Integrale verstehen
Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
Wie groß ist diese Fläche?
Im Bild ist ein Teil der Fläche zwischen einem Graphen und der \(x\)-Achse grau markiert. Aber wie können wir berechnen, wie groß diese Fläche ist?
Die Antwort auf diese Frage liefert der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung. Mit ihm können wir bestimmte Integrale berechnen. Für unsere markierte Fläche sieht das so aus:
- \({\textcolor{orange}{1}}\) ist die untere Grenze.
- \({\textcolor{steelblue}{4}}\) ist die obere Grenze.
- \({\textcolor{green}{-0{,}2x^3+4x}}\) ist die Funktion, die integriert wird.
Vorbereitung
Stammfunktion bilden
Bevor wir den Hauptsatz anwenden können, brauchen wir eine Stammfunktion unserer Funktion.
Jetzt berechnen wir die Fläche
Die Stammfunktion schreiben wir in eckige Klammern und übernehmen die beiden Grenzen:
Jetzt setzen wir zuerst die obere Grenze und danach die untere Grenze in die Stammfunktion ein:
- Stammfunktion \({\textcolor{green}{F(x)}}\) bilden.
- Stammfunktion in eckige Klammern schreiben und untere und obere Grenze mitnehmen.
- Zuerst die obere Grenze, dann die untere Grenze einsetzen.
- Klammern berechnen und subtrahieren.
Integralwert oder Flächeninhalt
Schauen wir uns jetzt eine weitere Fläche derselben Funktion an: diesmal zwischen \({\textcolor{orange}{x=-4}}\) und \({\textcolor{steelblue}{x=-1}}\).
Wir rechnen genauso wie vorher
Die Stammfunktion kennen wir schon – also wenden wir direkt den Hauptsatz an:
Integralwert oder Flächeninhalt?
Die Rechnung ist richtig – es gibt aber einen entscheidenden Unterschied: Das bestimmte Integral liefert dir zunächst den Integralwert.
Für den Flächeninhalt müssen wir zusätzlich darauf achten, ob die betrachtete Fläche oberhalb oder unterhalb der \(x\)-Achse liegt. Liegt sie vollständig unterhalb der \(x\)-Achse, ist ihr Integralwert negativ. Deshalb nehmen wir für ihren Flächeninhalt den Betrag.
Denk immer daran: Integralwert und Flächeninhalt sind zwei unterschiedliche Dinge. Achte deshalb genau darauf, was in der Aufgabenstellung gefragt ist.
| oberhalb der \(x\)-Achse | unterhalb der \(x\)-Achse | |
|---|---|---|
| Integralwert | positiv | negativ |
| Flächeninhalt | Integralwert übernehmen | Betrag des Integralwerts nehmen |
Integralwert oder Fläche: Solche Feinheiten gehen im Unterricht schnell unter. Bei deinem Tutor nicht.
Kostenlos testen: Mathe online lernen mit Nachhilfe von OnMathe
Was passiert, wenn die Fläche die x-Achse schneidet?
Zum Schluss betrachten wir noch ein letztes Mal unsere Funktion. Diesmal wollen wir die Fläche zwischen \({\textcolor{orange}{x=-3}}\) und \({\textcolor{steelblue}{x=3}}\) bestimmen.
Wir kennen den Hauptsatz inzwischen – also legen wir sofort los.
Eigentlich haben wir zwei Flächen
Wenn wir uns das Bild genauer anschauen, sehen wir: Zwischen \({\textcolor{orange}{x=-3}}\) und \({\textcolor{steelblue}{x=3}}\) liegen zwei klar getrennte Flächen. Bei \({\textcolor{purple}{x=0}}\) schneidet der Graph die \(x\)-Achse.
Die Fläche unterhalb der \(x\)-Achse nennen wir \(A_1\), die Fläche oberhalb der \(x\)-Achse \(A_2\).
Schauen wir uns zunächst an, welchen Integralwert die beiden Bereiche liefern.
Jetzt sehen wir auch, was passiert: Die beiden Bereiche \(A_1\) und \(A_2\) sind gleich groß. \(A_2\) liegt oberhalb der \(x\)-Achse und liefert einen positiven Integralwert. \(A_1\) liegt unterhalb der \(x\)-Achse und liefert einen negativen Integralwert.
Betrachten wir beide wieder gemeinsam über das gesamte Intervall, heben sich die beiden Werte gegenseitig auf:
Für die Fläche dürfen sie sich nicht aufheben
Für den Flächeninhalt darf \(A_1\) jetzt nicht negativ bleiben. Deshalb nehmen wir für die Fläche unterhalb der \(x\)-Achse den Betrag.
\(A_2\) liegt oberhalb der \(x\)-Achse. Ihr Integralwert ist bereits positiv und kann deshalb direkt als Flächeninhalt übernommen werden.
Jetzt haben wir wirklich zwei Flächeninhalte. Für die gesamte Fläche müssen wir sie nur noch addieren:
Schau zum Schluss immer genau hin, was in der Aufgabe gefragt ist.
Rechne über das gesamte Intervall. Das Ergebnis ist eine Bilanz der Integralwerte oberhalb und unterhalb der \(x\)-Achse.
Prüfe zuerst, ob der Graph innerhalb des Intervalls die \(x\)-Achse schneidet.
Dann an den Nullstellen aufteilen, die Teilflächen berechnen, Beträge bilden und anschließend addieren.
Integralrechnung? Wir bringen Struktur.
Mathe macht Druck? Wir bringen Struktur.
Dein fester Tutor geht Integrale und Flächen mit dir Schritt für Schritt durch.
Mathe-Nachhilfe online mit festem Tutor und Crashkurs vor jedem Test.
Mehr dazu
Weiterführende Informationen
Warum sagen wir „eine Stammfunktion“?
Vielleicht ist dir aufgefallen, dass wir immer von einer Stammfunktion sprechen – und nicht von der Stammfunktion.
Um zu verstehen, warum das so ist, musst du zuerst verstehen, wie Funktion und Stammfunktion zusammenhängen. Sie sind in einem Kreislauf miteinander verbunden.
Aufleiten und wieder ableiten
Nehmen wir einmal die Funktion
und leiten sie wie gewohnt auf.
Jetzt gehen wir den Weg zurück und leiten \(F\) wieder ab:
Was passiert mit einer zusätzlichen Zahl?
Was passiert, wenn wir statt \(x^2\) diese Funktion ableiten?
Auch hier entsteht wieder unsere Ausgangsfunktion. Probieren wir noch eine:
Und wieder erhalten wir genau dieselbe Funktion. Das ist kein Zufall.
Beim Ableiten fallen Konstanten weg. Deshalb hat jede Funktion, die eine Stammfunktion besitzt, unendlich viele Stammfunktionen.
Dabei steht \(C\) für eine beliebige Konstante.
Welche Stammfunktion nehmen wir?
Beim Berechnen eines bestimmten Integrals könnten wir grundsätzlich jede dieser Stammfunktionen verwenden. In der Praxis nehmen wir aber einfach die einfachste Stammfunktion – also ohne \(+C\) am Ende.
Das funktioniert, weil sich die Konstante beim Einsetzen der Grenzen sowieso wieder aufhebt:
Warum heißt es eigentlich „bestimmtes Integral“?
