Rechtwinklige Dreiecke

Satz des Pythagoras

Lisa & Gregor von OnMathe
two students high five

Mit dem Satz des Pythagoras kannst du in einem rechtwinkligen Dreieck eine fehlende Seite berechnen.

Beispiel

Gegeben sind die beiden Katheten:

\( {\textcolor{orange}{a}} = {\textcolor{orange}{3\,\text{cm}}} \quad \quad {\textcolor{steelblue}{b}} = {\textcolor{steelblue}{4\,\text{cm}}} \)

Gesucht ist die Hypotenuse \( {\textcolor{green}{c}} \).

\( {\textcolor{green}{c}}^2 = {\textcolor{orange}{a}}^2 + {\textcolor{steelblue}{b}}^2 \)
\( {\textcolor{green}{c}}^2 = {\textcolor{orange}{3}}^2 + {\textcolor{steelblue}{4}}^2 \)
\( {\textcolor{green}{c}}^2 = {\textcolor{orange}{9}} + {\textcolor{steelblue}{16}} \)
\( {\textcolor{green}{c}}^2 = 25 \) | \( \sqrt{\phantom{x}} \)
\( {\textcolor{green}{c}} = {\textcolor{green}{5}} \)

Die Hypotenuse ist \( {\textcolor{green}{5\,\text{cm}}} \) lang.

Hypotenuse² = Kathete² + Kathete²

Im Beitrag lernst du, wann du den Satz des Pythagoras benutzen darfst, wie du die Hypotenuse erkennst und typische Fehler vermeidest.

Merke
Hypotenuse² = Kathete² + Kathete²

→ Gilt nur im rechtwinkligen Dreieck

Du bist noch unsicher mit dem Pythagoras? In einer kostenlosen Probestunde hilft dir ein OnMathe Tutor im 1:1.

Inhaltsverzeichnis

Das erwartet Dich

Wann darf ich Pythagoras nutzen?
Hypotenuse gesucht
Kathete gesucht
Pythagoras Rechner
Anwendungsaufgabe

Mit dem Satz des Pythagoras kannst du in einem rechtwinkligen Dreieck eine fehlende Seite berechnen.

Beispiel

Gegeben sind die beiden Katheten:

\( {\textcolor{orange}{a}} = {\textcolor{orange}{3\,\text{cm}}} \quad \quad {\textcolor{steelblue}{b}} = {\textcolor{steelblue}{4\,\text{cm}}} \)

Gesucht ist die Hypotenuse \( {\textcolor{green}{c}} \).

\( {\textcolor{green}{c}}^2 = {\textcolor{orange}{a}}^2 + {\textcolor{steelblue}{b}}^2 \)
\( {\textcolor{green}{c}}^2 = {\textcolor{orange}{3}}^2 + {\textcolor{steelblue}{4}}^2 \)
\( {\textcolor{green}{c}}^2 = {\textcolor{orange}{9}} + {\textcolor{steelblue}{16}} \)
\( {\textcolor{green}{c}}^2 = 25 \) | \( \sqrt{\phantom{x}} \)
\( {\textcolor{green}{c}} = {\textcolor{green}{5}} \)

Die Hypotenuse ist \( {\textcolor{green}{5\,\text{cm}}} \) lang.

Hypotenuse² = Kathete² + Kathete²

Im Beitrag lernst du, wann du den Satz des Pythagoras benutzen darfst, wie du die Hypotenuse erkennst und typische Fehler vermeidest.

Merke
Hypotenuse² = Kathete² + Kathete²

→ Gilt nur im rechtwinkligen Dreieck

Du bist noch unsicher mit dem Pythagoras? In einer kostenlosen Probestunde hilft dir ein OnMathe Tutor im 1:1.

Wann darf ich Pythagoras nutzen?

Der Satz des Pythagoras funktioniert nur, wenn dein Dreieck einen rechten Winkel hat.

So erkennst du es sofort
Rechtwinkliges Dreieck mit Beschriftung a, b, c

Das Dreieck hat einen rechten Winkel → du darfst den Satz des Pythagoras anwenden.

Die Seite gegenüber vom rechten Winkel ist die Hypotenuse.

Nur bei 90° gilt: Kathete² + Kathete² = Hypotenuse²
Typischer Fehler
✓ Richtig ✗ Falsch
Hypotenuse → gegenüber rechtem Winkel Hypotenuse → unten
✓ Richtig
Hypotenuse → gegenüber rechtem Winkel
✗ Falsch
Hypotenuse → unten

✓ Merke: Die Hypotenuse liegt immer gegenüber vom rechten Winkel und ist die längste Seite im rechtwinkligen Dreieck.

Wichtig ist nicht, wie die Seiten heißen, sondern welche Rolle sie im Dreieck haben.

Die Namen können sich ändern

Du kannst die Seiten auch x, y und z nennen. Trotzdem gilt immer:

Rechtwinkliges Dreieck mit markiertem rechten Winkel und Seiten a, b, c
Gegenüber vom rechten Winkel liegt die Hypotenuse.
x = Hypotenuse
y = Kathete
z = Kathete
Entscheidend ist nicht der Name – sondern die Lage im Dreieck.
Der Satz des Pythagoras
  • Gilt nur im rechtwinkligen Dreieck
  • Die Hypotenuse liegt immer gegenüber vom rechten Winkel
  • Die beiden anderen Seiten sind die Katheten
  • Die Namen der Seiten sind nicht wichtig – entscheidend ist ihre Lage im Dreieck
Kathete² + Kathete² = Hypotenuse²

Hypotenuse gesucht

Wenn die Hypotenuse gesucht ist:
Quadriere beide Katheten, addierst sie und ziehe am Ende die Wurzel.

Beispiel: Hypotenuse berechnen

Gegeben sind die beiden Katheten:

\( {\textcolor{orange}{a}} = {\textcolor{orange}{6\,\text{cm}}} \quad \quad {\textcolor{steelblue}{b}} = {\textcolor{steelblue}{8\,\text{cm}}} \)

Gesucht ist die Hypotenuse \( {\textcolor{green}{c}} \).

\( {\textcolor{green}{c}}^2 = {\textcolor{orange}{a}}^2 + {\textcolor{steelblue}{b}}^2 \)
\( {\textcolor{green}{c}}^2 = {\textcolor{orange}{6}}^2 + {\textcolor{steelblue}{8}}^2 \)
\( {\textcolor{green}{c}}^2 = {\textcolor{orange}{36}} + {\textcolor{steelblue}{64}} \)
\( {\textcolor{green}{c}}^2 = 100 \) | \( \sqrt{\phantom{x}} \)
\( {\textcolor{green}{c}} = {\textcolor{green}{10}} \)
Die Hypotenuse ist \( {\textcolor{green}{10\,\text{cm}}} \) lang
Hypotenuse² = Kathete² + Kathete²
Schnell merken

Hypotenuse gesucht → Katheten addieren

1. Katheten quadrieren
2. dann addieren
3. dann die Wurzel ziehen
Typischer Fehler
✓ Richtig ✗ Falsch
\( {\textcolor{green}{c}}^2 = {\textcolor{orange}{6}}^2 + {\textcolor{steelblue}{8}}^2 \) \( {\textcolor{green}{c}}^2 = {\textcolor{orange}{6}}^2 + {\textcolor{steelblue}{8}}^2 \)
\( {\textcolor{green}{c}}^2 = 36 + 64 \) \( {\textcolor{green}{c}}^2 = 14^2 \)
\( {\textcolor{green}{c}}^2 = 100 \) \( {\textcolor{green}{c}}^2 = 144 \)
✓ Richtig
\( {\textcolor{green}{c}}^2 = {\textcolor{orange}{6}}^2 + {\textcolor{steelblue}{8}}^2 \)
\( {\textcolor{green}{c}}^2 = 36 + 64 \)
\( {\textcolor{green}{c}}^2 = 100 \)
✗ Falsch
\( {\textcolor{green}{c}}^2 = {\textcolor{orange}{6}}^2 + {\textcolor{steelblue}{8}}^2 \)
\( {\textcolor{green}{c}}^2 = 14^2 \)
\( {\textcolor{green}{c}}^2 = 144 \)

Du darfst die Seiten nicht zuerst addieren. Erst quadrieren, dann addieren.

Nicht die Wurzel vergessen
✓ Richtig ✗ Falsch
\( {\textcolor{green}{c}}^2 = 100 \) \( {\textcolor{green}{c}}^2 = 100 \)
\( {\textcolor{green}{c}} = \sqrt{100} = 10 \) \( {\textcolor{green}{c}} = 100 \)
✓ Richtig
\( {\textcolor{green}{c}}^2 = 100 \)
\( {\textcolor{green}{c}} = \sqrt{100} = 10 \)
✗ Falsch
\( {\textcolor{green}{c}}^2 = 100 \)
\( {\textcolor{green}{c}} = 100 \)

✓ Merke: Am Ende musst du immer die Wurzel ziehen, sonst hast du nur \( c^2 \) und nicht \( c \).

Kathete gesucht

Wenn eine Kathete gesucht ist, brauchst du die Hypotenuse und eine bekannte Kathete. Dann stellst du die Formel um, subtrahierst und ziehst am Ende die Wurzel.

Beispiel: Kathete berechnen

Gegeben sind die Hypotenuse \({\textcolor{green}{c}}\) und eine Kathete:

\( {\textcolor{green}{c}} = {\textcolor{green}{10\,\text{cm}}} \quad \quad {\textcolor{steelblue}{b}} = {\textcolor{steelblue}{8\,\text{cm}}} \)

Gesucht ist die Kathete \( {\textcolor{orange}{a}} \).

\( {\textcolor{orange}{a}}^2 + {\textcolor{steelblue}{b}}^2 = {\textcolor{green}{c}}^2 \)
\( {\textcolor{orange}{a}}^2 + {\textcolor{steelblue}{8}}^2 = {\textcolor{green}{10}}^2 \)
\( {\textcolor{orange}{a}}^2 + {\textcolor{steelblue}{64}} = {\textcolor{green}{100}} \) | \( - {\textcolor{steelblue}{64}} \)
\( {\textcolor{orange}{a}}^2 = {\textcolor{green}{100}} - {\textcolor{steelblue}{64}} \)
\( {\textcolor{orange}{a}}^2 = 36 \) | \( \sqrt{\phantom{x}} \)
\( {\textcolor{orange}{a}} = {\textcolor{orange}{6}} \)

Die Kathete ist \( {\textcolor{orange}{6\,\text{cm}}} \) lang

Kathete² = Hypotenuse² - Kathete²
Schnell merken

Kathete gesucht → Hypotenuse minus Kathete

1. Hypotenuse & Kathete quadrieren
2. dann Hypotenuse minus Kathete
3. dann die Wurzel ziehen
Typischer Fehler
✓ Richtig ✗ Falsch
\( {\textcolor{orange}{a}}^2 = {\textcolor{green}{10}}^2 - {\textcolor{steelblue}{8}}^2 \) \( {\textcolor{orange}{a}}^2 = {\textcolor{green}{10}}^2 + {\textcolor{steelblue}{8}}^2 \)
\( {\textcolor{orange}{a}}^2 = 100 - 64 \) \( {\textcolor{orange}{a}}^2 = 100 + 64 \)
\( {\textcolor{orange}{a}}^2 = 36 \) \( {\textcolor{orange}{a}}^2 = 164 \)
✓ Richtig
\( {\textcolor{orange}{a}}^2 = {\textcolor{green}{10}}^2 - {\textcolor{steelblue}{8}}^2 \)
\( {\textcolor{orange}{a}}^2 = 100 - 64 \)
\( {\textcolor{orange}{a}}^2 = 36 \)
✗ Falsch
\( {\textcolor{orange}{a}}^2 = {\textcolor{green}{10}}^2 + {\textcolor{steelblue}{8}}^2 \)
\( {\textcolor{orange}{a}}^2 = 100 + 64 \)
\( {\textcolor{orange}{a}}^2 = 164 \)

Wenn eine Kathete gesucht ist, wird nicht addiert. Du musst die bekannte Kathete von der Hypotenuse abziehen.

Nicht die Wurzel vergessen
✓ Richtig ✗ Falsch
\( {\textcolor{orange}{a}}^2 = 36 \) \( {\textcolor{orange}{a}}^2 = 36 \)
\( {\textcolor{orange}{a}} = \sqrt{36} = 6 \) \( {\textcolor{orange}{a}} = 36 \)
✓ Richtig
\( {\textcolor{orange}{a}}^2 = 36 \)
\( {\textcolor{orange}{a}} = \sqrt{36} = 6 \)
✗ Falsch
\( {\textcolor{orange}{a}}^2 = 36 \)
\( {\textcolor{orange}{a}} = 36 \)

Am Ende musst du immer die Wurzel ziehen, sonst hast du nur \( a^2 \) und nicht \( a \).

Der entscheidende Gedanke

Die Hypotenuse ist immer die größte Seite.

Suchst du die Hypotenuse, soll etwas Großes entstehen.
Dafür addierst du die gegebenen Seiten.

Suchst du eine Kathete, suchst du etwas Kleineres.
Dafür rechnest du minus: groß − klein.

Hypotenuse gesucht → plus
Kathete gesucht → minus

Pythagoras Rechner

Wähle zuerst, was gesucht ist. Gib dann die bekannten Seiten ein und lass dir den Rechenweg Schritt für Schritt zeigen.

ges.
a
b
Gegeben sind zwei Katheten. Gesucht ist die Hypotenuse.
Wähle den Fall aus und gib zwei Werte ein.

Anwendungsaufgabe

Typische Textaufgabe

Jonas möchte ein Fenster in 4,80 m Höhe erreichen. Dafür steht eine 6,50 m lange Leiter zur Verfügung.

Wie weit muss die Leiter von der Wand entfernt stehen?

Textaufgabe zum Satz des Pythagoras

Schritt 1: Situation verstehen
Die Wand und der Boden stehen senkrecht aufeinander → rechter Winkel.

  • Die Leiter ist die Hypotenuse
  • Die Höhe zum Fenster ist eine Kathete
  • Gesucht ist der Abstand zur Wand, also die andere Kathete
\( {\textcolor{green}{c}} = {\textcolor{green}{6,50}} \quad \quad {\textcolor{steelblue}{b}} = {\textcolor{steelblue}{4,80}} \)
Gesucht: \( {\textcolor{orange}{a}} \)
\( {\textcolor{orange}{a}}^2 + {\textcolor{steelblue}{4{,}80}}^2 = {\textcolor{green}{6{,}50}}^2 \)
\( {\textcolor{orange}{a}}^2 + 23{,}04 = 42{,}25 \)
\( {\textcolor{orange}{a}}^2 = 42{,}25 - 23{,}04 \)
\( {\textcolor{orange}{a}}^2 = 19{,}21 \) | \( \sqrt{\phantom{x}} \)
\( {\textcolor{orange}{a}} = {\textcolor{orange}{4{,}38}} \)
Die Leiter muss etwa 4,38 m von der Wand entfernt stehen.
So gehst du bei Textaufgaben vor
  • Erkenne: Gibt es ein rechtwinkliges Dreieck?
  • Ordne zu: Hypotenuse und Katheten
  • Überlege: Was ist gesucht?
  • Erst dann die passende Formel anwenden
Text → Bild → Dreieck → Gleichung

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Weiterführende Informationen

Warum nur im rechtwinkligen Dreieck?

Hier siehst du, warum der Satz des Pythagoras nur im rechtwinkligen Dreieck gilt.

Interaktiv: Warum nur im rechten Winkel?

Schiebe den Regler. Achte darauf, wie sich das grüne Quadrat verändert und vergleiche es mit den beiden Kathetenquadraten.

Nur bei 90° passen die Flächen der Quadrate genau zusammen.

Winkel: 90°

Kathete² + Kathete² = Hypotenuse²

Bei 90° sind die beiden Kathetenquadrate zusammen genau so groß wie das Quadrat über der Hypotenuse.

Was du hier siehst

Bei 90° gilt: orange + blau ist genau so groß wie grün.

Wird der Winkel kleiner oder größer, passt das nicht mehr. Aus diesem Grund darfst du den Satz des Pythagoras nur im rechtwinkligen Dreieck benutzen.

Merke
Kathete² + Kathete² = Hypotenuse²

Diese Gleichung gilt nur bei rechtwinkligen Dreiecken.

Typische Fehler

Beim Satz des Pythagoras passieren oft immer wieder dieselben Fehler. Kennst du sie, kannst du sie in Klassenarbeiten leicht vermeiden.

Fehler 1: falsche Seite als Hypotenuse gewählt

Die Hypotenuse ist immer die Seite gegenüber vom rechten Winkel. Nicht die Seite, die unten liegt.

Hypotenuse = gegenüber vom rechten Winkel
Typischer Fehler
✓ Richtig ✗ Falsch
Erst rechten Winkel suchen, dann Hypotenuse bestimmen Einfach die untere Seite als Hypotenuse nehmen
✓ Richtig
Erst rechten Winkel suchen, dann Hypotenuse bestimmen
✗ Falsch
Einfach die untere Seite als Hypotenuse nehmen
Fehler 2: Formel im falschen Dreieck benutzt

Der Satz des Pythagoras gilt nur im rechtwinkligen Dreieck. Fehlt der rechte Winkel, darfst du die Formel nicht einfach anwenden.

Kein rechter Winkel → kein Satz des Pythagoras
Typischer Fehler
✓ Richtig ✗ Falsch
rechter Winkel da rechter Winkel fehlt
Pythagoras geht Pythagoras geht nicht
✓ Richtig
rechter Winkel da
Pythagoras geht
✗ Falsch
rechter Winkel fehlt
Pythagoras geht nicht
Fehler 3: Wurzel am Ende vergessen

Solange du noch nicht die Wurzel gezogen hast, bist du noch nicht am Ende der Rechnung.

Typischer Fehler
✓ Richtig ✗ Falsch
\( c^2 = 100 \) \( c^2 = 100 \)
\( c = \sqrt{100} = 10 \) \( c = 100 \)
✓ Richtig
\( c^2 = 100 \)
\( c = \sqrt{100} = 10 \)
✗ Falsch
\( c^2 = 100 \)
\( c = 100 \)

✓ Merke: Erst, wenn du die Wurzel gezogen hast bist du fertig.

Fehler 4: zuerst addiert, dann quadriert

Beim Satz des Pythagoras werden die Seitenlängen zuerst quadriert. Erst danach wird addiert oder subtrahiert.

Typischer Fehler
✓ Richtig ✗ Falsch
\( c^2 = 6^2 + 8^2 \) \( c = 6 + 8 \)
\( c^2 = 36 + 64 \) \( c^2 = 14^2 \)
\( c^2 = 100 \) \( c^2 = 196 \)
✓ Richtig
\( c^2 = 6^2 + 8^2 \)
\( c^2 = 36 + 64 \)
\( c^2 = 100 \)
✗ Falsch
\( c = 6 + 8 \)
\( c^2 = 14^2 \)
\( c^2 = 196 \)

✓ Merke: Zuerst quadrieren, dann addieren.

Fehler 5: plus rechnen, obwohl eine Kathete gesucht ist

Wird eine Kathete gesucht, musst du die Formel umstellen. Dann wird subtrahiert und nicht addiert.

Hypotenuse gesucht → plus rechnen Kathete gesucht → minus rechnen
Typischer Fehler
✓ Richtig ✗ Falsch
Kathete gesucht Kathete gesucht
Hypotenuse² − Kathete² Hypotenuse² + Kathete²
✓ Richtig
Kathete gesucht
Hypotenuse² − Kathete²
✗ Falsch
Kathete gesucht
Hypotenuse² + Kathete²

Wenn die Kathete gesucht ist, musst du erst umstellen.

Die häufigsten Fehler auf einen Blick
  • Erst den rechten Winkel und die Hypotenuse bestimmen
  • Nur im rechtwinkligen Dreieck mit Pythagoras rechnen
  • Immer zuerst quadrieren
  • Am Ende die Wurzel ziehen
  • Bei gesuchter Kathete die Formel umstellen
Erst schauen, dann einsetzen, dann rechnen.

Ist das Dreieck rechtwinklig?

Mit dem Satz des Pythagoras kannst du auch prüfen, ob ein Dreieck rechtwinklig ist.

Wichtig zuerst

Die Hypotenuse ist immer die längste Seite im rechtwinkligen Dreieck.

Genau deshalb nimmst du immer die größte Seite als mögliche Hypotenuse.

Größte Seite → Hypotenuse.
Beispiel: Das Dreieck ist rechtwinklig

Gegeben sind die drei Seiten:

\( {\textcolor{orange}{a}} = {\textcolor{orange}{5}} \quad\quad {\textcolor{steelblue}{b}} = {\textcolor{steelblue}{12}} \quad\quad {\textcolor{green}{c}} = {\textcolor{green}{13}} \)

Die größte Seite ist \( {\textcolor{green}{13}} \). Deshalb setzen wir \( {\textcolor{green}{c}} \) als mögliche Hypotenuse.

\( {\textcolor{green}{c}}^2 = {\textcolor{orange}{a}}^2 + {\textcolor{steelblue}{b}}^2 \)
\( {\textcolor{green}{13}}^2 = {\textcolor{orange}{5}}^2 + {\textcolor{steelblue}{12}}^2 \)
\( {\textcolor{green}{169}} = {\textcolor{orange}{25}} + {\textcolor{steelblue}{144}} \)
\( {\textcolor{green}{169}} = {\textcolor{green}{169}} \) ✓ wahr
Die Gleichung stimmt → das Dreieck ist rechtwinklig.
Gegenbeispiel: Das Dreieck ist nicht rechtwinklig

Gegeben sind die drei Seiten:

\( {\textcolor{orange}{a}} = {\textcolor{orange}{6}} \quad\quad {\textcolor{steelblue}{b}} = {\textcolor{steelblue}{8}} \quad\quad {\textcolor{green}{c}} = {\textcolor{green}{11}} \)

Die größte Seite ist \( {\textcolor{green}{11}} \), also ist wieder \( {\textcolor{green}{c}} \) die mögliche Hypotenuse.

\( {\textcolor{green}{c}}^2 = {\textcolor{orange}{a}}^2 + {\textcolor{steelblue}{b}}^2 \)
\( {\textcolor{green}{11}}^2 = {\textcolor{orange}{6}}^2 + {\textcolor{steelblue}{8}}^2 \)
\( {\textcolor{green}{121}} = {\textcolor{orange}{36}} + {\textcolor{steelblue}{64}} \)
\( {\textcolor{green}{121}} \neq {\textcolor{red}{100}} \) ✗ falsch
Die Gleichung stimmt nicht → das Dreieck ist nicht rechtwinklig.
Merke
  • Der Pythagoras prüft, ob ein Dreieck rechtwinklig ist
  • Du nimmst immer die größte Seite als mögliche Hypotenuse
  • Dann prüfst du: größte Seite² = kleinere Seite² + kleinere Seite²
  • ✓ wahr : rechtwinklig
  • ✗ falsch : nicht rechtwinklig
Erst größte Seite finden, dann Gleichung prüfen.
Typischer Fehler
✓ Richtig ✗ Falsch
größte Seite zuerst prüfen irgendeine Seite als Hypotenuse nehmen
prüfen, ob die Gleichung wahr ist eine fehlende Seite ausrechnen wollen
✓ Richtig
größte Seite zuerst prüfen
prüfen, ob die Gleichung wahr ist
✗ Falsch
irgendeine Seite als Hypotenuse nehmen
eine fehlende Seite ausrechnen wollen
Die Hypotenuse ist immer die längste Seite im rechtwinkligen Dreieck.
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