Wie geht Ableiten?
Quotientenregel
Was ist die Quotientenregel?
Einige Funktionen sind zusammengesetzt aus dem Quotienten zweier einzelner Funktionen. Diese werden als gebrochenrationale Funktionen bezeichnet. Um sie abzuleiten, verwendet man die Quotientenregel.
Wir zeigen dir, wie du die Quotientenregel anwendest und on Top bekommst du noch Übungsaufgaben, um alles zu festigen.
Übersetzen wir die Quotientenregel in Worte, so besagt sie:
Erste Funktion abgeleitet mal zweite Funktion hingeschrieben minus erste Funktion hingeschrieben mal zweite Funktion abgeleitet geteilt durch zweite Funktion ins Quadrat.
Du willst dein Ergebnis prüfen? Weiter unten findest du unseren Quotientenregel-Rechner mit Rechenweg.
Ableiten mit der Quotientenregel
Das Beispiel zeigt eine Funktion, die sich zusammensetzt aus einem Quotienten zweier Funktionen:
Um die Anwendung der Quotientenregel so einfach wie möglich zu gestalten, betrachten wir die beiden Funktionen zunächst getrennt und leiten sie einzeln ab.
Um die Quotientenregel zu vervollständigen benötigen wir noch das Quadrat der zweiten Funktion:
Nun haben wir alle Informationen zusammengetragen, und es bleibt lediglich, alles in die Quotientenregel einzusetzen und zusammenzufassen.
Achte beim Einsetzen auf die Klammer um \(x^2+3x\). Das Minus davor gilt für beide Summanden, deshalb steht in der dritten Zeile \(-x^2-3x\).
Die Quotientenregel wird angewendet, wenn eine Funktion als Quotient zweier Funktionen dargestellt ist.
Quotientenregel oder nicht?
Nicht immer, wenn du einen Bruch siehst, ist es nötig, die Quotientenregel anzuwenden. Manchmal ist es ganz einfach, die Funktion ein wenig umzustellen. Wir schauen uns zwei Beispiele an, die das verdeutlichen.
Um diese Funktion abzuleiten, brauchen wir die Quotientenregel nicht. Wir müssen sie nur ein wenig umstellen, und schon ist der Bruch verschwunden:
Nun können wir zur Ableitung die Kettenregel nutzen. Wenn du dir noch einmal anschauen möchtest, wie man eine solche Funktion umstellt, schau dir gerne unseren Beitrag mit Tipps und Tricks an.
Fertig abgeleitet sieht das so aus. Die innere Ableitung von \(x+3\) ist 1:
Aber wie kann man erkennen, dass es nicht nötig ist, die Quotientenregel zu nutzen?
Die Quotientenregel nutzt du immer dann, wenn zwei Funktionen den Zähler und den Nenner des Bruchs bilden.
Es handelt sich also nicht um zwei Funktionen, die den Bruch bilden, und wir können die Funktion umstellen.
Handelt es sich hier um einen Quotienten aus zwei Funktionen?
Nach dem, was wir bereits wissen, gilt also wieder, dass wir die Funktion umstellen können und somit die Anwendung der Quotientenregel nicht nötig ist.
Jetzt reicht die Faktorregel. Der Faktor \(\frac{1}{3}\) bleibt einfach stehen:
Setzt sich der Bruch aus zwei Funktionen zusammen, wenden wir die Quotientenregel an.
Du erkennst eine Funktion in einem Quotienten daran, dass sie eine Variable wie beispielsweise \(x\) enthält.
Umformen lohnt sich
Wir haben festgehalten, dass du die Quotientenregel immer dann anwenden musst, wenn eine Funktion aus einem Quotienten zweier Funktionen besteht. Doch wie so oft gibt es auch hier Ausnahmen und die wollen wir nun betrachten.
Wir betrachten zunächst Zähler und Nenner getrennt, um zu sehen, ob es sich um zwei Funktionen handelt.
Es handelt sich ganz offensichtlich um einen Quotienten aus zwei Funktionen. Wenden wir jetzt also die Quotientenregel an? Wir schauen einmal genauer hin:
Und schon haben wir eine einfach strukturierte Funktion, die sich mit der Summenregel ableiten lässt. Du siehst: Manchmal lohnt sich ein zweiter Blick und ein wenig Umformungsarbeit, um das Ableiten zu erleichtern.
Die 1 fällt beim Ableiten weg, aus \(x^{-2}\) wird mit der Potenzregel \(-2x^{-3}\):
Zum Vergleich der Weg mit der Quotientenregel. Mit \(\textcolor{orangered}{u'(x)=2x}\) und \(\textcolor{green}{v'(x)=2x}\) kommst du auf dasselbe Ergebnis, brauchst aber mehr Schritte:
Wann Umformen schneller ist als die Quotientenregel, siehst du mit deinem Tutor bald selbst.
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Quotientenregel mit e-Funktion
Steht im Zähler oder im Nenner eine e-Funktion, gehst du genauso vor wie bisher. Ein Trick spart dir dabei viel Schreibarbeit: \(e^x\) ausklammern.
Die Ableitung von \(e^x\) ist wieder \(e^x\). Damit hast du alle Bausteine:
Einsetzen und im Zähler \(e^x\) ausklammern:
In dieser Form siehst du sofort, wo die Ableitung null wird. \(e^x\) ist nie null, also bleibt nur \(x-1=0\). An der Stelle \(x=1\) hat der Graph eine waagerechte Tangente.
e-Funktion im NennerJetzt ist \(\textcolor{orangered}{u(x)=x}\) und \(\textcolor{green}{v(x)=e^x}\). Nach dem Ausklammern kannst du einmal \(e^x\) kürzen, denn \((e^x)^2=e^x\cdot e^x\):
Du kannst \(\frac{x}{e^x}\) auch als \(x\cdot e^{-x}\) schreiben und mit der Produktregel und der Kettenregel ableiten. Du kommst auf dasselbe Ergebnis.
Beispiel und Zusammenfassung: Quotientenregel mit sin(x)
Der erste Schritt ist zu kontrollieren, ob die Quotientenregel die richtige Wahl ist.
Unser Quotient besteht aus zwei Funktionen, und auch bei genauerem Hinsehen finden wir keinen Weg, die Funktion umzuformen.
Als Nächstes betrachten wir Zähler und Nenner getrennt und werden beide für sich ableiten.
Der letzte Baustein, den wir benötigen, ist das Quadrat des Nenners:
Nun sind wir bereit, alles in die Quotientenregel einzusetzen und so die Ableitung zu vervollständigen.
- Überprüfen, ob es sich um einen Quotienten aus zwei Funktionen handelt.
- Die beiden Funktionen \(\textcolor{orangered}{u(x)}\) und \(\textcolor{green}{v(x)}\) identifizieren.
- \(\textcolor{orangered}{u(x)}\) und \(\textcolor{green}{v(x)}\) getrennt voneinander ableiten.
- Die Quotientenregel aufschreiben und alles einsetzen.
- Gegebenenfalls zusammenfassen.
Quotientenregel-Rechner: Ableitung mit Rechenweg
Brüche ableiten mit Rechenweg
Gib den Zähler und den Nenner ein. Der Rechner leitet beide ab, setzt alles in die Quotientenregel ein, fasst den Zähler zusammen und kürzt, wo es geht.
Erlaubt sind Terme mit x wie 3x^2-1 oder (x+1)^2, auch mit Kommazahlen wie 0,5x.
Der Rechner arbeitet mit Termen aus Zahlen und x in Zähler und Nenner, also mit gebrochenrationalen Funktionen. Bei Brüchen mit sin, cos oder e-Funktion gehst du vor wie in den Beispielen oben.
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in unseren FAQs
Wann wendet man die Quotientenregel an?
Die Quotientenregel wird verwendet, wenn eine Funktion in der Form eines Bruchs aus zwei anderen Funktionen gegeben ist, zum Beispiel f(x)/g(x).
Ein Beispiel ist \(f(x)=\frac{x^2+3x}{x-2}\). Hier stehen im Zähler und im Nenner Terme mit x. Steht dagegen nur im Zähler oder nur im Nenner ein x, kannst du meistens umformen und brauchst die Quotientenregel gar nicht. Wie das geht, zeigen wir im Abschnitt Quotientenregel oder nicht?.
Ist die Quotientenregel bei allen Funktionen anwendbar?
Die Regel gilt, solange der Nenner der Funktion nicht null ist, da Division durch null mathematisch nicht definiert ist.
Außerdem müssen Zähler und Nenner selbst ableitbar sein. Bei Polynomen, e-Funktionen, Sinus und Kosinus ist das überall der Fall. An den Stellen, an denen der Nenner null wird, sind weder \(f\) noch \(f'\) definiert.
Was unterscheidet die Quotientenregel von der Produktregel?
Während die Produktregel für das Produkt zweier Funktionen verwendet wird, beschäftigt sich die Quotientenregel mit dem Verhältnis (Bruch) zweier Funktionen.
Auch die Formeln sehen sich ähnlich. Bei der Quotientenregel steht im Zähler ein Minus statt eines Plus, und unter dem Bruchstrich kommt der Nenner zum Quadrat dazu:
Mehr zur Produktregel findest du im Beitrag Produktregel.
Was ist zu beachten, wenn der Nenner konstant ist?
Wenn der Nenner konstant ist, vereinfacht sich die Anwendung der Quotientenregel erheblich, da die Ableitung des Nenners null ist.
Mit \(v'(x)=0\) fällt der zweite Teil im Zähler weg, und übrig bleibt \(\frac{u'(x)}{v(x)}\). Noch schneller geht es, wenn du die Zahl im Nenner als Faktor nach vorne ziehst:
Warum ist die Reihenfolge der Ableitungen wichtig?
Die Reihenfolge bestimmt das Vorzeichen und die Korrektheit des Ergebnisses. Ein Fehler in der Reihenfolge kann zu falschen Lösungen führen.
Beim Plus der Produktregel ist die Reihenfolge egal, beim Minus nicht. Vertauschst du die beiden Produkte, bekommst du genau das negative Ergebnis. Vorne steht deshalb immer die Ableitung des Zählers. Die Eselsbrücke „NAZ minus ZAN durch N-Quadrat“ hilft dir, das zu behalten.
Gibt es eine Abkürzung, wenn im Zähler nur eine 1 steht?
Ja. Mit \(u(x)=1\) ist \(u'(x)=0\), und der erste Teil im Zähler fällt weg. Übrig bleibt die Kehrwertregel:
Zum Beispiel ist:
Für \(\frac{1}{x}\) bekommst du \(-\frac{1}{x^2}\), genau wie mit der Potenzregel bei \(x^{-1}\).
Wo ist die Ableitung eines Bruchs definiert?
Überall dort, wo auch die Funktion selbst definiert ist. Im Nenner der Ableitung steht \((v(x))^2\), und das wird genau dann null, wenn \(v(x)\) null wird.
Bei \(f(x)=\frac{x^2+3x}{x-2}\) sind \(f\) und \(f'\) deshalb beide für \(x=2\) nicht definiert. Wie du solche Stellen findest, zeigen wir dir im Beitrag Definitionsmenge bestimmen.
Mehr dazu
Weiterführende Informationen
Eselsbrücke für die Quotientenregel
Viele merken sich die Quotientenregel mit einem kurzen Spruch: „NAZ minus ZAN durch N-Quadrat“.
- NAZ: Nenner mal Ableitung des Zählers, also \(\textcolor{green}{v(x)}\cdot\textcolor{orangered}{u'(x)}\)
- ZAN: Zähler mal Ableitung des Nenners, also \(\textcolor{orangered}{u(x)}\cdot\textcolor{green}{v'(x)}\)
- N-Quadrat: der Nenner zum Quadrat, also \(\textcolor{green}{(v(x))^2}\)
Das ist dieselbe Regel wie oben, nur mit vertauschten Faktoren im ersten Produkt. Beim Malnehmen ist die Reihenfolge egal, beim Minus nicht. Entscheidend ist: Das Produkt mit der Ableitung des Zählers steht vorne.
Probier es am Beispiel \(f(x)=\frac{x}{x+1}\): Nenner mal Ableitung des Zählers ist \((x+1)\cdot 1\), Zähler mal Ableitung des Nenners ist \(x\cdot 1\). Also gilt:
Typische Fehler bei der Quotientenregel
Bei der Quotientenregel passieren immer wieder dieselben Fehler. Wenn du sie kennst, fallen sie dir beim Nachrechnen sofort auf.
Fehler 1: Zähler und Nenner einzeln ableitenDie Ableitung eines Bruchs ist nicht die Ableitung des Zählers geteilt durch die Ableitung des Nenners. Das siehst du an \(f(x)=\frac{x^2}{x}\). Gekürzt ist das einfach \(x\), die Ableitung ist also 1.
Rechnest du \(u(x)\cdot v'(x)-u'(x)\cdot v(x)\), bekommst du genau das falsche Vorzeichen. Bei \(\frac{x}{x+1}\) kommt dann \(-\frac{1}{(x+1)^2}\) heraus statt \(\frac{1}{(x+1)^2}\). Merke dir: Die Ableitung des Zählers steht im ersten Produkt.
Fehler 3: Den Nenner nicht quadriertUnter den Bruchstrich gehört \((v(x))^2\) und nicht \(v(x)\). Wenn du das Quadrat vergisst, stimmt das Ergebnis an fast keiner Stelle.
Wer sich dabei schwer tut, kann in unserer Mathenachhilfe gezielt Unterstützung finden.
Herleitung der Quotientenregel
Die Quotientenregel musst du nicht einfach glauben. Du kannst sie mit der Produktregel und der Kettenregel selbst herleiten. Wir lassen dafür das (x) weg und schreiben kurz u und v.
1. Den Bruch als Produkt schreiben. Teilen durch v ist dasselbe wie Malnehmen mit \(v^{-1}\):
2. Die Produktregel anwenden:
3. Den zweiten Faktor mit der Kettenregel ableiten. Außen steht die Hochzahl −1, innen steht v:
4. Einsetzen und auf einen Bruchstrich bringen. Dazu erweiterst du den ersten Bruch mit v:
Genau das ist die Quotientenregel. Jetzt siehst du auch, woher das Minus im Zähler kommt: aus der Hochzahl −1. Und das Quadrat im Nenner entsteht, weil aus \(v^{-1}\) beim Ableiten \(v^{-2}\) wird.
tan(x) mit der Quotientenregel ableiten
Ein klassisches Beispiel für die Quotientenregel ist der Tangens. Denn \(\tan(x)\) ist nichts anderes als ein Bruch:
Im Zähler der Quotientenregel stehen zwei Produkte. Beim zweiten werden aus den beiden Minuszeichen ein Plus:
Unter den Bruchstrich kommt der Nenner zum Quadrat:
Jetzt hilft der trigonometrische Pythagoras: \(\sin^2(x)+\cos^2(x)=1\). Damit bekommst du die bekannte Ableitung des Tangens:
Teilst du den Bruch aus der zweiten Zeile stattdessen in zwei Brüche auf, kommst du auf eine zweite Form, die genauso richtig ist: \((\tan(x))'=1+\tan^2(x)\).
Quotientenregel und Kettenregel kombinieren
Oft steckt im Nenner eine Klammer mit Hochzahl. Dann brauchst du für die Ableitung des Nenners zusätzlich die Kettenregel. Und am Ende kannst du meistens kürzen, wenn du den Nenner nicht ausmultiplizierst.
Beim Einsetzen wird aus dem Nenner \(((x+1)^2)^2=(x+1)^4\). Im Zähler steckt in beiden Produkten der Faktor \((x+1)\). Den klammerst du aus und kürzt ihn gegen den Nenner:
Hättest du den Nenner zu \(x^4+4x^3+6x^2+4x+1\) ausmultipliziert, wäre der gemeinsame Faktor kaum noch zu erkennen. Lass Klammern im Nenner deshalb stehen.
Anwendung: Extrempunkte einer gebrochenrationalen Funktion
Die Quotientenregel brauchst du vor allem, wenn du bei gebrochenrationalen Funktionen Extrempunkte suchst. Dabei hilft eine einfache Überlegung: Ein Bruch ist genau dann null, wenn sein Zähler null ist und der Nenner nicht.
Mit \(\textcolor{orangered}{u'(x)=1}\) und \(\textcolor{green}{v'(x)=2x}\) bekommst du:
Der Nenner ist immer positiv. Für die Extremstellen setzt du also nur den Zähler gleich null:
Das Vorzeichen von \(f'\) hängt nur vom Zähler \(1-x^2\) ab. Links von −1 ist er negativ, zwischen −1 und 1 positiv, rechts von 1 wieder negativ. Der Graph fällt also, steigt und fällt wieder. Mit \(f(-1)=-0{,}5\) und \(f(1)=0{,}5\) liegen der Tiefpunkt bei \(T(-1\,|\,{-0{,}5})\) und der Hochpunkt bei \(H(1\,|\,0{,}5)\).
