Satz des Pythagoras einfach erklärt: Formel & Übungen

Auf einen Blick

Mit Pythagoras berechnest du fehlende Seiten

Du möchtest in einem rechtwinkligen Dreieck eine fehlende Seite berechnen? Mit dem Satz des Pythagoras geht das schnell und einfach.

Der Satz des Pythagoras

\( {\textcolor{orange}{a}}^2 + {\textcolor{steelblue}{b}}^2 = {\textcolor{green}{c}}^2 \)

Der Satz des Pythagoras gilt nur im rechtwinkligen Dreieck.
\( {\textcolor{orange}{a}} \) und \( {\textcolor{steelblue}{b}} \) sind die Katheten.
\( {\textcolor{green}{c}} \) ist die Hypotenuse.

\( {\textcolor{orange}{\text{Kathete}}}^2 + {\textcolor{steelblue}{\text{Kathete}}}^2 = {\textcolor{green}{\text{Hypotenuse}}}^2 \)

Im Beitrag zeigen wir dir an einfachen Beispielen, wie du die Hypotenuse erkennst, wann du den Satz des Pythagoras nutzen darfst und wie du typische Fehler vermeidest.

Definition

Die Hypotenuse ist die Seite, die im rechtwinkligen Dreieck gegenüber vom rechten Winkel liegt. Beim Satz des Pythagoras steht sie immer allein auf einer Seite des Gleichheitszeichens.

Inhaltsverzeichnis

Das erwartet Dich

Rechnen mit Einheiten

Auf einen Blick

Mit Pythagoras berechnest du fehlende Seiten

Du möchtest in einem rechtwinkligen Dreieck eine fehlende Seite berechnen? Mit dem Satz des Pythagoras geht das schnell und einfach.

Der Satz des Pythagoras

\( {\textcolor{orange}{a}}^2 + {\textcolor{steelblue}{b}}^2 = {\textcolor{green}{c}}^2 \)

Der Satz des Pythagoras gilt nur im rechtwinkligen Dreieck.
\( {\textcolor{orange}{a}} \) und \( {\textcolor{steelblue}{b}} \) sind die Katheten.
\( {\textcolor{green}{c}} \) ist die Hypotenuse.

\( {\textcolor{orange}{\text{Kathete}}}^2 + {\textcolor{steelblue}{\text{Kathete}}}^2 = {\textcolor{green}{\text{Hypotenuse}}}^2 \)

Im Beitrag zeigen wir dir an einfachen Beispielen, wie du die Hypotenuse erkennst, wann du den Satz des Pythagoras nutzen darfst und wie du typische Fehler vermeidest.

Definition

Die Hypotenuse ist die Seite, die im rechtwinkligen Dreieck gegenüber vom rechten Winkel liegt. Beim Satz des Pythagoras steht sie immer allein auf einer Seite des Gleichheitszeichens.

Hypotenuse berechnen

Wir schauen uns sofort eine Rechnung an, in der wir die Hypotenuse berechnen. Obwohl das wirklich nicht schwer ist, gibt es ein paar Stolpersteine, die wir dir zeigen möchten.

Gegeben

Gegeben sind die beiden Katheten:

\( {\textcolor{orange}{a}} = {\textcolor{orange}{6\,\text{cm}}} \qquad {\textcolor{steelblue}{b}} = {\textcolor{steelblue}{8\,\text{cm}}} \)

Gesucht ist die Hypotenuse \( {\textcolor{green}{c}} \).

Rechnung

Formel passend zum Dreieck aufschreiben

Bevor du Zahlen einsetzt, ordnest du die Seiten zu: \( {\textcolor{orange}{a}} \) und \( {\textcolor{steelblue}{b}} \) sind die Katheten, \( {\textcolor{green}{c}} \) ist die gesuchte Hypotenuse. Jetzt können wir die Formel notieren:

\( {\textcolor{orange}{a}}^2 + {\textcolor{steelblue}{b}}^2 = {\textcolor{green}{c}}^2 \)

Die Katheten stehen zusammen. Die Hypotenuse steht allein.

\( {\textcolor{orange}{a}}^2 + {\textcolor{steelblue}{b}}^2 = {\textcolor{green}{c}}^2 \)
\( {\textcolor{orange}{6}}^2 + {\textcolor{steelblue}{8}}^2 = {\textcolor{green}{c}}^2 \)		einsetzen
\( {\textcolor{orange}{36}} + {\textcolor{steelblue}{64}} = {\textcolor{green}{c}}^2 \)		quadrieren
\( 100 = {\textcolor{green}{c}}^2 \)		addieren
\( {\textcolor{green}{c}}^2 = 100 \)		Seiten tauschen
\( {\textcolor{green}{c}} = \sqrt{100} \)		Wurzel ziehen
\( {\textcolor{green}{c}} = {\textcolor{green}{10}} \)

Beim Rechnen kannst du die Einheit kurz weglassen. Im Ergebnis schreibst du sie wieder dazu.

Die Hypotenuse ist \( {\textcolor{green}{10\,\text{cm}}} \) lang.

Was passiert hier?

Warum rechnen wir so?

Wenn die Hypotenuse gesucht ist, bleiben die beiden Katheten zusammen: Ihre Quadrate werden addiert. Aus \( {\textcolor{green}{c}}^2 \) wird am Ende durch Wurzelziehen die Seitenlänge \( {\textcolor{green}{c}} \).

Katheten quadrieren addieren Wurzel ziehen

Typische Fehler

Zwei Stellen sind besonders wichtig

Zurück zu den Stolpersteinen, von denen wir gesprochen haben: Bei vielen unserer Schüler sehen wir genau diese zwei Fehler. Wenn du darauf achtest, bist du beim Pythagoras schon richtig sicher unterwegs.

✓ Richtig

\( {\textcolor{green}{c}}^2 = {\textcolor{orange}{6}}^2 + {\textcolor{steelblue}{8}}^2 \)

✗ Falsch

\( {\textcolor{green}{c}}^2 = ({\textcolor{orange}{6}} + {\textcolor{steelblue}{8}})^2 \)

Erst quadrieren, dann addieren.

✓ Richtig

\( {\textcolor{green}{c}}^2 = 100 \)

\( {\textcolor{green}{c}} = \sqrt{100} = 10 \)

✗ Falsch

\( {\textcolor{green}{c}}^2 = 100 \)

\( {\textcolor{green}{c}} = 100 \)

Wurzel ziehen nicht vergessen!

Pythagoras verstehen

Bevor wir uns anschauen, wie man eine fehlende Kathete berechnet, nehmen wir uns kurz Zeit für das Dreieck selbst. Denn wenn du hier die Hypotenuse sicher erkennst, wird die Rechnung danach viel leichter.

Dreieck verstehen

Erst das Dreieck lesen, dann rechnen

Seiten erkennen

Pythagoras gilt nur im rechtwinkligen Dreieck. Deshalb schauen wir zuerst: Wo ist der rechte Winkel?

Die Katheten geben sich am rechten Winkel die Hand. Die Hypotenuse liegt gegenüber vom rechten Winkel. Es gilt:

\( {\textcolor{orange}{\text{Kathete}}}^2 + {\textcolor{steelblue}{\text{Kathete}}}^2 = {\textcolor{green}{\text{Hypotenuse}}}^2 \)

Jetzt heißen die Seiten \( {\textcolor{green}{x}} \), \( {\textcolor{orange}{y}} \) und \( {\textcolor{steelblue}{z}} \). Trotzdem gilt: Die Seite gegenüber vom rechten Winkel ist die Hypotenuse. Also ist \( {\textcolor{green}{x}} \) die Hypotenuse.

\( {\textcolor{orange}{y}}^2 + {\textcolor{steelblue}{z}}^2 = {\textcolor{green}{x}}^2 \)

Kleiner OnMathe-Tipp:
Lass dich nicht von Buchstaben verwirren. Such zuerst die Seite gegenüber vom rechten Winkel — sie ist immer die Hypotenuse, egal ob sie \( {\textcolor{green}{c}} \), \( {\textcolor{green}{x}} \) oder ganz anders heißt.

Merke

Die Hypotenuse liegt nicht einfach unten, sondern immer gegenüber vom rechten Winkel. Sie ist die längste Seite im rechtwinkligen Dreieck. Die beiden anderen Seiten sind die Katheten.

Sicher verstehen

Alle Regeln auf einen Blick

Der Satz des Pythagoras

Gilt nur im rechtwinkligen Dreieck.
Die Hypotenuse liegt immer gegenüber vom rechten Winkel.
Die beiden anderen Seiten sind die Katheten.
Die Namen der Seiten sind nicht wichtig – entscheidend ist ihre Lage im Dreieck.
Die Katheten stehen zusammen auf einer Seite der Formel, die Hypotenuse steht allein auf der anderen Seite.

\( {\textcolor{orange}{\text{Kathete}}}^2 + {\textcolor{steelblue}{\text{Kathete}}}^2 = {\textcolor{green}{\text{Hypotenuse}}}^2 \)

Kathete berechnen

Jetzt schauen wir uns an, wie du mit dem Satz des Pythagoras eine Kathete berechnest. Dafür brauchst du die Hypotenuse und eine bekannte Kathete.

Gegeben

Gegeben sind die Hypotenuse und eine bekannte Kathete:

\( {\textcolor{green}{c}} = {\textcolor{green}{10\,\text{cm}}} \qquad {\textcolor{steelblue}{b}} = {\textcolor{steelblue}{8\,\text{cm}}} \)

Gesucht ist die Kathete \( {\textcolor{orange}{a}} \).

Rechnung

Gesuchte Kathete freistellen

Auch wenn wir eine Kathete suchen, schreiben wir den Satz des Pythagoras zuerst in der bekannten Form auf: Katheten zusammen, Hypotenuse allein.

\( {\textcolor{orange}{a}}^2 + {\textcolor{steelblue}{b}}^2 = {\textcolor{green}{c}}^2 \)

Die gesuchte Kathete steht noch nicht allein. Deshalb müssen wir die Gleichung umstellen.

\( {\textcolor{orange}{a}}^2 + {\textcolor{steelblue}{b}}^2 = {\textcolor{green}{c}}^2 \)
\( {\textcolor{orange}{a}}^2 + {\textcolor{steelblue}{8}}^2 = {\textcolor{green}{10}}^2 \)		einsetzen
\( {\textcolor{orange}{a}}^2 + {\textcolor{steelblue}{64}} = {\textcolor{green}{100}} \)		quadrieren
\( {\textcolor{orange}{a}}^2 = {\textcolor{green}{100}} - {\textcolor{steelblue}{64}} \)		\( -{\textcolor{steelblue}{64}} \) (umstellen)
\( {\textcolor{orange}{a}}^2 = 36 \)		ausrechnen
\( {\textcolor{orange}{a}} = \sqrt{36} \)		Wurzel ziehen
\( {\textcolor{orange}{a}} = {\textcolor{orange}{6}} \)

Erinnerung: Beim Rechnen lassen wir die Einheiten weg, im Ergebnis kommen sie wieder dazu.

Die Kathete ist \( {\textcolor{orange}{6\,\text{cm}}} \) lang.

Was passiert hier?

Warum wird hier minus gerechnet?

Die Hypotenuse ist im rechtwinkligen Dreieck immer die größte Seite. Wenn eine Kathete gesucht ist, musst du deshalb die bekannte Kathete von der Hypotenuse abziehen.

Schnell merken

Hypotenuse und bekannte Kathete quadrieren.
Bekannte Kathete von der Hypotenuse abziehen.
Danach die Wurzel ziehen.

\( {\textcolor{orange}{\text{Kathete}}}^2 = {\textcolor{green}{\text{Hypotenuse}}}^2 - {\textcolor{steelblue}{\text{bekannte Kathete}}}^2 \)

Typischer Fehler

Bei einer Kathete wird nicht addiert

Wenn du dich immer an diese Struktur hältst, passieren dir weniger Fehler.

✓ Richtig

\( {\textcolor{orange}{a}}^2 = {\textcolor{green}{10}}^2 - {\textcolor{steelblue}{8}}^2 \)

\( {\textcolor{orange}{a}}^2 = 100 - 64 \)

✗ Falsch

\( {\textcolor{orange}{a}}^2 = {\textcolor{green}{10}}^2 + {\textcolor{steelblue}{8}}^2 \)

\( {\textcolor{orange}{a}}^2 = 100 + 64 \)

Kathete gesucht bekannte Kathete abziehen.

Anwendungsaufgabe

Bei Textaufgaben mit Pythagoras ist der wichtigste Schritt nicht die Rechnung, sondern das Übersetzen: Du musst erkennen, wo das rechtwinklige Dreieck steckt. Wir helfen dir dabei und geben dir ein Rezept an die Hand.

Typische Textaufgabe

Jonas möchte ein Fenster in 4,80 m Höhe erreichen. Dafür steht eine 6,50 m lange Leiter zur Verfügung.

Wie weit muss die Leiter von der Wand entfernt stehen?

Schritt 1

Aus dem Text ein Dreieck machen

Bei der Leiter-Aufgabe entsteht das rechtwinklige Dreieck aus Wand, Boden und Leiter. Wand und Boden bilden den rechten Winkel.

Seiten erkennen

Die Leiter liegt gegenüber vom rechten Winkel. Deshalb ist sie die Hypotenuse.
Die Fensterhöhe liegt an der Wand. Sie ist eine Kathete.
Der Abstand zur Wand liegt am Boden. Er ist die gesuchte Kathete.

Schritt 2

Zahlen richtig einsetzen

Jetzt bekommt jede Seite ihren Buchstaben. Wir wählen die Leiter als \( {\textcolor{green}{c}} \), die Fensterhöhe als \( {\textcolor{steelblue}{b}} \) und den gesuchten Abstand als \( {\textcolor{orange}{a}} \).

Zuordnung

Leiter: \( {\textcolor{green}{c}} = {\textcolor{green}{6,50\,\text{m}}} \)
Fensterhöhe: \( {\textcolor{steelblue}{b}} = {\textcolor{steelblue}{4,80\,\text{m}}} \)
Abstand zur Wand: \( {\textcolor{orange}{a}} \) gesucht

Wichtig: Die Leiter liegt gegenüber vom rechten Winkel und ist deshalb die Hypotenuse. Darum steht ihre Länge später auf der rechten Seite der Pythagoras-Formel.

Schritt 3

Formel aufstellen und einsetzen

\( {\textcolor{orange}{\text{Abstand}}}^2 + {\textcolor{steelblue}{\text{Höhe}}}^2 = {\textcolor{green}{\text{Leiter}}}^2 \)		in Worten
\( {\textcolor{orange}{a}}^2 + {\textcolor{steelblue}{b}}^2 = {\textcolor{green}{c}}^2 \)		mit Buchstaben
\( {\textcolor{orange}{a}}^2 + {\textcolor{steelblue}{4,80}}^2 = {\textcolor{green}{6,50}}^2 \)		einsetzen

Rechnung

Abstand zur Wand berechnen

\( {\textcolor{orange}{a}}^2 + {\textcolor{steelblue}{4,80}}^2 = {\textcolor{green}{6,50}}^2 \)
\( {\textcolor{orange}{a}}^2 + 23,04 = 42,25 \)		quadrieren
\( {\textcolor{orange}{a}}^2 = 42,25 - 23,04 \)		\( -23,04 \)
\( {\textcolor{orange}{a}}^2 = 19,21 \)		ausrechnen
\( {\textcolor{orange}{a}} = \sqrt{19,21} \)		Wurzel ziehen
\( {\textcolor{orange}{a}} \approx {\textcolor{orange}{4,38}} \)

Die Leiter muss etwa \( {\textcolor{orange}{4,38\,\text{m}}} \) von der Wand entfernt stehen.

Wir sehen bei unseren Schülern oft, dass sie bei Textaufgaben sofort losrechnen möchten. Doch das ist gar nicht der wichtigste Teil. Schau dir die Zeichnung ganz genau an: Hast du das rechtwinklige Dreieck und die Hypotenuse gefunden, ist der Rechenweg danach nur noch Routine.

Vorgehen

So löst du Pythagoras-Textaufgaben

Schritt für Schritt

Erkenne: Gibt es ein rechtwinkliges Dreieck?
Ordne zu: Was ist die Hypotenuse, was sind die Katheten?
Überlege: Was ist gesucht?
Entscheide: Suchst du die Hypotenuse oder eine Kathete?
Erst dann stellst du die passende Gleichung auf.

Rechnen mit Einheiten

Auch wenn du mit Einheiten rechnest, ist Pythagoras nicht schwer. Du musst nur auf eine Sache achten: Alles, was du einsetzt, kommt gemeinsam in eine Klammer — also Zahl und Einheit.

Beispiel mit Einheiten

Gegeben sind die Katheten \( {\textcolor{orange}{a}} = {\textcolor{orange}{6\,\text{cm}}} \) und \( {\textcolor{steelblue}{b}} = {\textcolor{steelblue}{8\,\text{cm}}} \). Gesucht ist die Hypotenuse \( {\textcolor{green}{c}} \).

Rechnung

Zahl und Einheit gemeinsam quadrieren

\( {\textcolor{orange}{a}}^2 + {\textcolor{steelblue}{b}}^2 = {\textcolor{green}{c}}^2 \)
\( \left({\textcolor{orange}{6\,\text{cm}}}\right)^2 + \left({\textcolor{steelblue}{8\,\text{cm}}}\right)^2 = {\textcolor{green}{c}}^2 \)		einsetzen
\( {\textcolor{orange}{36\,\text{cm}^2}} + {\textcolor{steelblue}{64\,\text{cm}^2}} = {\textcolor{green}{c}}^2 \)		quadrieren
\( 100\,\text{cm}^2 = {\textcolor{green}{c}}^2 \)		addieren
\( {\textcolor{green}{c}} = \sqrt{100\,\text{cm}^2} \)		Wurzel ziehen
\( {\textcolor{green}{c}} = {\textcolor{green}{10\,\text{cm}}} \)

Wichtig

Setze Zahl und Einheit immer gemeinsam in Klammern. Dann wird beim Quadrieren aus \( \text{cm} \) kurz \( \text{cm}^2 \) und beim Wurzelziehen wieder \( \text{cm} \).

Typischer Fehler

Die Einheit wird falsch mitgenommen

Weil das so wichtig ist, möchten wir dir noch einmal ganz genau zeigen, wo beim Rechnen mit Einheiten meistens der Fehler liegt. Auch wenn du die Klammer richtig gesetzt hast, musst du daran denken, die Einheit mit zu quadrieren.

✓ Richtig

\( \left(6\,\text{cm}\right)^2 = 36\,\text{cm}^2 \)

✗ Falsch

\( \left(6\,\text{cm}\right)^2 = 36\,\text{cm} \)

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Übungen

Aufgabe 1

Wann darfst du den Satz des Pythagoras anwenden?

✓ Richtig

✗ Falsch

Lösung

Der Satz des Pythagoras gilt nur im rechtwinkligen Dreieck.

Kein 90°-Winkel → kein Satz des Pythagoras

Aufgabe 2

Welche Seite ist die Hypotenuse?

✓ Richtig

✗ Falsch

Lösung

Die Hypotenuse liegt immer gegenüber vom rechten Winkel.

Gegenüber vom rechten Winkel = Hypotenuse

Berechne die Hypotenuse \(c\):

\( {\textcolor{orange}{a}} = {\textcolor{orange}{6\,\text{cm}}} \quad\quad {\textcolor{steelblue}{b}} = {\textcolor{steelblue}{8\,\text{cm}}} \)

Hier ist die Hypotenuse gesucht.

Also zuerst quadrieren, dann addieren und am Ende die Wurzel ziehen.

Lösung

\( {\textcolor{green}{c}}^2 = {\textcolor{orange}{6}}^2 + {\textcolor{steelblue}{8}}^2 \)

\( {\textcolor{green}{c}}^2 = 36+64 \)

\( {\textcolor{green}{c}}^2 = 100 \)

\( {\textcolor{green}{c}} = \sqrt{100} = {\textcolor{green}{10}} \)

Die Hypotenuse ist \( {\textcolor{green}{10\,\text{cm}}} \) lang.

Berechne die fehlende Kathete \(a\):

\( {\textcolor{green}{c}} = {\textcolor{green}{10\,\text{cm}}} \quad\quad {\textcolor{steelblue}{b}} = {\textcolor{steelblue}{8\,\text{cm}}} \)

Hier ist eine Kathete gesucht.

Also musst du die Formel umstellen: Hypotenuse² minus Kathete².

Lösung

\( {\textcolor{orange}{a}}^2 = {\textcolor{green}{10}}^2 - {\textcolor{steelblue}{8}}^2 \)

\( {\textcolor{orange}{a}}^2 = 100-64 \)

\( {\textcolor{orange}{a}}^2 = 36 \)

\( {\textcolor{orange}{a}} = \sqrt{36} = {\textcolor{orange}{6}} \)

Die Kathete ist \( {\textcolor{orange}{6\,\text{cm}}} \) lang.

Aufgabe 5

Ist das Dreieck mit den Seitenlängen \( 5\,\text{cm} \), \( 12\,\text{cm} \) und \( 13\,\text{cm} \) rechtwinklig?

✓ Richtig

✗ Falsch

Lösung

Die längste Seite ist \(13\,\text{cm}\). Die prüfen wir als mögliche Hypotenuse.

\( {\textcolor{green}{13}}^2 = {\textcolor{orange}{5}}^2 + {\textcolor{steelblue}{12}}^2 \)

\( 169 = 25+144 \)

\( 169 = 169 \)

Die Gleichung stimmt → das Dreieck ist rechtwinklig.

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Kann ich mit dem Satz des Pythagoras auch rückwärts rechnen?

Ja. Du kannst mit dem Satz des Pythagoras nicht nur eine fehlende Seite berechnen, sondern auch prüfen, ob ein Dreieck rechtwinklig ist. Dafür vergleichst du die Quadrate über den Seiten.

\( {\textcolor{orange}{a^2}} + {\textcolor{steelblue}{b^2}} = {\textcolor{green}{c^2}} \)

Wenn die beiden kleineren Seiten quadriert zusammen genauso groß sind wie die längste Seite quadriert, dann ist das Dreieck rechtwinklig.

Brauche ich den Satz des Pythagoras nach der Schule noch?

Ja, vor allem überall dort, wo Menschen bauen, planen oder messen. Handwerker, Architektinnen, Bauzeichner, Technikerinnen oder Vermesser nutzen die Idee hinter Pythagoras immer wieder.

Stell dir vor, du möchtest wissen, wie lang eine Leiter sein muss, damit sie vom Boden bis zu einem bestimmten Punkt an der Wand reicht. Der Abstand zur Wand und die Höhe an der Wand bilden ein rechtwinkliges Dreieck.

Die Leiter ist dann die schräge Seite. Genau dafür kannst du den Satz des Pythagoras benutzen.

Darf ich den Satz des Pythagoras nach der Klassenarbeit sofort wieder vergessen?

Lieber nicht. Der Satz des Pythagoras kommt später wieder vor, nur oft besser versteckt. Besonders wichtig wird er bei Körpern wie Pyramiden und Kegeln.

Dort berechnest du zum Beispiel Höhen, Seitenhöhen oder Mantellinien. Dafür entstehen im Körper oft rechtwinklige Dreiecke, auch wenn man sie nicht sofort sieht.

Außerdem hilft dir Pythagoras später beim Rechnen mit Winkelfunktionen. Wenn du Sinus, Kosinus, Tangens, Sinussatz oder Kosinussatz nutzt, ist ein gutes Verständnis von rechtwinkligen Dreiecken richtig hilfreich.

Satz des Pythagoras

Hypotenuse berechnen

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Weiterführende Informationen

Warum nur im rechtwinkligen Dreieck?