Rechnen im rechtwinkligen Dreieck

Satz des Pythagoras

Lisa & Gregor von OnMathe
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Schnellstart

Pythagoras in 20 Sekunden

Mit dem Satz des Pythagoras kannst du in einem rechtwinkligen Dreieck eine fehlende Seite berechnen. Wie das funktioniert, schauen wir uns direkt an zwei Beispielen an.

Hypotenuse gesucht
Rechtwinkliges Dreieck mit Kathete a gleich 6 Zentimeter, Kathete b gleich 8 Zentimeter und gesuchter Hypotenuse c

Gegeben sind die Kathete \({\textcolor{orange}{a=6\,\text{cm}}}\) und die Kathete \({\textcolor{steelblue}{b=8\,\text{cm}}}\). Gesucht ist die Hypotenuse \({\textcolor{green}{c}}\).

\( {\textcolor{orange}{\text{Kathete}}}^2 + {\textcolor{steelblue}{\text{Kathete}}}^2 = {\textcolor{green}{\text{Hypotenuse}}}^2 \)
\( {\textcolor{orange}{6}}^2 + {\textcolor{steelblue}{8}}^2 = {\textcolor{green}{c}}^2 \) Seiten einsetzen
\( 36+64={\textcolor{green}{c}}^2 \) Quadrate berechnen
\( 100={\textcolor{green}{c}}^2 \) ausrechnen
\( {\textcolor{green}{c}}=\sqrt{100} \) Wurzel ziehen
\( {\textcolor{green}{c}} = {\textcolor{green}{10\,\text{cm}}} \) Ergebnis
Zwei Seiten kennst du, eine Seite fehlt. Je nachdem, welche Seite gesucht ist, rechnest du etwas unterschiedlich.
Kathete gesucht
Rechtwinkliges Dreieck mit Kathete b gleich 8 Zentimeter, Hypotenuse c gleich 10 Zentimeter und gesuchter Kathete a

Gegeben sind die Kathete \({\textcolor{steelblue}{b=8\,\text{cm}}}\) und die Hypotenuse \({\textcolor{green}{c=10\,\text{cm}}}\). Gesucht ist die Kathete \({\textcolor{orange}{a}}\).

\( {\textcolor{orange}{\text{Kathete}}}^2 + {\textcolor{steelblue}{\text{Kathete}}}^2 = {\textcolor{green}{\text{Hypotenuse}}}^2 \)
\( {\textcolor{orange}{a}}^2 + {\textcolor{steelblue}{8}}^2 = {\textcolor{green}{10}}^2 \) Seiten einsetzen
\( {\textcolor{orange}{a}}^2+64=100 \) Quadrate berechnen
\( {\textcolor{orange}{a}}^2=100-64 \) Kathete abziehen
\( {\textcolor{orange}{a}}^2=36 \) ausrechnen
\( {\textcolor{orange}{a}}=\sqrt{36} \) Wurzel ziehen
\( {\textcolor{orange}{a}} = {\textcolor{orange}{6\,\text{cm}}} \) Ergebnis

Wenn du beide Rechenwege verstanden hast, kannst du den Satz des Pythagoras anwenden. Damit du dabei aber auch bei anderen Dreiecken sicher bist, solltest du noch ein paar grundlegende Regeln kennen.

Sicher verstehen

Welche Seiten gehören in die Formel?

Der Satz des Pythagoras gilt nur in einem rechtwinkligen Dreieck. Dort haben die Seiten besondere Namen:

Rechtwinkliges Dreieck mit zwei Katheten und der Hypotenuse gegenüber dem rechten Winkel

Die beiden Seiten, die sich am rechten Winkel treffen, heißen Katheten. Die Seite gegenüber vom rechten Winkel heißt Hypotenuse.

\( {\textcolor{orange}{\text{Kathete}}}^2 + {\textcolor{steelblue}{\text{Kathete}}}^2 = {\textcolor{green}{\text{Hypotenuse}}}^2 \)
Satz des Pythagoras
  • Die Hypotenuse liegt gegenüber vom rechten Winkel.
  • Die beiden Katheten treffen sich am rechten Winkel.
  • Die beiden Katheten stehen in der Formel zusammen, die Hypotenuse steht allein.
Egal, wie das Dreieck gedreht ist oder wie die Seiten heißen: Ihre Lage zum rechten Winkel entscheidet.
Reicht dir Lesen allein nicht zum Verstehen? In unserer Nachhilfe in Mathe klären wir jede Unsicherheit mit dir ganz persönlich.

Inhaltsverzeichnis

Das erwartet Dich

Der Weg zur Lösung
Stolpersteine sehen und vermeiden
Anwendungsaufgabe
Rechnen mit Einheiten

Schnellstart

Pythagoras in 20 Sekunden

Mit dem Satz des Pythagoras kannst du in einem rechtwinkligen Dreieck eine fehlende Seite berechnen. Wie das funktioniert, schauen wir uns direkt an zwei Beispielen an.

Hypotenuse gesucht
Rechtwinkliges Dreieck mit Kathete a gleich 6 Zentimeter, Kathete b gleich 8 Zentimeter und gesuchter Hypotenuse c

Gegeben sind die Kathete \({\textcolor{orange}{a=6\,\text{cm}}}\) und die Kathete \({\textcolor{steelblue}{b=8\,\text{cm}}}\). Gesucht ist die Hypotenuse \({\textcolor{green}{c}}\).

\( {\textcolor{orange}{\text{Kathete}}}^2 + {\textcolor{steelblue}{\text{Kathete}}}^2 = {\textcolor{green}{\text{Hypotenuse}}}^2 \)
\( {\textcolor{orange}{6}}^2 + {\textcolor{steelblue}{8}}^2 = {\textcolor{green}{c}}^2 \) Seiten einsetzen
\( 36+64={\textcolor{green}{c}}^2 \) Quadrate berechnen
\( 100={\textcolor{green}{c}}^2 \) ausrechnen
\( {\textcolor{green}{c}}=\sqrt{100} \) Wurzel ziehen
\( {\textcolor{green}{c}} = {\textcolor{green}{10\,\text{cm}}} \) Ergebnis
Zwei Seiten kennst du, eine Seite fehlt. Je nachdem, welche Seite gesucht ist, rechnest du etwas unterschiedlich.
Kathete gesucht
Rechtwinkliges Dreieck mit Kathete b gleich 8 Zentimeter, Hypotenuse c gleich 10 Zentimeter und gesuchter Kathete a

Gegeben sind die Kathete \({\textcolor{steelblue}{b=8\,\text{cm}}}\) und die Hypotenuse \({\textcolor{green}{c=10\,\text{cm}}}\). Gesucht ist die Kathete \({\textcolor{orange}{a}}\).

\( {\textcolor{orange}{\text{Kathete}}}^2 + {\textcolor{steelblue}{\text{Kathete}}}^2 = {\textcolor{green}{\text{Hypotenuse}}}^2 \)
\( {\textcolor{orange}{a}}^2 + {\textcolor{steelblue}{8}}^2 = {\textcolor{green}{10}}^2 \) Seiten einsetzen
\( {\textcolor{orange}{a}}^2+64=100 \) Quadrate berechnen
\( {\textcolor{orange}{a}}^2=100-64 \) Kathete abziehen
\( {\textcolor{orange}{a}}^2=36 \) ausrechnen
\( {\textcolor{orange}{a}}=\sqrt{36} \) Wurzel ziehen
\( {\textcolor{orange}{a}} = {\textcolor{orange}{6\,\text{cm}}} \) Ergebnis

Wenn du beide Rechenwege verstanden hast, kannst du den Satz des Pythagoras anwenden. Damit du dabei aber auch bei anderen Dreiecken sicher bist, solltest du noch ein paar grundlegende Regeln kennen.

Sicher verstehen

Welche Seiten gehören in die Formel?

Der Satz des Pythagoras gilt nur in einem rechtwinkligen Dreieck. Dort haben die Seiten besondere Namen:

Rechtwinkliges Dreieck mit zwei Katheten und der Hypotenuse gegenüber dem rechten Winkel

Die beiden Seiten, die sich am rechten Winkel treffen, heißen Katheten. Die Seite gegenüber vom rechten Winkel heißt Hypotenuse.

\( {\textcolor{orange}{\text{Kathete}}}^2 + {\textcolor{steelblue}{\text{Kathete}}}^2 = {\textcolor{green}{\text{Hypotenuse}}}^2 \)
Satz des Pythagoras
  • Die Hypotenuse liegt gegenüber vom rechten Winkel.
  • Die beiden Katheten treffen sich am rechten Winkel.
  • Die beiden Katheten stehen in der Formel zusammen, die Hypotenuse steht allein.
Egal, wie das Dreieck gedreht ist oder wie die Seiten heißen: Ihre Lage zum rechten Winkel entscheidet.
Reicht dir Lesen allein nicht zum Verstehen? In unserer Nachhilfe in Mathe klären wir jede Unsicherheit mit dir ganz persönlich.

Der Weg zur Lösung

Los geht's

Der Satz des Pythagoras

Hast du ein rechtwinkliges Dreieck?
✓ Ja

Weiter mit Pythagoras

✗ Nein

Pythagoras ist hier nicht möglich.

Schritt 1

Katheten und Hypotenuse einsetzen

Beim Satz des Pythagoras ist der Aufbau immer gleich: Die beiden Katheten stehen zusammen, die Hypotenuse steht allein.

\( {\textcolor{orange}{\text{Kathete}}}^2 + {\textcolor{steelblue}{\text{Kathete}}}^2 = {\textcolor{green}{\text{Hypotenuse}}}^2 \)
Noch nicht überlegen, ob du addieren oder subtrahieren musst. Zuerst setzt du die Seiten genau in diese Grundform ein.
Schritt 2

Jetzt schaust du, welche Seite gesucht ist

Erst nachdem du die Seiten eingesetzt hast, entscheidest du, wie es weitergeht.

Hypotenuse gesucht

Die gesuchte Hypotenuse steht bereits allein:

\( {\textcolor{orange}{6}}^2 + {\textcolor{steelblue}{8}}^2 = {\textcolor{green}{c}}^2 \)
\( {\textcolor{orange}{36}} + {\textcolor{steelblue}{64}} = {\textcolor{green}{c}}^2 \) Quadrate berechnen
\( 100 = {\textcolor{green}{c}}^2 \) Werte addieren
\( {\textcolor{green}{c}} = \sqrt{100} \) Wurzel ziehen
\( {\textcolor{green}{c}} = {\textcolor{green}{10\,\text{cm}}} \) Ergebnis
Steht die gesuchte Seite schon allein, kannst du direkt ausrechnen.
Kathete gesucht

Ist eine Kathete gesucht, setzt du trotzdem zuerst genau wie immer in den Satz des Pythagoras ein:

\( {\textcolor{orange}{a}}^2 + {\textcolor{steelblue}{5}}^2 = {\textcolor{green}{13}}^2 \) Seiten einsetzen
\( {\textcolor{orange}{a}}^2 + {\textcolor{steelblue}{25}} = {\textcolor{green}{169}} \) Quadrate berechnen
Jetzt siehst du: Die gesuchte Kathete steht noch nicht allein. Deshalb musst du die Gleichung umstellen.
\( {\textcolor{orange}{a}}^2 = {\textcolor{green}{169}} - {\textcolor{steelblue}{25}} \) Kathete abziehen
\( {\textcolor{orange}{a}}^2 = 144 \) ausrechnen
\( {\textcolor{orange}{a}} = \sqrt{144} \) Wurzel ziehen
\( {\textcolor{orange}{a}} = {\textcolor{orange}{12\,\text{cm}}} \)
Die bekannte Kathete wird beim Umstellen abgezogen. Es gibt dafür keine zweite Pythagoras-Formel.
Kurzcheck
Die Hypotenuse ist in einem rechtwinkligen Dreieck immer längste Seite. Ist das auch nach unserer Rechnung so, ist das schon ein guter Hinweis darauf, dass wir alles richtig gemacht haben.
Hypotenuse \({\textcolor{green}{13\,\text{cm}}}\)
Kathete 1 \({\textcolor{orange}{12\,\text{cm}}}\)
Kathete 2 \({\textcolor{steelblue}{5\,\text{cm}}}\)

✓ Passt: \({\textcolor{green}{13\,\text{cm}}}\) ist die längste Seite. Das Ergebnis kann stimmen.

Stolpersteine sehen und vermeiden

Beim Satz des Pythagoras passieren immer wieder dieselben Fehler. Wenn du weißt, wo die Stolperstellen liegen, kannst du sie leicht vermeiden.

Regel 1

Jede Seite einzeln quadrieren

Beim Satz des Pythagoras werden die beiden Katheten einzeln quadriert und erst danach addiert.

✓ Richtig
\( {\textcolor{green}{c}}^2 = {\textcolor{orange}{6}}^2 + {\textcolor{steelblue}{8}}^2 \)
\( {\textcolor{green}{c}}^2 = {\textcolor{orange}{36}} + {\textcolor{steelblue}{64}} \)
✗ Falsch
\( {\textcolor{green}{c}}^2 = ( {\textcolor{orange}{6}} + {\textcolor{steelblue}{8}} )^2 \)

Erst jede Kathete quadrieren, dann die Ergebnisse addieren.

Regel 2

Am Ende die Wurzel ziehen

Mit dem Satz des Pythagoras berechnest du zunächst das Quadrat der gesuchten Seite. Gesucht ist aber die Seitenlänge selbst.

✓ Richtig
\( {\textcolor{green}{c}}^2 = 100 \)
\( {\textcolor{green}{c}} = \sqrt{100} = 10 \)
✗ Falsch
\( {\textcolor{green}{c}}^2 = 100 \)
\( {\textcolor{green}{c}} = 100 \)

Gesucht ist \( {\textcolor{green}{c}} \), nicht \( {\textcolor{green}{c}}^2 \). Deshalb am Ende die Wurzel ziehen.

Regel 3

Ist die Kathete gesucht: umstellen

Ist eine Kathete gesucht, verwendest du keine neue Pythagoras-Formel. Du schreibst zuerst den Satz des Pythagoras auf und stellst ihn anschließend nach der gesuchten Kathete um.

✓ Richtig
\( {\textcolor{orange}{a}}^2 + {\textcolor{steelblue}{5}}^2 = {\textcolor{green}{13}}^2 \)
\( {\textcolor{orange}{a}}^2 + {\textcolor{steelblue}{25}} = {\textcolor{green}{169}} \)
\( {\textcolor{orange}{a}}^2 = {\textcolor{green}{169}} - {\textcolor{steelblue}{25}} \)
✗ Falsch
\( {\textcolor{orange}{a}}^2 = {\textcolor{green}{13}}^2 + {\textcolor{steelblue}{5}}^2 \)
\( {\textcolor{orange}{a}}^2 = 169 + 25 \)

Die bekannte Kathete wird beim Umstellen auf beiden Seiten abgezogen. Dadurch entsteht das Minus.

Anwendungsaufgabe

Bei Textaufgaben mit Pythagoras ist der wichtigste Schritt nicht die Rechnung, sondern das Übersetzen: Du musst erkennen, wo das rechtwinklige Dreieck steckt. Wir helfen dir dabei und geben dir ein Rezept an die Hand.

Typische Textaufgabe

Finn möchte von seinem Baumhaus eine Seilrutsche bis zum Boden spannen. Die Plattform liegt 4,80 m über dem Boden. Für die Seilrutsche steht ein 6,50 m langes Seil zur Verfügung.

Wie weit vom Baumhaus entfernt endet die Seilrutsche?

Schritt 1

Aus dem Text ein Dreieck machen

Bei der Seilrutschen-Aufgabe entsteht das rechtwinklige Dreieck aus Höhe des Baumhauses, Boden und Seilrutsche. Höhe und Boden bilden den rechten Winkel.

Seiten erkennen
  • Die Seilrutsche liegt gegenüber vom rechten Winkel. Deshalb ist sie die Hypotenuse.
  • Die Höhe der Plattform verläuft senkrecht zum Boden. Sie ist eine Kathete.
  • Der Abstand vom Baumhaus liegt am Boden. Er ist die gesuchte Kathete.
Schritt 2

Zahlen richtig einsetzen

Jetzt bekommt jede Seite ihren Buchstaben. Wir wählen die Seilrutsche als \( {\textcolor{green}{c}} \), die Höhe der Plattform als \( {\textcolor{steelblue}{b}} \) und den gesuchten Abstand als \( {\textcolor{orange}{a}} \).

Zuordnung
  • Seilrutsche: \( {\textcolor{green}{c}} = {\textcolor{green}{6,50\,\text{m}}} \)
  • Höhe der Plattform: \( {\textcolor{steelblue}{b}} = {\textcolor{steelblue}{4,80\,\text{m}}} \)
  • Abstand vom Baumhaus: \( {\textcolor{orange}{a}} \) gesucht

Wichtig: Die Seilrutsche liegt gegenüber vom rechten Winkel und ist deshalb die Hypotenuse. Darum steht ihre Länge später auf der rechten Seite der Pythagoras-Formel.

Schritt 3

Formel aufstellen und einsetzen

\( {\textcolor{orange}{\text{Abstand}}}^2 + {\textcolor{steelblue}{\text{Höhe}}}^2 = {\textcolor{green}{\text{Seilrutsche}}}^2 \) in Worten
\( {\textcolor{orange}{a}}^2 + {\textcolor{steelblue}{b}}^2 = {\textcolor{green}{c}}^2 \) mit Buchstaben
\( {\textcolor{orange}{a}}^2 + {\textcolor{steelblue}{4,80}}^2 = {\textcolor{green}{6,50}}^2 \) einsetzen
Rechnung

Abstand vom Baumhaus berechnen

\( {\textcolor{orange}{a}}^2 + {\textcolor{steelblue}{4,80}}^2 = {\textcolor{green}{6,50}}^2 \)
\( {\textcolor{orange}{a}}^2 + 23,04 = 42,25 \) quadrieren
\( {\textcolor{orange}{a}}^2 = 42,25 - 23,04 \) \( -23,04 \)

Die bekannte Kathete wird auf beiden Seiten abgezogen. Dadurch entsteht beim Umstellen das Minus.

\( {\textcolor{orange}{a}}^2 = 19,21 \) ausrechnen
\( {\textcolor{orange}{a}} = \sqrt{19,21} \) Wurzel ziehen

Gesucht ist \( {\textcolor{orange}{a}} \), nicht \( {\textcolor{orange}{a}}^2 \). Deshalb ziehen wir am Ende die Wurzel.

\( {\textcolor{orange}{a}} \approx {\textcolor{orange}{4,38}} \) Ergebnis
Die Seilrutsche endet etwa \( {\textcolor{orange}{4,38\,\text{m}}} \) vom Baumhaus entfernt.
Wir sehen bei unseren Schülern oft, dass sie bei Textaufgaben sofort losrechnen möchten. Doch das ist gar nicht der wichtigste Teil. Schau dir die Zeichnung ganz genau an: Hast du das rechtwinklige Dreieck und die Hypotenuse gefunden, ist der Rechenweg danach nur noch Routine.
Vorgehen

So löst du Pythagoras-Textaufgaben

Schritt für Schritt
  • Erkenne: Gibt es ein rechtwinkliges Dreieck?
  • Ordne zu: Was ist die Hypotenuse, was sind die Katheten?
  • Überlege: Was ist gesucht?
  • Entscheide: Suchst du die Hypotenuse oder eine Kathete?
  • Erst dann stellst du die passende Gleichung auf.

Rechnen mit Einheiten

Der Satz des Pythagoras funktioniert mit Einheiten genauso wie vorher. Du musst nur darauf achten, dass du Zahl und Einheit gemeinsam einsetzt.

Beispiel mit Einheiten

Gegeben sind die Katheten \( {\textcolor{orange}{a}} = {\textcolor{orange}{9\,\text{cm}}} \) und \( {\textcolor{steelblue}{b}} = {\textcolor{steelblue}{12\,\text{cm}}} \). Gesucht ist die Hypotenuse \( {\textcolor{green}{c}} \).

Rechnung

Zahl und Einheit gemeinsam quadrieren

\( {\textcolor{orange}{a}}^2 + {\textcolor{steelblue}{b}}^2 = {\textcolor{green}{c}}^2 \)
\( \left( {\textcolor{orange}{9\,\text{cm}}} \right)^2 + \left( {\textcolor{steelblue}{12\,\text{cm}}} \right)^2 = {\textcolor{green}{c}}^2 \) einsetzen

Die Klammern sind hier besonders wichtig: Du quadrierst jeweils Zahl und Einheit zusammen.

\( {\textcolor{orange}{81\,\text{cm}^2}} + {\textcolor{steelblue}{144\,\text{cm}^2}} = {\textcolor{green}{c}}^2 \) quadrieren
\( 225\,\text{cm}^2 = {\textcolor{green}{c}}^2 \) addieren
\( {\textcolor{green}{c}} = \sqrt{225\,\text{cm}^2} \) Wurzel ziehen
\( {\textcolor{green}{c}} = {\textcolor{green}{15\,\text{cm}}} \)
Wichtig

Beim Quadrieren wird auch die Einheit quadriert
\( \text{cm} \rightarrow \text{cm}^2 \)
Beim Wurzelziehen wird daraus wieder \( \text{cm} \).

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Übungen

Aufgabe 1

Wann darfst du den Satz des Pythagoras anwenden?

✓ Richtig
✗ Falsch
✗ Falsch

Lösung

Der Satz des Pythagoras gilt nur im rechtwinkligen Dreieck.

Kein 90°-Winkel → kein Satz des Pythagoras

Aufgabe 2

Welche Seite ist die Hypotenuse?

✓ Richtig
✗ Falsch
✗ Falsch

Lösung

Die Hypotenuse liegt immer gegenüber vom rechten Winkel.

Gegenüber vom rechten Winkel = Hypotenuse

Berechne die Hypotenuse \(c\):

\( {\textcolor{orange}{a}} = {\textcolor{orange}{6\,\text{cm}}} \quad\quad {\textcolor{steelblue}{b}} = {\textcolor{steelblue}{8\,\text{cm}}} \)

Hier ist die Hypotenuse gesucht.

Also zuerst quadrieren, dann addieren und am Ende die Wurzel ziehen.

Lösung

\( {\textcolor{green}{c}}^2 = {\textcolor{orange}{6}}^2 + {\textcolor{steelblue}{8}}^2 \)
\( {\textcolor{green}{c}}^2 = 36+64 \)
\( {\textcolor{green}{c}}^2 = 100 \)
\( {\textcolor{green}{c}} = \sqrt{100} = {\textcolor{green}{10}} \)
Die Hypotenuse ist \( {\textcolor{green}{10\,\text{cm}}} \) lang.

Berechne die fehlende Kathete \(a\):

\( {\textcolor{green}{c}} = {\textcolor{green}{10\,\text{cm}}} \quad\quad {\textcolor{steelblue}{b}} = {\textcolor{steelblue}{8\,\text{cm}}} \)

Hier ist eine Kathete gesucht.

Also musst du die Formel umstellen: Hypotenuse² minus Kathete².

Lösung

\( {\textcolor{orange}{a}}^2 = {\textcolor{green}{10}}^2 - {\textcolor{steelblue}{8}}^2 \)
\( {\textcolor{orange}{a}}^2 = 100-64 \)
\( {\textcolor{orange}{a}}^2 = 36 \)
\( {\textcolor{orange}{a}} = \sqrt{36} = {\textcolor{orange}{6}} \)
Die Kathete ist \( {\textcolor{orange}{6\,\text{cm}}} \) lang.

Aufgabe 5

Ist das Dreieck mit den Seitenlängen \( 5\,\text{cm} \), \( 12\,\text{cm} \) und \( 13\,\text{cm} \) rechtwinklig?

✓ Richtig
✗ Falsch

Lösung

Die längste Seite ist \(13\,\text{cm}\). Die prüfen wir als mögliche Hypotenuse.

\( {\textcolor{green}{13}}^2 = {\textcolor{orange}{5}}^2 + {\textcolor{steelblue}{12}}^2 \)
\( 169 = 25+144 \)
\( 169 = 169 \)
Die Gleichung stimmt → das Dreieck ist rechtwinklig.

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Mehr dazu

in unseren FAQs

Kann ich mit dem Satz des Pythagoras auch rückwärts rechnen?

Ja. Du kannst mit dem Satz des Pythagoras nicht nur eine fehlende Seite berechnen, sondern auch prüfen, ob ein Dreieck rechtwinklig ist. Dafür vergleichst du die Quadrate über den Seiten.

\( {\textcolor{orange}{a^2}} + {\textcolor{steelblue}{b^2}} = {\textcolor{green}{c^2}} \)

Wenn die beiden kleineren Seiten quadriert zusammen genauso groß sind wie die längste Seite quadriert, dann ist das Dreieck rechtwinklig.

Brauche ich den Satz des Pythagoras nach der Schule noch?

Ja, vor allem überall dort, wo Menschen bauen, planen oder messen. Handwerker, Architektinnen, Bauzeichner, Technikerinnen oder Vermesser nutzen die Idee hinter Pythagoras immer wieder.

Stell dir vor, du möchtest wissen, wie lang eine Leiter sein muss, damit sie vom Boden bis zu einem bestimmten Punkt an der Wand reicht. Der Abstand zur Wand und die Höhe an der Wand bilden ein rechtwinkliges Dreieck.

Die Leiter ist dann die schräge Seite. Genau dafür kannst du den Satz des Pythagoras benutzen.

Darf ich den Satz des Pythagoras nach der Klassenarbeit sofort wieder vergessen?

Lieber nicht. Der Satz des Pythagoras kommt später wieder vor, nur oft besser versteckt. Besonders wichtig wird er bei Körpern wie Pyramiden und Kegeln.

Dort berechnest du zum Beispiel Höhen, Seitenhöhen oder Mantellinien. Dafür entstehen im Körper oft rechtwinklige Dreiecke, auch wenn man sie nicht sofort sieht.

Außerdem hilft dir Pythagoras später beim Rechnen mit Winkelfunktionen. Wenn du Sinus, Kosinus, Tangens, Sinussatz oder Kosinussatz nutzt, ist ein gutes Verständnis von rechtwinkligen Dreiecken richtig hilfreich.

Mehr dazu

Weiterführende Informationen

Ist mein Dreieck rechtwinklig?

Pythagoras andersrum

Mit dem Satz des Pythagoras kannst du nicht nur fehlende Seiten berechnen. Kennst du alle drei Seiten, kannst du auch prüfen, ob ein Dreieck rechtwinklig ist.

Beispiel

Ein Dreieck hat die Seitenlängen \( {\textcolor{orange}{5\,\text{cm}}}, \) \( {\textcolor{steelblue}{12\,\text{cm}}} \) und \( {\textcolor{green}{13\,\text{cm}}}. \) Ist es rechtwinklig?

Längste Seite finden
Die längste Seite ist \( {\textcolor{green}{13\,\text{cm}}}. \) Sie müsste die Hypotenuse sein.
Pythagoras überprüfen
Setze die beiden kürzeren Seiten auf die eine Seite und die längste Seite auf die andere.
\( {\textcolor{orange}{5}}^2 + {\textcolor{steelblue}{12}}^2 \stackrel{?}{=} {\textcolor{green}{13}}^2 \) überprüfen
\( {\textcolor{orange}{25}} + {\textcolor{steelblue}{144}} \stackrel{?}{=} {\textcolor{green}{169}} \) Quadrate berechnen
\( 169 = 169 \) vergleichen
Die Gleichung stimmt. Das Dreieck ist rechtwinklig.

Das Fragezeichen über dem Gleichheitszeichen ist hier wichtig: Wir wissen noch nicht, ob der Satz des Pythagoras gilt. Wir prüfen erst, ob beide Seiten denselben Wert ergeben.

Pythagoras umgekehrt

Kennst du alle drei Seiten eines Dreiecks, kannst du überprüfen, ob es rechtwinklig ist.

\( {\textcolor{orange}{a}}^2 + {\textcolor{steelblue}{b}}^2 \stackrel{?}{=} {\textcolor{green}{c}}^2 \)
  • Nimm für \( {\textcolor{green}{c}} \) immer die längste Seite.
  • Ist \( {\textcolor{orange}{a}}^2 + {\textcolor{steelblue}{b}}^2 = {\textcolor{green}{c}}^2, \) dann ist das Dreieck rechtwinklig.
  • Sind beide Seiten nicht gleich, ist das Dreieck nicht rechtwinklig.

Warum nur im rechtwinkligen Dreieck?

Um zu verstehen, was es mit dem Satz des Pythagoras auf sich hat, schauen wir uns an, was passiert, wenn wir über den Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks Quadrate ergänzen. Diese Quadrate haben dann die Seitenlänge der Seiten des Dreiecks.

Was sagt der Satz des Pythagoras?

Die Quadrate über den Katheten sind zusammen genauso groß wie das Quadrat über der Hypotenuse.

Egal ob das Dreieck ganz groß ist …

90° Kathete² Kathete² Hypotenuse²

Nicht die Größe des Dreiecks entscheidet.

Entscheidend ist, dass es einen rechten Winkel gibt. Dann gilt immer:

Die beiden Kathetenquadrate sind zusammen genauso groß wie das Hypotenusenquadrat.

… oder ganz klein.

Kathete2 + Kathete2 = Hypotenuse2
Merke

Im Satz des Pythagoras vergleichst du Flächen über den Seiten. Deshalb stehen in der Formel Quadrate.

Schauen wir uns die Quadrate über den Seiten nochmal einzeln an. Jede Seite des Dreiecks wird dabei zur Seitenlänge eines Quadrats.

Aus Seiten werden Quadrate
\( {\textcolor{orange}{a}} \cdot {\textcolor{orange}{a}} = {\textcolor{orange}{a^2}} \)

Über der ersten Kathete mit der Seitenlänge \( {\textcolor{orange}{a}} \) liegt also ein Quadrat mit dem Flächeninhalt \( {\textcolor{orange}{a^2}} \).

\( {\textcolor{steelblue}{b}} \cdot {\textcolor{steelblue}{b}} = {\textcolor{steelblue}{b^2}} \)

Über der zweiten Kathete mit der Seitenlänge \( {\textcolor{steelblue}{b}} \) liegt ein Quadrat mit dem Flächeninhalt \( {\textcolor{steelblue}{b^2}} \).

\( {\textcolor{green}{c}} \cdot {\textcolor{green}{c}} = {\textcolor{green}{c^2}} \)

Über der Hypotenuse mit der Seitenlänge \( {\textcolor{green}{c}} \) liegt ein Quadrat mit dem Flächeninhalt \( {\textcolor{green}{c^2}} \).

Jetzt kommt die wichtigste Beobachtung: Die beiden Quadrate an den Katheten passen zusammen genau zum Quadrat an der Hypotenuse.

Quadrat über a + Quadrat über b = Quadrat über c

Und weil wir die Quadratflächen mit \( {\textcolor{orange}{a^2}} \), \( {\textcolor{steelblue}{b^2}} \) und \( {\textcolor{green}{c^2}} \) berechnen, wird daraus die Formel, die du schon kennst:

\( {\textcolor{orange}{a^2}} + {\textcolor{steelblue}{b^2}} = {\textcolor{green}{c^2}} \)
Merke

Genau daraus entsteht die Formel des Satzes von Pythagoras: Kathetenquadrat plus Kathetenquadrat ergibt Hypotenusenquadrat.

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