Quadratische Funktionen verstehen

Die Scheitelpunktform

Lisa & Gregor von OnMathe
two students high five

Auf einen Blick

Scheitelpunktform einfach erklärt

An der Scheitelpunktform kannst du den Scheitelpunkt einer Parabel direkt ablesen oder umgekehrt mit dem Scheitelpunkt die Funktionsgleichung einer verschobenen Normalparabel aufstellen.

Scheitelpunktform
\( f(x)={\textcolor{orangered}{a}}\left(x-{\textcolor{orange}{d}}\right)^2+{\textcolor{steelblue}{e}} \)
\( S\left({\textcolor{orange}{d}}\mid{\textcolor{steelblue}{e}}\right) \)
  • \(d\) ist die x-Koordinate des Scheitelpunkts.
  • \(e\) ist die y-Koordinate des Scheitelpunkts.
  • \(a\): bestimmt die Öffnungsrichtung und die Breite der Parabel
Der Scheitelpunkt

Er ist der höchste oder tiefste Punkt einer Parabel.

Ist die Parabel nach oben geöffnet, ist er der tiefste Punkt. Ist sie nach unten geöffnet, ist er der höchste Punkt.

Schnelles Beispiel
\( f(x)=\left(x{\textcolor{orange}{\;-\;1}}\right)^2+{\textcolor{steelblue}{3}} \)

Die Zahl in der Klammer liefert den x-Wert des Scheitelpunkts. Dabei musst du das Vorzeichen umdrehen:

\( \left(x{\textcolor{orange}{\;-\;1}}\right)\longrightarrow x_S={\textcolor{orange}{1}} \)

Die Zahl hinter der Klammer ist direkt der y-Wert des Scheitelpunkts:

\( {\textcolor{steelblue}{+\;3}}\longrightarrow y_S={\textcolor{steelblue}{3}} \)
Der Scheitelpunkt ist \( S({\textcolor{orange}{1}}\mid{\textcolor{steelblue}{3}}) \).
In der Klammer wird das Vorzeichen umgedreht. Die Zahl hinter der Klammer übernimmst du so, wie sie dort steht.
Scheitelpunkt gegeben?

Manchmal ist der Scheitelpunkt gegeben und du sollst die Funktionsgleichung einer verschobenen Normalparabel aufstellen. Dann gehst du beim Ablesen einfach rückwärts:

\( S({\textcolor{orange}{-2}}\mid{\textcolor{steelblue}{4}}) \)

Der x-Wert kam aus der Klammer. Jetzt setzen wir ihn wieder in die Klammer ein und drehen das Vorzeichen um:

\( x_S={\textcolor{orange}{-2}} \quad\longrightarrow\quad (x{\textcolor{orange}{\;+\;2}})^2 \)

Der y-Wert kam von hinter der Klammer. Deshalb schreiben wir ihn wieder dahinter:

\( y_S={\textcolor{steelblue}{4}} \quad\longrightarrow\quad {\textcolor{steelblue}{+\;4}} \)
\( f(x)=(x{\textcolor{orange}{\;+\;2}})^2{\textcolor{steelblue}{\;+\;4}} \)
Der x-Wert kommt mit umgedrehtem Vorzeichen in die Klammer. Der y-Wert kommt unverändert hinter die Klammer.

Im Beitrag lernst du jetzt, wie du Parabeln zeichnest, den Faktor \(a\) deutest und mit der quadratischen Ergänzung zur Scheitelpunktform kommst.

Inhaltsverzeichnis

Das erwartet Dich

Von der SP-Form zur Normalform und zurück
Die SP-Form mit der Parabel aufstellen
Parabel skizzieren mit der SP-Form
Sonderfälle

Auf einen Blick

Scheitelpunktform einfach erklärt

An der Scheitelpunktform kannst du den Scheitelpunkt einer Parabel direkt ablesen oder umgekehrt mit dem Scheitelpunkt die Funktionsgleichung einer verschobenen Normalparabel aufstellen.

Scheitelpunktform
\( f(x)={\textcolor{orangered}{a}}\left(x-{\textcolor{orange}{d}}\right)^2+{\textcolor{steelblue}{e}} \)
\( S\left({\textcolor{orange}{d}}\mid{\textcolor{steelblue}{e}}\right) \)
  • \(d\) ist die x-Koordinate des Scheitelpunkts.
  • \(e\) ist die y-Koordinate des Scheitelpunkts.
  • \(a\): bestimmt die Öffnungsrichtung und die Breite der Parabel
Der Scheitelpunkt

Er ist der höchste oder tiefste Punkt einer Parabel.

Ist die Parabel nach oben geöffnet, ist er der tiefste Punkt. Ist sie nach unten geöffnet, ist er der höchste Punkt.

Schnelles Beispiel
\( f(x)=\left(x{\textcolor{orange}{\;-\;1}}\right)^2+{\textcolor{steelblue}{3}} \)

Die Zahl in der Klammer liefert den x-Wert des Scheitelpunkts. Dabei musst du das Vorzeichen umdrehen:

\( \left(x{\textcolor{orange}{\;-\;1}}\right)\longrightarrow x_S={\textcolor{orange}{1}} \)

Die Zahl hinter der Klammer ist direkt der y-Wert des Scheitelpunkts:

\( {\textcolor{steelblue}{+\;3}}\longrightarrow y_S={\textcolor{steelblue}{3}} \)
Der Scheitelpunkt ist \( S({\textcolor{orange}{1}}\mid{\textcolor{steelblue}{3}}) \).
In der Klammer wird das Vorzeichen umgedreht. Die Zahl hinter der Klammer übernimmst du so, wie sie dort steht.
Scheitelpunkt gegeben?

Manchmal ist der Scheitelpunkt gegeben und du sollst die Funktionsgleichung einer verschobenen Normalparabel aufstellen. Dann gehst du beim Ablesen einfach rückwärts:

\( S({\textcolor{orange}{-2}}\mid{\textcolor{steelblue}{4}}) \)

Der x-Wert kam aus der Klammer. Jetzt setzen wir ihn wieder in die Klammer ein und drehen das Vorzeichen um:

\( x_S={\textcolor{orange}{-2}} \quad\longrightarrow\quad (x{\textcolor{orange}{\;+\;2}})^2 \)

Der y-Wert kam von hinter der Klammer. Deshalb schreiben wir ihn wieder dahinter:

\( y_S={\textcolor{steelblue}{4}} \quad\longrightarrow\quad {\textcolor{steelblue}{+\;4}} \)
\( f(x)=(x{\textcolor{orange}{\;+\;2}})^2{\textcolor{steelblue}{\;+\;4}} \)
Der x-Wert kommt mit umgedrehtem Vorzeichen in die Klammer. Der y-Wert kommt unverändert hinter die Klammer.

Im Beitrag lernst du jetzt, wie du Parabeln zeichnest, den Faktor \(a\) deutest und mit der quadratischen Ergänzung zur Scheitelpunktform kommst.

Von der SP-Form zur Normalform und zurück

Beide Formen beschreiben dieselbe Parabel. Von der Scheitelpunktform zur Normalform kommst du durch Ausmultiplizieren. Für den Rückweg nutzt du die quadratische Ergänzung.

Der Hinweg

Von der Scheitelpunktform zur Normalform

Beispiel
\(f(x)=(x+{\textcolor{orange}{2}})^2-3\)

Zuerst lösen wir die Klammer mit der ersten binomischen Formel auf. Danach fassen wir die Zahlen zusammen.

\(f(x)=\) \((x+{\textcolor{orange}{2}})^2\) \(-3\)
\(=\) \(x^2+2\cdot x\cdot{\textcolor{orange}{2}}+{\textcolor{orange}{2}}^2\) \(-3\) Binom lösen
\(=x^2+4x+4-3\) rechnen
\(=x^2+4x+1\)
Vergiss den mittleren Term nicht:
\((x+2)^2=x^2+4x+4\), nicht \(x^2+4\).
Der Rückweg

Von der Normalform zur Scheitelpunktform

Jetzt gehen wir den Weg zurück. Mit der quadratischen Ergänzung machen wir aus der Normalform wieder eine Scheitelpunktform.

Dieselbe Funktion
\(f(x)=x^2+{\textcolor{orange}{4}}x+1\)

Dafür halbieren wir die Zahl vor dem x und quadrieren das Ergebnis:

\( {\textcolor{orange}{4}}:2={\textcolor{green}{2}} \quad\longrightarrow\quad {\textcolor{green}{2^2}}={\textcolor{green}{4}} \)

Wir ergänzen \({\textcolor{green}{2^2}}\) und ziehen es direkt wieder ab. So bleibt der Term unverändert. Die ersten drei Terme können wir jetzt als Binom schreiben.

\(f(x)=x^2+{\textcolor{orange}{4}}x+{\textcolor{steelblue}{1}}\)
\(=x^2+{\textcolor{orange}{4}}x\) \(+{\textcolor{green}{2^2}}-{\textcolor{green}{2^2}}\) \(+{\textcolor{steelblue}{1}}\) ergänzen
\( = \underbrace{x^2+{\textcolor{orange}{4}}x+{\textcolor{green}{2^2}}}_{\textcolor{green}{\text{Binom}}} -{\textcolor{green}{2^2}}+{\textcolor{steelblue}{1}} \) Binom finden
\(=(x+{\textcolor{green}{2}})^2-4+{\textcolor{steelblue}{1}}\)
\(=(x{\textcolor{orange}{+2}})^2{\textcolor{steelblue}{-3}}\)
Jetzt steht die Funktion in der Scheitelpunktform.
Du kannst direkt ablesen: \(S({\textcolor{orange}{-2}}\mid{\textcolor{steelblue}{-3}})\).
Vor \(x^2\) steht noch ein Faktor? Dann musst du ihn vor der quadratischen Ergänzung ausklammern. Wie das geht, zeigen wir dir Schritt für Schritt im Beitrag zur quadratischen Ergänzung.

Bald liest du den Scheitelpunkt ab, ohne lange zu überlegen. Dein Tutor bringt dich dahin.

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Die SP-Form mit der Parabel aufstellen

Es geht auch umgekehrt: Ist die Parabel gegeben, kannst du daraus ihre Scheitelpunktform bestimmen.

Erst ablesen

Welche Informationen brauchen wir?

Aus dem Graphen brauchen wir den Scheitelpunkt und einen weiteren Punkt auf der Parabel.

Beispiel
Parabel mit Scheitelpunkt S(-2|-1) und Punkt P(0|1)
\( S( {\textcolor{orange}{-2}} \mid {\textcolor{steelblue}{-1}} ) \qquad P( {\textcolor{orange}{0}} \mid {\textcolor{steelblue}{1}} ) \)
Der Scheitelpunkt liefert dir \(d\) und \(e\). Den zweiten Punkt brauchen wir anschließend, um \(a\) zu berechnen.
Scheitelpunkt einsetzen

\(d\) und \(e\) kennen wir schon

Wir starten mit der allgemeinen Scheitelpunktform:

\( f(x) = {\textcolor{orangered}{a}} (x-{\textcolor{orange}{d}})^2 + {\textcolor{steelblue}{e}} \)

Aus dem Scheitelpunkt \( S( {\textcolor{orange}{-2}} \mid {\textcolor{steelblue}{-1}} ) \) lesen wir ab:

\( {\textcolor{orange}{d}} = {\textcolor{orange}{-2}} \qquad {\textcolor{steelblue}{e}} = {\textcolor{steelblue}{-1}} \)

Diese beiden Werte setzen wir mit ihren Vorzeichen in die Scheitelpunktform ein:

\(f(x)={\textcolor{orangered}{a}}(x\)\(-\;({\textcolor{orange}{-2}})\)\()^2\)\(+\;({\textcolor{steelblue}{-}}1)\)
\( f(x) = {\textcolor{orangered}{a}} (x{\textcolor{orange}{\;+\;2}})^2 {\textcolor{steelblue}{\;-\;1}} \)
Die richtigen Vorzeichen ergeben sich automatisch beim Einsetzen in die Formel.
Streckfaktor berechnen

Jetzt brauchen wir den zweiten Punkt

Mit dem zweiten Punkt bestimmen wir den noch fehlenden Wert \( {\textcolor{orangered}{a}} \). Der x-Wert wird für \( {\textcolor{orange}{x}} \) eingesetzt, der y-Wert ist der Funktionswert \( {\textcolor{steelblue}{f(x)}} \).

Punkt einsetzen
\( P( {\textcolor{orange}{0}} \mid {\textcolor{steelblue}{1}} ) \quad\longrightarrow\quad x={\textcolor{orange}{0}} \qquad f(x)={\textcolor{steelblue}{1}} \)

Wir setzen beide Werte in unsere Funktion ein, fassen zusammen und lösen die Gleichung nach \( {\textcolor{orangered}{a}} \) auf.

\( f(x) = {\textcolor{orangered}{a}} (x+2)^2 -1 \)
\( {\textcolor{steelblue}{1}} = {\textcolor{orangered}{a}} ({\textcolor{orange}{0}}+2)^2 -1 \) einsetzen
\( {\textcolor{steelblue}{1}} = {\textcolor{orangered}{a}} \cdot 2^2 -1 \) rechnen
\( {\textcolor{steelblue}{1}} = 4{\textcolor{orangered}{a}} -1 \) | \(+1\)
\( 2 = 4{\textcolor{orangered}{a}} \) | \(:4\)
\( {\textcolor{orangered}{a}} = {\textcolor{orangered}{\frac{1}{2}}} \)

Jetzt kennen wir auch \( {\textcolor{orangered}{a}} = {\textcolor{orangered}{\frac{1}{2}}} \). Damit ist unsere Funktionsgleichung vollständig:

Fertige Funktion
\( f(x) = {\textcolor{orangered}{\frac{1}{2}}} (x{\textcolor{orange}{\;+\;2}})^2 {\textcolor{steelblue}{\;-\;1}} \)
Kurz zusammengefasst

So gehst du immer vor

Scheitelpunkt und zweiten Punkt ablesen

Lies \( S( {\textcolor{orange}{d}} \mid {\textcolor{steelblue}{e}} ) \) und einen weiteren Punkt der Parabel ab.

\(d\) und \(e\) einsetzen

Setze die Werte des Scheitelpunkts in \( f(x) = {\textcolor{orangered}{a}} (x-{\textcolor{orange}{d}})^2 + {\textcolor{steelblue}{e}} \) ein.

\(a\) berechnen

Setze den zweiten Punkt ein und löse die Gleichung nach \( {\textcolor{orangered}{a}} \) auf.

Scheitelpunktform aufschreiben

Setze den berechneten Wert für \( {\textcolor{orangered}{a}} \) in deine Scheitelpunktform ein.

Parabel skizzieren mit der SP-Form

Die wichtigsten Informationen über die Parabel kennst du jetzt schon. Nun musst du sie nur noch in die Zeichnung übertragen.

Schritt für Schritt

Von der Funktion zur Skizze

Wir nehmen dieselbe Funktion wie eben:

\( f(x) = {\textcolor{orangered}{-\frac{1}{2}}} (x{\textcolor{orange}{-1}})^2 + {\textcolor{steelblue}{3}} \)

Wir wissen bereits: Die Parabel hat den Scheitelpunkt \( S({\textcolor{orange}{1}}\mid{\textcolor{steelblue}{3}}) \), ist nach unten geöffnet und breiter als eine Parabel mit \(a=1\). Jetzt übertragen wir diese Informationen in die Zeichnung.

Die Skizze entsteht
−6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1 −1 −2 −3 −4 −5 0 x y S(1|3) Vergleichsparabel a = −1 unsere Parabel x = 1
Starte mit dem leeren Koordinatensystem.
Scheitelpunkt einzeichnen

Setze zuerst den Scheitelpunkt in das Koordinatensystem ein.

Öffnungsrichtung beachten

Die Parabel ist nach unten geöffnet. Skizziere sie deshalb vom Scheitelpunkt aus nach unten.

Breite beachten

Unsere Parabel ist breiter als eine Parabel mit \(a=1\). Berücksichtige das beim Verlauf der beiden Parabeläste.

Parabel skizzieren

Skizziere beide Parabeläste vom Scheitelpunkt aus symmetrisch. Die Symmetrieachse verläuft senkrecht durch den Scheitelpunkt. Hier ist das die Gerade \(x=1\).

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Sonderfälle

Wenn in der Scheitelpunktform etwas fehlt

Manchmal werden Teile der Scheitelpunktform nicht mitgeschrieben. Die fehlenden Zahlen kannst du dir einfach dazudenken.

Kein e hinter der Klammer
\( f(x) = 2(x-{\textcolor{orange}{3}})^2 \)
\( f(x) = 2(x-{\textcolor{orange}{3}})^2 {\textcolor{steelblue}{\;+\;0}} \)

Also gilt \( {\textcolor{steelblue}{e=0}} \) und damit \( S( {\textcolor{orange}{3}} \mid {\textcolor{steelblue}{0}} ) \).

Keine Zahl in der Klammer
\( f(x) = 2x^2 + {\textcolor{steelblue}{4}} \)
\( f(x) = 2(x-{\textcolor{orange}{0}})^2 + {\textcolor{steelblue}{4}} \)

Also gilt \( {\textcolor{orange}{d=0}} \) und damit \( S( {\textcolor{orange}{0}} \mid {\textcolor{steelblue}{4}} ) \).

Kein Faktor vor der Klammer
\( f(x) = (x+2)^2-1 \)
\( f(x) = {\textcolor{orangered}{1}}(x+2)^2-1 \)

Also gilt \( {\textcolor{orangered}{a=1}} \) - die Parabel ist nach oben geöffnet und genauso breit wie die Normalparabel.

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Übungen

Aufgabe 1

Welchen Scheitelpunkt hat diese Parabel?

\( f(x) = {\textcolor{orangered}{2}} (x{\textcolor{orange}{-4}})^2 {\textcolor{steelblue}{-1}} \)
✓ Richtig
✗ Falsch
✗ Falsch

Lösung

Lösung 1

In der Klammer steht \(-4\). Für die x-Koordinate des Scheitelpunkts drehst du das Vorzeichen um. Die \(-1\) hinter der Klammer übernimmst du direkt.

\( S \left( {\textcolor{orange}{4}} \mid {\textcolor{steelblue}{-1}} \right) \)
Zahl in der Klammer: Vorzeichen drehen. Zahl hinten: direkt übernehmen.

Aufgabe 2

Welche Aussage über diese Parabel ist richtig?

\( f(x) = {\textcolor{orangered}{-\frac{1}{2}}} (x{\textcolor{orange}{+2}})^2 {\textcolor{steelblue}{+3}} \)
✗ Falsch
✓ Richtig
✗ Falsch

Lösung

Lösung 2

Das Minus bei \(a\) bedeutet: Die Parabel ist nach unten geöffnet. Für die Breite lässt du das Vorzeichen weg. \(\frac12\) liegt zwischen \(0\) und \(1\), deshalb ist die Parabel breiter.

\( {\textcolor{orangered}{a=-\frac12}} \qquad S \left( {\textcolor{orange}{-2}} \mid {\textcolor{steelblue}{3}} \right) \)
Nach unten geöffnet, breiter, \(S(-2\mid3)\)

Aufgabe 3

Stelle die Scheitelpunktform der Parabel auf.

\( S \left( {\textcolor{orange}{1}} \mid {\textcolor{steelblue}{-2}} \right) \qquad P(3\mid6) \)

Setze zuerst den Scheitelpunkt ein: \( f(x) = a(x-1)^2-2 \).

Setze danach \(P(3\mid6)\) ein und berechne \(a\).

Lösung

Lösung 3

Mit \(S(1\mid-2)\) steht zunächst:

\( f(x) = {\textcolor{orangered}{a}} (x-{\textcolor{orange}{1}})^2 {\textcolor{steelblue}{-2}} \)

Jetzt setzt du den Punkt \(P(3\mid6)\) ein.

\( 6 = a(3-1)^2-2 \)
\( 6 = 4a-2 \) | \(+2\)
\( 8 = 4a \) | \(:4\)
\( {\textcolor{orangered}{a=2}} \)
\( f(x) = {\textcolor{orangered}{2}} (x{\textcolor{orange}{-1}})^2 {\textcolor{steelblue}{-2}} \)

Aufgabe 4

Welche Aussage stimmt?

\( f(x) = (x{\textcolor{orange}{+5}})^2 \)
✓ Richtig
✗ Falsch
✗ Falsch

Lösung

Lösung 4

Vor der Klammer steht keine Zahl. Deshalb kannst du dir \(a=1\) dazudenken. Hinter der Klammer steht ebenfalls nichts, also gilt \(e=0\).

\( f(x) = {\textcolor{orangered}{1}} (x{\textcolor{orange}{+5}})^2 {\textcolor{steelblue}{+0}} \)

Aus \(x+5\) liest du für den Scheitelpunkt
\(x_S=-5\) ab.

\( {\textcolor{orangered}{a=1}}, \qquad S \left( {\textcolor{orange}{-5}} \mid {\textcolor{steelblue}{0}} \right) \)

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Mehr dazu

in unseren FAQs

Kann dieselbe Parabel in verschiedenen Formen dargestellt werden?

Ja. Scheitelpunktform, Normalform und Nullstellenform können dieselbe Parabel beschreiben. Nur die Schreibweise ist unterschiedlich.

\( f(x)=(x-2)^2-9 \)
\( f(x)=x^2-4x-5 \)
\( f(x)=(x-5)(x+1) \)
Alle drei Gleichungen gehören zum selben Graphen. Je nach Form kannst du nur andere Eigenschaften besonders leicht erkennen.

Kann ich die Scheitelpunktform bestimmen, wenn ich nur den Scheitelpunkt kenne?

Normalerweise nicht. Aus dem Scheitelpunkt kennst du zwar \(d\) und \(e\), aber noch nicht den Faktor \(a\).

\( S(2\mid3) \quad\rightarrow\quad f(x)=a(x-2)^2+3 \)

Für \(a\) sind noch viele Werte möglich. Dadurch entstehen verschiedene Parabeln mit demselben Scheitelpunkt.

Ausnahme: Ist angegeben, dass es sich um eine Normalparabel handelt, weißt du bereits, dass \(a=1\) ist. Dann reicht der Scheitelpunkt aus.
\( S(2\mid3),\quad a=1\)
\(f(x)=(x-2)^2+3 \)

Ist \(a\) nicht bekannt, brauchst du dagegen noch eine weitere Information, zum Beispiel einen zweiten Punkt der Parabel.

Kann eine Parabel zwei verschiedene Scheitelpunkte haben?

Du kannst deine Funktion mit den Angaben aus der Aufgabe kontrollieren. Besonders einfach sind der Scheitelpunkt und ein bekannter Punkt.

\( f(x)=2(x-1)^2-2 \)
\( x=1 \quad\rightarrow\quad f(1)=-2 \)

Damit stimmt schon einmal der Scheitelpunkt \(S(1\mid-2)\). Kennst du zusätzlich zum Beispiel \(P(3\mid6)\), setzt du auch \(x=3\) ein.

\( f(3)=2(3-1)^2-2=6 \)
Stimmen Scheitelpunkt und bekannter Punkt, hast du eine sehr gute Kontrolle deiner Funktionsgleichung.

Mehr dazu

Weiterführende Informationen

Die SP-Form interaktiv entdecken

In der Scheitelpunktform kannst du jede Veränderung der Normalparabel direkt sehen. Schiebe die Regler und beobachte, was \(a\), \(d\) und \(e\) mit der Parabel machen.

Probiere es selbst
\( f(x) = {\textcolor{orangered}{1}} (x-{\textcolor{orange}{0}})^2 + {\textcolor{steelblue}{0}} \)
a 1
d 0
e 0

Was verrät uns die Scheitelpunktform über die Parabel?

An der Scheitelpunktform kannst du nicht nur den Scheitelpunkt ablesen. Du erkennst auch, wie die Parabel verschoben und geformt ist.

Die Scheitelpunktform
\( f(x) = {\textcolor{orangered}{a}} \left( x - {\textcolor{orange}{d}} \right)^2 + {\textcolor{steelblue}{e}} \)
Lage der Parabel

Was machen \(d\) und \(e\)?

Die Normalparabel \( f(x)=x^2 \) hat ihren Scheitelpunkt im Ursprung:

\( S(0\mid0) \)

Die Zahlen in der Klammer und hinter der Klammer verschieben diese Parabel – und damit auch ihren Scheitelpunkt.

\( f(x) = (x{\textcolor{orange}{\;+\;2}})^2 {\textcolor{steelblue}{\;-\;3}} \)

Die \(2\) in der Klammer verschiebt die Parabel in x-Richtung. Weil in der Klammer ein Plus steht, geht es 2 nach links.

\( S(0\mid0) \quad\longrightarrow\quad S({\textcolor{orange}{-2}}\mid0) \)

Die \(-3\) hinter der Klammer verschiebt die Parabel zusätzlich 3 nach unten, also in y-Richtung.

\( S({\textcolor{orange}{-2}}\mid0) \quad\longrightarrow\quad S({\textcolor{orange}{-2}}\mid{\textcolor{steelblue}{-3}}) \)
Verschiebung

Ohne Verschiebung liegt der Scheitelpunkt bei \(S(0\mid0)\). Die Zahlen in der Scheitelpunktform verschieben die Parabel:

  • Minus in der Klammer → nach rechts
  • Plus in der Klammer → nach links
  • Plus hinter der Klammer → nach oben
  • Minus hinter der Klammer → nach unten
Form der Parabel

Was macht die Zahl vor der Klammer?

Die Zahl vor der Klammer verrät dir zwei Dinge: in welche Richtung die Parabel geöffnet ist und wie breit oder schmal sie ist.

\( f(x) = {\textcolor{orangered}{-\frac{1}{2}}} (x-1)^2+3 \)

Bei \( {\textcolor{orangered}{a}} = {\textcolor{orangered}{-\frac{1}{2}}} \) steht ein Minuszeichen vor der Zahl. Für die Öffnungsrichtung interessiert uns nur dieses Vorzeichen.

Minus\( \quad\rightarrow\quad \) nach unten geöffnet

Für die Breite lassen wir das Minus weg und schauen nur auf die Zahl.

\( {\textcolor{orangered}{\frac{1}{2}}} \quad\rightarrow\quad \) breiter als die Normalparabel (gestaucht)

Lässt du das Vorzeichen weg und die Zahl liegt zwischen \(0\) und \(1\), wird die Parabel breiter.
Die Zahl vor der Klammer

Öffnungsrichtung - nur das Vorzeichen zählt

  • \({\textcolor{orangered}{a}}\) positiv → nach oben geöffnet
  • \({\textcolor{orangered}{a}}\) negativ → nach unten geöffnet

Streckfaktor - nur die Zahl ist wichtig

  • Zahl größer als \(1\) → Parabel wird schmaler
  • Zahl gleich \(1\) → Normalparabel
  • Zahl zwischen \(0\) und \(1\) → Parabel wird breiter

3 Formen quadratische Funktionen

Dieselbe quadratische Funktion kann in verschiedenen Formen dargestellt werden. Welche Form praktisch ist, hängt davon ab, was du herausfinden möchtest.

Scheitelpunktform
\( f(x) = {\textcolor{orangered}{a}} (x-{\textcolor{orange}{d}})^2 + {\textcolor{steelblue}{e}} \)

Direkt ablesbar: Scheitelpunkt \( S( {\textcolor{orange}{d}} \mid {\textcolor{steelblue}{e}} ) \)

Normalform
\( f(x) = {\textcolor{orangered}{a}}x^2 + bx + {\textcolor{steelblue}{c}} \)

Direkt ablesbar: y-Achsenabschnitt \( (0\mid{\textcolor{steelblue}{c}}) \)

Nullstellenform
\( f(x) = {\textcolor{orangered}{a}} (x-{\textcolor{orange}{x_1}}) (x-{\textcolor{steelblue}{x_2}}) \)

Direkt ablesbar: Nullstellen \( {\textcolor{orange}{x_1}} \) und \( {\textcolor{steelblue}{x_2}} \)

Welche Form brauche ich?
  • Scheitelpunkt gesucht? → Scheitelpunktform
  • y-Achsenabschnitt gesucht? → Normalform
  • Nullstellen gesucht? → Nullstellenform
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