Zwei Wege, ein Ziel
Tangentengleichung bestimmen
Tangente berechnen: Punkt und Steigung einsetzen
Eine Tangente ist die Gerade, die den Graphen in einem Punkt berührt und dort genau dieselbe Steigung hat.
Für die Tangentengleichung brauchst du den Berührpunkt und die Ableitung an dieser Stelle.
- \( {\textcolor{orange}{x_0}} \) ist die Stelle, an der die Tangente den Graphen berührt.
- \( {\textcolor{steelblue}{f(x_0)}} \) ist der y-Wert des Berührpunktes.
- \( {\textcolor{green}{f'(x_0)}} \) ist die Steigung der Tangente.
In einem kurzen Beispiel zeigen wir dir, wie die Formel benutzt wird.
Beispiel| Berührpunkt |
\(
f({\textcolor{orange}{2}})
=
({\textcolor{orange}{2}})^2
-
2\cdot{\textcolor{orange}{2}}
+
3
=
{\textcolor{steelblue}{3}}
\)
\(
{\textcolor{steelblue}{f(x_0)}}=
{\textcolor{steelblue}{3}}
\)
|
| Steigung |
\(
f'(x)=2x-2
\)
\(
{\textcolor{green}{f'({\textcolor{orange}{2}})}}
=
2\cdot{\textcolor{orange}{2}}-2
=
{\textcolor{green}{2}}
\)
\(
{\textcolor{green}{f'(x_0)}}=
{\textcolor{green}{2}}
\)
|
| Tangente |
\(
y
=
{\textcolor{green}{f'(x_0)}}
(x-{\textcolor{orange}{x_0}})
+
{\textcolor{steelblue}{f(x_0)}}
\)
\(
y
=
{\textcolor{green}{2}}
(x-{\textcolor{orange}{2}})
+
{\textcolor{steelblue}{3}}
\)
\(
y
=
{\textcolor{green}{2}}x
-
4
+
{\textcolor{steelblue}{3}}
\)
\(
y
=
{\textcolor{green}{2}}x-1
\)
|
Im Beitrag lernst du, wie du diesen Ablauf sicher anwendest, die Steigung mit der Ableitung berechnest und typische Fehler vermeidest.
Tangente berechnen: Punkt und Steigung einsetzen
Eine Tangente ist die Gerade, die den Graphen in einem Punkt berührt und dort genau dieselbe Steigung hat.
Für die Tangentengleichung brauchst du den Berührpunkt und die Ableitung an dieser Stelle.
- \( {\textcolor{orange}{x_0}} \) ist die Stelle, an der die Tangente den Graphen berührt.
- \( {\textcolor{steelblue}{f(x_0)}} \) ist der y-Wert des Berührpunktes.
- \( {\textcolor{green}{f'(x_0)}} \) ist die Steigung der Tangente.
In einem kurzen Beispiel zeigen wir dir, wie die Formel benutzt wird.
Beispiel| Berührpunkt |
\(
f({\textcolor{orange}{2}})
=
({\textcolor{orange}{2}})^2
-
2\cdot{\textcolor{orange}{2}}
+
3
=
{\textcolor{steelblue}{3}}
\)
\(
{\textcolor{steelblue}{f(x_0)}}=
{\textcolor{steelblue}{3}}
\)
|
| Steigung |
\(
f'(x)=2x-2
\)
\(
{\textcolor{green}{f'({\textcolor{orange}{2}})}}
=
2\cdot{\textcolor{orange}{2}}-2
=
{\textcolor{green}{2}}
\)
\(
{\textcolor{green}{f'(x_0)}}=
{\textcolor{green}{2}}
\)
|
| Tangente |
\(
y
=
{\textcolor{green}{f'(x_0)}}
(x-{\textcolor{orange}{x_0}})
+
{\textcolor{steelblue}{f(x_0)}}
\)
\(
y
=
{\textcolor{green}{2}}
(x-{\textcolor{orange}{2}})
+
{\textcolor{steelblue}{3}}
\)
\(
y
=
{\textcolor{green}{2}}x
-
4
+
{\textcolor{steelblue}{3}}
\)
\(
y
=
{\textcolor{green}{2}}x-1
\)
|
Im Beitrag lernst du, wie du diesen Ablauf sicher anwendest, die Steigung mit der Ableitung berechnest und typische Fehler vermeidest.
Was ist eine Tangente?
Eine Tangente ist nicht einfach irgendeine Gerade. Sie berührt den Graphen in genau einem Punkt und hat dort genau dieselbe Steigung wie der Graph.
Die Tangente verändert ihre Richtung
Schiebe den Regler nach links und rechts. So siehst du direkt: Die Tangente verändert ihre Richtung, weil sich die Steigung am Berührpunkt verändert.
P Berührpunkt
An dieser Stelle steigt der Graph. Deshalb steigt auch die Tangente.
Achte beim Schieben auf die Richtung der Tangente. Sie zeigt dir, wie sich der Graph an dieser Stelle verhält.
- steigend Graph steigt
- fallend Graph fällt
- waagerecht Steigung = 0
Rechnen mit der Geradengleichung
Eine Tangente ist immer eine Gerade. Deshalb kannst du sie mit der Geradengleichung aufstellen.
Das Besondere: Bei einer Tangente bekommst du die Steigung aus der Ableitung der Funktion.
Du rechnest also mit einer normalen Geraden — nur die Steigung kommt aus der Funktion selbst.
Erst bestimmst du den Punkt, dann die Steigung. Danach kannst du die Gerade aufstellen.
Jetzt rechnen wir die Tangente Schritt für Schritt aus.
Berührpunkt berechnen
Zuerst setzen wir die Stelle \( {\textcolor{orange}{x_0=2}} \) in die Funktion ein.
Der blaue Wert ist der y-Wert. Zusammen mit \( {\textcolor{orange}{x_0}} \) entsteht daraus der Berührpunkt.
Steigung berechnen
Die Steigung der Tangente bekommst du mit der Ableitung. Deshalb setzen wir \( {\textcolor{orange}{x_0=2}} \) in \({\textcolor{green}{f'(x)}}\) ein.
Alles Grüne gehört zur Steigung der Tangente.
In die Geradengleichung einsetzen
Jetzt setzen wir die Steigung \( {\textcolor{green}{m=2}} \) und den Punkt \( P({\textcolor{orange}{2}}|{\textcolor{steelblue}{3}}) \) in \( {\textcolor{steelblue}{y}}={\textcolor{green}{m}}\cdot{\textcolor{orange}{x}}+b \) ein.
Hier wird der Punkt eingesetzt: Für \( {\textcolor{orange}{x}} \) nimmst du \( {\textcolor{orange}{2}} \), für \( {\textcolor{steelblue}{y}} \) nimmst du \( {\textcolor{steelblue}{3}} \).
Tangentengleichung aufschreiben
Jetzt setzen wir \( {\textcolor{green}{m=2}} \) und \( b=-1 \) in die Geradengleichung ein.
Jetzt stehen Steigung und y-Achsenabschnitt fest.
Punkt und Steigung nicht verwechseln
Schnell verwechselt man \( {\textcolor{steelblue}{f(x_0)}} \) mit \( {\textcolor{green}{f'(x_0)}} \). Das ist der häufigste Fehler bei Tangenten.
Blau gehört zum Punkt. Grün gehört zur Steigung.
Der Punkt kommt aus \( {\textcolor{steelblue}{f(x_0)}} \), die Steigung kommt aus \( {\textcolor{green}{f'(x_0)}} \).
Du kannst eine Tangente wie eine Gerade betrachten: \( {\textcolor{steelblue}{y}} = {\textcolor{green}{m}} \cdot {\textcolor{orange}{x}} + b \) aufstellen.
- Setze die Berührstelle \( {\textcolor{orange}{x_0}} \) in die Funktion ein.
- Du bekommst den y-Wert des Berührpunktes: \( {\textcolor{steelblue}{f(x_0)}} \).
- Setze \( {\textcolor{orange}{x_0}} \) in die Ableitung ein. Dadurch bekommst du die Steigung \( {\textcolor{green}{m}} \).
- Setze den Punkt \( P({\textcolor{orange}{x_0}}|{\textcolor{steelblue}{f(x_0)}}) \) und die Steigung \( {\textcolor{green}{m}} \) in \( {\textcolor{steelblue}{y}} = {\textcolor{green}{m}} \cdot {\textcolor{orange}{x}} + b \) ein.
- Berechne \(b\) und schreibe die fertige Tangentengleichung auf.
Tangentenformel anwenden
Mit der Tangentenformel setzt du Punkt und Steigung direkt ein — ganz ohne Umwege.
Dafür brauchst du wieder dieselben Informationen: die Berührstelle, den Funktionswert und die Steigung an dieser Stelle.
Die Tangentenformel baut den Punkt und die Steigung direkt in eine Geradengleichung ein.
Punkt und Steigung bestimmen
Wir nehmen wieder dieselbe Funktion wie eben. So siehst du: Der Inhalt bleibt gleich, aber das Einsetzen geht schneller.
Wir betrachten:
| Funktionswert |
\(
f({\textcolor{orange}{2}})
=
{\textcolor{orange}{2}}^2
-
2\cdot{\textcolor{orange}{2}}
+
3
\)
\(
=
4-4+3
=
{\textcolor{steelblue}{3}}
\)
\(
{\textcolor{steelblue}{f(x_0)}}
=
{\textcolor{steelblue}{3}}
\)
|
| Steigung |
\(
f'(x)=2x-2
\)
\(
f'({\textcolor{orange}{2}})
=
2\cdot{\textcolor{orange}{2}}-2
=
{\textcolor{green}{2}}
\)
\(
{\textcolor{green}{f'(x_0)}}
=
{\textcolor{green}{2}}
\)
|
Jetzt stehen alle drei Werte bereit: Berührstelle, Funktionswert und Steigung.
Alles direkt in die Tangentenformel einsetzen
Jetzt setzen wir die drei Werte direkt in die Tangentenformel ein.
Du musst \(b\) hier nicht extra berechnen — die Tangentenformel setzt alles direkt zusammen.
Mit der Tangentenformel setzt du Punkt und Steigung direkt ein.
- \( {\textcolor{orange}{x_0}} \): Berührstelle
- \( {\textcolor{steelblue}{f(x_0)}} \): y-Wert des Berührpunktes
- \( {\textcolor{green}{f'(x_0)}} \): Steigung der Tangente
Rechner - Tangentengleichung
Tangente berechnen
Gib eine Funktion und eine Stelle \( {\textcolor{orange}{x_0}} \) ein. Der Rechner zeigt dir Berührpunkt, Steigung und Tangentengleichung Schritt für Schritt.
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Übungen
Welche Größe liefert dir bei einer Tangente die Steigung?
Lösung
Die Steigung der Tangente kommt aus der Ableitung.
Was bedeutet \( {\textcolor{green}{f'(x_0)=0}} \)?
Lösung
Wenn die Ableitung \(0\) ist, hat der Graph an dieser Stelle keine Steigung nach oben oder unten.
Bestimme die Tangente:
Berechne zuerst den Berührpunkt mit \( {\textcolor{steelblue}{f(x_0)}} \).
Danach berechnest du die Steigung mit \( {\textcolor{green}{f'(x_0)}} \).
Lösung
Berechne zuerst den y-Wert des Berührpunktes und danach die Steigung.
Bestimme die Tangente
Achte darauf: Hier fehlt das Absolutglied. Das bedeutet nicht, dass der y-Wert automatisch \(0\) ist.
Berechne trotzdem zuerst \( {\textcolor{steelblue}{f(x_0)}} \) und danach \( {\textcolor{green}{f'(x_0)}} \).
Lösung
Auch ohne Absolutglied musst du den Funktionswert ganz normal berechnen.
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Mehr dazu
in unseren FAQs
Woher kommt die Steigung der Tangente?
Die Steigung der Tangente kommt aus der Ableitung. Die Ableitung zeigt die Steigung des Graphen genau an der Stelle \( {\textcolor{orange}{x_0}} \).
Was bedeutet eine waagerechte Tangente?
Eine waagerechte Tangente bedeutet: Der Graph steigt an dieser Stelle nicht und fällt an dieser Stelle nicht. Die Steigung ist also \(0\).
Wie gehe ich vor, wenn kein Berührpunkt gegeben ist?
\( {\textcolor{steelblue}{f(x_0)}} \) gehört zum Punkt. \( {\textcolor{green}{f'(x_0)}} \) gehört zur Steigung.
| \( {\textcolor{steelblue}{f(x_0)}} \) | y-Wert des Berührpunktes |
| \( {\textcolor{green}{f'(x_0)}} \) | Steigung der Tangente |
Wann nutze ich die Geradengleichung und wann die Tangentenformel?
Beide Wege sind richtig. Mit \( {\textcolor{steelblue}{y}} = {\textcolor{green}{m}} \cdot {\textcolor{orange}{x}} + b \) berechnest du erst noch \(b\). Mit der Tangentenformel setzt du direkter ein.
| \( {\textcolor{steelblue}{y}} = {\textcolor{green}{m}} \cdot {\textcolor{orange}{x}} + b \) | erst \(b\) berechnen |
| Tangentenformel | direkt einsetzen |
Was ist der Unterschied zwischen Funktion und Ableitung?
Dann musst du zuerst die Berührstelle \( {\textcolor{orange}{x_0}} \) bestimmen. Das passiert zum Beispiel bei einer Tangente von außen.
- \( {\textcolor{orange}{x_0}} \) offen lassen.
- Tangente allgemein aufstellen.
- Gegebenen Punkt einsetzen.
- \( {\textcolor{orange}{x_0}} \) berechnen.
Mehr dazu
Weiterführende Informationen
Wendetangente aufstellen
Eine besondere Tangente ist die Wendetangente. Sie berührt den Graphen genau im Wendepunkt.
Der Rechenweg ist fast derselbe wie bei jeder anderen Tangente. Besonders ist nur die Stelle: Du nimmst als Berührstelle den Wendepunkt.
Eine Wendetangente ist die Tangente im Wendepunkt einer Funktion.
- \( {\textcolor{orange}{x_0}} \): x-Wert des Wendepunktes
- \( {\textcolor{steelblue}{f(x_0)}} \): y-Wert des Wendepunktes
- \( {\textcolor{green}{f'(x_0)}} \): Steigung der Wendetangente
Der Graph ändert seine Krümmung
Ein Wendepunkt ist die Stelle, an der der Graph seine Krümmung ändert.
Stell dir vor, du fährst durch eine Kurve: Erst lenkst du nach links, danach nach rechts.
Die Stelle, an der du die „Lenkrichtung“ änderst, ist der Wendepunkt. Für die Wendetangente brauchst du genau diesen Punkt.
Wendetangente bestimmen
Wir bestimmen zuerst den Wendepunkt. Danach setzen wir die Werte in die Tangentenformel ein.
Wendepunkt bestimmen
Für einen Wendepunkt setzt du die zweite Ableitung gleich null.
| \( f''(x)=0 \) | ||
| \( 6x-6=0 \) | | | \( +6 \) |
| \( 6x=6 \) | | | \( :6 \) |
| \( {\textcolor{orange}{x_0}}={\textcolor{orange}{1}} \) | ||
Jetzt prüfen wir kurz mit der dritten Ableitung, ob wirklich ein Wendepunkt vorliegt.
Punkt und Steigung im Wendepunkt berechnen
Jetzt berechnen wir den y-Wert des Wendepunktes und die Steigung an dieser Stelle.
| y-Wert |
\(
f({\textcolor{orange}{1}})
=
({\textcolor{orange}{1}})^3
-
3\cdot({\textcolor{orange}{1}})^2
+
2
=
{\textcolor{steelblue}{0}}
\)
\(
{\textcolor{steelblue}{f(x_0)}}
=
{\textcolor{steelblue}{0}}
\)
|
| Steigung |
\(
{\textcolor{green}{f'(x)}}=
3x^2-6x
\)
\(
{\textcolor{green}{f'({\textcolor{orange}{1}})}}
=
3\cdot({\textcolor{orange}{1}})^2
-
6\cdot{\textcolor{orange}{1}}
=
{\textcolor{green}{-3}}
\)
\(
{\textcolor{green}{f'(x_0)}}
=
{\textcolor{green}{-3}}
\)
|
In die Tangentenformel einsetzen
Jetzt setzen wir alles in die Tangentenformel ein.
Ableitung und Tangente verstehen
Die Tangente hat an einer Stelle genau die Steigung, die der Graph dort auch hat. Genau deshalb arbeitet man bei Tangenten mit der Ableitung.
Die Ableitung beschreibt die momentane Steigung eines Graphen. Also genau die Steigung, die du für die Tangente brauchst.
Die Ableitung \( {\textcolor{green}{f'(x)}} \) gibt dir die momentane Steigung des Graphen an.
Setzt du die Stelle \( {\textcolor{orange}{x_0}} \) in die Ableitung ein, bekommst du die Steigung genau an dieser Stelle:
Die Tangentensteigung
Wir betrachten die Funktion \( f(x)=x^2 \) an der Stelle \( {\textcolor{orange}{x_0=1}} \).
| Ableitung |
\(
{\textcolor{green}{f'(x)}}=2x
\)
|
| Steigung |
\(
{\textcolor{green}{f'({\textcolor{orange}{1}})}}
=
2\cdot{\textcolor{orange}{1}}
=
{\textcolor{green}{2}}
\)
\(
{\textcolor{green}{m}}
=
{\textcolor{green}{2}}
\)
|
| Punkt |
\(
f({\textcolor{orange}{1}})
=
({\textcolor{orange}{1}})^2
=
{\textcolor{steelblue}{1}}
\)
\(
P({\textcolor{orange}{1}}|{\textcolor{steelblue}{1}})
\)
|
Die Tangente geht also durch den Punkt \( {\textcolor{steelblue}{P(1|1)}} \) und hat die Steigung \( {\textcolor{green}{m=2}} \).
Waagerechte Tangenten
Wenn \( {\textcolor{green}{f'(x_0)=0}} \) gilt, hat der Graph an dieser Stelle keine Steigung nach oben oder unten.
- \( {\textcolor{green}{f'(x_0)}} \) ist die Steigung des Graphen an der Stelle \( {\textcolor{orange}{x_0}} \).
- Genau diese Steigung hat auch die Tangente.
- Bei \( {\textcolor{green}{f'(x_0)=0}} \) ist die Tangente waagerecht.
Herleitung der Formel
Die Tangentenformel entsteht direkt aus der Geradengleichung \( {\textcolor{steelblue}{y}} = {\textcolor{green}{m}} \cdot {\textcolor{orange}{x}} + b \).
Die Idee ist einfach: Eine Tangente ist eine Gerade. Wir ersetzen also die Steigung \(m\) durch die Ableitung und nutzen den Berührpunkt, um \(b\) zu bestimmen.
Mit der Geradengleichung starten
Für jede Gerade gilt:
Bei einer Tangente ist die Steigung genau die Ableitung an der Berührstelle.
Den Berührpunkt einsetzen
Die Tangente geht durch den Berührpunkt \( P({\textcolor{orange}{x_0}}|{\textcolor{steelblue}{f(x_0)}}) \). Wir setzen diesen Punkt ein, um \(b\) zu bestimmen.
Den Ausdruck für \(b\) einsetzen
Jetzt setzen wir den ganzen Ausdruck für \(b\) zurück in die Geradengleichung ein.
In den ersten beiden Teilen steckt jeweils \( {\textcolor{green}{f'(x_0)}} \). Deshalb können wir diesen Faktor ausklammern.
Tangente von außen
Ein besonderer Fall ist die Tangente von außen. Dabei ist der Berührpunkt nicht gegeben — gegeben ist nur ein Punkt, der außerhalb des Graphen liegt.
Deshalb lassen wir die Berührstelle zuerst als \( {\textcolor{orange}{x_0}} \) stehen. Erst durch den äußeren Punkt finden wir heraus, wo die Tangente den Graphen berührt.
Tangente von außen
Gegeben ist die Funktion \( f(x)=x^2 \) und der äußere Punkt \( A({\textcolor{orangered}{0}}|{\textcolor{orangered}{-1}}) \).
Wir kennen die Berührstelle noch nicht. Deshalb lassen wir sie als \( {\textcolor{orange}{x_0}} \) stehen.
Tangente allgemein mit \(x_0\) aufstellen
Für \( f(x)=x^2 \) berechnen wir Funktionswert und Ableitung an der noch unbekannten Berührstelle.
Jetzt setzen wir alles in die Tangentenformel ein.
Äußeren Punkt einsetzen
Die Tangente muss durch den Punkt \( A({\textcolor{orangered}{0}}|{\textcolor{orangered}{-1}}) \) gehen. Deshalb setzen wir \( {\textcolor{orangered}{x=0}} \) und \( {\textcolor{orangered}{y=-1}} \) ein.
Wichtig: \( {\textcolor{orangered}{x}} \) gehört zum äußeren Punkt \( A({\textcolor{orangered}{0}}|{\textcolor{orangered}{-1}}) \). \( {\textcolor{orange}{x_0}} \) ist die noch unbekannte Berührstelle am Graphen.
Berührstelle \(x_0=1\)
Für \( {\textcolor{orange}{x_0}}={\textcolor{orange}{1}} \) berechnen wir Punkt und Steigung.
Jetzt setzen wir Punkt und Steigung in die Tangentenformel ein.
Berührstelle \(x_0=-1\)
Für \( {\textcolor{orange}{x_0}}={\textcolor{orange}{-1}} \) rechnen wir genauso.
Jetzt setzen wir Punkt und Steigung wieder in die Tangentenformel ein.
Es gibt zwei Tangenten von außen
Der äußere Punkt \( A({\textcolor{orangered}{0}}|{\textcolor{orangered}{-1}}) \) liegt so, dass zwei verschiedene Tangenten an den Graphen möglich sind.
Bei einer Tangente von außen suchst du zuerst die Berührstelle.
- Berührstelle \( {\textcolor{orange}{x_0}} \) offen lassen.
- Tangente allgemein mit \( {\textcolor{orange}{x_0}} \) aufstellen.
- Äußeren Punkt einsetzen.
- \( {\textcolor{orange}{x_0}} \) berechnen.
- Tangentengleichung aufstellen.
13:00 -18:30 Uhr
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