Zwei Wege, ein Ziel
Tangentengleichung bestimmen
Das Wichtigste
Tangente berechnen: So kommst du zur Geraden
Tangenten sind nichts Kompliziertes. Es sind nur Geraden, die einen Graphen in einem Punkt berühren. Genau an diesem Punkt hat die Tangente dieselbe Steigung wie der Graph.
Und weil die Tangente nichts anderes als eine Gerade ist, kannst du ihre Gleichung auch genauso aufstellen.
- \( {\textcolor{green}{m}} \) ist die Steigung der Tangente.
- \( {\textcolor{purple}{b}} \) ist der y-Achsenabschnitt.
| Punkt |
\(
f({\textcolor{orange}{2}})
=
{\textcolor{steelblue}{5}}
\)
\(
P({\textcolor{orange}{2}}\mid{\textcolor{steelblue}{5}})
\)
|
| Steigung |
\(
f'(x)=2x
\)
\(
{\textcolor{green}{m}}
=
f'({\textcolor{orange}{2}})
=
{\textcolor{green}{4}}
\)
|
| Tangente |
\(
{\textcolor{steelblue}{5}}
=
{\textcolor{green}{4}}\cdot{\textcolor{orange}{2}}
+
{\textcolor{purple}{b}}
\)
\(
{\textcolor{purple}{b}}
=
{\textcolor{purple}{-3}}
\)
\(
y
=
{\textcolor{green}{4}}x-3
\)
|
Im Beitrag lernst du, wie du diesen Ablauf sicher anwendest und typische Fehler vermeidest.
Eine Tangente ist eine Gerade
Wir wissen bereits, dass die Tangente nur eine Gerade ist. Jetzt schauen wir uns Schritt für Schritt an, wie wir ihre Gleichung bestimmen können. Wir beginnen mit der allgemeinen Geradengleichung:
Du brauchst zwei Dinge: den Berührpunkt und die Steigung an dieser Stelle.
Jetzt rechnen wir genau diese drei Dinge aus.
Berührpunkt berechnen
Setze zuerst die Berührstelle \( {\textcolor{orange}{x_0}}={\textcolor{orange}{2}} \) in die Funktion ein.
Der blaue Wert ist der y-Wert. Zusammen mit der Berührstelle entsteht daraus der Berührpunkt.
Steigung berechnen
Die Steigung der Tangente bekommst du mit der Ableitung. Setze dafür \( {\textcolor{orange}{x_0}}={\textcolor{orange}{2}} \) in \( {\textcolor{green}{f'(x)}} \) ein.
Alles Grüne gehört zur Steigung.
In \( y=mx+b \) einsetzen
Jetzt setzen wir die Steigung und den Berührpunkt in die Geradengleichung ein.
Für \(x\) setzt du die Berührstelle ein. Für \( {\textcolor{steelblue}{y}} \) setzt du den y-Wert des Berührpunktes ein.
Tangente aufschreiben
Jetzt setzt du nur noch \( {\textcolor{green}{m}}={\textcolor{green}{2}} \) und \( {\textcolor{purple}{b}}={\textcolor{purple}{-1}} \) in die Geradengleichung ein.
Punkt und Steigung nicht verwechseln
Viele verwechseln den y-Wert \( {\textcolor{steelblue}{f(x_0)}} \) mit der Steigung \( {\textcolor{green}{f'(x_0)}} \).
Blau gehört zum Punkt. Grün gehört zur Steigung.
Der Punkt kommt aus \( {\textcolor{steelblue}{f(x_0)}} \), die Steigung kommt aus \( {\textcolor{green}{f'(x_0)}} \).
Du stellst eine Tangente mit \( {\textcolor{steelblue}{y}}={\textcolor{green}{m}}\cdot x+{\textcolor{purple}{b}} \) auf.
- Setze \( {\textcolor{orange}{x_0}} \) in die Funktion ein.
- Dadurch bekommst du den y-Wert: \( {\textcolor{steelblue}{f(x_0)}} \).
- Setze \( {\textcolor{orange}{x_0}} \) in die Ableitung ein.
- Dadurch bekommst du die Steigung: \( {\textcolor{green}{m}} \).
- Setze Punkt und Steigung in \(y=mx+b\) ein und berechne \( {\textcolor{purple}{b}} \).
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Mit der Tangentenformel rechnen
Die Tangentenformel macht genau dasselbe wie \(y=mx+b\). Sie setzt den Punkt und die Steigung nur direkt ein.
Du brauchst dafür die Berührstelle, den y-Wert und die Steigung an dieser Stelle.
Du berechnest also keine neue Sache. Du setzt nur schneller ein.
Punkt und Steigung bestimmen
Zuerst brauchen wir wieder den y-Wert und die Steigung an der Berührstelle.
Gegeben ist:
| Funktionswert |
\(
f({\textcolor{orange}{2}})
=
({\textcolor{orange}{2}})^2
-
2\cdot{\textcolor{orange}{2}}
+
3
\)
\(
=
4-4+3
=
{\textcolor{steelblue}{3}}
\)
\(
{\textcolor{steelblue}{f(x_0)}}
=
{\textcolor{steelblue}{3}}
\)
|
| Steigung |
\(
{\textcolor{green}{f'(x)}}=2x-2
\)
\(
f'({\textcolor{orange}{2}})
=
2\cdot{\textcolor{orange}{2}}-2
=
{\textcolor{green}{2}}
\)
\(
{\textcolor{green}{f'(x_0)}}
=
{\textcolor{green}{2}}
\)
|
Alles direkt einsetzen
Jetzt kommen die drei Werte direkt in die Tangentenformel.
Der Vorteil: Du musst \( {\textcolor{purple}{b}} \) nicht extra berechnen.
Mit der Tangentenformel setzt du Punkt und Steigung direkt ein.
- Setze \( {\textcolor{orange}{x_0}} \) in die Funktion ein.
- Berechne den Funktionswert \( {\textcolor{steelblue}{f(x_0)}} \).
- Setze \( {\textcolor{orange}{x_0}} \) in die Ableitung ein.
- Berechne die Steigung \( {\textcolor{green}{f'(x_0)}} \).
- Setze alles in die Tangentenformel ein und vereinfache.
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