Strukturen in Termen erkennen
Die binomischen Formeln
Lisa & Gregor von OnMathe
Einleitung
Binomische Formeln sind ein schneller Weg, wie du eine Klammern mit hoch 2 viel schneller ausmultiplizieren kannst.
Beispiel
\( ({\textcolor{orange}{x}} + {\textcolor{steelblue}{3}})^2 \)
Wir nutzen die 1. binomische Formel.
\(=\)\( {\textcolor{orange}{x}}^2 \)
\( + \)
\( 2 \cdot {\textcolor{orange}{x}} \cdot {\textcolor{steelblue}{3}} \)
\( + \)
\( {\textcolor{steelblue}{3}}^2 \)
\(=\)\({\textcolor{orange}{x}}^2 \)
\( + \)
\( {\textcolor{green}{6x}} \)
\( + \)
\( {\textcolor{steelblue}{9}} \)
Erstes Quadrat – Doppelprodukt – zweites Quadrat
Merke
| Binom | Form | Ergebnis |
|---|---|---|
| 1. Binom | \( ({\textcolor{orange}{a}} + {\textcolor{steelblue}{b}})^2 \) | \( {\textcolor{orange}{a}}^2 + 2 \cdot {\textcolor{orange}{a}} \cdot {\textcolor{steelblue}{b}} + {\textcolor{steelblue}{b}}^2 \) |
| 2. Binom | \( ({\textcolor{orange}{a}} - {\textcolor{steelblue}{b}})^2 \) | \( {\textcolor{orange}{a}}^2 - 2 \cdot {\textcolor{orange}{a}} \cdot {\textcolor{steelblue}{b}} + {\textcolor{steelblue}{b}}^2 \) |
| 3. Binom | \( ({\textcolor{orange}{a}} + {\textcolor{steelblue}{b}})\,({\textcolor{orange}{a}} - {\textcolor{steelblue}{b}}) \) | \( {\textcolor{orange}{a}}^2 - {\textcolor{steelblue}{b}}^2 \) |
| 1. Binom |
| \( ({\textcolor{orange}{a}} + {\textcolor{steelblue}{b}})^2 \) |
| \( = {\textcolor{orange}{a}}^2 + 2 \cdot {\textcolor{orange}{a}} \cdot {\textcolor{steelblue}{b}} + {\textcolor{steelblue}{b}}^2 \) |
| 2. Binom |
| \( ({\textcolor{orange}{a}} - {\textcolor{steelblue}{b}})^2 \) |
| \( = {\textcolor{orange}{a}}^2 - 2 \cdot {\textcolor{orange}{a}} \cdot {\textcolor{steelblue}{b}} + {\textcolor{steelblue}{b}}^2 \) |
| 3. Binom |
| \( ({\textcolor{orange}{a}} + {\textcolor{steelblue}{b}})\,({\textcolor{orange}{a}} - {\textcolor{steelblue}{b}}) \) |
| \( = {\textcolor{orange}{a}}^2 - {\textcolor{steelblue}{b}}^2 \) |
Im Beitrag lernst du, wie du alle drei binomischen Formeln sicher erkennst, richtig anwendest und typische Fehler vermeidest.
Binomische-Formeln-Rechner
Wähle zuerst die Binomische Formel, gib dann zwei Werte ein und lass dir den Rechenweg anzeigen.
a
b
Wähle eine Formel und gib zwei Werte ein.
Einleitung
Binomische Formeln sind ein schneller Weg, wie du eine Klammern mit hoch 2 viel schneller ausmultiplizieren kannst.
Beispiel
\( ({\textcolor{orange}{x}} + {\textcolor{steelblue}{3}})^2 \)
Wir nutzen die 1. binomische Formel.
\(=\)\( {\textcolor{orange}{x}}^2 \)
\( + \)
\( 2 \cdot {\textcolor{orange}{x}} \cdot {\textcolor{steelblue}{3}} \)
\( + \)
\( {\textcolor{steelblue}{3}}^2 \)
\(=\)\({\textcolor{orange}{x}}^2 \)
\( + \)
\( {\textcolor{green}{6x}} \)
\( + \)
\( {\textcolor{steelblue}{9}} \)
Erstes Quadrat – Doppelprodukt – zweites Quadrat
Merke
| Binom | Form | Ergebnis |
|---|---|---|
| 1. Binom | \( ({\textcolor{orange}{a}} + {\textcolor{steelblue}{b}})^2 \) | \( {\textcolor{orange}{a}}^2 + 2 \cdot {\textcolor{orange}{a}} \cdot {\textcolor{steelblue}{b}} + {\textcolor{steelblue}{b}}^2 \) |
| 2. Binom | \( ({\textcolor{orange}{a}} - {\textcolor{steelblue}{b}})^2 \) | \( {\textcolor{orange}{a}}^2 - 2 \cdot {\textcolor{orange}{a}} \cdot {\textcolor{steelblue}{b}} + {\textcolor{steelblue}{b}}^2 \) |
| 3. Binom | \( ({\textcolor{orange}{a}} + {\textcolor{steelblue}{b}})\,({\textcolor{orange}{a}} - {\textcolor{steelblue}{b}}) \) | \( {\textcolor{orange}{a}}^2 - {\textcolor{steelblue}{b}}^2 \) |
| 1. Binom |
| \( ({\textcolor{orange}{a}} + {\textcolor{steelblue}{b}})^2 \) |
| \( = {\textcolor{orange}{a}}^2 + 2 \cdot {\textcolor{orange}{a}} \cdot {\textcolor{steelblue}{b}} + {\textcolor{steelblue}{b}}^2 \) |
| 2. Binom |
| \( ({\textcolor{orange}{a}} - {\textcolor{steelblue}{b}})^2 \) |
| \( = {\textcolor{orange}{a}}^2 - 2 \cdot {\textcolor{orange}{a}} \cdot {\textcolor{steelblue}{b}} + {\textcolor{steelblue}{b}}^2 \) |
| 3. Binom |
| \( ({\textcolor{orange}{a}} + {\textcolor{steelblue}{b}})\,({\textcolor{orange}{a}} - {\textcolor{steelblue}{b}}) \) |
| \( = {\textcolor{orange}{a}}^2 - {\textcolor{steelblue}{b}}^2 \) |
Im Beitrag lernst du, wie du alle drei binomischen Formeln sicher erkennst, richtig anwendest und typische Fehler vermeidest.
Binomische-Formeln-Rechner
Wähle zuerst die Binomische Formel, gib dann zwei Werte ein und lass dir den Rechenweg anzeigen.
a
b
Wähle eine Formel und gib zwei Werte ein.
1. und 2. binomische Formel
Bei der ersten beiden binomischen Formel entstehen aus der Klammer immer dieselben drei Bausteine.
Die 1. binomische Formel
Jede Klammer wird immer in drei Bausteine aufgeteilt.
| Formel | Unser Beispiel |
|---|---|
| \( ({\textcolor{orange}{a}} + {\textcolor{steelblue}{b}})^2 = \) | \( ({\textcolor{orange}{3x}} + {\textcolor{steelblue}{1}})^2 = \) |
| \( {\textcolor{orange}{a}}^2 \) | \( ({\textcolor{orange}{3x}})^2 \) |
| \( 2 \cdot {\textcolor{orange}{a}} \cdot {\textcolor{steelblue}{b}} \) | \( 2 \cdot {\textcolor{orange}{3x}} \cdot {\textcolor{steelblue}{1}} \) |
| \( {\textcolor{steelblue}{b}}^2 \) | \( ({\textcolor{steelblue}{1}})^2 \) |
Jetzt setzen wir die drei Bausteine in die erste binomische Formel ein.
So wenden wir die Formel an
\( ({\textcolor{orange}{a}} + {\textcolor{steelblue}{b}})^2 = \)
\( {\textcolor{orange}{a}}^2 \)
\( + \)
\( 2 \cdot {\textcolor{orange}{a}} \cdot {\textcolor{steelblue}{b}} \)
\( + \)
\( {\textcolor{steelblue}{b}}^2 \)
\( ({\textcolor{orange}{3x}} + {\textcolor{steelblue}{1}})^2 = \)
\( ({\textcolor{orange}{3x}})^2 \)
\( + \)
\( 2 \cdot {\textcolor{orange}{3x}} \cdot {\textcolor{steelblue}{1}} \)
\( + \)
\( ({\textcolor{steelblue}{1}})^2 \)
Zum Schluss rechnen wir aus und fassen zusammen.
\( ({\textcolor{orange}{3x}} + {\textcolor{steelblue}{1}})^2 = \)
\( {\textcolor{orange}{9x^2}} \)
\( + \)
\( {\textcolor{green}{6x}} \)
\( + \)
\( {\textcolor{steelblue}{1}} \)
1. Binomische Formel
\( ({\textcolor{orange}{a}} + {\textcolor{steelblue}{b}})^2 = \)
\( {\textcolor{orange}{a}}^2 \)
\( + \)
\( 2 \cdot {\textcolor{orange}{a}} \cdot {\textcolor{steelblue}{b}} \)
\( + \)
\( {\textcolor{steelblue}{b}}^2 \)
Erstes Quadrat – plus Doppelprodukt – plus zweites Quadrat
Typische Fehler
| ✓ Richtig | ✗ Falsch |
|---|---|
| \( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \) | \( (a+b)^2 = a^2 + b^2 \) |
| \( ({\textcolor{orange}{3x}})^2 = {\textcolor{orange}{9x^2}} \) | \( ({\textcolor{orange}{3x}})^2 = {\textcolor{orange}{3x^2}} \) |
| ✓ Richtig |
| \( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \) |
| \( ({\textcolor{orange}{3x}})^2 = {\textcolor{orange}{9x^2}} \) |
| ✗ Falsch |
| \( (a+b)^2 = a^2 + b^2 \) |
| \( ({\textcolor{orange}{3x}})^2 = {\textcolor{orange}{3x^2}} \) |
Die zweite binomische Formel funktioniert fast genauso wie die erste – aber vor dem Doppelprodukt steht jetzt ein Minus.
Der entscheidende Unterschied
Das Doppelprodukt wechselt sein Vorzeichen.
| 1. binomische Formel | 2. binomische Formel |
|---|---|
| \( ({\textcolor{orange}{a}} + {\textcolor{steelblue}{b}})^2 \) | \( ({\textcolor{orange}{a}} - {\textcolor{steelblue}{b}})^2 \) |
| \( = {\textcolor{orange}{a}}^2 \) \( +\,2{\textcolor{orange}{a}}{\textcolor{steelblue}{b}} \) \( {} + {\textcolor{steelblue}{b}}^2 \) | \( = {\textcolor{orange}{a}}^2 \) \( -\,2{\textcolor{orange}{a}}{\textcolor{steelblue}{b}} \) \( {} + {\textcolor{steelblue}{b}}^2 \) |
| 1. binomische Formel |
| \( ({\textcolor{orange}{a}} + {\textcolor{steelblue}{b}})^2 \) |
| \( = {\textcolor{orange}{a}}^2 \) \( +\,2{\textcolor{orange}{a}}{\textcolor{steelblue}{b}} \) \( + {\textcolor{steelblue}{b}}^2 \) |
| 2. binomische Formel |
| \( ({\textcolor{orange}{a}} - {\textcolor{steelblue}{b}})^2 \) |
| \( = {\textcolor{orange}{a}}^2 \) \( -\,2{\textcolor{orange}{a}}{\textcolor{steelblue}{b}} \) \( + {\textcolor{steelblue}{b}}^2 \) |
Wir nehmen wieder fast dasselbe Beispiel wie eben – nur mit einem Minus in der Klammer. Dadurch siehst du direkt:
Es ändert sich nur der mittlere Term, der Rest bleibt gleich.
Beispiel mit Minus
\( ({\textcolor{orange}{3x}} - {\textcolor{steelblue}{1}})^2 = \)
\( ({\textcolor{orange}{3x}})^2 \)
\( - \)
\( 2 \cdot {\textcolor{orange}{3x}} \cdot {\textcolor{steelblue}{1}} \)
\( + \)
\( ({\textcolor{steelblue}{1}})^2 \)
Vor dem Doppelprodukt steht ein Minus
\( ({\textcolor{orange}{3x}} - {\textcolor{steelblue}{1}})^2 = {\textcolor{orange}{9x^2}} \)
\( - \)
\( {\textcolor{green}{6x}} \)
\( + \)
\( {\textcolor{steelblue}{1}} \)
2. Binomische Formel
\( ({\textcolor{orange}{a}} - {\textcolor{steelblue}{b}})^2 = {\textcolor{orange}{a}}^2 \)
\( - \)
\( 2 \cdot {\textcolor{orange}{a}} \cdot {\textcolor{steelblue}{b}} \)
\( + \)
\( {\textcolor{steelblue}{b}}^2 \)
Erstes Quadrat – MINUS Doppelprodukt – plus zweites Quadrat
Typischer Fehler
| ✓ Richtig | ✗ Falsch |
|---|---|
| \( a^2 \) \( - \) \( 2ab \) \( + \) \( b^2 \) | \( a^2 \) \( - \) \( 2ab \) \( - \) \( b^2 \) |
| ✓ Richtig |
| \( a^2 \) \( - \) \( 2ab \) \( + \) \( b^2 \) |
| ✗ Falsch |
| \( a^2 \) \( - \) \( 2ab \) \( - \) \( b^2 \) |
✓
Merke:
Nur vor dem
Doppelprodukt
steht ein Minus.
Nach der 3. binomischen Formel lernst du einen Trick, mit dem du dir das Unterscheiden komplett sparen kannst.
Die 3. binomische Formel
Die 3. binomische Formel besteht nur aus zwei Bausteinen. Die gemischten Produkte heben sich gegenseitig auf.
Diese beiden Bausteine bleiben übrig
Aus den beiden Klammern entsteht am Ende nur das Quadrat des ersten Terms und das Quadrat des zweiten Terms.
| Formel | Unser Beispiel |
|---|---|
| \( ({\textcolor{orange}{a}} + {\textcolor{steelblue}{b}})({\textcolor{orange}{a}} - {\textcolor{steelblue}{b}}) = \) | \( ({\textcolor{orange}{3x}} + {\textcolor{steelblue}{1}})({\textcolor{orange}{3x}} - {\textcolor{steelblue}{1}}) = \) |
| \( {\textcolor{orange}{a}}^2 \) | \( {\textcolor{orange}{3x}}^2 \) |
| \( {\textcolor{steelblue}{b}}^2 \) | \( {\textcolor{steelblue}{1}}^2 \) |
| Formel |
| \( ({\textcolor{orange}{a}} + {\textcolor{steelblue}{b}})({\textcolor{orange}{a}} - {\textcolor{steelblue}{b}}) = \) |
| \( {\textcolor{orange}{a}}^2 \) |
| \( {\textcolor{steelblue}{b}}^2 \) |
| Unser Beispiel |
| \( ({\textcolor{orange}{3x}} + {\textcolor{steelblue}{1}})({\textcolor{orange}{3x}} - {\textcolor{steelblue}{1}}) = \) |
| \( {\textcolor{orange}{3x}}^2 \) |
| \( {\textcolor{steelblue}{1}}^2 \) |
Jetzt setzen wir die beiden Bausteine direkt in die dritte binomische Formel ein.
So wenden wir die Formel an
\( ({\textcolor{orange}{a}} + {\textcolor{steelblue}{b}})({\textcolor{orange}{a}} - {\textcolor{steelblue}{b}}) \)
\( = \)
\( {\textcolor{orange}{a}}^2 \)
\( - \)
\( {\textcolor{steelblue}{b}}^2 \)
\( ({\textcolor{orange}{3x}} + {\textcolor{steelblue}{1}})({\textcolor{orange}{3x}} - {\textcolor{steelblue}{1}}) \)
\( = \)
\( ({\textcolor{orange}{3x}})^2 \)
\( - \)
\( ({\textcolor{steelblue}{1}})^2 \)
Zum Schluss rechnen wir nur noch die beiden Quadrate aus.
\( ({\textcolor{orange}{3x}} + {\textcolor{steelblue}{1}})({\textcolor{orange}{3x}} - {\textcolor{steelblue}{1}}) \)
\( = \)
\( {\textcolor{orange}{9x^2}} \)
\( - \)
\( {\textcolor{steelblue}{1}} \)
3. Binomische Formel
\( ({\textcolor{orange}{a}} + {\textcolor{steelblue}{b}})({\textcolor{orange}{a}} - {\textcolor{steelblue}{b}}) = \)
\( {\textcolor{orange}{a}}^2 \)
\( - \)
\( {\textcolor{steelblue}{b}}^2 \)
Erstes Quadrat – minus zweites Quadrat
3. Binom: Zwei Quadrate – kein Doppelprodukt
Ein Trick für alles
Bei Klammern mit Quadrat musst du nicht erst überlegen, ob das 1. oder 2. Binom vorliegt. Du setzt einfach beide Terme mit Vorzeichen ein.
Merke
| (erster Term)² |
| + 2 · (erster Term) · (zweiter Term) |
| + (zweiter Term)² |
Beide Terme genau so einsetzen, wie sie in der Klammer stehen
Das funktioniert immer gleich und wir sparen uns das Auswendiglernen.
Beispiel 1
\( (\textcolor{orange}{2x} + \textcolor{steelblue}{5})^2 \)
\( = \)
\( (2x)^2 \)
\( + \ 2 \cdot \)
\( (2x) \)
\( \cdot \)
\( 5 \)
\( + \)
\( 5^2 \)
\( = \)
\( 4x^2 \)
\( + \)
\( 20x \)
\( + \)
\( 25 \)
Beispiel 2
\( (\textcolor{orange}{2x} - \textcolor{steelblue}{5})^2 \)
\( (\textcolor{orange}{2x} - \textcolor{steelblue}{5})^2 = \)
\( = \)
\( (2x)^2 \)
\( + 2 \cdot \)
\( (2x) \)
\( \cdot \)
\( (-5) \)
\( + \)
\( (-5)^2 \)
\( (2x)^2 \)
\( + 2 \cdot \)
\( (2x) \)
\( \cdot \)
\( (-5) \)
\( + \)
\( (-5)^2 \)
\( = \)
\( 4x^2 \)
\( - \)
\( 20x \)
\( + \)
\( 25 \)
Das ist das 2. Binom.
Beispiel 3
\( (\textcolor{orange}{-2x} + \textcolor{steelblue}{5})^2 \)
\( = \)
\( (-2x)^2 \)
\( + 2 \cdot \)
\( (-2x) \)
\( \cdot \)
\( 5 \)
\( + \)
\( 5^2 \)
\( = \)
\( 4x^2 \)
\( - \)
\( 20x \)
\( + \)
\( 25 \)
Direkt eingesetzt entsteht hier das 2. Binom.
Diesen Schritt sparen wir uns
\( (\textcolor{orange}{-2x} + \textcolor{steelblue}{5})^2 \)
\( = (-(2x-5))^2 \)
\( = (2x-5)^2 \)
Durch Ausklammern erkennst du ebenfalls das 2. Binom.
Beispiel 4
\( (\textcolor{orange}{-2x} - \textcolor{steelblue}{5})^2 \)
\( = \)
\( (-2x)^2 \)
\( + 2 \cdot \)
\( (-2x) \)
\( \cdot \)
\( (-5) \)
\( + \)
\( (-5)^2 \)
\( = \)
\( 4x^2 \)
\( + \)
\( 20x \)
\( + \)
\( 25 \)
Direkt eingesetzt entsteht hier das 1. Binom.
Diesen Schritt sparen wir uns
\( (\textcolor{orange}{-2x} - \textcolor{steelblue}{5})^2 \)
\( = (-(2x+5))^2 \)
\( = (2x+5)^2 \)
Durch Ausklammern erkennst du ebenfalls das 1. Binom.
Merke
| \( (\textcolor{orange}{+}) \) und \( (\textcolor{steelblue}{+}) \) | \( \rightarrow \) | 1. Binom |
| \( (\textcolor{orange}{+}) \) und \( (\textcolor{steelblue}{-}) \) | \( \rightarrow \) | 2. Binom |
| \( (\textcolor{orange}{-}) \) und \( (\textcolor{steelblue}{+}) \) | \( \rightarrow \) | 2. Binom |
| \( (\textcolor{orange}{-}) \) und \( (\textcolor{steelblue}{-}) \) | \( \rightarrow \) | 1. Binom |
Gleiche Vorzeichen in der Klammer führen zum 1. Binom, verschiedene Vorzeichen zum 2. Binom.
Binomische Formeln erkennen
Jetzt kommt der wichtigste Schritt für Aufgaben: Du musst zuerst erkennen, welche binomische Formel überhaupt passt.
Welche Form erkennst du?
Schau immer zuerst auf die Klammern. Genau daran erkennst du, welche Formel du brauchst.
| Muster | Das passt dazu | Formel |
|---|---|---|
| \( ({\textcolor{orange}{a}} \) \( + \) \( {\textcolor{steelblue}{b}})^2 \) | Quadrat einer Summe | 1. Binom |
| \( ({\textcolor{orange}{a}} \) \( - \) \( {\textcolor{steelblue}{b}})^2 \) | Quadrat einer Differenz | 2. Binom |
| \( ({\textcolor{orange}{a}} \) \( + \) \( {\textcolor{steelblue}{b}})({\textcolor{orange}{a}} \) \( - \) \( {\textcolor{steelblue}{b}}) \) | Summe mal Differenz | 3. Binom |
| 1. Binom |
| \( ({\textcolor{orange}{a}} \) \( + \) \( {\textcolor{steelblue}{b}})^2 \) |
| Quadrat einer Summe |
| 2. Binom |
| \( ({\textcolor{orange}{a}} \) \( - \) \( {\textcolor{steelblue}{b}})^2 \) |
| Quadrat einer Differenz |
| 3. Binom |
| \( ({\textcolor{orange}{a}} \) \( + \) \( {\textcolor{steelblue}{b}})({\textcolor{orange}{a}} \) \( - \) \( {\textcolor{steelblue}{b}}) \) |
| Summe mal Differenz |
Merke
| \( (\dots)^2 \) | → 1. oder 2. Binom |
| \( (\dots)(\dots) \) | → 3. Binom |
Erst Form erkennen – dann rechnen
Binomische Formeln rückwärts rechnen
Binomische Formeln kannst du nicht nur vorwärts anwenden, sondern auch rückwärts erkennen. Du schaust also auf den fertigen Term und prüfst, ob darin die Form einer binomischen Formel steckt.
Merke
| \( a^2 + 2ab + b^2 \) | \( \rightarrow \) | \( (a+b)^2 \) |
| \( a^2 - 2ab + b^2 \) | \( \rightarrow \) | \( (a-b)^2 \) |
| \( a^2 - b^2 \) | \( \rightarrow \) | \( (a+b)(a-b) \) |
Nicht nur ausmultiplizieren – auch Muster erkennen und zurück in Klammern schreiben
Dabei helfen dir immer dieselben zwei Fragen:
So prüfst du einen Term
| Stehen am Anfang und am Ende Quadrate? |
| Passt der Mittelterm als Doppelprodukt dazu? |
Zwei Quadrate + passender Mittelterm = 1. oder 2. Binom
Schauen wir uns zuerst einen Term mit drei Teilen an.
Beispiel 1
\( x^2 \)
\( + \)
\( 6x \)
\( + \)
\( 9 \)
\( x^2 \)
\( = \)
\( (\textcolor{orange}{x})^2 \)
\( 9 \)
\( = \)
\( (\textcolor{steelblue}{3})^2 \)
\( 6x \)
\( = \)
\( 2 \cdot \textcolor{orange}{x} \cdot \textcolor{steelblue}{3} \)
Zwei Quadrate und ein passendes positives Doppelprodukt → 1. Binom
So schreibst du zurück in die Klammer
\( (\textcolor{orange}{x})^2 \)
\( + \)
\( 2 \cdot \textcolor{orange}{x} \cdot \textcolor{steelblue}{3} \)
\( + \)
\( (\textcolor{steelblue}{3})^2 \)
wir brauchen
\( \textcolor{orange}{x} \)
und
\( \textcolor{steelblue}{3} \)
Für das 1. Binom kommt ein \(+\) dazwischen.
\( \Rightarrow \textcolor{orange}{x} + \textcolor{steelblue}{3} \)
\( \Rightarrow (\textcolor{orange}{x} + \textcolor{steelblue}{3})^2 \)
\( x^2 + 6x + 9 = (x+3)^2 \)
Erst die Quadrate erkennen – dann die Teile in die Klammer setzen.
Jetzt schauen wir auf den Fall ohne Mittelterm.
Beispiel 2
\( x^2 \)
\( - \)
\( 16 \)
\( x^2 \)
\( = \)
\( (\textcolor{orange}{x})^2 \)
\( 16 \)
\( = \)
\( (\textcolor{steelblue}{4})^2 \)
Zwei Quadrate mit Minus dazwischen → 3. Binom
So schreibst du zurück in die Klammern
\( (\textcolor{orange}{x})^2 \)
\( - \)
\( (\textcolor{steelblue}{4})^2 \)
wir brauchen
\( \textcolor{orange}{x} \)
und
\( \textcolor{steelblue}{4} \)
Beim 3. Binom entstehen zwei Klammern.
\( \Rightarrow (\textcolor{orange}{x} + \textcolor{steelblue}{4})(\textcolor{orange}{x} - \textcolor{steelblue}{4}) \)
\( x^2 - 16 = (x+4)(x-4) \)
Zwei Quadrate → zwei Klammern mit Plus und Minus.
Merke
\( a^2 \)
\( \Rightarrow \)
\( \textcolor{orange}{a} \)
\( b^2 \)
\( \Rightarrow \)
\( \textcolor{steelblue}{b} \)
Diese beiden Teile setzt du zurück in die passende Klammer.
\( (\textcolor{orange}{a} \pm \textcolor{steelblue}{b})^2 \)
\( (\textcolor{orange}{a} + \textcolor{steelblue}{b})(\textcolor{orange}{a} - \textcolor{steelblue}{b}) \)
Erst die Quadrate zurückholen – dann die passenden Klammern bilden.
Typischer Fehler
Nicht jeder Term mit drei Teilen ist automatisch ein Binom. Der Mittelterm muss wirklich zum Doppelprodukt passen.
| ✓ Binom | ✗ Kein Binom |
|---|---|
| \( x^2 \) \( + \) \( 6x \) \( + \) \( 9 \) | \( x^2 \) \( + \) \( 5x \) \( + \) \( 9 \) |
| \( 2 \cdot x \cdot 3 = 6x \) | \( 2 \cdot x \cdot 3 \neq 5x \) |
| ✓ Binom |
| \( x^2 \) \( + \) \( 6x \) \( + \) \( 9 \) |
| \( 2 \cdot x \cdot 3 = 6x \) |
| ✗ Kein Binom |
| \( x^2 \) \( + \) \( 5x \) \( + \) \( 9 \) |
| \( 2 \cdot x \cdot 3 \neq 5x \) |
Erst prüfen – dann rückwärts als Binom schreiben.
Im nächsten Abschnitt wenden wir das Ganze sicher an – auch bei größeren Zahlen und in beide Richtungen.
Mathe Nachhilfe online – mit echten Experten planbar bessere Noten.
Echtes Verständnis ab der ersten Stunde.
Mehr dazu
Weiterführende Informationen
No items found.
Deine Bildung, unsere Mission – made with ☕️ in Baden-Württemberg
Kontakt
Montag - Freitag:
13:00 -18:30 Uhr
13:00 -18:30 Uhr
©2025. OnMathe.
Alle Rechte vorbehalten.
Alle Rechte vorbehalten.
OnMathe Kundenbewertungen
5 von 5 Sternen auf Google
5 von 5 Sternen auf Google