Definitionsmenge

Die Definitionsmenge enthält alle Zahlen, die du für \(x\) einsetzen darfst. Entscheidend ist also: Welche Werte verbieten dir die Rechenregeln?

Warum überhaupt etwas verboten sein kann, siehst du direkt an diesem Beispiel:

Beispiel

\( f(x)=\frac{4}{x-3} \)

Gib einmal \(\frac{4}{0}\) in deinen Taschenrechner ein. Du bekommst eine Fehlermeldung. Warum? Durch \(0\) darfst du nicht teilen.

Genau das würde bei unserer Funktion passieren, wenn du \(x=3\) einsetzt: Der Nenner wäre dann \(0\).

Die \(3\) darf hier nicht eingesetzt werden und gehört deshalb nicht zur Definitionsmenge.

\(D=\mathbb{R}\setminus\{3\}\)

Schnellübersicht

Wann sind Werte verboten?

Nicht bei jeder Funktion musst du überhaupt etwas ausschließen. Wir geben dir hier schonmal eine schnelle Übersicht:

Ganzrationale Funktion	keine Einschränkung
Bruch	Nenner \( \neq 0 \)
Quadratwurzel	unter der Wurzel \( \geq 0 \)
\(\ln\)	im Logarithmus \(>0\)
\(e\)-Funktion	keine Einschränkung

Merke

Definitionsmenge bestimmen heißt: Finde die Werte, die du für \(x\) nicht einsetzen darfst, und schließe sie aus.

Inhaltsverzeichnis

Das erwartet Dich

Wie berechne ich die erlaubten Werte?

Wie schreibt man eine Definitionsmenge auf?

Was ist, wenn mehrere Regeln gleichzeitig gelten?

Definitionsmenge oder Wertemenge

Die Definitionsmenge enthält alle Zahlen, die du für \(x\) einsetzen darfst. Entscheidend ist also: Welche Werte verbieten dir die Rechenregeln?

Warum überhaupt etwas verboten sein kann, siehst du direkt an diesem Beispiel:

Beispiel

\( f(x)=\frac{4}{x-3} \)

Gib einmal \(\frac{4}{0}\) in deinen Taschenrechner ein. Du bekommst eine Fehlermeldung. Warum? Durch \(0\) darfst du nicht teilen.

Genau das würde bei unserer Funktion passieren, wenn du \(x=3\) einsetzt: Der Nenner wäre dann \(0\).

Die \(3\) darf hier nicht eingesetzt werden und gehört deshalb nicht zur Definitionsmenge.

\(D=\mathbb{R}\setminus\{3\}\)

Schnellübersicht

Wann sind Werte verboten?

Nicht bei jeder Funktion musst du überhaupt etwas ausschließen. Wir geben dir hier schonmal eine schnelle Übersicht:

Ganzrationale Funktion	keine Einschränkung
Bruch	Nenner \( \neq 0 \)
Quadratwurzel	unter der Wurzel \( \geq 0 \)
\(\ln\)	im Logarithmus \(>0\)
\(e\)-Funktion	keine Einschränkung

Merke

Definitionsmenge bestimmen heißt: Finde die Werte, die du für \(x\) nicht einsetzen darfst, und schließe sie aus.

Wie berechne ich die erlaubten Werte?

Gibt es bei einer Funktion eine Einschränkung, musst du herausfinden, für welche Werte von \(x\) die Rechenregel erfüllt ist. Wie du das berechnest, hängt von der Funktion ab.

Nenner ungleich Null

Brüche

Bei einem Bruch darf der Nenner niemals \(0\) werden. Schauen wir uns ein Beispiel an:

\( f(x)=\dfrac{5}{x^2-4} \)

Welche Werte sind hier verboten?
Es sind die Werte, bei denen der Nenner \(0\) werden würde, also suchen wir genau diese Werte. Wir setzen den Nenner gleich \(0\):

\( x^2-4=0 \)

\( x^2=4 \)

\( x_1=-2 \qquad x_2=2 \)

Bei \(x=-2\) und \(x=2\) wird der Nenner \(0\). Genau diese beiden Werte dürfen wir nicht einsetzen.

\( D=\mathbb{R}\setminus\{-2;2\} \)

Definitionsmenge bei Brüchen

Setze den Nenner gleich \(0\). Alle Lösungen musst du aus der Definitionsmenge ausschließen.

Positiv und Null

Quadratwurzeln

Bei einer Quadratwurzel gilt eine andere Regel: Unter der Wurzel darf keine negative Zahl stehen. Der Ausdruck unter der Wurzel muss also mindestens \(0\) sein.

\( f(x)=\sqrt{2x-6} \)

Deshalb setzen wir den Ausdruck unter der Wurzel größer oder gleich \(0\) und lösen die Ungleichung:

\( 2x-6\geq 0 \)

\( 2x\geq 6 \)

\( x\geq 3 \)

Wir dürfen also \(3\) und jede Zahl, die größer ist, für \(x\) einsetzen.

\( D=[3;\infty) \)

Definitionsmenge bei Wurzeln

Setze den Ausdruck unter der Wurzel größer oder gleich \(0\) und löse die Ungleichung.

Immer positiv

Logarithmen

Beim natürlichen Logarithmus darf im Logarithmus nur eine positive Zahl stehen. Anders als bei der Wurzel ist \(0\) hier also nicht erlaubt.

\( f(x)=\ln(x+4) \)

Deshalb muss der Ausdruck im Logarithmus größer als \(0\) sein:

\( x+4>0 \)

\( x>-4 \)

\(-4\) selbst ist nicht erlaubt. Erlaubt sind nur alle Zahlen, die größer als \(-4\) sind.

\( D=(-4;\infty) \)

Definitionsmenge bei Logarithmen

Setze den Ausdruck im Logarithmus größer als \(0\) und löse die Ungleichung.

Nichts zu rechnen

Ganzrationale und e-Funktionen

Nicht jede Funktion schränkt die möglichen Werte für \(x\) ein. Bei ganzrationalen Funktionen und \(e\)-Funktionen darfst du jede reelle Zahl einsetzen.

\( D=\mathbb{R} \)

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Wie schreibt man eine Definitionsmenge auf?

Für die Definitionsmenge gibt es verschiedene Schreibweisen und ein paar Zeichen, die du kennen solltest.

Am einfachsten ist es, wenn jede reelle Zahl erlaubt ist. Dann schreiben wir:

\( D=\mathbb{R} \)

Lies: „Die Definitionsmenge sind alle reellen Zahlen.“

\(D\) steht für Definitionsmenge. \(\mathbb{R}\) ist die Menge aller reellen Zahlen. Ganz einfach gesagt sind das alle Zahlen, die du im Laufe deiner Schulzeit kennenlernst. Dazu gehören zum Beispiel:

\(-5\) ; \(0\) ; \(2{,}7\) ; \(\dfrac12\) ; \(\sqrt{2}\)

Viele seltsame Zeichen

Mengenschreibweise

Erinnern wir uns an unser Beispiel mit der Quadratwurzel. Dort hatten wir berechnet:

\( x\geq3 \)

Für \(x\) sind also \(3\) und alle größeren reellen Zahlen erlaubt. Als Definitionsmenge können wir das so schreiben:

\( D=\{x\in\mathbb{R}\mid x\geq3\} \)

Sieht komplizierter aus, als es ist. Zerlegen wir die Schreibweise in ihre einzelnen Bestandteile:

\(D\)	die Definitionsmenge
\(\{\,\ldots\,\}\)	alles innerhalb der Klammern gehört zur beschriebenen Menge
\(x\in\mathbb{R}\)	\(x\) ist eine reelle Zahl
\(\mid\)	für die gilt
\(x\geq3\)	\(x\) ist größer oder gleich \(3\)

So liest du die Menge

\( D=\{x\in\mathbb{R}\mid x\geq3\} \)

Lies: „Die Definitionsmenge enthält alle reellen Zahlen \(x\), für die gilt: \(x\) ist größer oder gleich \(3\).“

Intervallschreibweise

Die gleiche Menge – kürzer geschrieben

Einen zusammenhängenden Bereich von Zahlen kannst du auch als Intervall schreiben. Bei \(x\geq3\) sind \(3\) und alle größeren Zahlen erlaubt – das sieht als Intervall so aus:

\(D=[3;\infty[\)

Lies: „Die Definitionsmenge geht von \(3\) bis unendlich – die \(3\) gehört dazu.“

An der Klammer eines Intervalls erkennst du, ob der Randwert noch zur Menge gehört oder nicht.

Gehört dazu

\( x\geq3 \)

\( D= {\textcolor{green}{[}}3;\infty[ \)

Die \(3\) gehört zur Definitionsmenge.

Gehört nicht dazu

\( x>3 \)

\( D= {\textcolor{red}{]}}3;\infty[ \)

Die \(3\) gehört nicht zur Definitionsmenge.

Werte ausschließen

Wie schreibt man „alle außer“?

Bei unserem Bruchbeispiel waren nur zwei Zahlen verboten: \(x=-2\) und \(x=2\). Alle anderen reellen Zahlen dürfen eingesetzt werden.

\( D=\mathbb{R}\setminus\{-2;2\} \)

Auch diese Schreibweise können wir Stück für Stück lesen:

\(\mathbb{R}\)	alle reellen Zahlen
\(\setminus\)	ohne / außer
\(\{-2;2\}\)	die beiden Zahlen \(-2\) und \(2\)

So liest du die Menge

\( D=\mathbb{R}\setminus\{-2;2\} \)

Lies: „Die Definitionsmenge sind alle reellen Zahlen außer \(-2\) und \(2\).“

Welche Schreibweise du für die Definitionsmenge verwendest, hängt davon ab, welche Werte erlaubt sind. Je nach Funktion und berechnetem Definitionsbereich ist eine andere Schreibweise besonders praktisch.

Alle Zahlen sind erlaubt	\(D=\mathbb{R}\)
Einzelne Werte sind ausgeschlossen	\(D=\mathbb{R}\setminus\{-2;2\}\)
Ein ganzer Bereich ist erlaubt	\(D=[3;\infty[\)
Die erlaubten Werte erfüllen eine Bedingung	\(D=\{x\in\mathbb{R}\mid x\geq3\}\)

Es gibt also nicht nur eine richtige Schreibweise: Wähle die Form, die deinen berechneten Definitionsbereich am einfachsten beschreibt.

Wichtige Symbole

Die Zeichen auf einen Blick

Die wichtigsten Zeichen hast du jetzt schon benutzt. Hier findest du sie noch einmal zum Nachschlagen:

Zeichen	Gelesen als	Bedeutung
\(\mathbb{R}\)	reelle Zahlen	alle Zahlen auf dem Zahlenstrahl
\(\in\)	ist Element von	gehört zu einer Menge
\(\notin\)	ist kein Element von	gehört nicht zu einer Menge
\(\mid\)	für die gilt	leitet eine Bedingung ein
\(\setminus\)	ohne / außer	schließt Werte aus einer Menge aus
\(\{\,\ldots\,\}\)	Menge	fasst die Elemente einer Menge zusammen
\(\infty\)	unendlich	der Zahlenbereich geht unbegrenzt weiter

Kurzschreibweisen

Noch mehr Abkürzungen

Manchmal wird nur ein bestimmter Teil der reellen Zahlen gebraucht. Dafür gibt es diese Kurzschreibweisen:

Schreibweise	Bedeutung	Als Bereich
\(\mathbb{R}^+\)	positive reelle Zahlen	\(x>0\)
\(\mathbb{R}_0^+\)	positive reelle Zahlen und \(0\)	\(x\geq0\)
\(\mathbb{R}^-\)	negative reelle Zahlen	\(x \lt 0\)
\(\mathbb{R}_0^-\)	negative reelle Zahlen und \(0\)	\(x\leq0\)

Die kleine \(0\) verrät dir also: Die \(0\) gehört zur Menge dazu.

Was ist, wenn mehrere Regeln gleichzeitig gelten?

In einer Funktion können auch mehrere Rechenregeln gleichzeitig eine Rolle spielen. Dann müssen alle Regeln erfüllt sein, damit ein Wert für \(x\) zur Definitionsmenge gehört.

Schauen wir uns eine Funktion an, bei der eine Wurzel im Nenner steht:

\( f(x)=\dfrac{4}{\sqrt{x-2}} \)

Hier müssen wir gleich zwei Regeln beachten:

Quadratwurzel

\( x-2\geq0 \)

Unter einer Quadratwurzel darf keine negative Zahl stehen.

Nenner

\( \sqrt{x-2}\neq0 \)

Ein Nenner darf niemals \(0\) werden.

Für die Wurzel allein wäre \(0\) noch erlaubt. Weil die Wurzel hier aber im Nenner steht, darf sie aber nicht \(0\) werden. Deshalb muss der Ausdruck unter der Wurzel in diesem Fall größer als \(0\) sein:

\( x-2>0 \)

\( x>2 \)

Die \(2\) selbst ist nicht erlaubt: Bei \(x=2\) wäre \(\sqrt{x-2}=0\) und damit der Nenner \(0\).

\( D=]2;\infty[ \)

Mehrere Regeln

Gibt es mehrere Einschränkungen, musst du alle Rechenregeln gleichzeitig beachten. Zur Definitionsmenge gehören nur die Werte, die alle Bedingungen erfüllen.

Wenn mehrere Regeln zusammenkommen, wird es schnell unübersichtlich. Dein Tutor sortiert es mit dir.

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Definitionsmenge oder Wertemenge

Neben der Definitionsmenge \(D\) begegnet dir häufig auch die Wertemenge \(W\). Der Unterschied ist einfach: Die Definitionsmenge sagt, was du für \(x\) einsetzen darfst. Die Wertemenge sagt, welche Ergebnisse für \(f(x)\) herauskommen können.

Schauen wir uns dafür die Funktion

\( f(x)=x^2 \)

an. Für \(x\) dürfen wir hier jede reelle Zahl einsetzen. Die Definitionsmenge ist also:

\( D=\mathbb{R} \)

Bei den Ergebnissen sieht es anders aus. Egal, welche Zahl wir quadrieren: Das Ergebnis kann niemals negativ sein.

\( (-2)^2=4 \)

\( 0^2=0 \)

\( 3^2=9 \)

Für \(f(x)\) können deshalb nur \(0\) und positive Zahlen herauskommen. Die Wertemenge ist:

\( W=[0;\infty[ \)

D oder W?

Definitionsmenge \(D\): Was darf ich für \(x\) einsetzen?
Wertemenge \(W\): Was kann für \(f(x)\) herauskommen?

Kurz gesagt: \(D\) geht in die Funktion hinein – \(W\) kommt aus der Funktion heraus.

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Übungen

Aufgabe 1

Bestimme die Definitionsmenge der Funktion.

\( f(x)=\dfrac{6}{x^2-9} \)

✗ Falsch

✓ Richtig

✗ Falsch

Lösung

Lösung 1

Bei einem Bruch darf der Nenner nicht \(0\) werden. Wir suchen deshalb die Werte, bei denen genau das passieren würde.

\( x^2-9=0 \)

\( x^2=9 \)

\( x_1=-3 \qquad x_2=3 \)

Beide Werte müssen ausgeschlossen werden.

      \(
      D=\mathbb{R}\setminus\{-3;3\}
      \)
    

Aufgabe 2

Bestimme die Definitionsmenge.

\( f(x)=\sqrt{3x-12} \)

Überlege zuerst: Welche Zahlen dürfen unter einer Quadratwurzel stehen?

Lösung

Lösung 2

Unter der Quadratwurzel darf keine negative Zahl stehen. Deshalb muss der Ausdruck unter der Wurzel größer oder gleich \(0\) sein.

\( 3x-12\geq0 \)

\( 3x\geq12 \)

\( x\geq4 \)

\(4\) selbst ist erlaubt, deshalb gehört der Randwert zur Menge.

      \(
      D=[4;\infty[
      \)
    

Aufgabe 3

Bestimme die Definitionsmenge.

\( f(x)=\ln(2x+6) \)

✗ Falsch

✓ Richtig

✗ Falsch

Lösung

Lösung 3

Im Logarithmus muss eine positive Zahl stehen. Der Ausdruck muss deshalb wirklich größer als \(0\) sein.

\( 2x+6>0 \)

\( 2x>-6 \)

\( x>-3 \)

Achtung: \(x=-3\) ist nicht erlaubt, denn dann würde im Logarithmus \(0\) stehen.

      \(
      D=]-3;\infty[
      \)
    

Aufgabe 4

Hier treffen zwei Regeln aufeinander. Bestimme die Definitionsmenge.

\( f(x)=\dfrac{5}{\sqrt{x-2}} \)

Der Ausdruck \(x-2\) steht unter einer Wurzel – und die Wurzel steht gleichzeitig im Nenner. Welche beiden Regeln gelten deshalb?

Lösung

Lösung 4

Unter einer Quadratwurzel darf normalerweise \(0\) stehen. Hier steht die Wurzel aber im Nenner. Deshalb darf sie selbst nicht \(0\) werden.

\( x-2>0 \)

\( x>2 \)

Genau hier steckt die Falle: Bei einer normalen Wurzel wäre \(x=2\) erlaubt. Durch den Nenner ist dieser Wert hier ausgeschlossen.

      \(
      D=]2;\infty[
      \)
    

Aufgabe 5

Bestimme die Definitionsmenge der Funktion.

\( f(x)=\sqrt{x^2-16} \)

Unter der Wurzel muss gelten: \( x^2-16\geq0 \). Überlege danach, für welche positiven und negativen Werte das Quadrat mindestens \(16\) ist.

Lösung

Lösung 5

Der Ausdruck unter der Wurzel muss größer oder gleich \(0\) sein.

\( x^2-16\geq0 \)

\( x^2\geq16 \)

\( x\leq-4 \qquad\text{oder}\qquad x\geq4 \)

Zwischen \(-4\) und \(4\) ist der Ausdruck unter der Wurzel negativ. Erlaubt sind deshalb die beiden äußeren Bereiche.

      \(
      D=]-\infty;-4]\cup[4;\infty[
      \)
    

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in unseren FAQs

Kann ich prüfen, ob ein bestimmter Wert zur Definitionsmenge gehört?

Ja. Wenn du nur wissen möchtest, ob ein einzelner Wert erlaubt ist, musst du nicht unbedingt die gesamte Definitionsmenge bestimmen. Setze den Wert in die Funktion ein und prüfe, ob die Rechnung möglich ist.

\( f(x)=\dfrac{4}{x-5} \)

\( x=5 \quad\rightarrow\quad f(5)=\dfrac{4}{5-5} \)

\( f(5)=\dfrac{4}{0} \)

Durch \(0\) darf nicht geteilt werden. Deshalb gehört \(x=5\) nicht zur Definitionsmenge.

Das ist besonders praktisch, wenn eine Aufgabe nur fragt, ob ein bestimmter Wert eingesetzt werden darf.

Kann eine Funktion mehrere Einschränkungen gleichzeitig haben?

Ja. Enthält eine Funktion mehrere kritische Stellen, musst du alle Bedingungen gleichzeitig beachten.

\( f(x)=\dfrac{\sqrt{x-1}}{x-4} \)

Die Wurzel verlangt:

\( x-1\geq0 \)

\( x\geq1 \)

Der Nenner verlangt zusätzlich:

\( x-4\neq0 \)

\( x\neq4 \)

Es reicht nicht, nur eine der beiden Bedingungen zu erfüllen: Erlaubt sind alle Werte ab \(1\) – außer \(4\).

\( D=[1;4[\;\cup\;]4;\infty[ \)

Kann die Definitionsmenge leer sein?

Ja. Es kann passieren, dass kein einziger reeller Wert eingesetzt werden darf.

\( f(x)=\sqrt{-x^2-1} \)

Unter einer Quadratwurzel muss der Ausdruck mindestens \(0\) sein:

\( -x^2-1\geq0 \)

\( -x^2\geq1 \)

\( x^2\leq-1 \)

Das ist für keine reelle Zahl möglich, denn ein Quadrat kann niemals negativ sein.

\( D=\varnothing \)

Das Zeichen \(\varnothing\) steht für die leere Menge: Es gibt keinen erlaubten Wert für \(x\).

Kann die Definitionsmenge aus mehreren getrennten Bereichen bestehen?

Ja. Die erlaubten Werte müssen nicht immer einen einzigen zusammenhängenden Bereich bilden.

\( f(x)=\sqrt{x^2-9} \)

Für die Wurzel muss gelten:

\( x^2-9\geq0 \)

\( x^2\geq9 \)

\( x\leq-3 \qquad\text{oder}\qquad x\geq3 \)

Damit entstehen zwei getrennte Bereiche:

\( D=]-\infty;-3]\;\cup\;[3;\infty[ \)

Das Zeichen \(\cup\) bedeutet Vereinigung. Hier gehören also der linke oder der rechte Bereich zur Definitionsmenge.

Kann ich die Definitionsmenge am Graphen erkennen?

Ja. Am Graphen kannst du die Definitionsmenge daran erkennen, für welche \(x\)-Werte überhaupt Punkte des Graphen vorhanden sind.

Stell dir dazu vor, du schaust nur auf die \(x\)-Achse: Überall dort, wo sich über oder unter einem \(x\)-Wert ein Punkt des Graphen befindet, gehört dieser \(x\)-Wert zur Definitionsmenge.

Vereinfacht gesagt: Die Definitionsmenge beschreibt, wie weit sich der Graph von links nach rechts erstreckt.

Eine Lücke im Graphen kann deshalb auf einen ausgeschlossenen \(x\)-Wert hinweisen. Bei einer Wurzelfunktion kann der Graph dagegen beispielsweise erst ab einem bestimmten \(x\)-Wert beginnen.

Warum sieht die Definitionsmenge des Tangens so kompliziert aus?

Zahlenmengen vertehen

Natürliche Zahlen, ganze Zahlen, Brüche, Kommazahlen: Seit der 5. und 6. Klasse lernst du immer neue Arten von Zahlen kennen. Diese werden in Zahlenmengen zusammengefasst und mit Symbolen wie \(\mathbb N\), \(\mathbb Z\), \(\mathbb Q\) und \(\mathbb R\) abgekürzt.

Schauen wir sie uns noch einmal der Reihe nach an. Dabei wird die Zahlenmenge immer größer.

Menge	Name	Beispiele
\(\mathbb N\)	natürliche Zahlen	\(1,\;2,\;3\)
\(\mathbb N_0\)	natürliche Zahlen mit \(0\)	\(0,\;1,\;2\)
\(\mathbb Z\)	ganze Zahlen	\(-2,\;-1,\;0,\;1\)
\(\mathbb Q\)	rationale Zahlen	\(-3,\;\dfrac12,\;0{,}7,\;4\)
\(\mathbb R\)	reelle Zahlen	\(-5,\;\dfrac23,\;\sqrt2,\;\pi\)

Je weiter wir gehen, desto mehr Zahlen kommen dazu: Jede natürliche Zahl ist auch ganz, rational und reell.

Von Menge zu Menge

Was kommt jeweils dazu?

Am einfachsten verstehst du die Zahlenmengen, wenn du dir anschaust, welche neuen Zahlen jeweils dazukommen.

Bei den natürlichen Zahlen beginnen wir mit den Zahlen, die wir zum Zählen benutzen: \(1,2,3,4,\ldots\)

Bei den ganzen Zahlen kommen \(0\) und die negativen Zahlen dazu: \(\ldots,-2,-1,0,1,2,\ldots\)

Bei den rationalen Zahlen kommen Zahlen dazu, die sich als Bruch aus ganzen Zahlen schreiben lassen, zum Beispiel \(\frac12\), \(-\frac34\) oder \(1{,}25\).

Bei den reellen Zahlen kommen schließlich auch Zahlen wie \(\sqrt2\) und \(\pi\) dazu, die endlos viele Nullstellen haben.

Die reellen Zahlen \(\mathbb{R}\) vereinen damit alle vorangegangenen Zahlenmengen: Dazu gehören die natürlichen Zahlen, die ganzen Zahlen, die rationalen Zahlen und zusätzlich die irrationalen Zahlen wie \(\sqrt{2}\) oder \(\pi\).

\( \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \)

Jede natürliche Zahl ist also auch eine ganze, rationale und reelle Zahl. Andersherum gilt das nicht.

Noch zwei wichtige Begriffe

Rational oder irrational?

Bei den reellen Zahlen gibt es noch eine wichtige Unterscheidung. Manche Zahlen lassen sich als Bruch schreiben – andere nicht.

Rational

\( \dfrac13=0{,}3333\ldots \qquad \dfrac34=0{,}75 \)

Lassen sich als Bruch schreiben. Ihre Dezimalzahl endet oder wiederholt sich periodisch.

Irrational

\( \sqrt2=1{,}414213\ldots \quad \pi=3{,}141592\ldots \)

Lassen sich nicht als Bruch schreiben. Ihre Nachkommastellen gehen unendlich weiter, ohne sich regelmäßig zu wiederholen.

Nicht verwechseln: rational und reell klingen ähnlich, bedeuten aber nicht dasselbe. Rationale Zahlen sind nur ein Teil der reellen Zahlen – zu den reellen Zahlen gehören auch die irrationalen Zahlen.

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Wie berechne ich die erlaubten Werte?

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Weiterführende Informationen

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