Binomialverteilte Zufallsgrößen
Die Binomialverteilung – mit Formel & Beispielen
Einleitung
Was ist ein Bernoulli-Experiment?
Was ist eine Binomialverteilung?
Die Bernoulli-Formel
Histogramme zeichnen und verstehen
Ein Histogramm hilft dir dabei, Wahrscheinlichkeiten sichtbar zu machen. Eigentlich ist es nichts anderes, als das Säulendiagramm, das du schon in Klasse 7 kennengelernt hast.
Zum Berechnen der einzelnen Werte nutzt du die Bernoulli-Formel oder in deinem Taschenrechner die Funktion binomialPDF.
Jeder berechnete Wert bekommt einen eigenen Balken. Die Höhe des Balkens zeigt an, wie wahrscheinlich dieses Ergebnis ist.
Wir schauen uns an einem Beispiel an, wie ein Histogramm entsteht.
1. Schritt: berechne die Wahrscheinlichkeiten für jede Trefferanzahl \( \textcolor{blue}{k} \):
Diese Rechnung machst du für jedes \( \textcolor{midnightblue}{k} \) und trägst die Werte in eine Tabelle ein:
Wenn du alle Werte berechnet hast, kannst du daraus ein Histogramm erstellen.
2. Schritt: bereite das Koordinatensystem vor, und trage alle berechneten Wahrscheinlichkeiten ein.
Das Histogramm hat auf der x-Achse alle Werte für \(k\), die y-Achse zeigt die Wahrscheinlichkeiten.
Jetzt zeichnest du über jedem Wert auf der x-Achse einen Balken, der so hoch ist wie seine Wahrscheinlichkeit.
Das Histogramm zeigt dir anschaulich, wie die Wahrscheinlichkeiten in der Binomialverteilung liegen.
Anhand der Balkenhöhe kannst du den Erwartungswert abschätzen. Wie genau das geht möchten wir dir aber in einem extra Beitrag erklären.
- Schreibe auf die x-Achse alle möglichen Werte für dein Ergebnis (z. B. „Anzahl der Treffer“).
- Berechne zu jedem Wert die passende Wahrscheinlichkeit – zum Beispiel mit der Binomialverteilung oder einer Tabelle.
- Trage für jeden Wert einen Balken in passender Höhe ein. Je wahrscheinlicher ein Ergebnis ist, desto höher der Balken.
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Mehr dazu
in unseren FAQs
1. Was ist ein Bernoulli-Experiment?
Ein Bernoulli-Experiment ist ein Zufallsexperiment mit genau zwei möglichen Ergebnissen: „Treffer“ oder „kein Treffer“.
2. Woran erkenne ich, ob ein Experiment binomialverteilt ist?
Wenn ein Bernoulli-Experiment mehrmals unter denselben Bedingungen wiederholt wird, entsteht eine Binomialverteilung.
3. Wofür brauche ich die Bernoulli-Formel?
Mit der Bernoulli-Formel berechnest du die Wahrscheinlichkeit dafür, wie oft ein bestimmtes Ergebnis bei mehreren Versuchen auftritt.
4. Was zeigt ein Histogramm bei einer Binomialverteilung?
Das Histogramm zeigt an, wie wahrscheinlich es ist, dass eine bestimmte Anzahl an Treffern eintritt. Je höher der Balken, desto wahrscheinlicher.
5. Wie berechne ich die Werte für ein Histogramm?
Du berechnest für jeden möglichen Wert von k die Wahrscheinlichkeit mit der Bernoulli-Formel oder einer Tabellenfunktion am Taschenrechner.
Vertiefung
Weiterführende Informationen
Bernoulli-Experiment, Binomialverteilung und Histogramme als Werkzeuge
Wenn du Zufallsexperimente besser verstehen willst, sind Bernoulli-Experimente, die Binomialverteilung und Histogramme genau die richtigen Hilfsmittel. Sie zeigen dir, wie Wahrscheinlichkeiten aufgebaut sind – vom einfachen Versuch bis zur grafischen Darstellung.
Was ist das?
Ein Bernoulli-Experiment ist ein Zufallsversuch mit nur zwei möglichen Ausgängen: Erfolg oder Misserfolg. Wenn du diesen Versuch mehrmals wiederholst, entsteht eine Binomialverteilung. Die Bernoulli-Formel hilft dir dabei, Wahrscheinlichkeiten für bestimmte Trefferzahlen zu berechnen. Mit einem Histogramm kannst du diese Wahrscheinlichkeiten als Balkendiagramm sichtbar machen.
Mathematische Bedeutung
Die Binomialverteilung ist eine der wichtigsten Verteilungen in der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Sie beschreibt genau, wie oft ein bestimmtes Ergebnis bei mehreren gleichartigen Versuchen vorkommt. Mit der Bernoulli-Formel kannst du jede einzelne Wahrscheinlichkeit berechnen – und mit dem Histogramm bekommst du ein Gefühl für die gesamte Verteilung.
Häufige Fehler
Viele verwechseln Bernoulli-Experimente mit allgemeinen Zufallsversuchen – aber es darf wirklich nur zwei mögliche Ergebnisse geben. Auch bei der Anwendung der Bernoulli-Formel passieren oft Fehler, zum Beispiel beim Einsetzen der Werte oder beim Umgang mit Taschenrechnerfunktionen wie „binomialPDF“. Achte außerdem darauf, dass ein Histogramm keine Zählwerte, sondern Wahrscheinlichkeiten zeigt.
Lerntipps
Überlege dir echte Situationen: Münzwurf, Kugel ziehen, Testen von Produkten – so merkst du dir Bernoulli-Experimente leichter. Nutze Tabellen oder Taschenrechnerfunktionen zum Berechnen der Werte. Wenn du deine Ergebnisse in ein Histogramm einträgst, erkennst du sofort, wie Wahrscheinlichkeiten verteilt sind. Wiederhole den Ablauf mit verschiedenen n und p, um ein Gefühl für das Verhalten der Verteilung zu bekommen.
Ursprung und Entwicklung
Die Idee hinter dem Bernoulli-Experiment stammt aus dem 17. Jahrhundert und geht auf Jakob Bernoulli zurück. Schon damals wurden solche Experimente genutzt, um Wahrscheinlichkeiten beim Glücksspiel oder in der Lebensversicherung zu berechnen. Heute gehören sie zum Grundwissen der Stochastik – besonders im Zusammenhang mit der Binomialverteilung.
Moderne Anwendung
Binomialverteilungen begegnen dir überall: in der Qualitätskontrolle, in Umfragen, bei medizinischen Tests oder bei der Berechnung von Wahrscheinlichkeiten in digitalen Anwendungen. Histogramme helfen dabei, Ergebnisse verständlich darzustellen – ob im Matheunterricht, in der Statistik oder in der Forschung. Wenn du verstehst, wie diese Werkzeuge zusammenhängen, kannst du Wahrscheinlichkeiten nicht nur berechnen, sondern auch interpretieren.
