Quadratische Gleichungen lösen
Satz von Vieta
Beim Satz von Vieta suchst du zwei passende Zahlen
Mit dem Satz von Vieta kannst du viele quadratische Gleichungen schnell lösen. Statt eine Formel zu nutzen, suchst du zwei Zahlen, die zur Gleichung passen.
Entscheidend sind dabei der Term vor dem \(x\) und die Zahl am Ende.
| Gleichung | \( x^2 \;{\textcolor{orange}{+}}\; {\textcolor{orange}{p}}x \;{\textcolor{steelblue}{+}}\; {\textcolor{steelblue}{q}} = 0 \) |
| Summe | \( x_1 + x_2 = {\textcolor{orange}{-p}} \) |
| Produkt | \( x_1 \cdot x_2 = {\textcolor{steelblue}{q}} \) |
- Die beiden passenden Zahlen sind die Lösungen der Gleichung.
- Die Summe kommt vom Term vor dem \(x\).
- Das Produkt kommt von der Zahl am Ende.
Achte bei der Summe auf das Vorzeichen: Aus \(p\) wird \(-p\).
Im Beitrag lernst du, wie du diese Zahlen findest, worauf du bei Minuszeichen achten musst und wann Vieta schneller ist als eine Lösungsformel.
Beim Satz von Vieta suchst du zwei passende Zahlen
Mit dem Satz von Vieta kannst du viele quadratische Gleichungen schnell lösen. Statt eine Formel zu nutzen, suchst du zwei Zahlen, die zur Gleichung passen.
Entscheidend sind dabei der Term vor dem \(x\) und die Zahl am Ende.
| Gleichung | \( x^2 \;{\textcolor{orange}{+}}\; {\textcolor{orange}{p}}x \;{\textcolor{steelblue}{+}}\; {\textcolor{steelblue}{q}} = 0 \) |
| Summe | \( x_1 + x_2 = {\textcolor{orange}{-p}} \) |
| Produkt | \( x_1 \cdot x_2 = {\textcolor{steelblue}{q}} \) |
- Die beiden passenden Zahlen sind die Lösungen der Gleichung.
- Die Summe kommt vom Term vor dem \(x\).
- Das Produkt kommt von der Zahl am Ende.
Achte bei der Summe auf das Vorzeichen: Aus \(p\) wird \(-p\).
Im Beitrag lernst du, wie du diese Zahlen findest, worauf du bei Minuszeichen achten musst und wann Vieta schneller ist als eine Lösungsformel.
Wie funktioniert der Satz von Vieta
Beim Satz von Vieta suchst du zwei Zahlen. Diese beiden Zahlen müssen gleichzeitig passen: über ihre Summe und über ihr Produkt.
Die GrundideeZwei Zahlen müssen zwei Bedingungen erfüllen
Wir schauen uns das an dieser Gleichung an:
Jetzt suchen wir zwei Zahlen, für die beides gilt:
Du suchst ein Zahlenpaar, das zweimal passt.
Woher weißt du, was die Bedingungen für Summe und Produkt sind?
- Den Wert für die Summe findest du, wenn du die Zahl vor dem \(x\) nimmst und ihr Vorzeichen drehst.
- Das Produkt ist die Zahl, die alleine am Ende der Gleichung steht.
Starte beim Produkt
Viele unserer Schüler fragen: „Warum soll ich Zahlen suchen, wenn es doch eine Formel gibt? Da bin ich doch ewig beschäftigt.“
Diese Sorge können wir dir sofort nehmen. Du rätst nicht wild drauflos. Der Trick ist: Starte immer beim Produkt.
In unserem Beispiel muss das Produkt \( {\textcolor{steelblue}{12}} \) ergeben. Deshalb sammeln wir zuerst alle Zahlenpaare, die multipliziert \( {\textcolor{steelblue}{12}} \) ergeben.
Erst danach prüfen wir die Summe. Wir suchen das Paar, das addiert \( {\textcolor{orange}{7}} \) ergibt.
| \(1\) und \(12\) | \( {\textcolor{green}{1}} + {\textcolor{green}{12}} = 13 \) | ✗ |
| \(2\) und \(6\) | \( {\textcolor{green}{2}} + {\textcolor{green}{6}} = 8 \) | ✗ |
| \(3\) und \(4\) | \( {\textcolor{green}{3}} + {\textcolor{green}{4}} = {\textcolor{orange}{7}} \) | ✓ |
Damit erfüllen \( {\textcolor{green}{3}} \) und \( {\textcolor{green}{4}} \) beide Bedingungen. Sie sind also die Lösungen der Gleichung.
Der Trick von unseren Tutoren:
Schreib zuerst alle Zahlenpaare auf, die das richtige Produkt ergeben.
Danach testest du nur noch die Summen.
Nicht nur eine Bedingung prüfen
Pass auf, dass du nicht auf halbem Weg aufhörst. Sobald unsere Schüler den Produkt-Trick kennen, passiert oft genau das: Sie freuen sich über ein passendes Produkt und vergessen, die Summe zu testen.
Nur das Produkt passt.
Beide Bedingungen passen.
Wenn nur eine Bedingung stimmt, hast du noch nicht die Lösung.
So gehst du bei Vieta vor
- Du suchst zwei Zahlen.
- Die Summe der beiden Zahlen muss zur Zahl vor dem \(x\) passen.
- Das Produkt der beiden Zahlen muss zur Zahl am Ende passen.
- Beide Bedingungen müssen mit demselben Zahlenpaar stimmen.
Vieta geht nur mit der Normalform
Du weißt jetzt, wie Vieta funktioniert. Bevor du Zahlenpaare suchst, prüfst du aber kurz, ob die Gleichung schon für Vieta geeignet ist.
Du darfst den Satz von Vieta erst anwenden, wenn die Gleichung genau diese Form hat:
- Vor dem \(x^2\) steht keine Zahl.
- Die Gleichung ist auf \(0\) gebracht.
Erst wenn dieser Check passt, liest du die Zahl vor dem \(x\) und die Zahl am Ende ab.
Erst vorbereiten, dann Vieta anwenden
Diese Gleichung sieht schon nach quadratischer Gleichung aus, ist aber noch nicht bereit für Vieta:
Wir bringen zuerst alles auf eine Seite.
| \( {\textcolor{orangered}{2}}x^2 + 8x + 6 = {\textcolor{orangered}{18}} \) | | | \( -18 \) |
| \( {\textcolor{orangered}{2}}x^2 + 8x - 12 = 0 \) | ||
Jetzt ist die Gleichung auf \(0\) gebracht. Es bleibt nur noch die Zahl vor dem \(x^2\).
| \( {\textcolor{orangered}{2}}x^2 + 8x - 12 = 0 \) | | | \( :2 \) |
| \( x^2 + {\textcolor{orange}{4}}x \;{\textcolor{steelblue}{-}}\; {\textcolor{steelblue}{6}} = 0 \) | ||
Erst jetzt liest du die Zahl vor dem \(x\) und die Zahl am Ende ab.
So prüfst du die Vieta-Form
- Vor dem \(x^2\) darf keine Zahl mehr stehen.
- Die Gleichung muss auf \(0\) gebracht sein.
- Erst danach liest du die Zahl vor dem \(x\) und die Zahl am Ende ab.
- Wenn kein einfaches Zahlenpaar sichtbar ist, darfst du auch eine Lösungsformel benutzen.
Vieta muss nicht immer der beste Weg sein
Vieta lohnt sich, wenn du ein passendes Zahlenpaar schnell findest. Wenn du aber lange suchen musst, ist das ein Zeichen: Nimm lieber eine Formel.
Beispiel: Soll das Produkt \( {\textcolor{steelblue}{11}} \) und die Summe \( {\textcolor{orange}{2}} \) sein, findest du mit ganzen Zahlen kein passendes Paar.
Wenn kein einfaches Zahlenpaar sichtbar ist, helfen dir die pq-Formel oder die Mitternachtsformel oft schneller weiter.
Vieta mit negativen Zahlen verstehen
Bei Vieta ist das Zahlenpaar oft schnell gefunden. Unsicher wird es meistens erst bei den Vorzeichen: Welche Zahl bekommt ein Minuszeichen?
Vorzeichen erkennenErst das Zahlenpaar, dann das Vorzeichen
- Such zuerst ein Zahlenpaar, das zum Produkt passt.
- Schau dann auf das Vorzeichen des Produkts.
- Ist das Produkt negativ, bekommt genau eine Zahl ein Minuszeichen.
- Teste die möglichen Vorzeichen mit der Summe.
Das Produkt sagt dir, ob ein Minuszeichen gebraucht wird. Die Summe sagt dir, wo es stehen muss.
Welche Zahl bekommt das Minuszeichen?
Wir lösen diese Gleichung mit Vieta:
Daraus lesen wir ab:
- Summe: \( \text{1. Zahl} + \text{2. Zahl} = {\textcolor{orange}{-2}} \)
- Produkt: \( \text{1. Zahl} \cdot \text{2. Zahl} = {\textcolor{steelblue}{-15}} \)
Wir starten beim Produkt. Ohne Vorzeichen passt zu \(15\) das Zahlenpaar \(3\) und \(5\).
Das Produkt soll aber negativ sein. Also bekommt eine der beiden Zahlen ein Minuszeichen. Jetzt testen wir beide Möglichkeiten mit der Summe.
Die Summe soll \(-2\) sein.
Die Summe passt.
Damit sind die beiden Lösungen gefunden:
Gerade bei Minuszeichen hilft es, nicht im Kopf zu raten. Schreib beide Möglichkeiten auf und lass die Summe entscheiden.
Von den Nullstellen zur Normalform
Du hast zwei Nullstellen gegeben und möchtest daraus wieder eine quadratische Gleichung in Normalform aufstellen? Das geht am schnellsten, wenn wir Vieta rückwärts nutzen.
Gesucht ist eine quadratische Gleichung in Normalform:
Aus der Summe der Nullstellen entsteht \( {\textcolor{orange}{p}} \) — allerdings mit umgedrehtem Vorzeichen. Aus dem Produkt der Nullstellen entsteht \( {\textcolor{steelblue}{q}} \).
Summe und Produkt bilden
Für die Normalform brauchst du zwei Werte: die Summe und das Produkt der beiden Nullstellen.
| \( {\textcolor{green}{2}} + {\textcolor{green}{5}} = {\textcolor{orange}{7}} \) | Summe | |
| \( {\textcolor{green}{2}} \cdot {\textcolor{green}{5}} = {\textcolor{steelblue}{10}} \) | Produkt |
Die Summe kommt mit umgedrehtem Vorzeichen vor das \(x\). Aus \( {\textcolor{orange}{7}} \) wird also \( {\textcolor{orange}{-7}}x \).
Das Produkt bleibt so, wie es ist. Es wird die Zahl am Ende.
Du sparst dir das Ausmultiplizieren
Ohne Vieta würdest du zuerst die Nullstellenform aufschreiben, dann ausmultiplizieren und am Ende gleichartige Terme zusammenfassen. Dabei passieren schnell Fehler, besonders beim Ausmultiplizieren mit unterschiedlichen Vorzeichen.
| \( (x - 2)(x - 5) = 0 \) | ausmultiplizieren | |
| \( x^2 - 5x - 2x + 10 = 0 \) | zusammenfassen | |
| \( x^2 \;{\textcolor{orange}{-}}\; {\textcolor{orange}{7}}x \;{\textcolor{steelblue}{+}}\; {\textcolor{steelblue}{10}} = 0 \) | ||
Teste dein Wissen
Übungen
Bei welcher Gleichung kannst du Vieta direkt anwenden?
Lösung
Vieta passt direkt, wenn die Gleichung in Normalform steht.
Welche Bedingungen gehören zu dieser Gleichung?
Lösung
Die Zahl vor dem \(x\) ist \(-9\). Für die Summe drehst du das Vorzeichen um.
Löse die Gleichung mit Vieta.
Starte beim Produkt. Welche Zahlen ergeben multipliziert \(15\)?
Prüfe danach, welches Paar zusammen \( {\textcolor{orange}{8}} \) ergibt.
Lösung
Wir suchen zwei Zahlen mit Summe \(8\) und Produkt \(15\).
Löse die Gleichung mit Vieta.
Das Produkt ist negativ. Also bekommt genau eine Zahl ein Minuszeichen.
Suche zuerst das Zahlenpaar zu \(15\). Teste danach beide Minus-Varianten mit der Summe.
Lösung
Die Summe muss \(-2\) sein. Das Produkt muss \(-15\) sein.
Welche Gleichung entsteht aus den Nullstellen \( {\textcolor{green}{2}} \) und \( {\textcolor{green}{6}} \)?
Lösung
Die Summe der Nullstellen ist \(8\). Vor dem \(x\) steht deshalb \(-8x\).
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Mehr dazu
in unseren FAQs
Brauche ich den Satz von Vieta nach der Klassenarbeit noch?
Ja, vor allem weil Vieta deinen Blick für quadratische Gleichungen schärft. Du lernst, nicht nur eine Formel abzuarbeiten, sondern die Struktur der Gleichung zu sehen.
Das hilft dir später wieder, wenn du quadratische Funktionen untersuchst, Nullstellen vergleichst oder eine Parabel aus bekannten Informationen aufstellen sollst.
Vieta ist also nicht nur ein Rechentrick. Es ist eine schnelle Art zu erkennen, wie die Lösungen einer Gleichung mit ihren Zahlen zusammenhängen.
Warum lernen wir Vieta, wenn es doch die pq-Formel gibt?
Weil Vieta dir zeigt, was in einer quadratischen Gleichung passiert, bevor du überhaupt eine Formel einsetzt. Die pq-Formel findet die Lösungen zuverlässig, aber Vieta erklärt dir oft schneller, wie die Zahlen zusammenhängen.
Besonders bei einfachen Aufgaben erkennst du mit Vieta die Lösungen fast sofort. Bei schwierigeren Aufgaben kannst du immer noch zur pq-Formel wechseln.
Das ist wie beim Kopfrechnen: Du darfst den Taschenrechner benutzen, aber es ist trotzdem hilfreich zu sehen, wann eine Rechnung eigentlich ganz einfach ist.
Warum macht Vieta gerade bei Minuszeichen so viele Fehler?
Weil bei Vieta zwei Dinge gleichzeitig stimmen müssen: die Summe und das Produkt. Viele Fehler entstehen, wenn man nur auf eine der beiden Bedingungen schaut.
Besonders bei Minuszeichen wirkt ein Zahlenpaar oft zuerst richtig, weil das Produkt passt. Erst beim Prüfen der Summe sieht man dann, ob das Minuszeichen wirklich bei der richtigen Zahl steht.
Deshalb ist Vieta keine reine Kopfrechenaufgabe. Schreib die beiden Möglichkeiten ruhig kurz auf. Das ist nicht langsamer — es verhindert genau die typischen Vorzeichenfehler.
Mehr dazu
Weiterführende Informationen
Der Beweis
Der Satz von Vieta ist kein Zaubertrick. Er entsteht direkt beim Ausmultiplizieren der Nullstellenform.
Warum funktioniert Vieta?Aus der Nullstellenform wird die Normalform
Wir starten mit den Nullstellen:
Daraus entsteht die Nullstellenform:
Summe und Produkt tauchen automatisch auf
Beim Ausmultiplizieren entstehen genau die beiden Werte, die du bei Vieta benutzt: die Summe und das Produkt der Nullstellen.
| \( (x - {\textcolor{green}{3}}) (x - {\textcolor{green}{4}}) \) | ||
| \( x^2 - {\textcolor{green}{4}}x - {\textcolor{green}{3}}x + {\textcolor{green}{3}} \cdot {\textcolor{green}{4}} \) | ausmultiplizieren | |
| \( x^2 \;{\textcolor{orange}{-}}\; \underbrace{ \left( {\textcolor{green}{3}} + {\textcolor{green}{4}} \right) }_{\textcolor{orange}{\text{Summe}}} x \;{\textcolor{steelblue}{+}}\; \underbrace{ \left( {\textcolor{green}{3}} \cdot {\textcolor{green}{4}} \right) }_{\textcolor{steelblue}{\text{Produkt}}} \) | sichtbar machen | |
| \( x^2 \;{\textcolor{orange}{-}}\; {\textcolor{orange}{7}}x \;{\textcolor{steelblue}{+}}\; {\textcolor{steelblue}{12}} \) | ||
Wenn du nach dem Ausmultiplizieren \(x\) ausklammerst, entdeckst du vor dem \(x\) die Summe der Nullstellen. Am Ende der Gleichung erscheint automatisch das Produkt.
Deshalb gilt der Satz von Vieta
Vergleichen wir das Ergebnis mit der Normalform:
- Die Summe der Nullstellen ergibt \( {\textcolor{orange}{-p}} \).
- Das Produkt der Nullstellen ergibt \( {\textcolor{steelblue}{q}} \).
Genau deshalb kannst du Vieta auch rückwärts nutzen: Du sparst dir die Nullstellenform, das Ausmultiplizieren und das Zusammenfassen.
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