Strukturen in Termen erkennen
Binomische Formeln
Die Klammer sagt dir, welche Formel passt
Die binomischen Formeln sehen vielleicht kompliziert aus — sind sie aber gar nicht. Die Klammer verrät schon fast alles: Plus, Minus oder Plus-und-Minus. Erkennst du die Form, ist der Rechenweg klar.
Hier siehst du zuerst die drei Formeln im Überblick. Danach schauen wir sie uns Schritt für Schritt mit Beispielen an.
| 1. Binom |
\(
({\textcolor{orange}{a}} + {\textcolor{steelblue}{b}})^2
=
{\textcolor{orange}{a}}^2
+ 2 \cdot {\textcolor{orange}{a}} \cdot {\textcolor{steelblue}{b}}
+ {\textcolor{steelblue}{b}}^2
\)
\(
({\textcolor{orange}{x}} + {\textcolor{steelblue}{3}})^2
=
{\textcolor{orange}{x}}^2
+ {\textcolor{green}{6x}}
+ {\textcolor{steelblue}{9}}
\)
|
| 2. Binom |
\(
({\textcolor{orange}{a}} - {\textcolor{steelblue}{b}})^2
=
{\textcolor{orange}{a}}^2
- 2 \cdot {\textcolor{orange}{a}} \cdot {\textcolor{steelblue}{b}}
+ {\textcolor{steelblue}{b}}^2
\)
\(
({\textcolor{orange}{x}} - {\textcolor{steelblue}{3}})^2
=
{\textcolor{orange}{x}}^2
- {\textcolor{orangered}{6x}}
+ {\textcolor{steelblue}{9}}
\)
|
| 3. Binom |
\(
({\textcolor{orange}{a}} + {\textcolor{steelblue}{b}})
({\textcolor{orange}{a}} - {\textcolor{steelblue}{b}})
=
{\textcolor{orange}{a}}^2
- {\textcolor{steelblue}{b}}^2
\)
\(
({\textcolor{orange}{x}} + {\textcolor{steelblue}{3}})
({\textcolor{orange}{x}} - {\textcolor{steelblue}{3}})
=
{\textcolor{orange}{x}}^2
- {\textcolor{steelblue}{9}}
\)
|
Im Beitrag lernst du außerdem, wie du die drei binomischen Formeln sicher erkennst und typische Fehler vermeidest.
Die Klammer sagt dir, welche Formel passt
Die binomischen Formeln sehen vielleicht kompliziert aus — sind sie aber gar nicht. Die Klammer verrät schon fast alles: Plus, Minus oder Plus-und-Minus. Erkennst du die Form, ist der Rechenweg klar.
Hier siehst du zuerst die drei Formeln im Überblick. Danach schauen wir sie uns Schritt für Schritt mit Beispielen an.
| 1. Binom |
\(
({\textcolor{orange}{a}} + {\textcolor{steelblue}{b}})^2
=
{\textcolor{orange}{a}}^2
+ 2 \cdot {\textcolor{orange}{a}} \cdot {\textcolor{steelblue}{b}}
+ {\textcolor{steelblue}{b}}^2
\)
\(
({\textcolor{orange}{x}} + {\textcolor{steelblue}{3}})^2
=
{\textcolor{orange}{x}}^2
+ {\textcolor{green}{6x}}
+ {\textcolor{steelblue}{9}}
\)
|
| 2. Binom |
\(
({\textcolor{orange}{a}} - {\textcolor{steelblue}{b}})^2
=
{\textcolor{orange}{a}}^2
- 2 \cdot {\textcolor{orange}{a}} \cdot {\textcolor{steelblue}{b}}
+ {\textcolor{steelblue}{b}}^2
\)
\(
({\textcolor{orange}{x}} - {\textcolor{steelblue}{3}})^2
=
{\textcolor{orange}{x}}^2
- {\textcolor{orangered}{6x}}
+ {\textcolor{steelblue}{9}}
\)
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| 3. Binom |
\(
({\textcolor{orange}{a}} + {\textcolor{steelblue}{b}})
({\textcolor{orange}{a}} - {\textcolor{steelblue}{b}})
=
{\textcolor{orange}{a}}^2
- {\textcolor{steelblue}{b}}^2
\)
\(
({\textcolor{orange}{x}} + {\textcolor{steelblue}{3}})
({\textcolor{orange}{x}} - {\textcolor{steelblue}{3}})
=
{\textcolor{orange}{x}}^2
- {\textcolor{steelblue}{9}}
\)
|
Im Beitrag lernst du außerdem, wie du die drei binomischen Formeln sicher erkennst und typische Fehler vermeidest.
Wie funktionieren die binomischen Formeln?
Die drei binomischen Formeln folgen klaren Mustern. Wenn du die Klammern erkennst, weißt du meistens sofort, welche Formel passt.
Zuerst das Vorzeichen anschauen
Die ersten beiden binomischen Formeln unterscheiden sich nur an einer Stelle: beim Rechenzeichen in der Klammer.
Wir rechnen beide Fälle mit fast demselben Beispiel. So siehst du den Unterschied sofort.
Bei der 1. und 2. binomischen Formel zeigt dir das Vorzeichen in der Klammer, welches Vorzeichen vor \(2ab\) steht.
Die ersten beiden Formeln haben denselben Bauplan
Beide Formeln bestehen aus drei Teilen. Nur das Vorzeichen vor dem Mittelterm ändert sich.
| 1. Binom | \( ({\textcolor{orange}{a}} \;{\textcolor{green}{+}}\; {\textcolor{steelblue}{b}})^2 = {\textcolor{orange}{a}}^2 \;{\textcolor{green}{+}}\; 2 \cdot {\textcolor{orange}{a}} \cdot {\textcolor{steelblue}{b}} + {\textcolor{steelblue}{b}}^2 \) |
| 2. Binom | \( ({\textcolor{orange}{a}} \;{\textcolor{orangered}{-}}\; {\textcolor{steelblue}{b}})^2 = {\textcolor{orange}{a}}^2 \;{\textcolor{orangered}{-}}\; 2 \cdot {\textcolor{orange}{a}} \cdot {\textcolor{steelblue}{b}} + {\textcolor{steelblue}{b}}^2 \) |
Vorsicht, wenn vor dem \(x\) eine Zahl steht
Viele Schüler denken zuerst: „Das Quadrat gehört nur zum \(x\).“ Genau dadurch entsteht ein falsches Ergebnis.
Wenn vor dem \(x\) noch eine Zahl steht, gehört sie mit zum Term: aus \(3x\) wird zuerst \((3x)\).
Lies \(3x\) wie ein Paket. Wenn das Paket quadriert wird, wird auch die \(3\) quadriert.
Plus-Klammer mal Minus-Klammer
Beim dritten Binom steht dieselbe Klammer zweimal da: einmal mit Plus und einmal mit Minus.
Genau deshalb bleibt am Ende nur die Differenz der Quadrate übrig.
3. binomische FormelWarum verschwindet der Mittelterm?
Beim Ausmultiplizieren entstehen zwei gemischte Terme. Sie heben sich gegenseitig auf.
Ein kurzer Blick auf die Klammern reicht oft
Schau zuerst auf die Form der Klammern. Danach wählst du die passende binomische Formel.
| 1. Binom | \( ({\textcolor{orange}{a}} \;{\textcolor{green}{+}}\; {\textcolor{steelblue}{b}})^2 \) | Quadrat einer Summe |
| 2. Binom | \( ({\textcolor{orange}{a}} \;{\textcolor{orangered}{-}}\; {\textcolor{steelblue}{b}})^2 \) | Quadrat einer Differenz |
| 3. Binom | \( ({\textcolor{orange}{a}} \;{\textcolor{green}{+}}\; {\textcolor{steelblue}{b}}) ({\textcolor{orange}{a}} \;{\textcolor{orangered}{-}}\; {\textcolor{steelblue}{b}}) \) | Summe mal Differenz |
Wenn das Binom versteckt ist
Nicht immer siehst du sofort, welche binomische Formel passt. Du kannst die Aufgabe dann erst umformen — oft ist das aber unnötig kompliziert.
Unsere 2-in-1 Regel machts dir leicht
Du bist unsicher, ob das jetzt die 1. oder die 2. binomische Formel ist? Zerbrich dir daran nicht den Kopf. Es gibt einen einfachen Trick: Wir nehmen die Vorzeichen der Terme direkt mit in die Rechnung.
BeispielDer erste Term ist \( {\textcolor{orange}{-2x}} \), der zweite Term ist \( {\textcolor{steelblue}{-5}} \).
Du musst die Aufgabe also nicht erst in eine schöne Plus- oder Minus-Klammer verwandeln. Setze einfach die beiden Terme so ein, wie sie dastehen — mit Vorzeichen.
\( ({\textcolor{orange}{\textsf{erster Term}}})^2 \)
\( + \;2 \cdot ({\textcolor{orange}{\textsf{erster Term}}}) \cdot ({\textcolor{steelblue}{\textsf{zweiter Term}}}) \)
\( + ({\textcolor{steelblue}{\textsf{zweiter Term}}})^2 \)
Du musst die Formel nicht zuerst benennen können. Setze einfach die ganzen Terme ein — mit Vorzeichen.
Bring das Binom in die gewohnte Reihenfolge
Nicht immer müssen wir Tricks anwenden. Ganz oft reicht es genau hinzuschauen und den Term vorne mit dem Term hinten zu tauschen.
BeispielDu suchst das passende Binom? Die beiden Terme sind vertauscht!
Jetzt sieht alles aus wie wir es kennen - du siehst die 2. binomische Formel sofort.
So gehst du bei versteckten Binomen vor
- Zweimal Minus in der Klammer: direkt mit Vorzeichen einsetzen.
- Minus vorne, Plus in der Mitte: Terme tauschen.
Binomische Formeln rückwärts rechnen
Binomische Formeln kannst du auch rückwärts anwenden: Du suchst die Quadrate, prüfst den mittleren Term und schreibst daraus wieder eine Klammer.
- Gibt es zwei Quadrate vorne und hinten?
- Gibt es einen Mittelterm und passt er zum Binom?
Drei Terme zurück in eine Klammer
Du siehst, hier stehen drei Teile. Es kann also nur die erste oder die zweite binomische Formel sein. Das dritte Binom hat keinen Mittelterm - es besteht nur aus zwei Teilen.
GegebenAus den Quadraten bekommst du die beiden Terme für die Klammer.
✓ Der Mittelterm passt.
Der mittlere Teil ist positiv, also passt hier das 1. Binom. Wir können den Term wieder in eine Klammer zurückschreiben:
Wir nehmen das \( {\textcolor{orange}{x}} \)
und die \( {\textcolor{steelblue}{3}} \) aus den Quadraten.
Beim 1. Binom kommt ein Plus dazwischen.
Jetzt fehlt nur noch die Klammer mit Quadrat und das 1. Binom ist fertig.
Die Terme vorne und hinten müssen Quadrate oder Quadratzahlen sein. Sind sie das, schreibst du sie rückwärts.
In die Klammer kommt \( {\textcolor{steelblue}{5}} \).
In die Klammer kommt \( {\textcolor{orange}{x}} \).
In die Klammer kommt \( {\textcolor{orange}{3x}} \).
Die Quadrate sind nur der Start. Ob es wirklich ein Binom ist, entscheidet der Mittelterm.
Zwei Quadrate mit Minus dazwischen
Beim 3. Binom ist der Term kürzer. Es gibt keinen Mittelterm — nur zwei Quadrate mit einem Minus dazwischen.
GegebenAuch hier starten wir mit den beiden Quadraten und schreiben sie zurück:
Es gibt keinen Mittelterm, also müssen wir nichts prüfen. Wir haben die beiden Quadrate und können zurück in die Klammer schreiben.
Wir nehmen das \( {\textcolor{orange}{x}} \)
und die \( {\textcolor{steelblue}{4}} \) aus den Quadraten.
Beim 3. Binom entstehen zwei Klammern:
einmal mit Plus,
einmal mit Minus.
| Plus-Klammer | \( ({\textcolor{orange}{x}} \;{\textcolor{green}{+}}\; {\textcolor{steelblue}{4}}) \) |
| Minus-Klammer | \( ({\textcolor{orange}{x}} \;{\textcolor{orangered}{-}}\; {\textcolor{steelblue}{4}}) \) |
Jetzt setzen wir beide Klammern nebeneinander und haben die dritte binomische Formel.
Lies die Formel von hinten nach vorne
Beim Vorwärtsrechnen entstehen aus \( {\textcolor{orange}{a}} \) und \( {\textcolor{steelblue}{b}} \) die drei Teile der binomischen Formel:
Beim Rückwärtsrechnen machst du genau das Gegenteil: Du suchst \( {\textcolor{orange}{a}}^2 \) und \( {\textcolor{steelblue}{b}}^2 \) und fragst: Was stand davor in der Klammer?
Danach prüfst du den Mittelterm: Das gefundene \( {\textcolor{orange}{a}} \) und das gefundene \( {\textcolor{steelblue}{b}} \) müssen ihn bilden.
Jetzt der Mittelterm und sein Vorzeichen wie es weiter geht:
- Mittelterm mit Plus \( ({\textcolor{orange}{a}} + {\textcolor{steelblue}{b}})^2 \)
- Mittelterm mit Minus \( ({\textcolor{orange}{a}} - {\textcolor{steelblue}{b}})^2 \)
- Kein Mittelterm \( ({\textcolor{orange}{a}} + {\textcolor{steelblue}{b}}) ({\textcolor{orange}{a}} - {\textcolor{steelblue}{b}}) \)
Rechner - Binomische Formeln
Binomische Formeln berechnen
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