Wie geht Ableiten?

Quotientenregel

Lisa von OnMathe

Einleitung

Einige Funktionen sind zusammengesetzt aus dem Quotienten zweier einzelner Funktionen. Diese werden als gebrochenrationale Funktionen bezeichnet. Um sie abzuleiten, verwendet man die Quotientenregel.
Wir zeigen dir, wie du die Quotientenregel anwendest und on Top bekommst du noch Übungsaufgaben, um alles zu festigen. 

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Merke
\( f(x) = \dfrac{\textcolor{orangered}{u(x)}}{\textcolor{green}{v(x)}} \)
\( f'(x) = \dfrac{\textcolor{orangered}{u'(x)} \cdot \textcolor{green}{v(x)} - \textcolor{orangered}{u(x)} \cdot \textcolor{green}{v'(x)}}{\textcolor{green}{(v(x))^2}} \)
Übersetzen wir die Quotientenregel in Worte, so besagt sie:
Erste Funktion abgeleitet mal zweite Funktion hingeschrieben minus erste Funktion hingeschrieben mal zweite Funktion abgeleitet geteilt durch zweite Funktion ins Quadrat .

Inhaltsverzeichnis

Das erwartet Dich

Einleitung
Ableiten mit der Quotientenregel
Quotientenregel oder nicht?
Umformen lohnt sich
Beispiel und Zusammenfassung

Einleitung

Einige Funktionen sind zusammengesetzt aus dem Quotienten zweier einzelner Funktionen. Diese werden als gebrochenrationale Funktionen bezeichnet. Um sie abzuleiten, verwendet man die Quotientenregel.
Wir zeigen dir, wie du die Quotientenregel anwendest und on Top bekommst du noch Übungsaufgaben, um alles zu festigen. 

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Merke
\( f(x) = \dfrac{\textcolor{orangered}{u(x)}}{\textcolor{green}{v(x)}} \)
\( f'(x) = \dfrac{\textcolor{orangered}{u'(x)} \cdot \textcolor{green}{v(x)} - \textcolor{orangered}{u(x)} \cdot \textcolor{green}{v'(x)}}{\textcolor{green}{(v(x))^2}} \)
Übersetzen wir die Quotientenregel in Worte, so besagt sie:
Erste Funktion abgeleitet mal zweite Funktion hingeschrieben minus erste Funktion hingeschrieben mal zweite Funktion abgeleitet geteilt durch zweite Funktion ins Quadrat .

Ableiten mit der Quotientenregel

Beispiel
\(f(x)= \dfrac{x^2+3x}{x-2} \)
Das Beispiel zeigt eine Funktion, die sich zusammensetzt aus einem Quotienten zweier Funktionen:
Erste Funktion: \(\ \textcolor{orangered}{u(x)}=\textcolor{orangered}{x^2+3x}\)
Zweite Funktion: \(\textcolor{green}{v(x)}= \textcolor{green}{x-2}\)
Um die Anwendung der Quotientenregel so einfach wie möglich zu gestalten, betrachten wir die beiden Funktionen zunächst getrennt und leiten sie einzeln ab.
Erste Funktion: \(\ \textcolor{orangered}{u(x)}=\textcolor{orangered}{x^2+3x}\)
Erste Ableitung: \(\textcolor{orangered}{v'(x)}= \textcolor{orangered}{2x+3}\)
Zweite Funktion: \(\textcolor{green}{v(x)}= \textcolor{green}{x-2}\)
Zweite Ableitung: \(\textcolor{green}{v'(x)}= \textcolor{green}{1}\)
Um die Quotientenregel zu vervollständigen benötigen wir noch das Quadrat der zweiten Funktion:
Zweite Funktion: \(\textcolor{green}{v(x)}= \textcolor{green}{x-2}\)
Zweite Funktion ins Quadrat: \(\textcolor{green}{(v(x))^2}= \textcolor{green}{(x-2)^2}\)
Nun haben wir alle Informationen zusammengetragen, und es bleibt lediglich, alles in die Quotientenregel einzusetzen und zusammenzufassen.
\( f'(x) = \dfrac{\textcolor{orangered}{u'(x)} \cdot \textcolor{green}{v(x)} - \textcolor{orangered}{u(x) \cdot \textcolor{green}{v(x)} }}{\textcolor{green}{(v(x))^2}} \)
\( f'(x) = \dfrac{\textcolor{orangered}{(2x+3)} \cdot \textcolor{green}{(x-2)} - \textcolor{orangered}{(x^2+3x)} \cdot \textcolor{green}{1}}{\textcolor{green}{(x-2)^2}} \)
\(f'(x)= \dfrac{2x^2-4x+3x-6-x^2-3x}{(x-2)^2} \)
\(f'(x)= \dfrac{x^2-4x-6}{(x-2)^2} \)
Merke
Die Quotientenregel wird angewendet, wenn eine Funktion als Quotient zweier Funktionen dargestellt ist.
\( f(x) = \dfrac{\textcolor{orangered}{u(x)}}{\textcolor{green}{v(x)}} \)
\( f'(x) = \dfrac{\textcolor{orangered}{u'(x)} \cdot \textcolor{green}{v(x)} - \textcolor{orangered}{u(x)} \cdot \textcolor{green}{v'(x)}}{\textcolor{green}{(v(x))^2}} \)

Quotientenregel oder nicht?

Nicht immer, wenn du einen Bruch siehst, ist es nötig, die Quotientenregel anzuwenden. Manchmal ist es ganz einfach, die Funktion ein wenig umzustellen. Wir schauen uns zwei Beispiele an, die das verdeutlichen.
Beispiel
\(f(x)= \dfrac{4}{(x+3)^2} \)
Um diese Funktion abzuleiten, brauchen wir die Quotientenregel nicht. Wir müssen sie nur ein wenig umstellen, und schon ist der Bruch verschwunden:
\(f(x)= 4 \cdot (x+3)^{-2}\)
Nun können wir zur Ableitung die Kettenregel nutzen. Wenn du dir noch einmal anschauen möchtest, wie man eine solche Funktion umstellt, schau dir gerne unseren Beitrag mit Tipps und Tricks an.

Aber wie kann man erkennen, dass es nicht nötig ist, die Quotientenregel zu nutzen?
Die Quotientenregel nutzt du immer dann, wenn zwei Funktionen den Zähler und den Nenner des Bruchs bilden.
Zähler: \(\textcolor{orangered}{4}\)   →   keine Variable - keine Funktion
Nenner: \(\textcolor{green}{x-2}\)   →   enthält die Variable \(x\) - ist eine Funktion
Es handelt sich also nicht um zwei Funktionen, die den Bruch bilden, und wir können die Funktion umstellen.
Beispiel
\(f(x)= \dfrac{x^2+2x-1}{3} \)
Handelt es sich hier um einen Quotienten aus zwei Funktionen?
Zähler: \(\textcolor{orangered}{x^2+2x-1}\)   →   enthält die Variable \(x\) - ist eine Funktion
Nenner: \(\textcolor{green}{3}\)   →   keine Variable - keine Funktion
Nach dem, was wir bereits wissen, gilt also wieder, dass wir die Funktion umstellen können und somit die Anwendung der Quotientenregel nicht nötig ist.
\(f(x)= \dfrac{1}{3}\ (x^2+2x-1)\)
Zusammengefasst
Setzt sich der Bruch aus zwei Funktionen zusammen, wenden wir die Quotientenregel an. Du erkennst eine Funktion in einem Quotienten daran, dass sie eine Variable wie beispielsweise \(x\) enthält.

Umformen lohnt sich

Wir haben festgehalten, dass du die Quotientenregel immer dann anwenden musst, wenn eine Funktion aus einem Quotient zweier Funktionen besteht. Doch wie so oft gibt es auch hier Ausnahmen und die wollen wir nun betrachten.
Beispiel
\(f(x)= \dfrac{1+x^2}{x^2} \)
Wir betrachten zunächst Zähler und Nenner getrennt, um zu sehen, ob es sich um zwei Funktionen handelt.
Zähler: \(\textcolor{orangered}{1+x^2}\)   →   enthält die Variable \(x\) - ist eine Funktion
Nenner: \(\textcolor{green}{x^2}\)   →   enthält die Variable \(x\) - ist eine Funktion
Es handelt sich ganz offensichtlich um einen Quotienten aus zwei Funktionen. Wenden wir jetzt also die Quotientenregel an? Wir schauen einmal genauer hin:
\(f(x)= \dfrac{1+x^2}{x^2} \)
\(f(x)= \dfrac{1}{x^2} + \dfrac{x^2}{x^2} \)
\(f(x)= \dfrac{1}{x^2} + 1 \)
\(f(x)= x^{-2} + 1 \)
Und schon haben wir eine einfach strukturierte Funktion, die sich mit der Summenregel ableiten lässt. Du sieht, manchmal lohnt sich ein zweiter Blick und ein wenig Umformungsarbeit, um das Ableiten zu erleichtern.

Beispiel und Zusammenfassung

Beispiel
\(f(x)= \dfrac{sin(x)}{x-1} \)
Der erste Schritt ist zu kontrollieren, ob die Quotientenregel die richtige Wahl ist.
Zähler: \(\textcolor{orangered}{sin(x)}\)   →   enthält die Variable \(x\) - ist eine Funktion
Nenner: \(\textcolor{green}{x-1}\)   →   enthält die Variable \(x\) - ist eine Funktion
Unser Quotient besteht aus zwei Funktionen, und auch bei genauerem Hinsehen finden wir keinen Weg, die Funktion umzuformen.
Als nächstes betrachten wir Zähler und Nenner getrennt und werden beide für sich ableiten.
Erste Funktion: \(\ \textcolor{orangered}{u(x)}=\textcolor{orangered}{sin(x)}\)
Erste Ableitung: \(\textcolor{orangered}{v'(x)}= \textcolor{orangered}{cos(x)}\)
Zweite Funktion: \(\textcolor{green}{v(x)}= \textcolor{green}{x-1}\)
Zweite Ableitung: \(\textcolor{green}{v'(x)}= \textcolor{green}{1}\)
Der letzte Baustein, den wir benötigen, ist das Quadrat des Nenners:
Zweite Funktion: \(\textcolor{green}{v(x)}= \textcolor{green}{x-1}\)
Zweite Funktion ins Quadrat: \(\textcolor{green}{(v(x))^2}= \textcolor{green}{(x-1)^2}\)
Nun sind wir bereit, alles in die Quotientenregel einzusetzen und so die Ableitung zu vervollständigen.
\( f'(x) = \dfrac{\textcolor{orangered}{u'(x)} \cdot \textcolor{green}{v(x)} - \textcolor{orangered}{u(x) \cdot \textcolor{green}{v(x)} }}{\textcolor{green}{(v(x))^2}} \)
\( f'(x) = \dfrac{\textcolor{orangered}{cos(x)} \cdot \textcolor{green}{(x-1)} - \textcolor{orangered}{sin(x)} \cdot \textcolor{green}{1}}{\textcolor{green}{(x-1)^2}} \)
\(f'(x)= \dfrac{(x-1)\cos(x)-sin(x)}{(x-1)^2} \)
Leitfaden
  • Überprüfen ob es sich um einen Quotienten aus zwei Funktionen handelt.
  • Die beiden Funktionen \(\textcolor{orangered}{u(x)}\) und \(\textcolor{green}{v(x)}\) identifizieren
  • \(\textcolor{orangered}{u(x)}\) und \(\textcolor{green}{v(x)}\) getrennt voneinander ableiten.
  • Die Quotientenregel aufschreiben und alles einsetzen
  • Gegebenenfalls zusammenfassen.
Merke
\( f(x) = \dfrac{\textcolor{orangered}{u(x)}}{\textcolor{green}{v(x)}} \)
\( f'(x) = \dfrac{\textcolor{orangered}{u'(x)} \cdot \textcolor{green}{v(x)} - \textcolor{orangered}{u(x)} \cdot \textcolor{green}{v'(x)}}{\textcolor{green}{(v(x))^2}} \)

Teste dein Wissen

Übungen

Leite mit Hilfe der Quotientenregel ab.

\( f(x) = \dfrac{3-x}{x-4} \)

Lösung

\( f'(x) = \dfrac{1}{(x-4)^2} \)

\( f(x) = \dfrac{x^2+2x}{x^2-4} \)

Lösung

\( f'(x) = -\dfrac{2}{(x-2)^2} \)

\( f(x) = \dfrac{x^2}{cos(x)} \)

Lösung

\( f'(x) = \dfrac{x(x\sin(x)+2\cos(x))}{\cos(x)^2} \)

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Mehr dazu

in unseren FAQs

Wann wendet man die Quotientenregel an?

Die Quotientenregel wird verwendet, wenn eine Funktion in der Form eines Bruchs aus zwei anderen Funktionen gegeben ist, zum Beispiel  f(x)/g(x).

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Ist die Quotientenregel bei allen Funktionen anwendbar?

Die Regel gilt, solange der Nenner der Funktion nicht null ist, da Division durch null mathematisch nicht definiert ist.

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Was unterscheidet die Quotientenregel von der Produktregel?

Während die Produktregel für das Produkt zweier Funktionen verwendet wird, beschäftigt sich die Quotientenregel mit dem Verhältnis (Bruch) zweier Funktionen.

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Was ist zu beachten, wenn der Nenner konstant ist?

Wenn der Nenner konstant ist, vereinfacht sich die Anwendung der Quotientenregel erheblich, da die Ableitung des Nenners null ist.

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Warum ist die Reihenfolge der Ableitungen wichtig?

Die Reihenfolge bestimmt das Vorzeichen und die Korrektheit des Ergebnisses. Ein Fehler in der Reihenfolge kann zu falschen Lösungen führen.

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Vertiefung

Weiterführende Informationen

Die Quotientenregel – ein Werkzeug für die Ableitung von Brüchen

Die Quotientenregel ist ein fundamentales Prinzip der Differentialrechnung. Sie ermöglicht es dir, die Ableitung einer Funktion zu berechnen, die als Bruch zweier anderer Funktionen dargestellt wird. Dieses Konzept ist nicht nur ein zentraler Bestandteil der Mathematik, sondern auch ein unverzichtbares Werkzeug in Bereichen wie Physik, Wirtschaft und Technik.

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Was ist die Quotientenregel?

Die Quotientenregel kommt dann zur Anwendung, wenn eine Funktion als Verhältnis von zwei anderen Funktionen beschrieben wird. Beispielsweise könnte eine Funktion aus einem Zähler (oben im Bruch) und einem Nenner (unten im Bruch) bestehen. Mit der Quotientenregel kannst du die Änderungsrate dieser zusammengesetzten Funktion bestimmen.

Ein Beispiel: Du möchtest die Ableitung der Funktion berechnen, die durch eine Division wie f(x)/g(x) dargestellt wird. Die Quotientenregel zeigt dir, wie die Ableitungen des Zählers und des Nenners kombiniert werden, um das Ergebnis zu erhalten.

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Praktische Anwendungen der Quotientenregel

  • In der Physik: Sie wird genutzt, um Verhältnisse wie Geschwindigkeit oder Beschleunigung zu analysieren.
  • In der Wirtschaft: Verhältnisse wie Gewinn- oder Kostenanalysen werden oft mit Hilfe der Quotientenregel untersucht.
  • In der Technik: Sie kommt bei Berechnungen von Effizienz oder Optimierungen zum Einsatz.

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Häufige Fehler vermeiden

  1. Verwechslung von Zähler und Nenner: Es ist wichtig, die korrekten Funktionen den richtigen Positionen im Bruch zuzuordnen.
  2. Nullstellen im Nenner: Achte darauf, dass der Nenner der Funktion niemals null wird, da dies die Berechnung unmöglich macht.
  3. Reihenfolge der Ableitungen: Die Quotientenregel hat eine klare Struktur, die unbedingt eingehalten werden muss.

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Tipps zur besseren Anwendung der Quotientenregel

  • Schreibe die einzelnen Schritte der Berechnung immer klar und übersichtlich auf.
  • Verstehe zuerst die Produktregel, da diese eng mit der Quotientenregel verwandt ist.
  • Übe mit einfachen Beispielen und steigere die Komplexität allmählich.

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Die Bedeutung der Quotientenregel

Die Quotientenregel ermöglicht es, selbst komplizierte Funktionen, die als Bruch dargestellt werden, präzise zu analysieren. Ihre universelle Anwendbarkeit macht sie zu einem der wichtigsten Werkzeuge in der Mathematik.

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