Kostenlos testen: Mathe online lernen mit Nachhilfe von OnMathe
Rechner - Binomische Formeln
Binomische Formeln berechnen
Wähle eine binomische Formel, gib zwei Werte ein und lass dir den Rechenweg Schritt für Schritt anzeigen.
Binomische Formeln? Wir bringen Struktur.
Mathe macht Druck? Wir bringen Struktur.
Dein fester Tutor übt die binomischen Formeln mit dir, auch rückwärts.
Mathe-Nachhilfe online mit festem Tutor und Crashkurs vor jedem Test.
Ausgewählt für Dich
Empfohlene Beiträge
Mehr dazu
in unseren FAQs
Woran erkenne ich, welches Binom ich nehmen muss?
Warum steht beim 2. Binom in der Mitte ein Minus?
Warum gibt es beim 3. Binom kein Doppelprodukt?
Muss ich die binomischen Formeln auswendig lernen?
Kann ich ein Binom auch rückwärts erkennen?
Mehr dazu
Weiterführende Informationen
Grafische Herleitung
Rechnerische Herleitung
Quadratische Funktionen und binomische Formeln
Typische Aufgaben in der Klassenarbeit
Hier siehst du typische Aufgaben zu den binomischen Formeln,
wie sie oft in Klassenarbeiten vorkommen.
So kannst du gezielt üben und erkennst schneller,
welche binomische Formel gerade passt.
Terme mit binomischen Formeln vereinfachen
Zuerst lösen wir die binomischen Formeln auf — lassen sie aber noch in Klammern stehen.
Jetzt lösen wir die Klammern auf. Achte besonders auf die Minusklammer.
Schau zuerst auf die Form der Klammern
Die beiden Klammern sind fast gleich. Sie unterscheiden sich nur im Rechenzeichen: einmal Plus, einmal Minus.
Hier stehen in beiden Klammern dieselben Terme. In der zweiten Klammer sind sie nur vertauscht.
Jetzt siehst du: Die gleiche Klammer wird zweimal miteinander multipliziert.
Binomische Formeln helfen auch beim Kopfrechnen
Wir zerlegen die Zahl so, dass wir ein Binom erkennen.
Auch hier formen wir den Term so um, dass eine binomische Formel passt.
Die Mitte zwischen beiden Zahlen ist \( {\textcolor{orange}{50}} \).
Erkenne das Binom nach dem Ausklammern
Zuerst klammern wir den gemeinsamen Faktor aus.
Jetzt schauen wir uns die Klammer genauer an. Hier steckt ein Binom.
Das schreiben wir wieder als Klammer.
Finde den fehlenden Term
Wir schauen auf den Mittelterm.
Der fehlende Term ist also:
Jetzt haben wir ein vollständiges Binom.
