Stammfunktionen bilden: Aufleiten Schritt für Schritt erklärt

Auf einen Blick

Stammfunktionen bilden: Ableiten rückwärts

Die Stammfunktion einer Potenzfunktion bildest du so:
Erhöhe den Exponenten um 1 und teile durch den neuen Exponenten. Versuchen wir es doch einfach mal:

\(f(x)=6x^{\textcolor{orange}{2}}\).

Welche Funktion muss ich ableiten, um \(6x^2\) zu bekommen? Genau diese Funktion suchen wir – eine Stammfunktion. Wir denken das Ableiten rückwärts.

Wir nehmen die Potenz und erhöhen den Exponenten um 1.	\(x^{\textcolor{orange}{2}\textcolor{orangered}{+1}}=x^{\textcolor{steelblue}{3}}\)
Wir multiplizieren mit 1 durch den neuen Exponenten.	\(\textcolor{steelblue}{\dfrac{1}{3}}\cdot6x^{\textcolor{steelblue}{3}}\)
Wir fassen zusammen und erhalten eine Stammfunktion.	\(F(x)=2x^3\)

Die Konstante C

Eine Stammfunktion:\(\; F(x)=2x^3\)

Alle Stammfunktionen: \(\;F(x)=2x^3+C\)

Beim Ableiten fällt jede Zahl weg, die wir addieren. Deshalb passt hier jede Zahl – dafür schreiben wir \(C\).

Wie das bei mehreren Termen, Brüchen und Wurzeln funktioniert, schauen wir uns im Beitrag an.

Stammfunktion allgemein

\(f(x)=x^{\textcolor{orange}{n}}\)

\(F(x)= \textcolor{steelblue}{\dfrac{1}{n+1}}\cdot x^{\textcolor{steelblue}{n+1}}+C\)

So merkst du dir den Rechenweg:

Exponent um 1 erhöhen.
Mit 1 durch den neuen Exponenten multiplizieren.

Ausnahme: Für \(n=-1\) gilt diese Regel nicht. Du würdest durch null dividieren.

Inhaltsverzeichnis

Das erwartet Dich

Grundregeln - Summen, Faktoren und Konstanten aufleiten

Brüche und Wurzeln aufleiten

Verkettete Funktionen aufleiten

Die e-Funktion eine besondere Verkettung

Auf einen Blick

Stammfunktionen bilden: Ableiten rückwärts

Die Stammfunktion einer Potenzfunktion bildest du so:
Erhöhe den Exponenten um 1 und teile durch den neuen Exponenten. Versuchen wir es doch einfach mal:

\(f(x)=6x^{\textcolor{orange}{2}}\).

Welche Funktion muss ich ableiten, um \(6x^2\) zu bekommen? Genau diese Funktion suchen wir – eine Stammfunktion. Wir denken das Ableiten rückwärts.

Wir nehmen die Potenz und erhöhen den Exponenten um 1.	\(x^{\textcolor{orange}{2}\textcolor{orangered}{+1}}=x^{\textcolor{steelblue}{3}}\)
Wir multiplizieren mit 1 durch den neuen Exponenten.	\(\textcolor{steelblue}{\dfrac{1}{3}}\cdot6x^{\textcolor{steelblue}{3}}\)
Wir fassen zusammen und erhalten eine Stammfunktion.	\(F(x)=2x^3\)

Die Konstante C

Eine Stammfunktion:\(\; F(x)=2x^3\)

Alle Stammfunktionen: \(\;F(x)=2x^3+C\)

Beim Ableiten fällt jede Zahl weg, die wir addieren. Deshalb passt hier jede Zahl – dafür schreiben wir \(C\).

Wie das bei mehreren Termen, Brüchen und Wurzeln funktioniert, schauen wir uns im Beitrag an.

Stammfunktion allgemein

\(f(x)=x^{\textcolor{orange}{n}}\)

\(F(x)= \textcolor{steelblue}{\dfrac{1}{n+1}}\cdot x^{\textcolor{steelblue}{n+1}}+C\)

So merkst du dir den Rechenweg:

Exponent um 1 erhöhen.
Mit 1 durch den neuen Exponenten multiplizieren.

Ausnahme: Für \(n=-1\) gilt diese Regel nicht. Du würdest durch null dividieren.

Grundregeln - Summen, Faktoren und Konstanten aufleiten

Hast du eine Funktion mit mehreren Summanden, leitest du jeden für sich auf. Ganz genau so, wie du es bereits gelernt hast.

\( \begin{array}{rccc} & \begin{gathered}\textsf{1.}\\\textsf{Summand}\end{gathered} & \begin{gathered}\textsf{2.}\\\textsf{Summand}\end{gathered} & \begin{gathered}\textsf{3.}\\\textsf{Summand}\end{gathered} \\[0.5em] f(x)= & \textcolor{orange}{3x^2} & -\;\textcolor{orange}{4x} & +\;\textcolor{orange}{5} \\[0.3em] & \textcolor{steelblue}{\downarrow} & \textcolor{steelblue}{\downarrow} & \textcolor{steelblue}{\downarrow} \\[0.3em] & \textcolor{steelblue}{\dfrac{1}{3}}\cdot3x^{\textcolor{steelblue}{3}} & -\;\textcolor{steelblue}{\dfrac{1}{2}}\cdot4x^{\textcolor{steelblue}{2}} & +\;5\cdot\textcolor{steelblue}{x} \\[0.3em] & \textcolor{steelblue}{\downarrow} & \textcolor{steelblue}{\downarrow} & \textcolor{steelblue}{\downarrow} \\[0.3em] F(x)= & \textcolor{steelblue}{x^3} & -\;\textcolor{steelblue}{2x^2} & +\;\textcolor{steelblue}{5x} \end{array} \)

Jeden Summanden einzeln aufleiten – das Vorzeichen bleibt erhalten.

Aufleiten sieht nach viel aus. Deshalb lernen unsere Schüler vier einfache Schritte, mit denen sie die Rechnung Stück für Stück lösen.

Exponent um 1 erhöhen

Zum alten Exponenten rechnen wir 1 dazu. So erhalten wir den neuen Exponenten.

\(x^{\textcolor{orange}{2}} \;\rightarrow\;x^{\textcolor{orange}{2}\textcolor{orangered}{+1}} \;\rightarrow\;x^{\textcolor{steelblue}{3}}\)

Steht kein Exponent dabei, ist er 1:

\(x=x^{\textcolor{orange}{1}} \;\rightarrow\;x^{\textcolor{orange}{1}\textcolor{orangered}{+1}} \;\rightarrow\;x^{\textcolor{steelblue}{2}}\)

Faktoren wandern mit

Die Zahl vor der Potenz bleibt als Faktor erhalten.

\(\textcolor{orange}{4}x\;\rightarrow\;\dfrac{1}{2}\cdot\textcolor{orange}{4}x^2=2x^2\)

Multiplizieren oder teilen

Wie bisher multiplizieren wir mit 1 durch den neuen Exponenten.

\(\textcolor{steelblue}{\dfrac{1}{2}}\cdot\textcolor{orange}{4}x^2\)

Hier steht der Faktor 4. Deshalb können wir die 4 durch den neuen Exponenten teilen:

\(\textcolor{steelblue}{\dfrac{1}{2}}\cdot\textcolor{orange}{4}x^2 =\dfrac{\textcolor{orange}{4}}{\textcolor{steelblue}{2}}x^2 =2x^2\)

Konstanten bekommen ein x

Eine Zahl ohne \(x\) bekommt ein \(x\). Denn beim Ableiten fällt das \(x\) wieder weg – die Zahl bleibt.

\(5\;\rightarrow\;5\textcolor{steelblue}{x}\)

Ausgleichen

Warum mit 1 durch den neuen Exponenten multiplizieren?

Aufleiten und Ableiten gehören zusammen: Leiten wir eine Stammfunktion wieder ab, müssen wir genau unsere Ausgangsfunktion zurückbekommen.

Kreislauf zwischen Funktion und Stammfunktion: Aufleiten und Ableiten

Dieser Kreis muss sich schließen. Kommt beim Ableiten ein zusätzlicher Faktor dazu, stimmt das Ergebnis nicht mehr. Deshalb müssen wir ihn beim Aufleiten ausgleichen.

Schauen wir uns am ersten Summanden unseres Beispiels an, was ohne diesen Ausgleich passiert:

\(\textcolor{green}{3x^2}\)

Wir lassen „1 durch den neuen Exponenten“ einmal weg und erhöhen nur den Exponenten:

\(3x^{\textcolor{orange}{2}} \;\rightarrow\;3x^{\textcolor{orange}{2}\textcolor{orangered}{+1}} =3x^{\textcolor{steelblue}{3}}\)

Und jetzt leiten wir das zur Probe ab:

\(3x^{\textcolor{steelblue}{3}} \;\xrightarrow{\text{ableiten}}\; \textcolor{green}{3}\cdot\textcolor{steelblue}{3}\cdot\textcolor{green}{x^2} =9x^2\)

Die 3 ist zu viel. Wegen ihr kommen wir nicht zu unserer Ausgangsfunktion zurück. Wie bekommen wir sie dort weg?

Ausgleichen

Den zusätzlichen Faktor beim Ableiten gleichen wir aus, indem wir ihn durch sich selbst teilen. Denn eine Zahl durch sich selbst ergibt 1 – solange sie nicht null ist:

\(\dfrac{\textcolor{steelblue}{3}}{\textcolor{steelblue}{3}}=1\)

Deshalb setzen wir beim Aufleiten 1 durch den neuen Exponenten davor. Kommt die zusätzliche 3 beim Ableiten dazu, passiert genau das:

\(\dfrac{1}{\textcolor{steelblue}{3}}\cdot \textcolor{green}{3}\cdot\textcolor{steelblue}{3}\cdot\textcolor{green}{x^2}\)

\(=\dfrac{\textcolor{steelblue}{3}}{\textcolor{steelblue}{3}} \cdot\textcolor{green}{3x^2}\)

\(=\textcolor{green}{3x^2}\)

Der zusätzliche Faktor ist ausgeglichen. Übrig bleibt genau unsere Ausgangsfunktion – der Kreis schließt sich.

Brüche und Wurzeln aufleiten

Bei Brüchen und Wurzeln kommt ein Schritt dazu: erst als Potenz umschreiben. Danach leitest du wie gewohnt auf.

Vom Bruch zur Potenz

Steht \(x^{\textcolor{orange}{3}}\) im Nenner, schreiben wir \(x^{\textcolor{orange}{-3}}\).

\(\dfrac{1}{x^{\textcolor{orange}{3}}}=x^{\textcolor{orange}{-3}}\)

Jetzt können wir wie gewohnt die Stammfunktion bilden:

Wir erhöhen den Exponenten um 1.	\(x^{\textcolor{orange}{-3}} \;\rightarrow\;x^{\textcolor{orange}{-3}\textcolor{orangered}{+1}} =x^{\textcolor{steelblue}{-2}}\)
Wir multiplizieren mit 1 durch den neuen Exponenten.	\(F(x)=\textcolor{steelblue}{\dfrac{1}{-2}}\cdot x^{\textcolor{steelblue}{-2}}\)
Wir vereinfachen und schreiben die Potenz wieder als Bruch.	\(F(x)=-\dfrac{1}{2}\cdot x^{-2}\) \(=-\dfrac{1}{2x^2}\)

Von der Wurzel zur Potenz

Eine Quadratwurzel schreiben wir als Potenz mit Exponent \(\frac{1}{2}\).

\(\sqrt{x}=x^{\textcolor{orange}{\frac{1}{2}}}\)

Und wieder sind wir so weit, die Stammfunktion zu bilden:

Wir erhöhen den Exponenten um 1.	\(x^{\textcolor{orange}{\frac{1}{2}}} \;\rightarrow\;x^{\textcolor{orange}{\frac{1}{2}}\textcolor{orangered}{+1}} =x^{\textcolor{steelblue}{\frac{3}{2}}}\)
Wir multiplizieren mit dem Kehrbruch des neuen Exponenten.	\(F(x)=\textcolor{steelblue}{\dfrac{2}{3}}\cdot x^{\textcolor{steelblue}{\frac{3}{2}}}\)

Warum der Kehrbruch?

Wie bisher multiplizieren wir mit 1 durch den neuen Exponenten. Bei \(\textcolor{steelblue}{\frac{3}{2}}\) ergibt das:

\(\dfrac{1}{\textcolor{purple}{\frac{3}{2}}}=1:\textcolor{steelblue}{\dfrac{3}{2}}\)

Durch einen Bruch teilen heißt: mit seinem Kehrbruch multiplizieren. Dafür tauschen wir Zähler und Nenner.

\(1:\textcolor{steelblue}{\dfrac{3}{2}}=1\cdot\textcolor{steelblue}{\dfrac{2}{3}}=\textcolor{steelblue}{\dfrac{2}{3}}\)

Merk dir: Ist der neue Exponent ein Bruch, kannst du direkt mit seinem Kehrbruch multiplizieren.

Ein wichtiger Sonderfall

Was ist die Stammfunktion von 1/x?

Bei dieser Funktion kommen wir mit der Potenzregel nicht weiter:

\(f(x)=\dfrac{1}{x}=x^{\textcolor{orange}{-1}}\)

Schauen wir uns an, warum das so ist – und welche Stammfunktion hier passt.

Wir erhöhen den Exponenten um 1.	\(x^{\textcolor{orange}{-1}} \;\rightarrow\;x^{\textcolor{orange}{-1}\textcolor{orangered}{+1}} =x^{\textcolor{steelblue}{0}}\)
Jetzt multiplizieren wir mit 1 durch den neuen Exponenten.	\(\dfrac{1}{\textcolor{orangered}{0}}\cdot x^{\textcolor{steelblue}{0}}\)
STOPP! Hier steht eine 0 im Nenner. Durch null zu dividieren ist niemals erlaubt.

Eine Stammfunktion gibt es trotzdem. Sie gehört zu denen, die du auswendig lernen musst:

Stammfunktion von 1/x

\(f(x)=\dfrac{1}{x}\)

\(F(x)=\ln|x|\)

Und was machen die Betragsstriche hier?

Der Definitionsbereich muss passen

Unsere Ausgangsfunktion ist auch links von der y-Achse definiert:

\(f(x)=\dfrac{1}{x}\qquad x\neq0\)

Der natürliche Logarithmus allein ist dagegen nur rechts davon definiert:

\(\ln x\qquad x>0\)

Wir können die negativen Werte nicht einfach ausschließen. Sonst hätten wir links von der y-Achse keine Stammfunktion. Deshalb verwenden wir den Betrag:

\(F(x)=\ln|x|\qquad x\neq0\)

Null bleibt ausgeschlossen – bei der Ausgangsfunktion und bei der Stammfunktion.

Verkettete Funktionen aufleiten

Schauen wir zuerst auf den Rechenweg, den du schon kennst:

\(x\)\(^{\textcolor{orange}{3}}\) \(\;\rightarrow\;\textcolor{steelblue}{\dfrac{1}{4}}\cdot\) \(x\)\(^{\textcolor{steelblue}{4}}\)

Exponenten um 1 erhöhen und mit 1 durch den neuen Exponenten multiplizieren.

      Das \(x\) bleibt ein \(x\) – wie ein Fels in der Mitte.
      Um es herum passiert die Rechnung: Exponent erhöhen und ausgleichen.
    

Jetzt nimmt die Klammer den Platz des \(x\) ein. Warum sollte sich also ihr Inhalt jetzt plötzlich verändern? Wir übernehmen sie genauso, wie sie dasteht und wenden unsere Regel an:

\((2x+1)\)\(^{\textcolor{orange}{3}}\) \(\;\rightarrow\;\textcolor{steelblue}{\dfrac{1}{4}}\cdot\) \((2x+1)\)\(^{\textcolor{steelblue}{4}}\)

Das ist die Grundlage, die wir brauchen – noch keine fertige Stammfunktion.

Bilden wir jetzt eine Stammfunktion. Dabei kommt ein Schritt dazu: Wir gleichen auch die innere Ableitung aus.

\(f(x)=(2x+1)^3\)

Wir lassen die Klammer stehen und erhöhen den Exponenten um 1.	\((2x+1)\)\(^{\textcolor{orange}{3}\textcolor{orangered}{+1}} =\) \((2x+1)\)\(^{\textcolor{steelblue}{4}}\)
Wir multiplizieren mit 1 durch den neuen Exponenten.	\(\textcolor{steelblue}{\dfrac{1}{4}}\cdot\) \((2x+1)\)\(^{\textcolor{steelblue}{4}}\)
Wir leiten den Term in der Klammer gesondert ab. Das ist die innere Ableitung.	\(2x+1 \;\xrightarrow{\text{ableiten}}\; \textcolor{green}{2}\)
Wir multiplizieren zusätzlich mit 1 durch die innere Ableitung.	\(F(x)=\textcolor{green}{\dfrac{1}{2}}\cdot \textcolor{steelblue}{\dfrac{1}{4}}\cdot\) \((2x+1)\)\(^{4}\)
Wir fassen die Faktoren zusammen.	\(F(x)=\dfrac{1}{8}(2x+1)^4\)

Warum gleichen wir auch die innere Ableitung aus? Damit sich unser Kreis beim Ableiten wieder schließt.

Auch die innere Ableitung ausgleichen

Diesen Term wollen wir beim Ableiten zurückbekommen:

\(\textcolor{green}{(2x+1)^3}\)

Lassen wir die letzten beiden Schritte vor dem Zusammenfassen weg, passiert beim Ableiten Folgendes:

\(\dfrac{1}{4}(2x+1)^4\)

\(\downarrow\;\textsf{ableiten}\)

\(\dfrac{1}{4}\cdot4\cdot\textcolor{green}{(2x+1)^3}\cdot\textcolor{steelblue}{2}\)

\(=\textcolor{green}{(2x+1)^3}\cdot\textcolor{steelblue}{2}\)

Die 2 ist zu viel. Sie kommt durch die Kettenregel dazu: beim Ableiten wir multiplizieren mit der inneren Ableitung. Also gleichen wir sie genauso aus wie den neuen Exponenten.

\(\textcolor{steelblue}{\dfrac{1}{2}}\cdot \textcolor{green}{(2x+1)^3}\cdot\textcolor{steelblue}{2}\)

\(=\textcolor{steelblue}{\dfrac{2}{2}}\cdot \textcolor{green}{(2x+1)^3}\)

\(=\textcolor{green}{(2x+1)^3}\)

So bleibt genau unsere Ausgangsfunktion übrig. Der Kreis schließt sich.

Achtung: Innere Ableitung prüfen

Unser Rechenweg funktioniert, wenn die innere Ableitung eine feste Zahl ungleich null ist. Prüfen wir das hier:

\(f(x)=(\textcolor{orange}{x^2+4})^2\)

Wir leiten den Term in der Klammer ab:

\(\textcolor{orange}{x^2+4} \;\xrightarrow{\text{ableiten}}\; \textcolor{orangered}{2x}\)

Die innere Ableitung enthält ein \(x\). Unser bisheriger Rechenweg funktioniert hier deshalb nicht. Wir müssen zuerst die Klammer loswerden:

\(f(x)=(\textcolor{orange}{x^2}+4)^2\)

\(=(\textcolor{orange}{x^2})^2+2\cdot\textcolor{orange}{x^2}\cdot4+4^2\)

\(=x^4+8x^2+16\)

Jetzt leiten wir jeden Summanden einzeln auf:

\(F(x)= \textcolor{steelblue}{\dfrac{1}{5}}x^{\textcolor{steelblue}{5}} +\textcolor{steelblue}{\dfrac{1}{3}}\cdot8x^{\textcolor{steelblue}{3}} +16\textcolor{steelblue}{x}\)

\(=\dfrac{1}{5}x^5+\dfrac{8}{3}x^3+16x\)

Das ist eine Stammfunktion. Für alle Stammfunktionen ergänzen wir \(+C\).

Die e-Funktion eine besondere Verkettung

Die Verkettung kennst du schon. Bei der e-Funktion steht der Klammerterm nur an einer anderen Stelle:

einfache Verkettung	\(\textcolor{steelblue}{(}\textcolor{orange}{2x+1}\textcolor{steelblue}{)}^{\textcolor{steelblue}{3}}\)
e-Funktion	\(\textcolor{steelblue}{e}^{\textcolor{orange}{2x+1}}\)

Stell dir den Term kurz neben dem \(e\) vor, dann siehst du die Verkettung sofort:

\(\textcolor{steelblue}{e}\, \textcolor{steelblue}{(}\textcolor{orange}{2x+1}\textcolor{steelblue}{)}\)

Nur als Denkhilfe – das ist keine korrekte Schreibweise für die e-Funktion.

Verkettung erkannt – jetzt geht es wie gewohnt: außen aufleiten und mit 1 durch die innere Ableitung multiplizieren.

Die e-Funktion bleibt stehen

Die e-Funktion verändert sich beim Ableiten nicht, also bleibt sie auch beim Aufleiten unverändert:

\(\textcolor{steelblue}{e}^x \;\xrightarrow{\text{aufleiten}}\; \textcolor{steelblue}{e}^x\)

Einmal e-Funktion, immer e-Funktion.

Damit bilden wir jetzt eine Stammfunktion:

\(f(x)=\textcolor{steelblue}{e}^{\textcolor{orange}{2x+1}}\)

Wir leiten außen auf. Die e-Funktion bleibt samt Exponenten stehen.	\(\textcolor{steelblue}{e}^{\textcolor{orange}{2x+1}} \;\rightarrow\; \textcolor{steelblue}{e}^{\textcolor{orange}{2x+1}}\)
Wir leiten den Term im Exponenten gesondert ab. Das ist die innere Ableitung.	\(\textcolor{orange}{2x+1} \;\xrightarrow{\text{ableiten}}\; \textcolor{green}{2}\)
Wir multiplizieren mit 1 durch die innere Ableitung.	\(F(x)=\textcolor{green}{\dfrac{1}{2}}\cdot \textcolor{steelblue}{e}^{\textcolor{orange}{2x+1}}\)

Die Probe zeigt: Auch hier schließt sich der Kreis.

\(F(x)=\textcolor{green}{\dfrac{1}{2}}\cdot \textcolor{steelblue}{e}^{\textcolor{orange}{2x+1}}\)

\(\downarrow\;\textsf{ableiten}\)

\(F'(x)=\textcolor{green}{\dfrac{1}{2}}\cdot \textcolor{steelblue}{e}^{\textcolor{orange}{2x+1}}\cdot \textcolor{green}{2}\)

\(=\textcolor{green}{\dfrac{2}{2}}\cdot \textcolor{steelblue}{e}^{\textcolor{orange}{2x+1}}\)

\(=\textcolor{steelblue}{e}^{\textcolor{orange}{2x+1}}=f(x)\)

Die innere Ableitung ist ausgeglichen, unsere Ausgangsfunktion bleibt übrig.

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Übungen

Aufgabe 1

Gib alle Stammfunktionen an.

\(f(x)=6x^2-4x+3\)

Leite jeden Summanden einzeln auf. Die Zahl ohne x bekommt ein x. Ergänze am Ende C.

Lösung

Lösung 1

Wir erhöhen bei jedem Potenzterm den Exponenten und teilen den Faktor durch den neuen Exponenten. Die Vorzeichen bleiben erhalten.

\(F(x)= \dfrac{6}{\textcolor{steelblue}{3}}x^{\textcolor{steelblue}{3}} -\dfrac{4}{\textcolor{steelblue}{2}}x^{\textcolor{steelblue}{2}} +3x+C\)

\(=2x^3-2x^2+3x+C\)

Für alle Stammfunktionen gehört einmal \(+C\) dazu.

Aufgabe 2

Du hast eine Stammfunktion gefunden und addierst eine feste Zahl. Ist das Ergebnis wieder eine Stammfunktion derselben Ausgangsfunktion?

✗ Falsch

✓ Richtig

✗ Falsch

Lösung

Lösung 2

Ja. Eine zusätzliche Konstante verändert die Ableitung nicht. Ob die Zahl positiv oder negativ ist, spielt keine Rolle.

\(x^3+\textcolor{steelblue}{7} \;\xrightarrow{\text{ableiten}}\;3x^2\)

\(x^3-\textcolor{steelblue}{5} \;\xrightarrow{\text{ableiten}}\;3x^2\)

Unterschiedliche Stammfunktionen können dieselbe Ableitung haben.

Aufgabe 3

Bilde eine Stammfunktion. Schreibe zuerst beide Summanden als Potenzen.

\(f(x)=\dfrac{4}{x^3}+3\sqrt{x}\)

Wir betrachten positive x-Werte.

Nutze diese beiden Schreibweisen:

\(\dfrac{1}{x^3}=x^{-3}\)

\(\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}\)

Die Faktoren 4 und 3 wandern mit.

Lösung

Lösung 3

Wir schreiben Bruch und Wurzel als Potenzen:

\(f(x)=4x^{\textcolor{orange}{-3}} +3x^{\textcolor{orange}{\frac{1}{2}}}\)

Wir erhöhen beide Exponenten um 1 und multiplizieren mit 1 durch den neuen Exponenten:

\(F(x)=\dfrac{1}{\textcolor{steelblue}{-2}}\cdot4x^{\textcolor{steelblue}{-2}}\)

\(\phantom{F(x)=}+\textcolor{steelblue}{\dfrac{2}{3}}\cdot3x^{\textcolor{steelblue}{\frac{3}{2}}}\)

Beim zweiten Summanden ist der neue Exponent drei Halbe. Wir multiplizieren mit seinem Kehrbruch, also zwei Dritteln.

Jetzt fassen wir zusammen:

\(F(x)=-2x^{-2}+2x^{\frac{3}{2}}\)

\(=-\dfrac{2}{x^2}+2x^{\frac{3}{2}}\)

Erst umschreiben, dann die bekannte Potenzregel anwenden.

Aufgabe 4

Jemand hat so aufgeleitet:

\(f(x)=(3x+1)^3\)

\(F(x)=\dfrac{1}{4}(3x+1)^4\)

Was fehlt noch?

✗ Falsch

✓ Richtig

Lösung

Lösung 4

Der neue Exponent ist schon ausgeglichen. Es fehlt der Ausgleich der inneren Ableitung:

\(3x+1 \;\xrightarrow{\text{ableiten}}\; \textcolor{green}{3}\)

Deshalb multiplizieren wir zusätzlich mit einem Drittel:

\(F(x)=\textcolor{green}{\dfrac{1}{3}}\cdot \dfrac{1}{4}(3x+1)^4\)

\(=\dfrac{1}{12}(3x+1)^4\)

      Die Klammer bleibt stehen.
      Ihre Ableitung wird gesondert bestimmt und ausgeglichen.
    

Aufgabe 5

Bestimme die Stammfunktion, deren Graph durch den angegebenen Punkt geht.

\(f(x)=4e^{2x}\)

\(P(\textcolor{orange}{0}\mid\textcolor{steelblue}{5})\)

Die e-Funktion bleibt stehen. Gleiche die innere Ableitung aus und nimm den Faktor 4 mit.

Ergänze C und setze danach die Punktkoordinaten ein. Dabei hilft:

\(e^0=1\)

Lösung

Lösung 5

Die innere Ableitung ist 2. Wir gleichen sie aus und behalten den Faktor 4 bei:

\(F(x)=\textcolor{green}{\dfrac{1}{2}}\cdot4e^{2x}+C\)

\(=2e^{2x}+C\)

Jetzt setzen wir die Koordinaten des Punktes in die Stammfunktion ein:

\(\textcolor{steelblue}{5}=2e^{2\cdot\textcolor{orange}{0}}+C\)

\(5=2\cdot1+C\)

\(C=3\)

Damit steht die gesuchte Stammfunktion fest:

\(F(x)=2e^{2x}+3\)

Die Punktprobe bestätigt das Ergebnis:

\(F(\textcolor{orange}{0})=2e^0+3=2+3=\textcolor{steelblue}{5}\)

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Wie bestimme ich C, wenn die Stammfunktion durch einen bestimmten Punkt gehen soll?

Du bildest zuerst die Stammfunktion mit C. Dann setzt du die Koordinaten des Punktes ein. Zum Beispiel:

\(f(x)=2x\)

\(F(x)=x^2+C\)

Der Graph der Stammfunktion soll durch diesen Punkt gehen:

\(P(1\mid4)\)

Wir setzen für x die 1 und für den Funktionswert die 4 ein:

\(4=1^2+C\)

\(C=3\)

\(F(x)=x^2+3\)

Der Punkt gehört zum Graphen der Stammfunktion – nicht zum Graphen der Ausgangsfunktion.

Darf ich bei einem Produkt jeden Faktor einzeln aufleiten?

Nein. Summanden einzeln aufleiten funktioniert bei Plus und Minus. Bei einem Produkt darfst du das nicht einfach auf die Faktoren übertragen.

Manchmal kannst du das Produkt zuerst zusammenfassen:

\(f(x)=x\cdot x=x^2\)

\(F(x)=\dfrac{1}{3}x^3\)

Eine feste Zahl als Faktor darf weiterhin mitwandern. Das ist etwas anderes als zwei Faktoren, die beide von x abhängen.

Mein Ergebnis sieht anders aus als die Musterlösung. Kann es trotzdem stimmen?

Ja. Die Ergebnisse können anders geschrieben sein oder sich nur durch eine Konstante unterscheiden. Zum Beispiel:

\(F(x)=(x+1)^2=x^2+2x+1\)

\(G(x)=x^2+2x\)

Beide ergeben beim Ableiten dieselbe Ausgangsfunktion:

\(F'(x)=G'(x)=2x+2\)

Ist zusätzlich ein Punkt vorgegeben, muss dein Ergebnis auch durch diesen Punkt gehen. Dann ist die Konstante nicht mehr frei wählbar.

Ist eine Stammfunktion dasselbe wie ein bestimmtes Integral?

Nein. Eine Stammfunktion ist eine Funktion. Ein bestimmtes Integral liefert eine Zahl. Die Stammfunktion hilft dir, diese Zahl auszurechnen:

\(f(x)=2x\qquad F(x)=x^2\)

\(\displaystyle\int_0^2 2x\,dx=F(2)-F(0)\)

\(=4-0=4\)

Dabei ist egal, welche Stammfunktion du verwendest: Eine zusätzliche Konstante fällt bei „oberer Wert minus unterer Wert“ wieder weg.

Kann ich am Graphen der Ausgangsfunktion erkennen, wo die Stammfunktion steigt oder fällt?

Ja. Die Ausgangsfunktion ist die Ableitung deiner Stammfunktion. Ihre Werte verraten dir deshalb die Steigung:

Oberhalb der x-Achse: Die Stammfunktion steigt.
Unterhalb der x-Achse: Die Stammfunktion fällt.

Eine Nullstelle der Ausgangsfunktion bedeutet eine waagerechte Tangente bei der Stammfunktion. Ein Hoch- oder Tiefpunkt entsteht dort aber nur, wenn die Ausgangsfunktion auch das Vorzeichen wechselt.

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Wir bilden die Stammfunktion und lassen C zunächst offen.	\(F(x)=x^3-4x+C\)
Der Punkt sagt uns: Bei x gleich 2 ist der Funktionswert 5.	\(F(\textcolor{orange}{2})=\textcolor{steelblue}{5}\)
Wir setzen beide Werte in die Stammfunktion ein.	\(\textcolor{steelblue}{5}=\textcolor{orange}{2}^3-4\cdot\textcolor{orange}{2}+C\)
Wir rechnen aus und lösen nach C auf.	\(5=8-8+C\) \(C=5\)
Wir setzen C ein. Das ist die gesuchte Stammfunktion.	\(F(x)=x^3-4x+5\)

Wir lesen die Funktion im Integral ab.	\(\textcolor{green}{f(x)=3x^2}\)
Wir bilden eine Stammfunktion.	\(\textcolor{green}{F(x)=x^3}\)
Wir schreiben die Stammfunktion in eckige Klammern und übernehmen die Grenzen.	\(\Bigl[\textcolor{green}{x^3}\Bigr]_{\textcolor{orange}{1}}^{\textcolor{steelblue}{2}}\)
Jetzt setzen wir zuerst die obere Grenze und danach die untere Grenze ein. Der hintere Wert wird abgezogen.	\(\textcolor{steelblue}{2}^3-\textcolor{orange}{1}^3\)
Wir rechnen aus.	\(\textcolor{steelblue}{8}-\textcolor{orange}{1}=7\)

Stammfunktionen bilden

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