Zwei Wege, ein Ziel
Tangentengleichung bestimmen
Das Wichtigste
Tangente berechnen: So kommst du zur Geraden
Eine Tangente ist eine Gerade, die einen Graphen in einem Punkt berührt. Genau an diesem Punkt hat sie dieselbe Steigung wie der Graph.
Deshalb kannst du eine Tangente mit der normalen Geradengleichung aufstellen.
- \( {\textcolor{green}{m}} \) ist die Steigung der Tangente.
- \( {\textcolor{purple}{b}} \) ist der y-Achsenabschnitt.
| Punkt |
\(
f({\textcolor{orange}{2}})
=
{\textcolor{steelblue}{5}}
\)
\(
P({\textcolor{orange}{2}}\mid{\textcolor{steelblue}{5}})
\)
|
| Steigung |
\(
f'(x)=2x
\)
\(
{\textcolor{green}{m}}
=
f'({\textcolor{orange}{2}})
=
{\textcolor{green}{4}}
\)
|
| Tangente |
\(
{\textcolor{steelblue}{5}}
=
{\textcolor{green}{4}}\cdot{\textcolor{orange}{2}}
+
{\textcolor{purple}{b}}
\)
\(
{\textcolor{purple}{b}}
=
{\textcolor{purple}{-3}}
\)
\(
y
=
{\textcolor{green}{4}}x-3
\)
|
Im Beitrag lernst du, wie du genau diesen Ablauf sicher anwendest und typische Fehler vermeidest.
Das Wichtigste
Tangente berechnen: So kommst du zur Geraden
Eine Tangente ist eine Gerade, die einen Graphen in einem Punkt berührt. Genau an diesem Punkt hat sie dieselbe Steigung wie der Graph.
Deshalb kannst du eine Tangente mit der normalen Geradengleichung aufstellen.
- \( {\textcolor{green}{m}} \) ist die Steigung der Tangente.
- \( {\textcolor{purple}{b}} \) ist der y-Achsenabschnitt.
| Punkt |
\(
f({\textcolor{orange}{2}})
=
{\textcolor{steelblue}{5}}
\)
\(
P({\textcolor{orange}{2}}\mid{\textcolor{steelblue}{5}})
\)
|
| Steigung |
\(
f'(x)=2x
\)
\(
{\textcolor{green}{m}}
=
f'({\textcolor{orange}{2}})
=
{\textcolor{green}{4}}
\)
|
| Tangente |
\(
{\textcolor{steelblue}{5}}
=
{\textcolor{green}{4}}\cdot{\textcolor{orange}{2}}
+
{\textcolor{purple}{b}}
\)
\(
{\textcolor{purple}{b}}
=
{\textcolor{purple}{-3}}
\)
\(
y
=
{\textcolor{green}{4}}x-3
\)
|
Im Beitrag lernst du, wie du genau diesen Ablauf sicher anwendest und typische Fehler vermeidest.
Rechnen mit der Geradengleichung
Eine Tangente ist eine Gerade
Eine Tangente ist eine Gerade. Deshalb kannst du sie mit der normalen Geradengleichung aufstellen.
Der Unterschied zu einer normalen Gerade ist nur: Die Steigung bekommst du aus der Ableitung.
Du brauchst also zwei Dinge: den Berührpunkt und die Steigung an dieser Stelle.
Jetzt rechnen wir genau diese drei Dinge aus.
Berührpunkt berechnen
Setze zuerst die Berührstelle \( {\textcolor{orange}{x_0}}={\textcolor{orange}{2}} \) in die Funktion ein.
Der blaue Wert ist der y-Wert. Zusammen mit der Berührstelle entsteht daraus der Berührpunkt.
Steigung berechnen
Die Steigung der Tangente bekommst du mit der Ableitung. Setze dafür \( {\textcolor{orange}{x_0}}={\textcolor{orange}{2}} \) in \( {\textcolor{green}{f'(x)}} \) ein.
Alles Grüne gehört zur Steigung.
In \( y=mx+b \) einsetzen
Jetzt setzen wir die Steigung und den Berührpunkt in die Geradengleichung ein.
Für \(x\) setzt du die Berührstelle ein. Für \( {\textcolor{steelblue}{y}} \) setzt du den y-Wert des Berührpunktes ein.
Tangente aufschreiben
Jetzt setzt du nur noch \( {\textcolor{green}{m}}={\textcolor{green}{2}} \) und \( {\textcolor{purple}{b}}={\textcolor{purple}{-1}} \) in die Geradengleichung ein.
Punkt und Steigung nicht verwechseln
Viele verwechseln den y-Wert \( {\textcolor{steelblue}{f(x_0)}} \) mit der Steigung \( {\textcolor{green}{f'(x_0)}} \).
Blau gehört zum Punkt. Grün gehört zur Steigung.
Der Punkt kommt aus \( {\textcolor{steelblue}{f(x_0)}} \), die Steigung kommt aus \( {\textcolor{green}{f'(x_0)}} \).
Du stellst eine Tangente mit \( {\textcolor{steelblue}{y}}={\textcolor{green}{m}}\cdot x+{\textcolor{purple}{b}} \) auf.
- Setze \( {\textcolor{orange}{x_0}} \) in die Funktion ein.
- Dadurch bekommst du den y-Wert: \( {\textcolor{steelblue}{f(x_0)}} \).
- Setze \( {\textcolor{orange}{x_0}} \) in die Ableitung ein.
- Dadurch bekommst du die Steigung: \( {\textcolor{green}{m}} \).
- Setze Punkt und Steigung in \(y=mx+b\) ein und berechne \( {\textcolor{purple}{b}} \).
Tangentenformel anwenden
Mit der Tangentenformel rechnen
Die Tangentenformel macht genau dasselbe wie \(y=mx+b\). Sie setzt den Punkt und die Steigung nur direkt ein.
Du brauchst dafür die Berührstelle, den y-Wert und die Steigung an dieser Stelle.
Du berechnest also keine neue Sache. Du setzt nur schneller ein.
Punkt und Steigung bestimmen
Zuerst brauchen wir wieder den y-Wert und die Steigung an der Berührstelle.
Gegeben ist:
| Funktionswert |
\(
f({\textcolor{orange}{2}})
=
({\textcolor{orange}{2}})^2
-
2\cdot{\textcolor{orange}{2}}
+
3
\)
\(
=
4-4+3
=
{\textcolor{steelblue}{3}}
\)
\(
{\textcolor{steelblue}{f(x_0)}}
=
{\textcolor{steelblue}{3}}
\)
|
| Steigung |
\(
{\textcolor{green}{f'(x)}}=2x-2
\)
\(
f'({\textcolor{orange}{2}})
=
2\cdot{\textcolor{orange}{2}}-2
=
{\textcolor{green}{2}}
\)
\(
{\textcolor{green}{f'(x_0)}}
=
{\textcolor{green}{2}}
\)
|
Alles direkt einsetzen
Jetzt kommen die drei Werte direkt in die Tangentenformel.
Der Vorteil: Du musst \( {\textcolor{purple}{b}} \) nicht extra berechnen.
Mit der Tangentenformel setzt du Punkt und Steigung direkt ein.
- Setze \( {\textcolor{orange}{x_0}} \) in die Funktion ein.
- Berechne den Funktionswert \( {\textcolor{steelblue}{f(x_0)}} \).
- Setze \( {\textcolor{orange}{x_0}} \) in die Ableitung ein.
- Berechne die Steigung \( {\textcolor{green}{f'(x_0)}} \).
- Setze alles in die Tangentenformel ein und vereinfache.
Rechner - Tangentengleichung
Tangente berechnen
Gib eine Funktion und eine Stelle \( {\textcolor{orange}{x_0}} \) ein. Der Rechner zeigt dir Berührpunkt, Steigung und Tangentengleichung Schritt für Schritt.
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Übungen
Welche Größe liefert dir bei einer Tangente die Steigung?
Lösung
Die Steigung der Tangente kommt aus der Ableitung.
Was bedeutet \( {\textcolor{green}{f'(x_0)=0}} \)?
Lösung
Wenn die Ableitung \(0\) ist, hat der Graph an dieser Stelle keine Steigung nach oben oder unten.
Bestimme die Tangente:
Berechne zuerst den Berührpunkt mit \( {\textcolor{steelblue}{f(x_0)}} \).
Danach berechnest du die Steigung mit \( {\textcolor{green}{f'(x_0)}} \).
Lösung
Berechne zuerst den y-Wert des Berührpunktes und danach die Steigung.
Bestimme die Tangente
Achte darauf: Hier fehlt das Absolutglied. Das bedeutet nicht, dass der y-Wert automatisch \(0\) ist.
Berechne trotzdem zuerst \( {\textcolor{steelblue}{f(x_0)}} \) und danach \( {\textcolor{green}{f'(x_0)}} \).
Lösung
Auch ohne Absolutglied musst du den Funktionswert ganz normal berechnen.
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Mehr dazu
in unseren FAQs
Woher kommt die Steigung der Tangente?
Die Steigung der Tangente kommt aus der Ableitung. Die Ableitung zeigt die Steigung des Graphen genau an der Stelle \( {\textcolor{orange}{x_0}} \).
Was bedeutet eine waagerechte Tangente?
Eine waagerechte Tangente bedeutet: Der Graph steigt an dieser Stelle nicht und fällt an dieser Stelle nicht. Die Steigung ist also \(0\).
Wie gehe ich vor, wenn kein Berührpunkt gegeben ist?
\( {\textcolor{steelblue}{f(x_0)}} \) gehört zum Punkt. \( {\textcolor{green}{f'(x_0)}} \) gehört zur Steigung.
| \( {\textcolor{steelblue}{f(x_0)}} \) | y-Wert des Berührpunktes |
| \( {\textcolor{green}{f'(x_0)}} \) | Steigung der Tangente |
Wann nutze ich die Geradengleichung und wann die Tangentenformel?
Beide Wege sind richtig. Mit \( {\textcolor{steelblue}{y}} = {\textcolor{green}{m}} \cdot {\textcolor{orange}{x}} + b \) berechnest du erst noch \(b\). Mit der Tangentenformel setzt du direkter ein.
| \( {\textcolor{steelblue}{y}} = {\textcolor{green}{m}} \cdot {\textcolor{orange}{x}} + b \) | erst \(b\) berechnen |
| Tangentenformel | direkt einsetzen |
Was ist der Unterschied zwischen Funktion und Ableitung?
Dann musst du zuerst die Berührstelle \( {\textcolor{orange}{x_0}} \) bestimmen. Das passiert zum Beispiel bei einer Tangente von außen.
- \( {\textcolor{orange}{x_0}} \) offen lassen.
- Tangente allgemein aufstellen.
- Gegebenen Punkt einsetzen.
- \( {\textcolor{orange}{x_0}} \) berechnen.
Mehr dazu
Weiterführende Informationen
Wendetangente aufstellen
Eine Tangente ist nicht einfach irgendeine Gerade. Sie berührt den Graphen in genau einem Punkt und hat dort genau dieselbe Steigung wie der Graph.
Die Tangente verändert ihre Richtung
Bewege den Regler nach links und rechts. So siehst du direkt wie sich die Tangente verändert, wenn du den Berührpunkt verschiebst.
P Berührpunkt
An dieser Stelle steigt der Graph, also steigt auch die Tangente.
Eine besondere Tangente ist die Wendetangente. Sie berührt den Graphen genau im Wendepunkt.
Der Rechenweg ist fast derselbe wie bei jeder anderen Tangente. Besonders ist nur die Stelle: Du nimmst als Berührstelle den Wendepunkt.
Eine Wendetangente ist die Tangente im Wendepunkt einer Funktion.
- \( {\textcolor{orange}{x_0}} \): x-Wert des Wendepunktes
- \( {\textcolor{steelblue}{f(x_0)}} \): y-Wert des Wendepunktes
- \( {\textcolor{green}{f'(x_0)}} \): Steigung der Wendetangente
Der Graph ändert seine Krümmung
Ein Wendepunkt ist die Stelle, an der der Graph seine Krümmung ändert.
Stell dir vor, du fährst durch eine Kurve: Erst lenkst du nach links, danach nach rechts.
Die Stelle, an der du die „Lenkrichtung“ änderst, ist der Wendepunkt. Für die Wendetangente brauchst du genau diesen Punkt.
Wendetangente von \( f(x)=x^3-3x^2+2 \)
Wir bestimmen zuerst den Wendepunkt. Danach setzen wir die Werte in die Tangentenformel ein.
Wendepunkt bestimmen
Für einen Wendepunkt setzt du die zweite Ableitung gleich null.
| \( f''(x)=0 \) | ||
| \( 6x-6=0 \) | | | \( +6 \) |
| \( 6x=6 \) | | | \( :6 \) |
| \( {\textcolor{orange}{x_0}}={\textcolor{orange}{1}} \) | ||
Jetzt prüfen wir kurz mit der dritten Ableitung, ob wirklich ein Wendepunkt vorliegt.
Punkt und Steigung im Wendepunkt berechnen
Jetzt berechnen wir den y-Wert des Wendepunktes und die Steigung an dieser Stelle.
| y-Wert |
\(
f({\textcolor{orange}{1}})
=
({\textcolor{orange}{1}})^3
-
3\cdot({\textcolor{orange}{1}})^2
+
2
=
{\textcolor{steelblue}{0}}
\)
\(
{\textcolor{steelblue}{f(x_0)}}
=
{\textcolor{steelblue}{0}}
\)
|
| Steigung |
\(
{\textcolor{green}{f'(x)}}=
3x^2-6x
\)
\(
{\textcolor{green}{f'({\textcolor{orange}{1}})}}
=
3\cdot({\textcolor{orange}{1}})^2
-
6\cdot{\textcolor{orange}{1}}
=
{\textcolor{green}{-3}}
\)
\(
{\textcolor{green}{f'(x_0)}}
=
{\textcolor{green}{-3}}
\)
|
In die Tangentenformel einsetzen
Jetzt setzen wir alles in die Tangentenformel ein.
Ableitung und Tangente verstehen
Die Tangente hat an einer Stelle genau die Steigung, die der Graph dort auch hat. Genau deshalb arbeitet man bei Tangenten mit der Ableitung.
Die Ableitung beschreibt die momentane Steigung eines Graphen. Also genau die Steigung, die du für die Tangente brauchst.
Die Ableitung \( {\textcolor{green}{f'(x)}} \) gibt dir die momentane Steigung des Graphen an.
Setzt du die Stelle \( {\textcolor{orange}{x_0}} \) in die Ableitung ein, bekommst du die Steigung genau an dieser Stelle:
Die Tangentensteigung
Wir betrachten die Funktion \( f(x)=x^2 \) an der Stelle \( {\textcolor{orange}{x_0=1}} \).
| Ableitung |
\(
{\textcolor{green}{f'(x)}}=2x
\)
|
| Steigung |
\(
{\textcolor{green}{f'({\textcolor{orange}{1}})}}
=
2\cdot{\textcolor{orange}{1}}
=
{\textcolor{green}{2}}
\)
\(
{\textcolor{green}{m}}
=
{\textcolor{green}{2}}
\)
|
| Punkt |
\(
f({\textcolor{orange}{1}})
=
({\textcolor{orange}{1}})^2
=
{\textcolor{steelblue}{1}}
\)
\(
P({\textcolor{orange}{1}}|{\textcolor{steelblue}{1}})
\)
|
Die Tangente geht also durch den Punkt \( {\textcolor{steelblue}{P(1|1)}} \) und hat die Steigung \( {\textcolor{green}{m=2}} \).
Waagerechte Tangenten
Wenn \( {\textcolor{green}{f'(x_0)=0}} \) gilt, hat der Graph an dieser Stelle keine Steigung nach oben oder unten.
- \( {\textcolor{green}{f'(x_0)}} \) ist die Steigung des Graphen an der Stelle \( {\textcolor{orange}{x_0}} \).
- Genau diese Steigung hat auch die Tangente.
- Bei \( {\textcolor{green}{f'(x_0)=0}} \) ist die Tangente waagerecht.
Herleitung der Formel
Die Tangentenformel entsteht direkt aus der Geradengleichung \( {\textcolor{steelblue}{y}} = {\textcolor{green}{m}} \cdot {\textcolor{orange}{x}} + b \).
Die Idee ist einfach: Eine Tangente ist eine Gerade. Wir ersetzen also die Steigung \(m\) durch die Ableitung und nutzen den Berührpunkt, um \(b\) zu bestimmen.
Mit der Geradengleichung starten
Für jede Gerade gilt:
Bei einer Tangente ist die Steigung genau die Ableitung an der Berührstelle.
Den Berührpunkt einsetzen
Die Tangente geht durch den Berührpunkt \( P({\textcolor{orange}{x_0}}|{\textcolor{steelblue}{f(x_0)}}) \). Wir setzen diesen Punkt ein, um \(b\) zu bestimmen.
Den Ausdruck für \(b\) einsetzen
Jetzt setzen wir den ganzen Ausdruck für \(b\) zurück in die Geradengleichung ein.
In den ersten beiden Teilen steckt jeweils \( {\textcolor{green}{f'(x_0)}} \). Deshalb können wir diesen Faktor ausklammern.
Tangente von außen
Ein besonderer Fall ist die Tangente von außen. Dabei ist der Berührpunkt nicht gegeben — gegeben ist nur ein Punkt, der außerhalb des Graphen liegt.
Deshalb lassen wir die Berührstelle zuerst als \( {\textcolor{orange}{x_0}} \) stehen. Erst durch den äußeren Punkt finden wir heraus, wo die Tangente den Graphen berührt.
Tangente von außen
Gegeben ist die Funktion \( f(x)=x^2 \) und der äußere Punkt \( A({\textcolor{orangered}{0}}|{\textcolor{orangered}{-1}}) \).
Wir kennen die Berührstelle noch nicht. Deshalb lassen wir sie als \( {\textcolor{orange}{x_0}} \) stehen.
Tangente allgemein mit \(x_0\) aufstellen
Für \( f(x)=x^2 \) berechnen wir Funktionswert und Ableitung an der noch unbekannten Berührstelle.
Jetzt setzen wir alles in die Tangentenformel ein.
Äußeren Punkt einsetzen
Die Tangente muss durch den Punkt \( A({\textcolor{orangered}{0}}|{\textcolor{orangered}{-1}}) \) gehen. Deshalb setzen wir \( {\textcolor{orangered}{x=0}} \) und \( {\textcolor{orangered}{y=-1}} \) ein.
Wichtig: \( {\textcolor{orangered}{x}} \) gehört zum äußeren Punkt \( A({\textcolor{orangered}{0}}|{\textcolor{orangered}{-1}}) \). \( {\textcolor{orange}{x_0}} \) ist die noch unbekannte Berührstelle am Graphen.
Berührstelle \(x_0=1\)
Für \( {\textcolor{orange}{x_0}}={\textcolor{orange}{1}} \) berechnen wir Punkt und Steigung.
Jetzt setzen wir Punkt und Steigung in die Tangentenformel ein.
Berührstelle \(x_0=-1\)
Für \( {\textcolor{orange}{x_0}}={\textcolor{orange}{-1}} \) rechnen wir genauso.
Jetzt setzen wir Punkt und Steigung wieder in die Tangentenformel ein.
Es gibt zwei Tangenten von außen
Der äußere Punkt \( A({\textcolor{orangered}{0}}|{\textcolor{orangered}{-1}}) \) liegt so, dass zwei verschiedene Tangenten an den Graphen möglich sind.
Bei einer Tangente von außen suchst du zuerst die Berührstelle.
- Berührstelle \( {\textcolor{orange}{x_0}} \) offen lassen.
- Tangente allgemein mit \( {\textcolor{orange}{x_0}} \) aufstellen.
- Äußeren Punkt einsetzen.
- \( {\textcolor{orange}{x_0}} \) berechnen.
- Tangentengleichung aufstellen.
13:00 -18:30 Uhr
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