Strukturen in Termen erkennen

Binomischen Formeln

Lisa & Gregor von OnMathe
two students high five

Einleitung

Binomische Formeln sind ein schneller Weg, wie du eine Klammer mit hoch 2 ausmultiplizieren kannst.

Beispiel
\( ({\textcolor{orange}{x}} + {\textcolor{steelblue}{3}})^2 \)

Wir nutzen die 1. binomische Formel.

\(=\)\( {\textcolor{orange}{x}}^2 \) \( + \) \( 2 \cdot {\textcolor{orange}{x}} \cdot {\textcolor{steelblue}{3}} \) \( + \) \( {\textcolor{steelblue}{3}}^2 \)
\(=\)\( {\textcolor{orange}{x}}^2 \) \( + \) \( {\textcolor{green}{6x}} \) \( + \) \( {\textcolor{steelblue}{9}} \)
Erstes Quadrat – Doppelprodukt – zweites Quadrat
Merke
Binom Form Ergebnis
1. Binom \( ({\textcolor{orange}{a}} + {\textcolor{steelblue}{b}})^2 \) \( {\textcolor{orange}{a}}^2 + 2 \cdot {\textcolor{orange}{a}} \cdot {\textcolor{steelblue}{b}} + {\textcolor{steelblue}{b}}^2 \)
2. Binom \( ({\textcolor{orange}{a}} - {\textcolor{steelblue}{b}})^2 \) \( {\textcolor{orange}{a}}^2 - 2 \cdot {\textcolor{orange}{a}} \cdot {\textcolor{steelblue}{b}} + {\textcolor{steelblue}{b}}^2 \)
3. Binom \( ({\textcolor{orange}{a}} + {\textcolor{steelblue}{b}})\,({\textcolor{orange}{a}} - {\textcolor{steelblue}{b}}) \) \( {\textcolor{orange}{a}}^2 - {\textcolor{steelblue}{b}}^2 \)
1. Binom
\( ({\textcolor{orange}{a}} + {\textcolor{steelblue}{b}})^2 \)
\( = {\textcolor{orange}{a}}^2 + 2 \cdot {\textcolor{orange}{a}} \cdot {\textcolor{steelblue}{b}} + {\textcolor{steelblue}{b}}^2 \)
2. Binom
\( ({\textcolor{orange}{a}} - {\textcolor{steelblue}{b}})^2 \)
\( = {\textcolor{orange}{a}}^2 - 2 \cdot {\textcolor{orange}{a}} \cdot {\textcolor{steelblue}{b}} + {\textcolor{steelblue}{b}}^2 \)
3. Binom
\( ({\textcolor{orange}{a}} + {\textcolor{steelblue}{b}})\,({\textcolor{orange}{a}} - {\textcolor{steelblue}{b}}) \)
\( = {\textcolor{orange}{a}}^2 - {\textcolor{steelblue}{b}}^2 \)

Im Beitrag lernst du, wie du alle drei binomischen Formeln sicher erkennst, richtig anwendest und typische Fehler vermeidest.

Binomische Formeln Rechner

Wähle zuerst die binomische Formel, gib dann zwei Werte ein und lass dir den Rechenweg Schritt für Schritt erklären.

a
b
Wähle eine Formel und gib zwei Werte ein.
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Inhaltsverzeichnis

Das erwartet Dich

Einleitung
Binomische Formeln 1 & 2
Die 3. binomische Formel
So sparst du dir das Auswendiglernen
Binomische Formeln erkennen
Binomische Formeln rückwärts rechnen

Einleitung

Binomische Formeln sind ein schneller Weg, wie du eine Klammer mit hoch 2 ausmultiplizieren kannst.

Beispiel
\( ({\textcolor{orange}{x}} + {\textcolor{steelblue}{3}})^2 \)

Wir nutzen die 1. binomische Formel.

\(=\)\( {\textcolor{orange}{x}}^2 \) \( + \) \( 2 \cdot {\textcolor{orange}{x}} \cdot {\textcolor{steelblue}{3}} \) \( + \) \( {\textcolor{steelblue}{3}}^2 \)
\(=\)\( {\textcolor{orange}{x}}^2 \) \( + \) \( {\textcolor{green}{6x}} \) \( + \) \( {\textcolor{steelblue}{9}} \)
Erstes Quadrat – Doppelprodukt – zweites Quadrat
Merke
Binom Form Ergebnis
1. Binom \( ({\textcolor{orange}{a}} + {\textcolor{steelblue}{b}})^2 \) \( {\textcolor{orange}{a}}^2 + 2 \cdot {\textcolor{orange}{a}} \cdot {\textcolor{steelblue}{b}} + {\textcolor{steelblue}{b}}^2 \)
2. Binom \( ({\textcolor{orange}{a}} - {\textcolor{steelblue}{b}})^2 \) \( {\textcolor{orange}{a}}^2 - 2 \cdot {\textcolor{orange}{a}} \cdot {\textcolor{steelblue}{b}} + {\textcolor{steelblue}{b}}^2 \)
3. Binom \( ({\textcolor{orange}{a}} + {\textcolor{steelblue}{b}})\,({\textcolor{orange}{a}} - {\textcolor{steelblue}{b}}) \) \( {\textcolor{orange}{a}}^2 - {\textcolor{steelblue}{b}}^2 \)
1. Binom
\( ({\textcolor{orange}{a}} + {\textcolor{steelblue}{b}})^2 \)
\( = {\textcolor{orange}{a}}^2 + 2 \cdot {\textcolor{orange}{a}} \cdot {\textcolor{steelblue}{b}} + {\textcolor{steelblue}{b}}^2 \)
2. Binom
\( ({\textcolor{orange}{a}} - {\textcolor{steelblue}{b}})^2 \)
\( = {\textcolor{orange}{a}}^2 - 2 \cdot {\textcolor{orange}{a}} \cdot {\textcolor{steelblue}{b}} + {\textcolor{steelblue}{b}}^2 \)
3. Binom
\( ({\textcolor{orange}{a}} + {\textcolor{steelblue}{b}})\,({\textcolor{orange}{a}} - {\textcolor{steelblue}{b}}) \)
\( = {\textcolor{orange}{a}}^2 - {\textcolor{steelblue}{b}}^2 \)

Im Beitrag lernst du, wie du alle drei binomischen Formeln sicher erkennst, richtig anwendest und typische Fehler vermeidest.

Binomische Formeln Rechner

Wähle zuerst die binomische Formel, gib dann zwei Werte ein und lass dir den Rechenweg Schritt für Schritt erklären.

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Binomische Formeln 1 & 2

Bei der ersten binomischen Formel entstehen aus der Klammer immer dieselben drei Bausteine.

Klammer auflösen mit dem 1. Binom
\(({\textcolor{orange}{3x}} + {\textcolor{steelblue}{1}})^2\)
Die 1. binomische Formel

Jede Klammer wird immer in drei Bausteine aufgeteilt.

Formel Unser Beispiel
1 \( {\textcolor{orange}{a}}^2 \) \( ({\textcolor{orange}{3x}})^2 \)
2 \( 2 \cdot {\textcolor{orange}{a}} \cdot {\textcolor{steelblue}{b}} \) \( 2 \cdot {\textcolor{orange}{3x}} \cdot {\textcolor{steelblue}{1}} \)
3 \( {\textcolor{steelblue}{b}}^2 \) \( ({\textcolor{steelblue}{1}})^2 \)

Jetzt setzen wir die drei Bausteine in die erste binomische Formel ein.

So wenden wir die Formel an
\( ({\textcolor{orange}{a}} + {\textcolor{steelblue}{b}})^2 = \) \( {\textcolor{orange}{a}}^2 \) \( + \) \( 2 \cdot {\textcolor{orange}{a}} \cdot {\textcolor{steelblue}{b}} \) \( + \) \( {\textcolor{steelblue}{b}}^2 \)
\( ({\textcolor{orange}{3x}} + {\textcolor{steelblue}{1}})^2 = \) \( ({\textcolor{orange}{3x}})^2 \) \( + \) \( 2 \cdot {\textcolor{orange}{3x}} \cdot {\textcolor{steelblue}{1}} \) \( + \) \( ({\textcolor{steelblue}{1}})^2 \)

Zum Schluss rechnen wir aus und fassen zusammen.

\( ({\textcolor{orange}{3x}} + {\textcolor{steelblue}{1}})^2 = \) \( {\textcolor{orange}{9x^2}} \) \( + \) \( {\textcolor{green}{6x}} \) \( + \) \( {\textcolor{steelblue}{1}} \)
1. Binomische Formel
\( ({\textcolor{orange}{a}} + {\textcolor{steelblue}{b}})^2 = \) \( {\textcolor{orange}{a}}^2 \) \( + \) \( 2 \cdot {\textcolor{orange}{a}} \cdot {\textcolor{steelblue}{b}} \) \( + \) \( {\textcolor{steelblue}{b}}^2 \)
Erstes Quadrat – plus Doppelprodukt – plus zweites Quadrat
Typische Fehler
✓ Richtig ✗ Falsch
\( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \) \( (a+b)^2 = a^2 + b^2 \)
\( ({\textcolor{orange}{3x}})^2 = {\textcolor{orange}{9x^2}} \) \( ({\textcolor{orange}{3x}})^2 = {\textcolor{orange}{3x^2}} \)
✓ Richtig
\( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \)
\( ({\textcolor{orange}{3x}})^2 = {\textcolor{orange}{9x^2}} \)
✗ Falsch
\( (a+b)^2 = a^2 + b^2 \)
\( ({\textcolor{orange}{3x}})^2 = {\textcolor{orange}{3x^2}} \)

Die zweite binomische Formel funktioniert fast genauso wie die erste – aber vor dem Doppelprodukt steht jetzt ein Minus.

Der entscheidende Unterschied

Das Doppelprodukt wechselt sein Vorzeichen.

1. binomische Formel 2. binomische Formel
\( ({\textcolor{orange}{a}} + {\textcolor{steelblue}{b}})^2 \) \( ({\textcolor{orange}{a}} - {\textcolor{steelblue}{b}})^2 \)
\( = {\textcolor{orange}{a}}^2 \) \( + 2{\textcolor{orange}{a}}{\textcolor{steelblue}{b}} \) \( + {\textcolor{steelblue}{b}}^2 \) \( = {\textcolor{orange}{a}}^2 \) \( - 2{\textcolor{orange}{a}}{\textcolor{steelblue}{b}} \) \( + {\textcolor{steelblue}{b}}^2 \)
1. binomische Formel
\( ({\textcolor{orange}{a}} + {\textcolor{steelblue}{b}})^2 \)
\( = {\textcolor{orange}{a}}^2 \) \( + 2{\textcolor{orange}{a}}{\textcolor{steelblue}{b}} \) \( + {\textcolor{steelblue}{b}}^2 \)
2. binomische Formel
\( ({\textcolor{orange}{a}} - {\textcolor{steelblue}{b}})^2 \)
\( = {\textcolor{orange}{a}}^2 \) \( - 2{\textcolor{orange}{a}}{\textcolor{steelblue}{b}} \) \( + {\textcolor{steelblue}{b}}^2 \)

Wir nehmen wieder fast dasselbe Beispiel wie eben – nur mit einem Minus in der Klammer. Dadurch siehst du direkt: Es ändert sich nur der mittlere Term, der Rest bleibt gleich.

Beispiel mit Minus
\( ({\textcolor{orange}{3x}} - {\textcolor{steelblue}{1}})^2 = \) \( ({\textcolor{orange}{3x}})^2 \) \( - \ 2 \cdot {\textcolor{orange}{3x}} \cdot {\textcolor{steelblue}{1}} \) \( + \ ({\textcolor{steelblue}{1}})^2 \)
Vor dem Doppelprodukt steht ein Minus
\( ({\textcolor{orange}{3x}} - {\textcolor{steelblue}{1}})^2 = {\textcolor{orange}{9x^2}} \) \( - \ {\textcolor{green}{6x}} \) \( + \ {\textcolor{steelblue}{1}} \)
2. Binomische Formel
\( ({\textcolor{orange}{a}} - {\textcolor{steelblue}{b}})^2 = {\textcolor{orange}{a}}^2 \) \( - \ 2 \cdot {\textcolor{orange}{a}} \cdot {\textcolor{steelblue}{b}} \) \( + \ {\textcolor{steelblue}{b}}^2 \)
Erstes Quadrat – Minus Doppelprodukt – plus zweites Quadrat
Typischer Fehler
✓ Richtig ✗ Falsch
\( a^2 \) \( - \ 2ab \) \( + \ b^2 \) \( a^2 - 2ab \) \( - \ b^2 \)
✓ Richtig
\( a^2 \) \( - \ 2ab \) \( + \ b^2 \)
✗ Falsch
\( a^2 - 2ab \) \( - \ b^2 \)

✓ Merke: Nur vor dem Doppelprodukt steht ein Minus.

Nach der 3. binomischen Formel lernst du einen Trick, mit dem du dir das Unterscheiden komplett sparen kannst.

Die 3. binomische Formel

Binomische Formeln — Schritt für Schritt erklärt

Die 3. binomische Formel besteht nur aus zwei Bausteinen. Die gemischten Produkte heben sich gegenseitig auf.

Diese beiden Bausteine bleiben übrig

Aus den beiden Klammern entsteht am Ende nur das Quadrat des ersten Terms und das Quadrat des zweiten Terms.

Formel Unser Beispiel
\( ({\textcolor{orange}{a}} + {\textcolor{steelblue}{b}})({\textcolor{orange}{a}} - {\textcolor{steelblue}{b}}) = \) \( ({\textcolor{orange}{3x}} + {\textcolor{steelblue}{1}})({\textcolor{orange}{3x}} - {\textcolor{steelblue}{1}}) = \)
1 \( {\textcolor{orange}{a}}^2 \) \( {\textcolor{orange}{3x}}^2 \)
2 \( {\textcolor{steelblue}{b}}^2 \) \( {\textcolor{steelblue}{1}}^2 \)
Formel
\( ({\textcolor{orange}{a}} + {\textcolor{steelblue}{b}})({\textcolor{orange}{a}} - {\textcolor{steelblue}{b}}) = \)
1   \( {\textcolor{orange}{a}}^2 \)
2   \( {\textcolor{steelblue}{b}}^2 \)
Unser Beispiel
\( ({\textcolor{orange}{3x}} + {\textcolor{steelblue}{1}})({\textcolor{orange}{3x}} - {\textcolor{steelblue}{1}}) = \)
1   \( {\textcolor{orange}{3x}}^2 \)
2   \( {\textcolor{steelblue}{1}}^2 \)

Jetzt setzen wir die beiden Bausteine direkt in die dritte binomische Formel ein.

So wenden wir die Formel an
\( ({\textcolor{orange}{a}} + {\textcolor{steelblue}{b}})({\textcolor{orange}{a}} - {\textcolor{steelblue}{b}}) \) \( = \) \( {\textcolor{orange}{a}}^2 \)\(\ -\) \( {\textcolor{steelblue}{b}}^2 \)
\( ({\textcolor{orange}{3x}} + {\textcolor{steelblue}{1}})({\textcolor{orange}{3x}} - {\textcolor{steelblue}{1}}) \) \( = \) \( ({\textcolor{orange}{3x}})^2 \)\(\ -\) \( ({\textcolor{steelblue}{1}})^2 \)

Zum Schluss rechnen wir nur noch die beiden Quadrate aus.

\( ({\textcolor{orange}{3x}} + {\textcolor{steelblue}{1}})({\textcolor{orange}{3x}} - {\textcolor{steelblue}{1}}) \) \( = \) \( {\textcolor{orange}{9x^2}} \)\(\ -\) \( {\textcolor{steelblue}{1}} \)
3. Binomische Formel
\( ({\textcolor{orange}{a}} + {\textcolor{steelblue}{b}})({\textcolor{orange}{a}} - {\textcolor{steelblue}{b}}) = \) \( {\textcolor{orange}{a}}^2 \)\(\ -\) \( {\textcolor{steelblue}{b}}^2 \)
Erstes Quadrat – minus zweites Quadrat
3. Binom: Zwei Quadrate – kein Doppelprodukt

So sparst du dir das Auswendiglernen

Bei Klammern mit Quadrat musst du nicht erst überlegen, ob du das 1. oder das 2. Binom nutzen musst. Du setzt einfach beide Terme mit Vorzeichen ein.

Merke
(erster Term)²
+ 2 · (erster Term) · (zweiter Term)
+ (zweiter Term)²
Beide Terme genau so einsetzen, wie sie in der Klammer stehen

Das funktioniert immer gleich und wir sparen uns das Auswendiglernen.

Wir wenden hier das 1. Binom ganz normal an: erstes Quadrat – Doppelprodukt – zweites Quadrat.

Beispiel 1
\( (\textcolor{orange}{2x} + \textcolor{steelblue}{5})^2 \)
\( = \) \( (2x)^2 \) \( + \ 2 \cdot \) \( (2x) \) \( \cdot \) \( 5 \) \( + \) \( 5^2 \)
\( = \) \( 4x^2 \) \( + \) \( 20x \) \( + \) \( 25 \)
Das ist das 1. Binom.

Jetzt machen wir das genauso, nehmen aber das Minus vor der 5 direkt mit. So sieht die Rechnung aus.

Beispiel 2
\( (\textcolor{orange}{2x} - \textcolor{steelblue}{5})^2 \)
\( (\textcolor{orange}{2x} - \textcolor{steelblue}{5})^2 = \)
\( = \) \( (2x)^2 \) \( + 2 \cdot \) \( (2x) \) \( \cdot \) \( (-5) \) \( + \) \( (-5)^2 \)
\( (2x)^2 \) \( + 2 \cdot \) \( (2x) \) \( \cdot \) \( (-5) \) \( + \) \( (-5)^2 \)
\( = \) \( 4x^2 \) \( - \) \( 20x \) \( + \) \( 25 \)
Das ist das 2. Binom.
Beispiel 3
\( (\textcolor{orange}{-2x} + \textcolor{steelblue}{5})^2 \)
\( = \) \( (-2x)^2 \) \( + 2 \cdot \) \( (-2x) \) \( \cdot \) \( 5 \) \( + \) \( 5^2 \)
\( = \) \( 4x^2 \) \( - \) \( 20x \) \( + \) \( 25 \)
Direkt eingesetzt ergibt sich hier das 2. Binom.

Wieder setzen wir beide Terme direkt so ein, wie sie in der Klammer stehen. So kommst du hier automatisch auf das 1. Binom.

Beispiel 4
\( (\textcolor{orange}{-2x} - \textcolor{steelblue}{5})^2 \)
\( = \) \( (-2x)^2 \) \( + 2 \cdot \) \( (-2x) \) \( \cdot \) \( (-5) \) \( + \) \( (-5)^2 \)
\( = \) \( 4x^2 \) \( + \) \( 20x \) \( + \) \( 25 \)
Direkt eingesetzt ergibt sich hier das 1. Binom.
Auch so könnte man denken

In der Schule lernst du oft, dass man solche Klammern erst umformen muss:

\( (-2x+5)^2 = (-(2x-5))^2 \)
\( = (2x-5)^2 \)

Das ist richtig - geht aber einfacher und ohne Auswendiglernen.

So klappt’s - mit Vorzeichen direkt einsetzen.
Merke
\( (\textcolor{orange}{+}) \) und \( (\textcolor{steelblue}{+}) \) \( \rightarrow \) 1. Binom
\( (\textcolor{orange}{+}) \) und \( (\textcolor{steelblue}{-}) \) \( \rightarrow \) 2. Binom
\( (\textcolor{orange}{-}) \) und \( (\textcolor{steelblue}{+}) \) \( \rightarrow \) 2. Binom
\( (\textcolor{orange}{-}) \) und \( (\textcolor{steelblue}{-}) \) \( \rightarrow \) 1. Binom
Gleiche Vorzeichen in der Klammer führen zum 1. Binom, verschiedene Vorzeichen zum 2. Binom.

Binomische Formeln erkennen

Jetzt kommt der wichtigste Schritt für Aufgaben: Du musst zuerst erkennen, welche binomische Formel überhaupt passt.

Welche Form erkennst du?

Schau immer zuerst auf die Klammern. Genau daran erkennst du, welche Formel du brauchst.

Muster Das passt dazu Formel
\( (\ {\textcolor{orange}{a}} \ \) \( + \ {\textcolor{steelblue}{b}} \) \( )^2 \) Quadrat einer Summe 1. Binom
\( (\ {\textcolor{orange}{a}} \ \) \( - \ {\textcolor{steelblue}{b}} \) \( )^2 \) Quadrat einer Differenz 2. Binom
\( (\ {\textcolor{orange}{a}} \ \) \( + \ {\textcolor{steelblue}{b}} \) \( )(\ {\textcolor{orange}{a}} \ \) \( - \ {\textcolor{steelblue}{b}} \) \( ) \) Summe mal Differenz 3. Binom
1. Binom
\( (\ {\textcolor{orange}{a}} \ \) \( + \ {\textcolor{steelblue}{b}} \) \( )^2 \)
Quadrat einer Summe
2. Binom
\( (\ {\textcolor{orange}{a}} \ \) \( - \ {\textcolor{steelblue}{b}} \) \( )^2 \)
Quadrat einer Differenz
3. Binom
\( (\ {\textcolor{orange}{a}} \ \) \( + \ {\textcolor{steelblue}{b}} \) \( )(\ {\textcolor{orange}{a}} \ \) \( - \ {\textcolor{steelblue}{b}} \) \( ) \)
Summe mal Differenz
Merke
\( (\dots)^2 \) 1. oder 2. Binom
\( (\dots)(\dots) \) 3. Binom
Erst Form erkennen – dann rechnen

Binomische Formeln rückwärts rechnen

Binomische Formeln kannst du nicht nur vorwärts anwenden, sondern auch rückwärts erkennen. Du schaust auf den fertigen Term und prüfst, ob darin die Form einer binomischen Formel steckt.

Dabei helfen dir zwei Fragen:

So prüfst du einen Term
Stehen am Anfang und am Ende Quadrate?
Passt der Mittelterm als Doppelprodukt dazu?
Zwei Quadrate + passender Mittelterm = 1. oder 2. Binom

Schauen wir uns zuerst einen Term mit drei Teilen an.

Beispiel 1
\( x^2 \) \( + \) \( 6x \) \( + \) \( 9 \)
\( x^2 \) \( = \) \( (\textcolor{orange}{x})^2 \)
\( 9 \) \( = \) \( (\textcolor{steelblue}{3})^2 \)
\( 6x \) \( = \) \( 2 \cdot \textcolor{orange}{x} \cdot \textcolor{steelblue}{3} \)
Zwei Quadrate und ein passendes positives Doppelprodukt → 1. Binom
So schreibst du zurück in die Klammer
\( (\textcolor{orange}{x})^2 \) \( + \) \( 2 \cdot \textcolor{orange}{x} \cdot \textcolor{steelblue}{3} \) \( + \) \( (\textcolor{steelblue}{3})^2 \)

wir brauchen \( \textcolor{orange}{x} \) und \( \textcolor{steelblue}{3} \)

Für das 1. Binom kommt ein \(+\) dazwischen.

\( \Rightarrow \textcolor{orange}{x} + \textcolor{steelblue}{3} \)
\( \Rightarrow (\textcolor{orange}{x} + \textcolor{steelblue}{3})^2 \)
\( x^2 + 6x + 9 = (x+3)^2 \)
Erst die Quadrate erkennen – dann die Teile in die Klammer setzen.

Jetzt schauen wir auf den Fall ohne Mittelterm.

Beispiel 2
\( x^2 \) \( - \) \( 16 \)
\( x^2 \) \( = \) \( (\textcolor{orange}{x})^2 \)
\( 16 \) \( = \) \( (\textcolor{steelblue}{4})^2 \)
Zwei Quadrate mit Minus dazwischen → 3. Binom
So schreibst du zurück in die Klammern
\( (\textcolor{orange}{x})^2 \) \( - \) \( (\textcolor{steelblue}{4})^2 \)

wir brauchen \( \textcolor{orange}{x} \) und \( \textcolor{steelblue}{4} \)

Beim 3. Binom entstehen zwei Klammern.

\( \Rightarrow (\textcolor{orange}{x} + \textcolor{steelblue}{4})(\textcolor{orange}{x} - \textcolor{steelblue}{4}) \)
\( x^2 - 16 = (x+4)(x-4) \)
Zwei Quadrate → zwei Klammern mit Plus und Minus.
Merke

Geh immer in diesen drei Schritten vor:

  • Schau dir die Struktur an und erkenne, welches Binom vorliegt
  • Denke bei Quadraten rückwärts: Aus welcher Zahl ist das Quadrat entstanden?
  • Setze beide Terme in die passende Klammer ein
Erst erkennen – dann rückwärts denken – dann einsetzen
Typischer Fehler

Nicht jeder Term mit drei Teilen ist automatisch ein Binom. Der Mittelterm muss wirklich zum Doppelprodukt passen.

✓ Binom ✗ Kein Binom
\( x^2 \) \( + \) \( 6x \) \( + \) \( 9 \) \( x^2 \) \( + \) \( 5x \) \( + \) \( 9 \)
\( 2 \cdot x \cdot 3 = 6x \) \( 2 \cdot x \cdot 3 \neq 5x \)
✓ Binom
\( x^2 \) \( + \) \( 6x \) \( + \) \( 9 \)
\( 2 \cdot x \cdot 3 = 6x \)
✗ Kein Binom
\( x^2 \) \( + \) \( 5x \) \( + \) \( 9 \)
\( 2 \cdot x \cdot 3 \neq 5x \)
Erst prüfen – dann rückwärts als Binom schreiben.

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Übungen

Aufgabe

Welches binomische Muster liegt hier vor? \( (x - 7)^2 \)

✗ Falsch
✓ Richtig
✗ Falsch

Lösung

Hier liegt die 2. binomische Formel vor.
\( (x - 7)^2 \)
Der Ausdruck hat die Form Quadrat einer Differenz: In der Klammer steht ein Minus und die ganze Klammer wird quadriert.
Minus in der Klammer und hoch 2 außen – das ist das 2. Binom

Aufgabe

Welches binomische Muster liegt hier vor? \( (x + 4)(x - 4) \)

✗ Falsch
✗ Falsch
✓ Richtig

Lösung

Hier liegt die 3. binomische Formel vor.
\( (x + 4)(x - 4) \)
Der Ausdruck besteht aus zwei Klammern mit gleichen Termen, aber unterschiedlichen Vorzeichen.
Gleiche Terme – einmal plus, einmal minus – das ist das 3. Binom

Aufgabe

Multipliziere aus:

\((x + 4)^2\)
Tipp

Hier passt das 1. Binom.

\((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)

Lösung

Aufgabe

Multipliziere aus:

\((2x - 3)^2\)
Tipp

Hier passt das 2. Binom.

Achte besonders auf das Minus beim Doppelprodukt.

Lösung

Aufgabe

Vereinfache:

\((x + 5)(x - 5)\)
Tipp

Das ist das 3. Binom.

\((a+b)(a-b) = a^2 - b^2\)

Lösung

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Mehr dazu

in unseren FAQs

Woran erkenne ich, welches Binom ich nehmen muss?

Antwort

Schau immer zuerst auf die Form der Klammern:

\((a+b)^2 \rightarrow\) 1. Binom
\((a-b)^2 \rightarrow\) 2. Binom
\((a+b)(a-b) \rightarrow\) 3. Binom
Erst die Form erkennen, dann rechnen.

Warum steht beim 2. Binom in der Mitte ein Minus?

Antwort

Weil beim Ausmultiplizieren zwei negative gemischte Terme entstehen.

\((a-b)^2 = a^2 - ab - ab + b^2\)
\(= a^2 - 2ab + b^2\)
Der mittlere Term kommt zweimal vor – beide Male mit Minus.

Warum gibt es beim 3. Binom kein Doppelprodukt?

Antwort

Weil sich die beiden gemischten Terme genau aufheben.

\((a+b)(a-b) = a^2 - ab + ab - b^2\)
\(-ab + ab = 0\)
\(= a^2 - b^2\)
Plus \(ab\) und Minus \(ab\) ergeben zusammen null.

Muss ich die binomischen Formeln auswendig lernen?

Antwort

Du solltest sie gut kennen – aber noch wichtiger ist, dass du sie verstehst.

Die Formeln entstehen durch Ausmultiplizieren.
Wenn du das kannst, kannst du sie dir leichter merken.
Verstehen hilft mehr als reines Auswendiglernen.

Kann ich ein Binom auch rückwärts erkennen?

Antwort

Ja. Du prüfst dann, ob der Term zur Struktur einer binomischen Formel passt.

Gibt es zwei Quadrate?
Passt der Mittelterm als Doppelprodukt dazu?
Dann kannst du zurück in die Klammer schreiben.
Erst prüfen, dann als Binom erkennen.

Mehr dazu

Weiterführende Informationen

Grafische Herleitung

Die binomischen Formeln sagen: Links vom Gleichheitszeichen und rechts davon steht dieselbe Fläche – nur in einer anderen Darstellung.

Und das kann man auch sehen, wenn man die Terme als Flächen darstellt.

Grafische Herleitung der 1. binomischen Formel

Schiebe den Regler nach rechts. So siehst du Schritt für Schritt, wie sich die vier Teilflächen zum großen Quadrat \( (a + b)^2 \) zusammensetzen.

Start: Die vier Teilflächen liegen noch leicht getrennt.

\( (a + b)^2 = a^2 + 2 \cdot a \cdot b + b^2 \)
Grafische Herleitung der 2. binomischen Formel

Schiebe den Regler nach rechts. So siehst du Schritt für Schritt, wie aus dem großen Quadrat die Fläche \( (a - b)^2 \) entsteht.

Start: Das ganze große Quadrat ist noch vollständig da.

\( ({\textcolor{orange}{a}} - {\textcolor{steelblue}{b}})^2 = {\textcolor{orange}{a}}^2 - 2 \cdot {\textcolor{orange}{a}} \cdot {\textcolor{steelblue}{b}} + {\textcolor{steelblue}{b}}^2 \)
Grafische Herleitung der 3. binomischen Formel

Schiebe den Regler nach rechts. So siehst du, wie sich das Rechteck \( (a - b)(a + b) \) in eine gleich große Form umlegt, bei der man direkt \( a^2 - b^2 \) erkennt.

Start: Das Rechteck mit den Seitenlängen a − b und a + b ist noch vollständig da.

\( (a - b)(a + b) = a^2 - b^2 \)
Was du daraus mitnehmen solltest

Die binomischen Formeln funktionieren, weil links und rechts vom Gleichheitszeichen immer dasselbe steht – nur anders geschrieben.

Gleiche Fläche – andere Darstellung

Wenn du die Flächen verstehst, musst du die Formeln nicht mehr nur auswendig lernen – du kannst sie inhaltlich begründen.

Rechnerische Herleitung

Die binomischen Formeln kann man nicht nur auswendig lernen – man kann auch verstehen, wie sie entstehen.

Dazu schreiben wir die Klammern als Produkt und multiplizieren dann jeden Term mit jedem. So siehst du genau, woher die einzelnen Teile der Formel kommen.

Herleitung der 1. binomischen Formel

Zuerst schreiben wir das Quadrat als Produkt aus zwei gleichen Klammern.

\( ({\textcolor{orange}{a}} + {\textcolor{steelblue}{b}})^2 = ({\textcolor{orange}{a}} + {\textcolor{steelblue}{b}}) ({\textcolor{orange}{a}} + {\textcolor{steelblue}{b}}) \)
\( = \) \( {\textcolor{orange}{a}} \cdot {\textcolor{orange}{a}} \) \( + \) \( {\textcolor{orange}{a}} \cdot {\textcolor{steelblue}{b}} \) \( + \) \( {\textcolor{steelblue}{b}} \cdot {\textcolor{orange}{a}} \) \( + \) \( {\textcolor{steelblue}{b}} \cdot {\textcolor{steelblue}{b}} \)
\( = \) \( {\textcolor{orange}{a}}^2 \) \( + \) \( {\textcolor{orange}{a}}{\textcolor{steelblue}{b}} \) \( + \) \( {\textcolor{orange}{a}}{\textcolor{steelblue}{b}} \) \( + \) \( {\textcolor{steelblue}{b}}^2 \)

In der Mitte entstehen zwei identische Terme. Genau diese fassen wir zusammen.

\( ({\textcolor{orange}{a}} + {\textcolor{steelblue}{b}})^2 = \) \( {\textcolor{orange}{a}}^2 \) \( + \) \( 2 \cdot {\textcolor{orange}{a}} \cdot {\textcolor{steelblue}{b}} \) \( + \) \( {\textcolor{steelblue}{b}}^2 \)
Herleitung der 2. binomischen Formel

Auch hier schreiben wir das Quadrat zuerst wieder als Produkt.

\( ({\textcolor{orange}{a}} - {\textcolor{steelblue}{b}})^2 = ({\textcolor{orange}{a}} - {\textcolor{steelblue}{b}}) ({\textcolor{orange}{a}} - {\textcolor{steelblue}{b}}) \)
\( = \) \( {\textcolor{orange}{a}} \cdot {\textcolor{orange}{a}} \) \( - \) \( {\textcolor{orange}{a}} \cdot {\textcolor{steelblue}{b}} \) \( - \) \( {\textcolor{steelblue}{b}} \cdot {\textcolor{orange}{a}} \) \( + \) \( {\textcolor{steelblue}{b}} \cdot {\textcolor{steelblue}{b}} \)
\( = \) \( {\textcolor{orange}{a}}^2 \) \( - \) \( {\textcolor{orange}{a}}{\textcolor{steelblue}{b}} \) \( - \) \( {\textcolor{orange}{a}}{\textcolor{steelblue}{b}} \) \( + \) \( {\textcolor{steelblue}{b}}^2 \)

Der mittlere Term kommt wieder zweimal vor – diesmal aber beide Male mit Minus.

\( ({\textcolor{orange}{a}} - {\textcolor{steelblue}{b}})^2 = \) \( {\textcolor{orange}{a}}^2 \) \( - \) \( 2 \cdot {\textcolor{orange}{a}} \cdot {\textcolor{steelblue}{b}} \) \( + \) \( {\textcolor{steelblue}{b}}^2 \)
Herleitung der 3. binomischen Formel

Hier stehen von Anfang an zwei verschiedene Klammern da: einmal mit Plus und einmal mit Minus.

\( ({\textcolor{orange}{a}} + {\textcolor{steelblue}{b}}) ({\textcolor{orange}{a}} - {\textcolor{steelblue}{b}}) \)
\( = \) \( {\textcolor{orange}{a}} \cdot {\textcolor{orange}{a}} \) \( - \) \( {\textcolor{orange}{a}} \cdot {\textcolor{steelblue}{b}} \) \( + \) \( {\textcolor{steelblue}{b}} \cdot {\textcolor{orange}{a}} \) \( - \) \( {\textcolor{steelblue}{b}} \cdot {\textcolor{steelblue}{b}} \)
\( = \) \( {\textcolor{orange}{a}}^2 \) \( - \) \( {\textcolor{orange}{a}}{\textcolor{steelblue}{b}} \) \( + \) \( {\textcolor{orange}{a}}{\textcolor{steelblue}{b}} \) \( - \) \( {\textcolor{steelblue}{b}}^2 \)

In der Mitte stehen einmal Minus \(ab\) und einmal Plus \(ab\). Diese beiden heben sich genau auf.

\( ({\textcolor{orange}{a}} + {\textcolor{steelblue}{b}}) ({\textcolor{orange}{a}} - {\textcolor{steelblue}{b}}) = \) \( {\textcolor{orange}{a}}^2 \) \( - \) \( {\textcolor{steelblue}{b}}^2 \)
Merke

Die binomischen Formeln entstehen immer durch Ausmultiplizieren und Zusammenfassen. Entscheidend ist zuerst die Form der Klammern.

1. Binom \( (a+b)^2 = (a+b)(a+b) \)
2. Binom \( (a-b)^2 = (a-b)(a-b) \)
3. Binom \( (a+b)(a-b) \)
1. Binom
\( (a+b)^2 = (a+b)(a+b) \)
2. Binom
\( (a-b)^2 = (a-b)(a-b) \)
3. Binom
\( (a+b)(a-b) \)
Erst die Form erkennen – dann ausmultiplizieren
Denk dran: Quadrat immer zuerst als Produkt schreiben
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