Steigung verstehen

Tangentengleichung

Lisa & Gregor von OnMathe
two students high five

Eine Tangente beschreibt die Gerade, die einen Graphen in genau einem Punkt berührt – und dort genau dieselbe Steigung hat.

Beispiel

Wir bestimmen die Tangente an \( f(x)=x^2-2x+3 \quad \) bei \( \quad {\textcolor{orange}{x_0}}={\textcolor{orange}{2}} \).

Zuerst den Berührpunkt mit \(f({\textcolor{orange}{x_0}})\) bestimmen.

\( f({\textcolor{orange}{2}})=({\textcolor{orange}{2}})^2-2\cdot{\textcolor{orange}{2}}+3 \)
\( =4-4+3 \)
\( ={\textcolor{steelblue}{3}} \)
\( P({\textcolor{orange}{2}}|{\textcolor{steelblue}{3}}) \)

Jetzt bestimmen wir die Steigung \({\textcolor{green}{m}}\) der Tangente mit \({\textcolor{green}{f'({\textcolor{orange}{x_0}})}}\).

\( f'(x)=2x-2 \)
\( {\textcolor{green}{m}}={\textcolor{green}{f'({\textcolor{orange}{2}})}}=2\cdot{\textcolor{orange}{2}}-2={\textcolor{green}{2}} \)
Die Steigung der Tangente ist \( {\textcolor{green}{m=2}} \).

Jetzt setzen wir Berührpunkt und Steigung in die Tangentengleichung ein.

\( y={\textcolor{green}{f'(x_0)}}(x-{\textcolor{orange}{x_0}})+{\textcolor{steelblue}{y_0}} \)
\( y={\textcolor{green}{2}}(x-{\textcolor{orange}{2}})+{\textcolor{steelblue}{3}} \)
\( y={\textcolor{green}{2}}x-4+{\textcolor{steelblue}{3}} \)
\( y={\textcolor{green}{2}}x-1 \)
Tangentengleichung: \(y={\textcolor{green}{2}}x-1\)

Im Beitrag lernst du, wie du Tangenten sicher aufstellst, die Steigung richtig berechnest und typische Fehler vermeidest.

Merke
Berührpunkt \( P({\textcolor{orange}{x_0}}|{\textcolor{steelblue}{f(x_0)}}) \)
Steigung \( m={\textcolor{green}{f'(x_0)}} \)
Tangente \( y={\textcolor{green}{f'(x_0)}}(x-{\textcolor{orange}{x_0}})+{\textcolor{steelblue}{f(x_0)}} \)
Berührpunkt
\( P({\textcolor{orange}{x_0}}|{\textcolor{steelblue}{f(x_0)}}) \)
Steigung
\( m={\textcolor{green}{f'(x_0)}} \)
Tangente
\( y={\textcolor{green}{f'(x_0)}}(x-{\textcolor{orange}{x_0}})+{\textcolor{steelblue}{f(x_0)}} \)
Berührpunkt finden – Steigung berechnen – Gerade aufschreiben
Du bist noch unsicher bei Tangenten? In einer kostenlosen Probestunde zeigt dir ein Tutor Schritt für Schritt, wie du Tangenten sicher aufstellst.

Inhaltsverzeichnis

Das erwartet Dich

Was ist eine Tangente?
Rechnen mit der Geradengleichung
Tangentenformel anwenden
Rechner - Tangentengleichung

Eine Tangente beschreibt die Gerade, die einen Graphen in genau einem Punkt berührt – und dort genau dieselbe Steigung hat.

Beispiel

Wir bestimmen die Tangente an \( f(x)=x^2-2x+3 \quad \) bei \( \quad {\textcolor{orange}{x_0}}={\textcolor{orange}{2}} \).

Zuerst den Berührpunkt mit \(f({\textcolor{orange}{x_0}})\) bestimmen.

\( f({\textcolor{orange}{2}})=({\textcolor{orange}{2}})^2-2\cdot{\textcolor{orange}{2}}+3 \)
\( =4-4+3 \)
\( ={\textcolor{steelblue}{3}} \)
\( P({\textcolor{orange}{2}}|{\textcolor{steelblue}{3}}) \)

Jetzt bestimmen wir die Steigung \({\textcolor{green}{m}}\) der Tangente mit \({\textcolor{green}{f'({\textcolor{orange}{x_0}})}}\).

\( f'(x)=2x-2 \)
\( {\textcolor{green}{m}}={\textcolor{green}{f'({\textcolor{orange}{2}})}}=2\cdot{\textcolor{orange}{2}}-2={\textcolor{green}{2}} \)
Die Steigung der Tangente ist \( {\textcolor{green}{m=2}} \).

Jetzt setzen wir Berührpunkt und Steigung in die Tangentengleichung ein.

\( y={\textcolor{green}{f'(x_0)}}(x-{\textcolor{orange}{x_0}})+{\textcolor{steelblue}{y_0}} \)
\( y={\textcolor{green}{2}}(x-{\textcolor{orange}{2}})+{\textcolor{steelblue}{3}} \)
\( y={\textcolor{green}{2}}x-4+{\textcolor{steelblue}{3}} \)
\( y={\textcolor{green}{2}}x-1 \)
Tangentengleichung: \(y={\textcolor{green}{2}}x-1\)

Im Beitrag lernst du, wie du Tangenten sicher aufstellst, die Steigung richtig berechnest und typische Fehler vermeidest.

Merke
Berührpunkt \( P({\textcolor{orange}{x_0}}|{\textcolor{steelblue}{f(x_0)}}) \)
Steigung \( m={\textcolor{green}{f'(x_0)}} \)
Tangente \( y={\textcolor{green}{f'(x_0)}}(x-{\textcolor{orange}{x_0}})+{\textcolor{steelblue}{f(x_0)}} \)
Berührpunkt
\( P({\textcolor{orange}{x_0}}|{\textcolor{steelblue}{f(x_0)}}) \)
Steigung
\( m={\textcolor{green}{f'(x_0)}} \)
Tangente
\( y={\textcolor{green}{f'(x_0)}}(x-{\textcolor{orange}{x_0}})+{\textcolor{steelblue}{f(x_0)}} \)
Berührpunkt finden – Steigung berechnen – Gerade aufschreiben
Du bist noch unsicher bei Tangenten? In einer kostenlosen Probestunde zeigt dir ein Tutor Schritt für Schritt, wie du Tangenten sicher aufstellst.

Was ist eine Tangente?

Eine Tangente ist nicht einfach irgendeine Gerade. Sie berührt den Graphen in genau einem Punkt und hat dort genau dieselbe Steigung wie der Graph.

Tangente an verschiedenen Stellen

Schiebe den Regler nach links und rechts. So siehst du direkt: Die Tangente verändert ihre Richtung, weil sich die Steigung am Berührpunkt verändert.

Funktion – Berührpunkt

An dieser Stelle steigt der Graph. Deshalb steigt auch die Tangente.

Die Tangente zeigt die Steigung des Graphen genau an dieser Stelle.
Merke

Achte beim Schieben auf die Richtung der Tangente. Sie zeigt dir, wie sich der Graph an dieser Stelle verhält.

  • steigend → Graph steigt
  • fallend → Graph fällt
  • waagerecht → Steigung \( = 0 \)
Die Tangente macht die Steigung sichtbar.

Rechnen mit der Geradengleichung

Eine Tangente ist immer eine Gerade. Deshalb können wir sie mithilfe der Geradengleichung \( {\textcolor{steelblue}{y}} = {\textcolor{green}{m}} \cdot {\textcolor{orange}{x}} + b \) aufstellen.

Die Idee

Wir betrachten die Funktion \( f(x)=x^2-2x+3 \) und die Stelle \( {\textcolor{orange}{x_0=2}} \).

\( {\textcolor{orange}{x_0}} \) → Berührstelle

\( {\textcolor{steelblue}{f(x_0)}} \) → Punkt \( P({\textcolor{orange}{x}}|{\textcolor{steelblue}{y}}) \) auf dem Graphen

\( {\textcolor{green}{f'(x_0)}} \) → Steigung \( {\textcolor{green}{m}} \) der Tangente

Jetzt rechnen wir die Tangente Schritt für Schritt aus.

1. Berührpunkt berechnen

Zuerst setzen wir die Stelle \( {\textcolor{orange}{x_0=2}} \) in die Funktion ein.

\( f({\textcolor{orange}{2}})=({\textcolor{orange}{2}})^2-2\cdot{\textcolor{orange}{2}}+3 \)
\( =4-4+3 \)
\( ={\textcolor{steelblue}{3}} \)

Damit ist der Berührpunkt:

\( P({\textcolor{orange}{2}}|{\textcolor{steelblue}{3}}) \)
2. Steigung berechnen

Jetzt bestimmen wir die Steigung \( {\textcolor{green}{m}} \) der Tangente mit Hilfe der Ableitung.

\( f'(x)=2x-2 \)
\( f'({\textcolor{orange}{2}})=2\cdot{\textcolor{orange}{2}}-2 \)
\( ={\textcolor{green}{2}} \)

Die Tangente hat die Steigung \( {\textcolor{green}{m=2}} \).

3. In Geradengleichung einsetzen

Da die Tangente eine Gerade ist, gilt:

\( {\textcolor{steelblue}{y}} = {\textcolor{green}{m}} \cdot {\textcolor{orange}{x}} + b \)

Wir setzen die Steigung \( {\textcolor{green}{m=2}} \) ein.

\( {\textcolor{steelblue}{y}} = {\textcolor{green}{2}} \cdot {\textcolor{orange}{x}} + b \)

Und zusätzlich den Punkt \( P({\textcolor{orange}{2}}|{\textcolor{steelblue}{3}}) \) .

\( {\textcolor{steelblue}{3}}={\textcolor{green}{2}}\cdot{\textcolor{orange}{2}}+b \)
\( 3=4+b \)
\( b=-1\)
4. Tangentengleichung aufschreiben

Jetzt setzen wir alles zusammen:

\( y={\textcolor{green}{2}}x+(-1) \)
\( y={\textcolor{green}{2}}x-1 \)
Die Tangente lautet: \( y=2x-1 \)
Typische Fehler
✓ Richtig ✗ Falsch
\( P({\textcolor{orange}{x_0}}|{\textcolor{steelblue}{f(x_0)}}) \) \( P({\textcolor{orange}{x_0}}|{\textcolor{green}{f'(x_0)}}) \)
\( m={\textcolor{green}{f'(x_0)}} \) \( m={\textcolor{steelblue}{f(x_0)}} \)
✓ Richtig
\( P({\textcolor{orange}{x_0}}|{\textcolor{steelblue}{f(x_0)}}) \)
\( m={\textcolor{green}{f'(x_0)}} \)
✗ Falsch
\( P({\textcolor{orange}{x_0}}|{\textcolor{green}{f'(x_0)}}) \)
\( m={\textcolor{steelblue}{f(x_0)}} \)

Der Punkt kommt aus \( f(x_0) \), die Steigung aus \( f'(x_0) \).

Merke

Eine Tangente kannst du mit der Geradengleichung \( {\textcolor{steelblue}{y}}={\textcolor{green}{m}}\cdot{\textcolor{orange}{x}}+b \) aufstellen.

1. Berührstelle \( {\textcolor{orange}{x_0}} \) einsetzen
2. \( P({\textcolor{orange}{x_0}}|{\textcolor{steelblue}{f(x_0)}}) \) berechnen
3. Steigung \( {\textcolor{green}{m}}={\textcolor{green}{f'(x_0)}} \) berechnen
4. Punkt und Steigung in \( y=mx+b \) einsetzen
5. \( b \) ausrechnen
6. \( {\textcolor{green}{m}} \) und \( b \) einsetzen
Punkt kommt aus \( f(x_0) \), Steigung kommt aus \( f'(x_0) \).

Tangentenformel anwenden

Mit der Tangentenformel setzt du alles direkt ein – ohne Umweg über \( b \).

Die Tangentenformel
\( {\textcolor{steelblue}{y}}={\textcolor{green}{f'(x_0)}}(x-{\textcolor{orange}{x_0}})+{\textcolor{steelblue}{f(x_0)}} \)
\( {\textcolor{orange}{x_0}} \) Berührstelle
\( {\textcolor{steelblue}{f(x_0)}} \) y-Wert des Berührpunkts
\( {\textcolor{green}{f'(x_0)}} \) Steigung der Tangente
Du setzt \( {\textcolor{orange}{x_0}} \) ein – daraus entstehen Punkt und Steigung.

Wir nehmen wieder dieselbe Funktion wie eben. So siehst du: Der Inhalt bleibt gleich, aber das Einsetzen geht schneller.

1. Punkt und Steigung bestimmen
\( f(x)=x^2-2x+3 \quad\quad {\textcolor{orange}{x_0}}={\textcolor{orange}{2}} \)

Zuerst berechnen wir den Funktionswert an der Berührstelle.

\( f({\textcolor{orange}{2}})=({\textcolor{orange}{2}})^2-2\cdot{\textcolor{orange}{2}}+3 \)
\( =4-4+3 \)
\( ={\textcolor{steelblue}{3}} \)

Dann berechnen wir die Steigung mit der Ableitung.

\( f'(x)=2x-2 \)
\( f'({\textcolor{orange}{2}})=2\cdot{\textcolor{orange}{2}}-2 \)
\( ={\textcolor{green}{2}} \)

Damit haben wir \( {\textcolor{steelblue}{f(x_0)=3}} \) und \( {\textcolor{green}{f'(x_0)=2}} \).

2. Direkt einsetzen

Jetzt setzen wir alles in die Tangentenformel ein:

\( {\textcolor{orange}{x_0=2}} \)   \( {\textcolor{green}{f'(x_0)=2}} \)   \( {\textcolor{steelblue}{f(x_0)=3}} \)

\( {\textcolor{steelblue}{y}}={\textcolor{green}{f'(x_0)}}(x-{\textcolor{orange}{x_0}})+{\textcolor{steelblue}{f(x_0)}} \)
\( {\textcolor{steelblue}{y}}={\textcolor{green}{2}}(x-{\textcolor{orange}{2}})+{\textcolor{steelblue}{3}} \)

Jetzt nur noch zusammenfassen:

\( {\textcolor{steelblue}{y}}={\textcolor{green}{2}}x-4+{\textcolor{steelblue}{3}} \)
\( {\textcolor{steelblue}{y}}={\textcolor{green}{2}}x-1 \)
Tangentengleichung: \( {\textcolor{steelblue}{y}}={\textcolor{green}{2}}x-1 \)
Merke

Die Tangentenformel ist der direkte Weg, wenn du Berührstelle, Funktionswert und Steigung schon kennst.

\( {\textcolor{steelblue}{y}}={\textcolor{green}{f'(x_0)}}(x-{\textcolor{orange}{x_0}})+{\textcolor{steelblue}{f(x_0)}} \)
  • 1. \( {\textcolor{orange}{x_0}} \) festlegen
  • 2. \( {\textcolor{steelblue}{f(x_0)}} \) berechnen
  • 3. \( {\textcolor{green}{f'(x_0)}} \) berechnen
  • 4. alles einsetzen
  • 5. vereinfachen
Gleicher Inhalt wie bei \( y=mx+b \), aber schneller eingesetzt.

Rechner - Tangentengleichung

Gib eine Funktion und eine Stelle \( {\textcolor{orange}{x_0}} \) ein. Der Rechner zeigt dir Berührpunkt, Steigung und Tangentengleichung Schritt für Schritt.

f(x)
x₀
Beispielwerte nutzen oder eigene Werte eingeben.
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Übungen

Aufgabe

Welche Größe liefert dir bei einer Tangente die Steigung?

✗ Falsch
✓ Richtig
✗ Falsch

Lösung

Die Steigung der Tangente kommt immer aus der Ableitung.
\( {\textcolor{green}{m}} = {\textcolor{green}{f'(x_0)}} \)
\( f(x_0) \) liefert den Punkt – \( f'(x_0) \) liefert die Steigung

Aufgabe

Was bedeutet \( {\textcolor{green}{f'(x_0)=0}} \) ?

✗ Falsch
✓ Richtig
✗ Falsch

Lösung

Wenn die Ableitung \( 0 \) ist, hat der Graph an dieser Stelle keine Steigung.
\( {\textcolor{green}{f'(x_0)=0}} \)
\( \rightarrow \) Tangente waagerecht
Steigung \( 0 \) bedeutet: waagerechte Tangente

Stelle die Tangente an \( f(x)=x^2-2x+3 \) bei \( {\textcolor{orange}{x_0=2}} \) auf.

Berechne zuerst den Berührpunkt mit \( {\textcolor{steelblue}{f(x_0)}} \).

Danach berechnest du die Steigung mit \( {\textcolor{green}{f'(x_0)}} \).

Lösung

\( f({\textcolor{orange}{2}})=({\textcolor{orange}{2}})^2-2\cdot{\textcolor{orange}{2}}+3 \)
\( =4-4+3={\textcolor{steelblue}{3}} \)
\( f'(x)=2x-2 \)
\( f'({\textcolor{orange}{2}})=2\cdot{\textcolor{orange}{2}}-2={\textcolor{green}{2}} \)
\( y={\textcolor{green}{2}}(x-{\textcolor{orange}{2}})+{\textcolor{steelblue}{3}} \)
\( y={\textcolor{green}{2}}x-1 \)
Die Tangente lautet \( y=2x-1 \)

Stelle die Tangente an \( f(x)=x^2+4x \) bei \( {\textcolor{orange}{x_0=1}} \) auf.

Achte darauf: Hier fehlt das Absolutglied. Das bedeutet nicht, dass der y-Wert automatisch \(0\) ist.

Berechne trotzdem zuerst \( {\textcolor{steelblue}{f(x_0)}} \) und danach \( {\textcolor{green}{f'(x_0)}} \).

Lösung

\( f({\textcolor{orange}{1}})=({\textcolor{orange}{1}})^2+4\cdot{\textcolor{orange}{1}} \)
\( =1+4={\textcolor{steelblue}{5}} \)
\( f'(x)=2x+4 \)
\( f'({\textcolor{orange}{1}})=2\cdot{\textcolor{orange}{1}}+4={\textcolor{green}{6}} \)
\( y={\textcolor{green}{6}}(x-{\textcolor{orange}{1}})+{\textcolor{steelblue}{5}} \)
\( y={\textcolor{green}{6}}x-1 \)
Die Tangente lautet \( y=6x-1 \)

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Mehr dazu

in unseren FAQs

Woher kommt die Steigung der Tangente?

Antwort

Die Steigung der Tangente kommt aus der Ableitung. Sie zeigt die Steigung des Graphen genau an der Stelle \( {\textcolor{orange}{x_0}} \).

\( {\textcolor{green}{m}} \) Steigung der Tangente
\( {\textcolor{green}{f'(x_0)}} \) Steigung des Graphen an der Stelle \( {\textcolor{orange}{x_0}} \)
\( {\textcolor{green}{m}}={\textcolor{green}{f'(x_0)}} \)

Was bedeutet eine waagerechte Tangente?

Antwort

Eine waagerechte Tangente bedeutet: Der Graph steigt dort nicht und fällt dort nicht.

\( {\textcolor{green}{f'(x_0)=0}} \)
Steigung \(0\) ⇒ Tangente waagerecht

Wie gehe ich vor, wenn kein Berührpunkt gegeben ist?

Antwort

Dann musst du zuerst die Berührstelle \( {\textcolor{orange}{x_0}} \) bestimmen. Erst danach kannst du die Tangente fertig aufstellen.

  • 1. \( {\textcolor{orange}{x_0}} \) offen lassen
  • 2. Tangente allgemein aufstellen
  • 3. gegebenen Punkt einsetzen
  • 4. \( {\textcolor{orange}{x_0}} \) berechnen
Erst Berührstelle finden, dann Tangente aufschreiben

Wann nutze ich die Geradengleichung und wann die Tangentenformel?

Antwort

Beide Wege sind richtig. Mit \( y=mx+b \) berechnest du erst noch \(b\). Mit der Tangentenformel setzt du direkter ein.

\( y=mx+b \) erst \(b\) berechnen
Tangentenformel direkt einsetzen
Die Tangentenformel ist der schnellere Weg

Was ist der Unterschied zwischen Funktion und Ableitung?

Antwort

\( f(x_0) \) gehört zum Punkt. \( f'(x_0) \) gehört zur Steigung.

\( {\textcolor{steelblue}{f(x_0)}} \) y-Wert des Berührpunkts
\( {\textcolor{green}{f'(x_0)}} \) Steigung der Tangente
Punkt und Steigung nicht verwechseln

Mehr dazu

Weiterführende Informationen

Wendetangente aufstellen

Eine besondere Tangente ist die Wendetangente.

Wendepunkt kurz erklärt

Ein Wendepunkt ist die Stelle, an der der Graph seine Krümmung ändert.
Stell dir vor:

  • du lenkst erst nach links
  • und dann nach rechts
Die Stelle an der du die „Lenkrichtung“ änderst, ist der Wendepunkt.
Wendetangente kurz erklärt

Die Wendetangente ist die Tangente im Wendepunkt einer Funktion.

\( {\textcolor{orange}{x_0}} \) Wendepunkt
\( {\textcolor{steelblue}{f(x_0)}} \) y-Wert an dieser Stelle
\( {\textcolor{green}{f'(x_0)}} \) Steigung im Wendepunkt
→ Steigung der Wendetangente
Gleicher Rechenweg wie bei jeder anderen Tangente
Beispiel: Wendetangente berechnen

Wir bestimmen die Wendetangente von \( f(x)=x^3-3x^2+2 \).

Zuerst suchen wir den Wendepunkt.

\( f'(x)=3x^2-6x \)
\( f''(x)=6x-6 \)
\( f'''(x)=6 \)
\( f''(x)=0 \)
\( 6x-6=0 \) | \( +6 \)
\( 6x=6 \) | \( :6 \)
\( {\textcolor{orange}{x_0}}={\textcolor{orange}{1}} \)

Jetzt prüfen wir kurz, ob es wirklich ein Wendepunkt ist.

\( f'''({\textcolor{orange}{1}})=6 \neq 0 \)
Also liegt bei \( {\textcolor{orange}{x_0}}={\textcolor{orange}{1}} \) ein Wendepunkt.

Jetzt berechnen wir den Punkt und die Steigung an dieser Stelle.

\( f({\textcolor{orange}{1}})=({\textcolor{orange}{1}})^3-3\cdot({\textcolor{orange}{1}})^2+2={\textcolor{steelblue}{0}} \)
\( f'({\textcolor{orange}{1}})=3\cdot({\textcolor{orange}{1}})^2-6\cdot{\textcolor{orange}{1}}={\textcolor{green}{-3}} \)

\( {\textcolor{orange}{x_0=1}} \)   \( {\textcolor{steelblue}{f(x_0)=0}} \)   \( {\textcolor{green}{f'(x_0)=-3}} \)

Jetzt setzen wir alles in die Tangentenformel ein.

\( {\textcolor{steelblue}{y}}={\textcolor{green}{f'(x_0)}}(x-{\textcolor{orange}{x_0}})+{\textcolor{steelblue}{f(x_0)}} \)
\( {\textcolor{steelblue}{y}}={\textcolor{green}{-3}}(x-{\textcolor{orange}{1}})+{\textcolor{steelblue}{0}} \)
\( {\textcolor{steelblue}{y}}=-3x+3 \)
Die Wendetangente lautet: \( {\textcolor{steelblue}{y}}=-3x+3 \)
Du willst Wendepunkte sicher erkennen und die Krümmung richtig verstehen? Im Beitrag Wendepunkte & Krümmung lernst du Schritt für Schritt, wie du sie berechnest und überprüfst.
Merke
  • Wendetangente = Tangente im Wendepunkt
  • gerechnet wird ganz normal mit \( {\textcolor{steelblue}{f(x_0)}} \) und \( {\textcolor{green}{f'(x_0)}} \)
  • besonders ist nur die Stelle \( {\textcolor{orange}{x_0}} \)
Kein neuer Rechenweg – nur ein besonderer Punkt

Ableitung und Tangente verstehen

Die Tangente hat an einer Stelle genau die Steigung, die der Graph dort auch hat. Genau deshalb arbeitet man bei Tangenten immer mit der Ableitung.

Warum die Ableitung?

Die Ableitung \( {\textcolor{green}{f'(x)}} \) gibt dir die momentane Steigung des Graphen an.

\( {\textcolor{orange}{x_0}} \) → Stelle auf dem Graphen

\( {\textcolor{green}{f'(x_0)}} \) → Steigung genau an dieser Stelle

Steigung der Tangente = \( {\textcolor{green}{f'(x_0)}} \)
Kleines Beispiel

Wir betrachten \( f(x)=x^2 \) an der Stelle \( {\textcolor{orange}{x_0=1}} \).

\( f'(x)=2x \)
\( {\textcolor{green}{f'(1)=2}} \)
\( P({\textcolor{orange}{1}}|{\textcolor{steelblue}{1}}) \)

Die Tangente geht also durch den Punkt \( {\textcolor{steelblue}{P(1|1)}} \) und hat die Steigung \( {\textcolor{green}{m=2}} \).

Ohne Ableitung keine Tangentensteigung
Zusatz: waagerechte Tangente

Wenn \( {\textcolor{green}{f'(x_0)=0}} \) gilt, hat der Graph dort keine Steigung.

  • Die Tangente ist waagerecht
  • Der Graph steigt nicht
  • Der Graph fällt nicht

Genau das passiert an Extrempunkten.

\( {\textcolor{green}{f'(x_0)=0}} \) ⇔ waagerechte Tangente ⇔ Extrempunkt
Merke
  • \( {\textcolor{green}{f'(x_0)}} \) ist die Steigung an der Stelle
  • genau diese Steigung hat die Tangente
  • bei \( {\textcolor{green}{f'(x_0)=0}} \) ist die Tangente waagerecht
Ableitung = Steigung der Tangente

Herleitung der Formel

Die Tangentenformel entsteht direkt aus der Geradengleichung \( {\textcolor{steelblue}{y}} = {\textcolor{green}{m}} \cdot {\textcolor{orange}{x}} + b \).

Herleitung der Tangentenformel

Für die Tangente gilt:

\( {\textcolor{steelblue}{y}} = {\textcolor{green}{m}} \cdot {\textcolor{orange}{x}} + b \)

Die Steigung ist die Ableitung an der Stelle \( {\textcolor{orange}{x_0}} \).

\( {\textcolor{green}{m}} = {\textcolor{green}{f'(x_0)}} \)

Außerdem geht die Tangente durch den Berührpunkt \( P({\textcolor{orange}{x_0}}|{\textcolor{steelblue}{f(x_0)}}) \).

Wir setzen \(m\) und \(P\) in die Geradengleichung ein um \(b\) zu bestimmen:

\( {\textcolor{steelblue}{f(x_0)}} = {\textcolor{green}{f'(x_0)}} \cdot {\textcolor{orange}{x_0}} + b \)
\( b = \) \( {\textcolor{steelblue}{f(x_0)}} - {\textcolor{green}{f'(x_0)}} \cdot {\textcolor{orange}{x_0}} \)

Jetzt setzen wir das, was wir für \( b \) ermittelt haben, in die Geradengleichung ein...

\( {\textcolor{steelblue}{y}} = {\textcolor{green}{f'(x_0)}} \cdot {\textcolor{orange}{x}} \ + \) \( {\textcolor{steelblue}{f(x_0)}} - {\textcolor{green}{f'(x_0)}} \cdot {\textcolor{orange}{x_0}} \)

...und klammern \({\textcolor{green}{f'(x_0)}}\) aus.

\( {\textcolor{steelblue}{y}} = {\textcolor{green}{f'(x_0)}}({\textcolor{orange}{x}}-{\textcolor{orange}{x_0}}) + {\textcolor{steelblue}{f(x_0)}} \)
Das ist die Tangentenformel
Schritte
  • 1.Mit \( {\textcolor{steelblue}{y}} = {\textcolor{green}{m}} \cdot {\textcolor{orange}{x}} + b \) starten
  • 2.\( {\textcolor{green}{m}} = {\textcolor{green}{f'(x_0)}} \) einsetzen
  • 3.\( P({\textcolor{orange}{x_0}}|{\textcolor{steelblue}{f(x_0)}}) \) einsetzen, \( b \) bestimmen
  • 4.Tangentenformel
  • → Tangentenformel
Tangentenformel entsteht durch Einsetzen von Steigung und Punkt in die Geradengleichung

Tangente von außen

Ein besonderer Fall ist die Tangente von außen. Dabei ist der Berührpunkt nicht gegeben – gegeben ist nur ein Punkt, der außerhalb des Graphen liegt.

Die Idee

Gegeben ist nur ein äußerer Punkt:

\( A({\textcolor{orangered}{a}}|{\textcolor{orangered}{b}}) \)

Die Berührstelle \( {\textcolor{orange}{x_0}} \) kennen wir noch nicht.

1. Tangente allgemein mit \( {\textcolor{orange}{x_0}} \) aufstellen
2. äußeren Punkt einsetzen
3. dadurch \( {\textcolor{orange}{x_0}} \) bestimmen
Erst die Berührstelle finden – dann die Tangente fertig aufschreiben
Beispiel: Tangenten durch einen äußeren Punkt

Gegeben ist die Funktion \( f(x)=x^2 \) und der äußere Punkt \( A(0|-1) \).

Wir lassen die Berührstelle als \( {\textcolor{orange}{x_0}} \) stehen.

\( {\textcolor{steelblue}{f(x_0)}}={\textcolor{orange}{x_0}}^2 \)
\( {\textcolor{green}{f'(x_0)}}=2{\textcolor{orange}{x_0}} \)

Damit ergibt sich:

\( {\textcolor{steelblue}{y}}={\textcolor{green}{f'(x_0)}}(x-{\textcolor{orange}{x_0}})+{\textcolor{steelblue}{f(x_0)}} \)
\( {\textcolor{steelblue}{y}}=(2{\textcolor{orange}{x_0}})(x-{\textcolor{orange}{x_0}})+{\textcolor{orange}{x_0}}^2 \)

Diese Tangente muss durch den äußeren Punkt \( A(0|-1) \) gehen. Deshalb setzen wir \( {\textcolor{orangered}{x=0}} \) und \( {\textcolor{orangered}{y=-1}} \) ein.

\( {\textcolor{orangered}{-1}}=2{\textcolor{orange}{x_0}}\cdot({\textcolor{orangered}{0}}-{\textcolor{orange}{x_0}})+{\textcolor{orange}{x_0}}^2 \)
\( -1=2{\textcolor{orange}{x_0}}\cdot(-{\textcolor{orange}{x_0}})+{\textcolor{orange}{x_0}}^2 \)
\( -1=-2{\textcolor{orange}{x_0}}^2+{\textcolor{orange}{x_0}}^2 \)
\( -1=-{\textcolor{orange}{x_0}}^2 \)
\( 1={\textcolor{orange}{x_0}}^2 \)
\( {\textcolor{orange}{x_0}}={\textcolor{orange}{1}} \quad \text{oder} \quad {\textcolor{orange}{x_0}}={\textcolor{orange}{-1}} \)

Es gibt also zwei mögliche Berührstellen – und damit auch zwei Tangenten.

1. Tangente

Für \( {\textcolor{orange}{x_0}}={\textcolor{orange}{1}} \) berechnen wir Punkt und Steigung.

\( {\textcolor{steelblue}{f(1)}}={\textcolor{orange}{1}}^2={\textcolor{steelblue}{1}} \)
\( {\textcolor{green}{f'(1)}}=2\cdot{\textcolor{orange}{1}}={\textcolor{green}{2}} \)
\( {\textcolor{steelblue}{y}}={\textcolor{green}{2}}(x-{\textcolor{orange}{1}})+{\textcolor{steelblue}{1}} \)
\( {\textcolor{steelblue}{y}}={\textcolor{green}{2}}x-2+1 \)
\( {\textcolor{steelblue}{y}}={\textcolor{green}{2}}x-1 \)
2. Tangente

Für \( {\textcolor{orange}{x_0}}={\textcolor{orange}{-1}} \) rechnen wir genauso.

\( {\textcolor{steelblue}{f(-1)}}=({\textcolor{orange}{-1}})^2={\textcolor{steelblue}{1}} \)
\( {\textcolor{green}{f'(-1)}}=2\cdot({\textcolor{orange}{-1}})={\textcolor{green}{-2}} \)
\( {\textcolor{steelblue}{y}}={\textcolor{green}{-2}}(x-({\textcolor{orange}{-1}}))+{\textcolor{steelblue}{1}} \)
\( {\textcolor{steelblue}{y}}={\textcolor{green}{-2}}(x+1)+{\textcolor{steelblue}{1}} \)
\( {\textcolor{steelblue}{y}}={\textcolor{green}{-2}}x-2+1 \)
\( {\textcolor{steelblue}{y}}={\textcolor{green}{-2}}x-1 \)
Merke
  • 1.Berührstelle \( {\textcolor{orange}{x_0}} \) offen lassen
  • 2.Tangente mit \( {\textcolor{orange}{x_0}} \) aufstellen
  • 3. äußeren Punkt einsetzen
  • 4.\( {\textcolor{orange}{x_0}} \) berechnen
  • 5.Tangentengleichung aufstellen
Bei Tangenten von außen suchst du zuerst die Berührstelle.
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