Mittlere & momentane Änderungsrate
Der Differenzenquotient
Überblick
Der Differenzenquotient beschreibt die durchschnittliche Steigung einer Funktion zwischen zwei Punkten. Er ist die Steigung der Sekante durch diese Punkte.
Schauen wir uns das an einem einfachen Beispiel an.
\( f(x) = x^2 \)
\( {\textcolor{orangered}{x_1}} = {\textcolor{orangered}{1}}
\hspace{1cm}
{\textcolor{orange}{x_2}} = {\textcolor{orange}{4}} \)
Differenzenquotient anwenden
\( m =
\dfrac{f({\textcolor{orange}{4}}) - f({\textcolor{orangered}{1}})}
{{\textcolor{orange}{4}} - {\textcolor{orangered}{1}}} \)
\( =
\dfrac{{\textcolor{orange}{4}}^2 - {\textcolor{orangered}{1}}^2}
{{\textcolor{orange}{4}} - {\textcolor{orangered}{1}}} \)
\( =
\dfrac{16 - 1}{3} \)
\( =
\dfrac{15}{3} \)
\( = 5 \)
→ Mittlere Steigung: \( m = 5 \)
→ Der Funktionswert wird im Durchschnitt um 5 größer
für jeden Schritt in x-Richtung.
Der Differenzenquotient
\( m =
\dfrac{\Delta y}{\Delta x}
=
\dfrac{f({\textcolor{orange}{x_2}}) - f({\textcolor{orangered}{x_1}})}
{{\textcolor{orange}{x_2}} - {\textcolor{orangered}{x_1}}} \)
→ beschreibt die mittlere Steigung einer Funktion
zwischen zwei Punkten
→ grafisch dargestellt durch die Sekante
- \( \Delta y \) = Veränderung der Funktionswerte
- \( \Delta x \) = Veränderung der x-Werte
Was ist eine Sekante?
Die Sekante ist eine Gerade, die den Graphen einer Funktion in zwei Punkten schneidet.
Ihre Steigung zeigt, wie stark sich die Funktion zwischen diesen beiden Punkten im Durchschnitt verändert.
Steigung der Sekante
→ wird mit dem Differenzenquotienten berechnet
→ heißt auch mittlere Änderungsrate
→ beschreibt die durchschnittliche Veränderung zwischen
\( {\textcolor{orangered}{x_1}} \) und
\( {\textcolor{orange}{x_2}} \)
Mittlere Änderung bedeutet
nicht:
→ Die Funktion verändert sich im ganzen Abschnitt einmalig um diesen Wert.
sondern:
→ Sie verändert sich im Durchschnitt pro Schritt nach rechts
um diesen Wert.
Du willst das Steigungsdreieck bei linearen Funktionen
noch einmal wiederholen?
Dann schau dir unseren Beitrag
Lineare Funktionen
an.
Da die Sekante eine Gerade ist, können wir ihre Steigung mit einem Steigungsdreieck berechnen.
Dabei gilt: \( \Delta x \) ist die Strecke nach rechts und \( \Delta y \) ist die Strecke nach oben.
Für jede Gerade gilt:
\( m = \dfrac{\Delta y}{\Delta x} \)
Betrachten wir eine Sekante durch die Punkte:
\( P_1({\textcolor{orangered}{1}} \mid {\textcolor{orangered}{1}})
\hspace{1cm}
P_2({\textcolor{orange}{3}} \mid {\textcolor{orange}{9}}) \)
\( \Delta y \) bestimmen
\( \Delta y =
{\textcolor{orange}{9}} -
{\textcolor{orangered}{1}}
=
8 \)
\( \Delta x \) bestimmen
\( \Delta x =
{\textcolor{orange}{3}} -
{\textcolor{orangered}{1}}
=
2 \)
Steigung berechnen
\( m =
\dfrac{\Delta y}{\Delta x}
=
\dfrac{8}{2}
=
4 \)
→ Steigung der Sekante: \( m = 4 \)
→ Der Funktionswert wächst im Durchschnitt um 4
für jeden Schritt nach rechts.
Gib eine eigene Funktion ein und beobachte, wie sich die mittlere Steigung für unterschiedliche x-Werte verändert.
f(x) =
Beispiele:
x^2
-x^2 + 4
2*x^3 - 3*x + 1
x^2 - 2*x + 3
x₁
ersten x-Wert eingeben
x₂
zweiten x-Wert eingeben
Ergebnis erscheint hier
Der Differenzenquotient
\( m = \dfrac{\Delta y}{\Delta x} \)
\( \Delta y =
f({\textcolor{orange}{x_2}}) -
f({\textcolor{orangered}{x_1}}) \)
\( \Delta x =
{\textcolor{orange}{x_2}} -
{\textcolor{orangered}{x_1}} \)
\( m =
\dfrac{
f({\textcolor{orange}{x_2}}) -
f({\textcolor{orangered}{x_1}})
}{
{\textcolor{orange}{x_2}} -
{\textcolor{orangered}{x_1}}
} \)
→ beschreibt die mittlere Steigung zwischen zwei Punkten
→ grafisch dargestellt durch die Sekante
Den Differenzenquotienten nicht nur ausrechnen, sondern auch deuten: Das lernst du mit deinem Tutor.
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Differenzenquotient - Anwendung
Die Funktion \( h \) beschreibt die Höhe einer Pflanze (in cm) in Abhängigkeit von \( x \) (Zeit in Tagen).
\( h(x) = x^2 \)
Bestimme die durchschnittliche Wachstumsgeschwindigkeit
zwischen
\( {\textcolor{orangered}{x_1}} = {\textcolor{orangered}{1}} \)
und
\( {\textcolor{orange}{x_2}} = {\textcolor{orange}{3}} \).
Funktionswerte bestimmen
\( h({\textcolor{orangered}{1}}) =
{\textcolor{orangered}{1}}^2 =
{\textcolor{orangered}{1}} \)
\( h({\textcolor{orange}{3}}) =
{\textcolor{orange}{3}}^2 =
{\textcolor{orange}{9}} \)
In den Differenzenquotienten einsetzen
\( m =
\dfrac{h({\textcolor{orange}{x_2}}) - h({\textcolor{orangered}{x_1}})}
{{\textcolor{orange}{x_2}} - {\textcolor{orangered}{x_1}}} \)
\( =
\dfrac{h({\textcolor{orange}{3}}) - h({\textcolor{orangered}{1}})}
{{\textcolor{orange}{3}} - {\textcolor{orangered}{1}}} \)
\( =
\dfrac{{\textcolor{orange}{3}}^2 - {\textcolor{orangered}{1}}^2}
{{\textcolor{orange}{3}} - {\textcolor{orangered}{1}}} \)
\( =
\dfrac{9 - 1}{3 - 1} \)
\( = \dfrac{8}{2} = 4 \)
→ Zwischen Tag 1 und Tag 3
wächst die Pflanze im Durchschnitt
um 4 cm pro Tag.
Das Ergebnis gilt nur für den
betrachteten Zeitraum.
Hier also zwischen
\( {\textcolor{orangered}{x_1}} = {\textcolor{orangered}{1}} \)
und
\( {\textcolor{orange}{x_2}} = {\textcolor{orange}{3}} \).
Wählst du einen anderen Zeitraum,
erhältst du eine
andere durchschnittliche Steigung.
Das Ergebnis bedeutet:
- nicht: → Die Pflanze wächst im gesamten Abschnitt einmalig um 4 cm.
- sondern: → Sie wächst im Durchschnitt etwa 4 cm pro Tag im betrachteten Zeitraum.
Der Differenzenquotient
\( m =
\dfrac{f({\textcolor{orange}{x_2}})-f({\textcolor{orangered}{x_1}})}
{{\textcolor{orange}{x_2}}-{\textcolor{orangered}{x_1}}} \)
→ beschreibt die durchschnittliche Änderung
zwischen zwei Punkten
Sachaufgaben werden klar, wenn sich ein akademisch ausgebildeter Tutor ganz auf dich einstellt.
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Grenzwert und Tangente
Was passiert, wenn \( {\textcolor{orange}{x_2}} \) immer näher an \( {\textcolor{orangered}{x_1}} \) rückt?
Wir betrachten zwei Punkte auf dem Graphen:
\( {\textcolor{orangered}{x_1}} \) und
\( {\textcolor{orange}{x_2}} \).
Zwischen diesen beiden Punkten liegt eine Sekante.
→ \( {\textcolor{orange}{x_2}} \) ist noch weit weg.
→ \( {\textcolor{orange}{x_2}} \) rückt näher.
→ Jetzt ist
\( {\textcolor{orange}{x_2}} \)
fast bei
\( {\textcolor{orangered}{x_1}} \).
Die Sekante passt jetzt schon sehr gut zur
Steigung am Punkt
\( {\textcolor{orangered}{x_1}} \).
Wenn
\( {\textcolor{orange}{x_2}} \)
noch näher heranrückt,
wird aus „fast“ ein „genau“ –
und aus der Sekante die Tangente.
Wir bestimmen dann nicht mehr die
Steigung zwischen zwei Punkten,
sondern die
Steigung in genau einem Punkt.
Diese nennt man momentane Steigung.
Der Grenzwert des Differenzenquotienten
Wenn
\( {\textcolor{orange}{x_2}} \)
immer näher an
\( {\textcolor{orangered}{x_1}} \)
rückt, betrachten wir den Grenzwert.
\( {\textcolor{orange}{x_2}} \to {\textcolor{orangered}{x_1}} \)
Die Sekante wird im Grenzfall zur Tangente.
Wie du aus der momentanen Steigung und dem Berührpunkt eine Tangentengleichung aufstellst, kannst du hier nochmal nachlesen.
Genau so entsteht der Übergang:
Sekante → Tangente
mittlere Steigung → momentane Steigung
Differenzenquotient → Differentialquotient
Probiere es selbst aus – schiebe x₂ immer näher an x₁
und beobachte wie sich die Sekante der Tangente annähert:
x₂
3.50
m = 4.50
Der Differentialquotient
→ Grenzwert der Sekantensteigung
\(
\lim\limits_{{\textcolor{orange}{x_2}} \to {\textcolor{orangered}{x_1}}}
\dfrac{f({\textcolor{orange}{x_2}})-f({\textcolor{orangered}{x_1}})}
{{\textcolor{orange}{x_2}}-{\textcolor{orangered}{x_1}}}
\)
→ ergibt die Tangentensteigung
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Mehr dazu
in unseren FAQs
Was ist der Unterschied zwischen Differenzenquotient und Differentialquotient?
Warum brauche ich zwei Punkte für den Differenzenquotienten?
Warum kann man die momentane Steigung nicht direkt berechnen?
Was bedeutet der Grenzwert beim Differentialquotienten?
Was passiert, wenn x₂ immer näher an x₁ rückt?
Mehr dazu
Weiterführende Informationen
Differenzenquotient vs. Differentialquotient
Sekante vs. Tangente
Bisher haben wir Steigungen rechnerisch bestimmt. Im Bild siehst du jetzt, was geometrisch dahintersteckt.
Im Bild siehst du eine Sekante und eine Tangente an einer Funktion.
Sekante:
schneidet den Funktionsgraphen
in zwei Punkten.
→ beschreibt die mittlere Änderung
zwischen zwei Stellen
→ rechnerisch:
Differenzenquotient
Tangente:
berührt den Funktionsgraphen
in genau einem Punkt.
→ beschreibt die momentane Änderung
an dieser Stelle
→ rechnerisch:
Differentialquotient
bzw. Ableitung
Die Tangente entsteht als Grenzfall aus der Sekante.
Sekante
→ zweiter Punkt
\( {\textcolor{orange}{x_2}} \)
rückt immer näher an
\( {\textcolor{orangered}{x_1}} \)
→ Abstand wird immer kleiner
→ Tangente
Die Steigung der Sekante berechnen wir mit dem Differenzenquotienten. Die Steigung der Tangente beschreibt der Differentialquotient.
Sekante und Tangente
Sekante
→ zwei Punkte → mittlere Steigung
→ Differenzenquotient
Tangente
→ ein Punkt → momentane Steigung
→ Differentialquotient
Vom Differenzenquotient zur Ableitung
Vertiefung
