Satz von Vieta: Quadratische Gleichungen schnell und sicher lösen

Auf einen Blick

Satz von Vieta: Zwei Zahlen finden – fertig

Mit dem Satz von Vieta kannst du einfache quadratische Gleichungen schnell im Kopf lösen. Dafür muss die Gleichung in dieser Form stehen:

\( x^2 + {\textcolor{orange}{p}}x + {\textcolor{steelblue}{q}} = 0 \)

Wichtig: Die Gleichung muss genau in dieser Form stehen UND vor \(x^2\) darfst du keine Zahl sehen.

Vieta sagt

Du suchst zwei Zahlen: \({\textcolor{green}{x_1}}\) und \({\textcolor{green}{x_2}}\).
Ihre Summe muss zur Zahl vor dem x passen:
\( {\textcolor{green}{x_1}} + {\textcolor{green}{x_2}} = {\textcolor{orange}{-p}} \)
Ihr Produkt muss zur Zahl am Ende passen:
\( {\textcolor{green}{x_1}} \cdot {\textcolor{green}{x_2}} = {\textcolor{steelblue}{q}} \)
Beide Bedingungen müssen mit demselben Zahlenpaar stimmen.

Hast du ein Zahlenpaar gefunden, hast du auch die Lösungen der Gleichung.

Schnelles Beispiel

\(x^2{\textcolor{orange}{-5}}x{\textcolor{steelblue}{+6}}=0\)

Wir brauchen zwei Zahlen, die addiert \(5\) und multipliziert \(6\) ergeben.

Warum \(5\) und nicht \(-5\)? Für die Summe drehen wir das Vorzeichen um: \({\textcolor{orange}{-5}}\rightarrow{\textcolor{orange}{+5}}\).

Das klappt mit den Zahlen 2 und 3. Schau:

\({\textcolor{green}{2}}+{\textcolor{green}{3}}={\textcolor{orange}{5}}\quad\checkmark\)

\({\textcolor{green}{2}}\cdot{\textcolor{green}{3}}={\textcolor{steelblue}{6}}\quad\checkmark\)

      Beide Bedingungen stimmen. Die Lösungen der Gleichung
      sind also \({\textcolor{green}{2}}\) und \({\textcolor{green}{3}}\).
      

Im Beitrag schauen wir uns jetzt genauer an, wie du die passenden Zahlen findest und welche Besonderheiten es gibt.

Inhaltsverzeichnis

Das erwartet Dich

So findest du die passenden Zahlen

Vieta geht nur mit der Normalform

Vieta mit negativen Zahlen verstehen

Auf einen Blick

Satz von Vieta: Zwei Zahlen finden – fertig

Mit dem Satz von Vieta kannst du einfache quadratische Gleichungen schnell im Kopf lösen. Dafür muss die Gleichung in dieser Form stehen:

\( x^2 + {\textcolor{orange}{p}}x + {\textcolor{steelblue}{q}} = 0 \)

Wichtig: Die Gleichung muss genau in dieser Form stehen UND vor \(x^2\) darfst du keine Zahl sehen.

Vieta sagt

Du suchst zwei Zahlen: \({\textcolor{green}{x_1}}\) und \({\textcolor{green}{x_2}}\).
Ihre Summe muss zur Zahl vor dem x passen:
\( {\textcolor{green}{x_1}} + {\textcolor{green}{x_2}} = {\textcolor{orange}{-p}} \)
Ihr Produkt muss zur Zahl am Ende passen:
\( {\textcolor{green}{x_1}} \cdot {\textcolor{green}{x_2}} = {\textcolor{steelblue}{q}} \)
Beide Bedingungen müssen mit demselben Zahlenpaar stimmen.

Hast du ein Zahlenpaar gefunden, hast du auch die Lösungen der Gleichung.

Schnelles Beispiel

\(x^2{\textcolor{orange}{-5}}x{\textcolor{steelblue}{+6}}=0\)

Wir brauchen zwei Zahlen, die addiert \(5\) und multipliziert \(6\) ergeben.

Warum \(5\) und nicht \(-5\)? Für die Summe drehen wir das Vorzeichen um: \({\textcolor{orange}{-5}}\rightarrow{\textcolor{orange}{+5}}\).

Das klappt mit den Zahlen 2 und 3. Schau:

\({\textcolor{green}{2}}+{\textcolor{green}{3}}={\textcolor{orange}{5}}\quad\checkmark\)

\({\textcolor{green}{2}}\cdot{\textcolor{green}{3}}={\textcolor{steelblue}{6}}\quad\checkmark\)

      Beide Bedingungen stimmen. Die Lösungen der Gleichung
      sind also \({\textcolor{green}{2}}\) und \({\textcolor{green}{3}}\).
      

Im Beitrag schauen wir uns jetzt genauer an, wie du die passenden Zahlen findest und welche Besonderheiten es gibt.

So findest du die passenden Zahlen

Die Idee von Vieta kennst du jetzt – schauen wir uns an einem Beispiel an, wie du die beiden passenden Zahlen schnell und sicher findest.

\( x^2 \;{\textcolor{orange}{-}}\; {\textcolor{orange}{7}}x \;{\textcolor{steelblue}{+}}\; {\textcolor{steelblue}{12}} = 0 \)

Wir brauchen zwei Zahlen, für die beides gilt:

Summe Vorzeichen umdrehen Die beiden Zahlen müssen addiert \( {\textcolor{orange}{7}} \) ergeben

Produkt Die beiden Zahlen müssen multipliziert \( {\textcolor{steelblue}{12}} \) ergeben

Wichtig: Es müssen dieselben zwei Zahlen sein.

Zahlen finden

Starte beim Produkt

Der wichtigste Trick ist, immer beim Produkt zu starten.

In unserem Beispiel muss das Produkt \( {\textcolor{steelblue}{12}} \) ergeben. Deshalb sammeln wir zuerst alle Zahlenpaare, die multipliziert \( {\textcolor{steelblue}{12}} \) ergeben.

\( 1 \cdot 12 \qquad 2 \cdot 6 \qquad 3 \cdot 4 \)

Erst danach prüfen wir die Summe. Wir suchen das Paar, das addiert \( {\textcolor{orange}{7}} \) ergibt.

\(1\) und \(12\)	\( {\textcolor{green}{1}} + {\textcolor{green}{12}} = 13 \)	✗
\(2\) und \(6\)	\( {\textcolor{green}{2}} + {\textcolor{green}{6}} = 8 \)	✗
\(3\) und \(4\)	\( {\textcolor{green}{3}} + {\textcolor{green}{4}} = {\textcolor{orange}{7}} \)	✓

\(3\) und \(4\) ergeben addiert \(7\) und multipliziert \(12\)

Damit erfüllen \( {\textcolor{green}{3}} \) und \( {\textcolor{green}{4}} \) beide Bedingungen. Sie sind also die Lösungen der Gleichung.

\( x_1 = {\textcolor{green}{3}} \qquad x_2 = {\textcolor{green}{4}} \)

Wichtig: Ein Zahlenpaar passt nur, wenn Produkt und Summe stimmen. Prüfe deshalb immer beides.

Wo es bei Summe und Produkt klemmt, merkt ein akademisch ausgebildeter Tutor sofort.

Kostenlos testen: Online Nachhilfe Mathe bei OnMathe

Vieta geht nur mit der Normalform

Du weißt jetzt, wie Vieta funktioniert. Bevor du Zahlenpaare suchst, prüfst du aber kurz, ob die Gleichung schon für Vieta geeignet ist.

Diese Gleichung ist noch nicht bereit für Vieta:

\( {\textcolor{orangered}{2}}x^2 + 8x - 6 = {\textcolor{orangered}{18}} \)

Vor dem Rechnen prüfen

Vor dem \(x^2\) darf keine Zahl stehen.
↳ Im Beispiel steht dort noch die \(2\).
Die Gleichung muss auf \(0\) gebracht sein.
↳ Im Beispiel steht rechts noch \(18\).

Erst wenn alles passt, liest du die Zahl vor dem \(x\) und die Zahl am Ende ab.

Wir bringen zuerst alles auf eine Seite.

\( {\textcolor{orangered}{2}}x^2 + 8x - 6 = {\textcolor{orangered}{18}} \)	\|	\( -18 \)
\( {\textcolor{orangered}{2}}x^2 + 8x - 24 = 0 \)

Jetzt ist die Gleichung auf \(0\) gebracht und es bleibt nur noch die Zahl vor dem \(x^2\).

\( {\textcolor{orangered}{2}}x^2 + 8x - 24 = 0 \)	\|	\( :2 \)
\( x^2 + {\textcolor{orange}{4}}x \;{\textcolor{steelblue}{-}}\; {\textcolor{steelblue}{12}} = 0 \)

Jetzt ist die Gleichung bereit für Vieta.

\( x^2 + {\textcolor{orange}{4}}x - {\textcolor{steelblue}{12}} = 0 \)

Gesucht sind zwei Zahlen mit dem Produkt \(-12\) und der Summe \(-4\).

\( {\textcolor{green}{2}}\cdot{\textcolor{green}{(-6)}} = {\textcolor{steelblue}{-12}} \qquad {\textcolor{green}{2}}+{\textcolor{green}{(-6)}} = {\textcolor{orange}{-4}} \)

\( x_1={\textcolor{green}{2}} \qquad x_2={\textcolor{green}{-6}} \)

Kurzregel

So prüfst du die Vieta-Form

Merke

Vor dem \(x^2\) darf keine Zahl mehr stehen.
Die Gleichung muss auf \(0\) gebracht sein.
Erst danach liest du die Zahl vor dem \(x\) und die Zahl am Ende ab.
Wenn kein einfaches Zahlenpaar sichtbar ist, darfst du auch eine Lösungsformel benutzen.

Aber Achtung

Vieta muss nicht immer der beste Weg sein

Vieta lohnt sich, wenn du ein passendes Zahlenpaar schnell findest. Wenn du aber lange suchen musst, ist das ein Zeichen: Nimm lieber eine Formel.

Beispiel: Soll das Produkt \( {\textcolor{steelblue}{11}} \) und die Summe \( {\textcolor{orange}{2}} \) sein, findest du mit ganzen Zahlen kein passendes Paar.

\( 1 \cdot 11 = {\textcolor{steelblue}{11}} \qquad 1 + 11 \neq {\textcolor{orange}{2}} \)

Wenn kein einfaches Zahlenpaar sichtbar ist, helfen dir die pq-Formel oder die Mitternachtsformel oft schneller weiter.

Wenn du ewig nach Zahlenpaaren suchst, zeigt dir dein Tutor, wann eine Formel schneller ist.

Kostenlos testen bei OnMathe

Vieta mit negativen Zahlen verstehen

Der Satz von Vieta ist zwar eine schnelle Lösung, aber nur, wenn man auch weiß, wie man mit Minuszeichen umgehen muss.

Beispiel

Welche Zahl bekommt das Minuszeichen?

Wir lösen diese Gleichung mit Vieta:

\( x^2 \;{\textcolor{orange}{+}}\; {\textcolor{orange}{2}}x \;{\textcolor{steelblue}{-}}\; {\textcolor{steelblue}{15}} = 0 \)

Daraus lesen wir ab:

Bedingungen

Summe: \( \text{1. Zahl} + \text{2. Zahl} = {\textcolor{orange}{-2}} \)
Produkt: \( \text{1. Zahl} \cdot \text{2. Zahl} = {\textcolor{steelblue}{-15}} \)

Wir starten beim Produkt. Ohne Vorzeichen passt zu \(15\) das Zahlenpaar \(3\) und \(5\).

\( 3 \cdot 5 = 15 \)

Das Produkt soll aber negativ sein. Also bekommt eine der beiden Zahlen ein Minuszeichen. Jetzt testen wir beide Möglichkeiten mit der Summe.

✗ Falsch

\( {\textcolor{green}{-3}} + {\textcolor{green}{5}} = 2 \)

Die Summe soll \(-2\) sein.

✓ Richtig

\( {\textcolor{green}{3}} + {\textcolor{green}{(-5)}} = {\textcolor{orange}{-2}} \)

Die Summe passt.

Das Minuszeichen gehört zur \(5\), damit die Summe \(-2\) wird.

Damit sind die beiden Lösungen gefunden:

\( x_1 = {\textcolor{green}{3}} \qquad x_2 = {\textcolor{green}{-5}} \)

Gerade bei Minuszeichen hilft es, nicht im Kopf zu raten. Schreib beide Möglichkeiten auf und lass die Summe entscheiden.

Vorzeichen erkennen

Erst das Zahlenpaar, dann das Vorzeichen

Methode

Such zuerst ein Zahlenpaar, das zum Produkt passt.
Schau dann auf das Vorzeichen des Produkts.
Ist das Produkt negativ, bekommt genau eine Zahl ein Minuszeichen.
Teste die möglichen Vorzeichen mit der Summe.

Das Produkt sagt dir, ob ein Minuszeichen gebraucht wird. Die Summe sagt dir, wo es stehen muss.

Satz von Vieta? Wir bringen Struktur.

Mathe macht Druck? Wir bringen Struktur.

Dein fester Tutor übt Vieta mit dir, auch mit negativen Zahlen.

Mathe-Nachhilfe online mit festem Tutor und Crashkurs vor jedem Test.

Mathe-Nachhilfe

Mathe Nachhilfe

Student lernt draußen im freien mit Notebook

Teste dein Wissen

Übungen

Aufgabe 1

Bei welcher Gleichung kannst du Vieta direkt anwenden?

✓ Richtig

✗ Falsch

Lösung

Lösung 1

Vieta passt direkt, wenn die Gleichung in Normalform steht.

\( x^2 \;{\textcolor{orange}{+}}\; {\textcolor{orange}{p}}x \;{\textcolor{steelblue}{+}}\; {\textcolor{steelblue}{q}} = 0 \)

Vor dem \(x^2\) keine Zahl und die Gleichung ist auf \(0\) gebracht.

Aufgabe 2

Welche Bedingungen gehören zu dieser Gleichung?

\( x^2 \;{\textcolor{orange}{-}}\; {\textcolor{orange}{9}}x \;{\textcolor{steelblue}{+}}\; {\textcolor{steelblue}{20}} = 0 \)

✗ Falsch

✓ Richtig

✗ Falsch

Lösung

Lösung 2

Die Zahl vor dem \(x\) ist \(-9\). Für die Summe drehst du das Vorzeichen um.

\( x_1 + x_2 = {\textcolor{orange}{9}} \)

\( x_1 \cdot x_2 = {\textcolor{steelblue}{20}} \)

      Summe: Vorzeichen drehen.
      Produkt: Zahl am Ende übernehmen.
    

Aufgabe 3

Löse die Gleichung mit Vieta.

\( x^2 \;{\textcolor{orange}{-}}\; {\textcolor{orange}{8}}x \;{\textcolor{steelblue}{+}}\; {\textcolor{steelblue}{15}} = 0 \)

Starte beim Produkt. Welche Zahlen ergeben multipliziert \(15\)?

Prüfe danach, welches Paar zusammen \( {\textcolor{orange}{8}} \) ergibt.

Lösung

Lösung 3

Wir suchen zwei Zahlen mit Summe \(8\) und Produkt \(15\).

\( {\textcolor{green}{3}} \cdot {\textcolor{green}{5}} = {\textcolor{steelblue}{15}} \)

\( {\textcolor{green}{3}} + {\textcolor{green}{5}} = {\textcolor{orange}{8}} \)

      \(x_1 = {\textcolor{green}{3}}\)
      und
      \(x_2 = {\textcolor{green}{5}}\)
    

Aufgabe 4

Löse die Gleichung mit Vieta.

\( x^2 \;{\textcolor{orange}{+}}\; {\textcolor{orange}{2}}x \;{\textcolor{steelblue}{-}}\; {\textcolor{steelblue}{15}} = 0 \)

Das Produkt ist negativ. Also bekommt genau eine Zahl ein Minuszeichen.

Suche zuerst das Zahlenpaar zu \(15\). Teste danach beide Minus-Varianten mit der Summe.

Lösung

Lösung 4

Die Summe muss \(-2\) sein. Das Produkt muss \(-15\) sein.

\( {\textcolor{green}{3}} \cdot {\textcolor{green}{5}} = 15 \)

\( {\textcolor{green}{-3}} + {\textcolor{green}{5}} = 2 \)

\( {\textcolor{green}{3}} + {\textcolor{green}{(-5)}} = {\textcolor{orange}{-2}} \)

      \(x_1 = {\textcolor{green}{3}}\)
      und
      \(x_2 = {\textcolor{green}{-5}}\)
    

Aufgabe 5

Welche Gleichung entsteht aus den Nullstellen \( {\textcolor{green}{2}} \) und \( {\textcolor{green}{6}} \)?

✗ Falsch

✓ Richtig

✗ Falsch

Lösung

Lösung 5

Die Summe der Nullstellen ist \(8\). Vor dem \(x\) steht deshalb \(-8x\).

\( {\textcolor{green}{2}} + {\textcolor{green}{6}} = {\textcolor{orange}{8}} \)

\( {\textcolor{green}{2}} \cdot {\textcolor{green}{6}} = {\textcolor{steelblue}{12}} \)

\( x^2 \;{\textcolor{orange}{-}}\; {\textcolor{orange}{8}}x \;{\textcolor{steelblue}{+}}\; {\textcolor{steelblue}{12}} = 0 \)

Aus der Summe wird der \(x\)-Term mit umgedrehtem Vorzeichen.

Ausgewählt für Dich

Empfohlene Beiträge

Die pq-Formel

Quadratische Gleichungen lösen? Mit der pq-Formel geht es ganz einfach! Schritt-für-Schritt-Anleitung mit Beispielen.

Die Mitternachtsformel

Lerne, wie du mit der Mitternachtsformel quadratische Gleichungen sicher löst – Schritt für Schritt mit Beispielen erklärt.

Nullstellen linearer & quadratischer Funktionen

Die Basismethoden der Nullstellenberechnung auf einen Blick – mit Erklärungen, Formeln und Beispielen!

Mehr dazu

in unseren FAQs

Brauche ich den Satz von Vieta nach der Klassenarbeit noch?

Ja, vor allem weil Vieta deinen Blick für quadratische Gleichungen schärft. Du lernst, nicht nur eine Formel abzuarbeiten, sondern die Struktur der Gleichung zu sehen.

Das hilft dir später wieder, wenn du quadratische Funktionen untersuchst, Nullstellen vergleichst oder eine Parabel aus bekannten Informationen aufstellen sollst.

Vieta ist also nicht nur ein Rechentrick. Es ist eine schnelle Art zu erkennen, wie die Lösungen einer Gleichung mit ihren Zahlen zusammenhängen.

Warum lernen wir Vieta, wenn es doch die pq-Formel gibt?

Weil Vieta dir zeigt, was in einer quadratischen Gleichung passiert, bevor du überhaupt eine Formel einsetzt. Die pq-Formel findet die Lösungen zuverlässig, aber Vieta erklärt dir oft schneller, wie die Zahlen zusammenhängen.

Besonders bei einfachen Aufgaben erkennst du mit Vieta die Lösungen fast sofort. Bei schwierigeren Aufgaben kannst du immer noch zur pq-Formel wechseln.

Das ist wie beim Kopfrechnen: Du darfst den Taschenrechner benutzen, aber es ist trotzdem hilfreich zu sehen, wann eine Rechnung eigentlich ganz einfach ist.

Warum macht Vieta gerade bei Minuszeichen so viele Fehler?

Weil bei Vieta zwei Dinge gleichzeitig stimmen müssen: die Summe und das Produkt. Viele Fehler entstehen, wenn man nur auf eine der beiden Bedingungen schaut.

Besonders bei Minuszeichen wirkt ein Zahlenpaar oft zuerst richtig, weil das Produkt passt. Erst beim Prüfen der Summe sieht man dann, ob das Minuszeichen wirklich bei der richtigen Zahl steht.

Deshalb ist Vieta keine reine Kopfrechenaufgabe. Schreib die beiden Möglichkeiten ruhig kurz auf. Das ist nicht langsamer — es verhindert genau die typischen Vorzeichenfehler.

Gratis Probestunde sichern

\( (x - 2)(x - 5) = 0 \)		ausmultiplizieren
\( x^2 - 5x - 2x + 10 = 0 \)		zusammenfassen
\( x^2 \;{\textcolor{orange}{-}}\; {\textcolor{orange}{7}}x \;{\textcolor{steelblue}{+}}\; {\textcolor{steelblue}{10}} = 0 \)

\( (x - {\textcolor{green}{3}}) (x - {\textcolor{green}{4}}) \)
\( x^2 - {\textcolor{green}{4}}x - {\textcolor{green}{3}}x + {\textcolor{green}{3}} \cdot {\textcolor{green}{4}} \)		ausmultiplizieren
\( x^2 \;{\textcolor{orange}{-}}\; \underbrace{ \left( {\textcolor{green}{3}} + {\textcolor{green}{4}} \right) }_{\textcolor{orange}{\text{Summe}}} x \;{\textcolor{steelblue}{+}}\; \underbrace{ \left( {\textcolor{green}{3}} \cdot {\textcolor{green}{4}} \right) }_{\textcolor{steelblue}{\text{Produkt}}} \)		sichtbar machen
\( x^2 \;{\textcolor{orange}{-}}\; {\textcolor{orange}{7}}x \;{\textcolor{steelblue}{+}}\; {\textcolor{steelblue}{12}} \)

Satz von Vieta

Satz von Vieta: Zwei Zahlen finden – fertig

Satz von Vieta: Zwei Zahlen finden – fertig

So findest du die passenden Zahlen

Vieta geht nur mit der Normalform

Vieta mit negativen Zahlen verstehen

Satz von Vieta? Wir bringen Struktur.

Mathe macht Druck? Wir bringen Struktur.

Übungen

Lösung

Lösung

Lösung

Lösung

Lösung

Empfohlene Beiträge

Die pq-Formel

Die Mitternachtsformel

Nullstellen linearer & quadratischer Funktionen

in unseren FAQs

Brauche ich den Satz von Vieta nach der Klassenarbeit noch?

Warum lernen wir Vieta, wenn es doch die pq-Formel gibt?

Warum macht Vieta gerade bei Minuszeichen so viele Fehler?

Weiterführende Informationen

Von den Nullstellen zur Normalform

Der Beweis

\( {\textcolor{green}{2}} + {\textcolor{green}{5}} = {\textcolor{orange}{7}} \)		Summe
\( {\textcolor{green}{2}} \cdot {\textcolor{green}{5}} = {\textcolor{steelblue}{10}} \)		Produkt