Rechnen im rechtwinkligen Dreieck
Satz des Pythagoras
Pythagoras ist überall
Du stehst an einer Ecke des Sportplatzes, deine Tasche liegt schräg gegenüber. Du weißt intuitiv: Quer übers Feld ist kürzer als außen herum. Aber wie viel kürzer?
Im Sportplatz steckt ein rechtwinkliges Dreieck. Deshalb dürfen wir mit dem Satz des Pythagoras rechnen.
Viele Schüler lernen
Das stimmt. Aber nur, wenn \(a\) und \(b\) die Katheten sind und \(c\) die Hypotenuse ist.
Unseren Schülern erklären wir die Formel lieber so:
-
Siehst du einen rechten Winkel?
↳ Weiter mit dem Satz des Pythagoras. -
Welche Seite liegt dem rechten Winkel gegenüber?
↳ Das ist die Hypotenuse. Sie steht in der Formel allein. -
Welche Seiten treffen sich am rechten Winkel?
↳ Das sind die beiden Katheten. Sie stehen in der Formel zusammen.
Unser Sportplatz ist 80 m lang und 60 m breit. Gesucht ist die Hypotenuse \(c\) : der direkte Weg zu deiner Tasche.
| \( {\textcolor{orange}{a}}^2 + {\textcolor{steelblue}{b}}^2 = {\textcolor{green}{c}}^2 \) | Formel | |
| \( {\textcolor{orange}{80}}^2 + {\textcolor{steelblue}{60}}^2 = {\textcolor{green}{c}}^2 \) | Seiten einsetzen | |
| \( 6400 + 3600 = {\textcolor{green}{c}}^2 \) | Quadrate berechnen | |
| \( 10000 = {\textcolor{green}{c}}^2 \) | addieren | |
| \( {\textcolor{green}{c}} = \sqrt{10000} \) | Wurzel ziehen | |
| \( {\textcolor{green}{c}} = {\textcolor{green}{100\,\text{m}}} \) | Ergebnis |
Im Beitrag schauen wir uns jetzt genauer an, wie du Katheten und Hypotenuse sicher erkennst und den passenden Rechenweg für deine Aufgabe findest.
Der Weg zur Lösung
Der Satz des Pythagoras
Weiter mit Pythagoras
Pythagoras ist hier nicht möglich.
Katheten und Hypotenuse einsetzen
Beim Satz des Pythagoras ist der Aufbau immer gleich: Die beiden Katheten stehen zusammen, die Hypotenuse steht allein.
Jetzt schaust du, welche Seite gesucht ist
Erst nachdem du die Seiten eingesetzt hast, entscheidest du, wie es weitergeht.
Die Katheten sind 9 cm und 12 cm lang. Das Quadrat der gesuchten Hypotenuse steht bereits allein:
| \( {\textcolor{orange}{9}}^2 + {\textcolor{steelblue}{12}}^2 = {\textcolor{green}{c}}^2 \) | Seiten einsetzen | |
| \( {\textcolor{orange}{81}} + {\textcolor{steelblue}{144}} = {\textcolor{green}{c}}^2 \) | Quadrate berechnen | |
| \(225={\textcolor{green}{c}}^2\) | Werte addieren | |
| \({\textcolor{green}{c}}=\sqrt{225}\) | Wurzel ziehen | |
| \( {\textcolor{green}{c}} = {\textcolor{green}{15\,\text{cm}}} \) | Ergebnis |
Die Hypotenuse ist 13 cm lang, die bekannte Kathete 5 cm. Gesucht ist die Kathete \(a\). Wir setzen die bekannten Seiten zuerst wie gewohnt in den Satz des Pythagoras ein:
| \( {\textcolor{orange}{a}}^2 + {\textcolor{steelblue}{5}}^2 = {\textcolor{green}{13}}^2 \) | Seiten einsetzen | |
| \( {\textcolor{orange}{a}}^2 + {\textcolor{steelblue}{25}} = {\textcolor{green}{169}} \) | Quadrate berechnen |
| \( {\textcolor{orange}{a}}^2 = {\textcolor{green}{169}} - {\textcolor{steelblue}{25}} \) | Kathete abziehen | |
| \( {\textcolor{orange}{a}}^2 = 144 \) | ausrechnen | |
| \( {\textcolor{orange}{a}} = \sqrt{144} \) | Wurzel ziehen | |
| \( {\textcolor{orange}{a}} = {\textcolor{orange}{12\,\text{cm}}} \) |
| Hypotenuse | \({\textcolor{green}{13\,\text{cm}}}\) |
| Kathete 1 | \({\textcolor{orange}{12\,\text{cm}}}\) |
| Kathete 2 | \({\textcolor{steelblue}{5\,\text{cm}}}\) |
✓ Passt: \({\textcolor{green}{13\,\text{cm}}}\) ist die längste Seite. Das Ergebnis kann stimmen.
Im Unterricht fragt man nicht gern zweimal, welche Seite die Hypotenuse ist. Bei deinem Tutor schon.
Kostenlos testen: Nachhilfe Mathe online bei OnMathe
Pythagoras in Textaufgaben
Bei Textaufgaben mit Pythagoras ist der wichtigste Schritt nicht die Rechnung, sondern das Übersetzen: Du musst erkennen, wo das rechtwinklige Dreieck steckt. Wir helfen dir dabei und geben dir ein Rezept an die Hand.
Finn möchte von seinem Baumhaus eine Seilrutsche bis zum Boden spannen. Die Plattform liegt 4,80 m über dem Boden. Für die Seilrutsche steht ein 6,50 m langes Seil zur Verfügung.
Wie weit vom Baumhaus entfernt endet die Seilrutsche?
Aus dem Text ein Dreieck machen
Bei der Seilrutschen-Aufgabe entsteht das rechtwinklige Dreieck aus Höhe des Baumhauses, Boden und Seilrutsche. Höhe und Boden bilden den rechten Winkel.
- Die Seilrutsche liegt gegenüber vom rechten Winkel. Deshalb ist sie die Hypotenuse.
- Die Höhe der Plattform verläuft senkrecht zum Boden. Sie ist eine Kathete.
- Der Abstand vom Baumhaus liegt am Boden. Er ist die gesuchte Kathete.
Zahlen richtig einsetzen
Jetzt bekommt jede Seite ihren Buchstaben. Wir wählen die Seilrutsche als \( {\textcolor{green}{c}} \), die Höhe der Plattform als \( {\textcolor{steelblue}{b}} \) und den gesuchten Abstand als \( {\textcolor{orange}{a}} \).
- Seilrutsche: \( {\textcolor{green}{c}} = {\textcolor{green}{6,50\,\text{m}}} \)
- Höhe der Plattform: \( {\textcolor{steelblue}{b}} = {\textcolor{steelblue}{4,80\,\text{m}}} \)
- Abstand vom Baumhaus: \( {\textcolor{orange}{a}} \) gesucht
Wichtig: Die Seilrutsche liegt gegenüber vom rechten Winkel und ist deshalb die Hypotenuse. Darum steht ihre Länge später auf der rechten Seite der Pythagoras-Formel.
Formel aufstellen und einsetzen
| \( {\textcolor{orange}{\text{Abstand}}}^2 + {\textcolor{steelblue}{\text{Höhe}}}^2 = {\textcolor{green}{\text{Seilrutsche}}}^2 \) | in Worten | |
| \( {\textcolor{orange}{a}}^2 + {\textcolor{steelblue}{b}}^2 = {\textcolor{green}{c}}^2 \) | mit Buchstaben | |
| \( {\textcolor{orange}{a}}^2 + {\textcolor{steelblue}{4,80}}^2 = {\textcolor{green}{6,50}}^2 \) | einsetzen |
Abstand vom Baumhaus berechnen
| \( {\textcolor{orange}{a}}^2 + {\textcolor{steelblue}{4,80}}^2 = {\textcolor{green}{6,50}}^2 \) | ||
| \( {\textcolor{orange}{a}}^2 + 23,04 = 42,25 \) | quadrieren | |
| \( {\textcolor{orange}{a}}^2 = 42,25 - 23,04 \) | \( -23,04 \) |
Die bekannte Kathete wird auf beiden Seiten abgezogen. Dadurch entsteht beim Umstellen das Minus.
| \( {\textcolor{orange}{a}}^2 = 19,21 \) | ausrechnen | |
| \( {\textcolor{orange}{a}} = \sqrt{19,21} \) | Wurzel ziehen |
Gesucht ist \( {\textcolor{orange}{a}} \), nicht \( {\textcolor{orange}{a}}^2 \). Deshalb ziehen wir am Ende die Wurzel.
| \( {\textcolor{orange}{a}} \approx {\textcolor{orange}{4,38}} \) | Ergebnis |
So löst du Pythagoras-Textaufgaben
- Erkenne: Gibt es ein rechtwinkliges Dreieck?
- Ordne zu: Was ist die Hypotenuse, was sind die Katheten?
- Überlege: Was ist gesucht?
- Entscheide: Suchst du die Hypotenuse oder eine Kathete?
- Erst dann stellst du die passende Gleichung auf.
Rechnen mit Einheiten
Der Satz des Pythagoras funktioniert mit Einheiten genauso wie vorher. Du musst nur darauf achten, dass du Zahl und Einheit gemeinsam einsetzt.
Gegeben sind die Katheten \( {\textcolor{orange}{a}} = {\textcolor{orange}{9\,\text{cm}}} \) und \( {\textcolor{steelblue}{b}} = {\textcolor{steelblue}{12\,\text{cm}}} \). Gesucht ist die Hypotenuse \( {\textcolor{green}{c}} \).
Zahl und Einheit gemeinsam quadrieren
| \( {\textcolor{orange}{a}}^2 + {\textcolor{steelblue}{b}}^2 = {\textcolor{green}{c}}^2 \) | ||
| \( \left( {\textcolor{orange}{9\,\text{cm}}} \right)^2 + \left( {\textcolor{steelblue}{12\,\text{cm}}} \right)^2 = {\textcolor{green}{c}}^2 \) | einsetzen |
Die Klammern sind hier besonders wichtig: Du quadrierst jeweils Zahl und Einheit zusammen.
| \( {\textcolor{orange}{81\,\text{cm}^2}} + {\textcolor{steelblue}{144\,\text{cm}^2}} = {\textcolor{green}{c}}^2 \) | quadrieren | |
| \( 225\,\text{cm}^2 = {\textcolor{green}{c}}^2 \) | addieren | |
| \( {\textcolor{green}{c}} = \sqrt{225\,\text{cm}^2} \) | Wurzel ziehen | |
| \( {\textcolor{green}{c}} = {\textcolor{green}{15\,\text{cm}}} \) | ||
Beim Quadrieren wird auch die Einheit quadriert
\(
\text{cm}
\rightarrow
\text{cm}^2
\)
Beim Wurzelziehen wird daraus wieder
\(
\text{cm}
\).
Auch Aufgaben mit Einheiten und Skizzen ganz allein lösen: Das ist das Ziel deines Tutors.
Kostenlos testen: Mathe-Nachhilfe von OnMathe
Stolpersteine sehen und vermeiden
Beim Satz des Pythagoras passieren immer wieder dieselben Fehler. Wenn du weißt, wo die Stolperstellen liegen, kannst du sie leicht vermeiden.
Jede Seite einzeln quadrieren
Beim Satz des Pythagoras werden die beiden Katheten einzeln quadriert und erst danach addiert.
Erst jede Kathete quadrieren, dann die Ergebnisse addieren.
Am Ende die Wurzel ziehen
Mit dem Satz des Pythagoras berechnest du zunächst das Quadrat der gesuchten Seite. Gesucht ist aber die Seitenlänge selbst.
Gesucht ist \( {\textcolor{green}{c}} \), nicht \( {\textcolor{green}{c}}^2 \). Deshalb am Ende die Wurzel ziehen.
Ist die Kathete gesucht: umstellen
Ist eine Kathete gesucht, verwendest du keine neue Pythagoras-Formel. Du schreibst zuerst den Satz des Pythagoras auf und stellst ihn anschließend nach der gesuchten Kathete um.
Die bekannte Kathete wird beim Umstellen auf beiden Seiten abgezogen. Dadurch entsteht das Minus.
Pythagoras sitzt noch nicht? Wir üben mit dir.
Mathe macht Druck? Wir bringen Struktur.
Dein fester Tutor übt Pythagoras mit dir, auch in Textaufgaben.
Mathe-Nachhilfe online mit festem Tutor und Crashkurs vor jedem Test.
Mehr dazu
Weiterführende Informationen
Ist mein Dreieck rechtwinklig?
Warum nur im rechtwinkligen Dreieck?
