Rechnen im rechtwinkligen Dreieck

Satz des Pythagoras

Lisa & Gregor von OnMathe
two students high five

Auf einen Blick

Mit Pythagoras berechnest du fehlende Seiten

Du kennst zwei Seiten in einem rechtwinkligen Dreieck? Dann kannst du mit dem Satz des Pythagoras die fehlende Seite berechnen.

Der Satz des Pythagoras
\( {\textcolor{orange}{a}}^2 + {\textcolor{steelblue}{b}}^2 = {\textcolor{green}{c}}^2 \)
  • \( {\textcolor{orange}{a}} \) und \( {\textcolor{steelblue}{b}} \) sind die Katheten.
  • \( {\textcolor{green}{c}} \) ist die Hypotenuse.
  • Die Hypotenuse liegt immer gegenüber vom rechten Winkel.
Schnelles Beispiel
\( {\textcolor{orange}{a}}=3\,\text{cm} \qquad {\textcolor{steelblue}{b}}=4\,\text{cm} \)
Einsetzen
\( {\textcolor{green}{c}}^2 = {\textcolor{orange}{3}}^2 + {\textcolor{steelblue}{4}}^2 \)
Zusammenfassen
\( {\textcolor{green}{c}}^2 = 9+16 \)
\( {\textcolor{green}{c}}^2 = 25 \)
Wurzel ziehen
\( {\textcolor{green}{c}} = \sqrt{25} = {\textcolor{green}{5\,\text{cm}}} \)
Die Hypotenuse ist \( {\textcolor{green}{5\,\text{cm}}} \) lang.

Im Beitrag lernst du, wie du die Hypotenuse erkennst, wann du Pythagoras nutzen darfst und welche Fehler du vermeiden solltest.

Du möchtest Pythagoras wirklich sicher anwenden können? Mit unserer Nachhilfe in Mathe übst du genau das, was du für Schule, Hausaufgaben und Klassenarbeiten brauchst.

Inhaltsverzeichnis

Das erwartet Dich

Pythagoras verstehen
Hypotenuse gesucht
Kathete gesucht
Pythagoras Rechner
Anwendungsaufgabe
Rechnen mit Einheiten

Auf einen Blick

Mit Pythagoras berechnest du fehlende Seiten

Du kennst zwei Seiten in einem rechtwinkligen Dreieck? Dann kannst du mit dem Satz des Pythagoras die fehlende Seite berechnen.

Der Satz des Pythagoras
\( {\textcolor{orange}{a}}^2 + {\textcolor{steelblue}{b}}^2 = {\textcolor{green}{c}}^2 \)
  • \( {\textcolor{orange}{a}} \) und \( {\textcolor{steelblue}{b}} \) sind die Katheten.
  • \( {\textcolor{green}{c}} \) ist die Hypotenuse.
  • Die Hypotenuse liegt immer gegenüber vom rechten Winkel.
Schnelles Beispiel
\( {\textcolor{orange}{a}}=3\,\text{cm} \qquad {\textcolor{steelblue}{b}}=4\,\text{cm} \)
Einsetzen
\( {\textcolor{green}{c}}^2 = {\textcolor{orange}{3}}^2 + {\textcolor{steelblue}{4}}^2 \)
Zusammenfassen
\( {\textcolor{green}{c}}^2 = 9+16 \)
\( {\textcolor{green}{c}}^2 = 25 \)
Wurzel ziehen
\( {\textcolor{green}{c}} = \sqrt{25} = {\textcolor{green}{5\,\text{cm}}} \)
Die Hypotenuse ist \( {\textcolor{green}{5\,\text{cm}}} \) lang.

Im Beitrag lernst du, wie du die Hypotenuse erkennst, wann du Pythagoras nutzen darfst und welche Fehler du vermeiden solltest.

Du möchtest Pythagoras wirklich sicher anwenden können? Mit unserer Nachhilfe in Mathe übst du genau das, was du für Schule, Hausaufgaben und Klassenarbeiten brauchst.

Pythagoras verstehen

Schau dir dein Dreieck zuerst genau an: Hat es einen rechten Winkel? Nur dann darfst du den Satz des Pythagoras benutzen.

Voraussetzung

Prüfe zuerst den rechten Winkel

Rechtwinkliges Dreieck

Siehst du einen rechten Winkel? Dann darfst du den Satz des Pythagoras anwenden.

Die Seite gegenüber vom rechten Winkel ist die Hypotenuse.
Die Hypotenuse steht immer allein auf einer Seite der Gleichung.

\( {\textcolor{orange}{\text{Kathete}}}^2 + {\textcolor{steelblue}{\text{Kathete}}}^2 = {\textcolor{green}{\text{Hypotenuse}}}^2 \)
Typischer Fehler

Die Hypotenuse liegt nicht einfach unten

✓ Richtig
Hypotenuse gegenüber rechtem Winkel
✗ Falsch
Hypotenuse unten

Die Hypotenuse liegt immer gegenüber vom rechten Winkel und ist die längste Seite im rechtwinkligen Dreieck.

Einsetzfehler vermeiden

Die Hypotenuse steht immer allein

So vermeidest du Einsetzfehler

Hast du die Hypotenuse richtig erkannt, machst du beim Einsetzen viel weniger Fehler.

Kathete und Kathete geben sich am rechten Winkel die Hand.
Die Hypotenuse liegt ihnen gegenüber.
Die Katheten stehen zusammen hier beide links vom Gleichheitszeichen.
Die Hypotenuse steht immer allein hier rechts vom Gleichheitszeichen.
\( {\textcolor{orange}{\text{Kathete}}}^2 + {\textcolor{steelblue}{\text{Kathete}}}^2 = {\textcolor{green}{\text{Hypotenuse}}}^2 \)

Lass dich von den Buchstaben nicht verwirren. Entscheidend ist die Lage im Dreieck: Die Seite gegenüber vom rechten Winkel ist immer die Hypotenuse.

Beschriftung

Nicht der Buchstabe entscheidet

Lage im Dreieck

Die Seiten können auch x, y und z heißen. Wichtig ist nur, wo die Seite im Dreieck liegt.

Gegenüber vom rechten Winkel liegt die Hypotenuse.
x = Hypotenuse
y = Kathete
z = Kathete
Entscheidend ist nicht der Name – sondern die Lage im Dreieck. Du suchst also immer die Hypotenuse!

Bevor du rechnest, sortiere das Dreieck einmal in Ruhe: Wo ist der rechte Winkel, welche Seite liegt gegenüber und welche beiden Seiten gehören zusammen?

Der Satz des Pythagoras
  • Gilt nur im rechtwinkligen Dreieck.
  • Die Hypotenuse liegt immer gegenüber vom rechten Winkel.
  • Die beiden anderen Seiten sind die Katheten.
  • Die Namen der Seiten sind nicht wichtig – entscheidend ist ihre Lage im Dreieck.
  • Die Katheten stehen zusammen, die Hypotenuse steht allein.
\( {\textcolor{orange}{\text{Kathete}}}^2 + {\textcolor{steelblue}{\text{Kathete}}}^2 = {\textcolor{green}{\text{Hypotenuse}}}^2 \)

Hypotenuse gesucht

Wenn die Hypotenuse gesucht ist, hast du es leicht: Du setzt die beiden Katheten ein, fasst zusammen und ziehst am Ende die Wurzel.

Katheten quadrieren dann addieren dann die Wurzel ziehen.

Der wichtige Trick: Die Hypotenuse steht in der Formel allein. Die beiden Katheten werden zusammen verrechnet.

Beispiel

Hypotenuse berechnen

Beispiel

Gegeben sind die beiden Katheten:

\( {\textcolor{orange}{a}} = {\textcolor{orange}{6\,\text{cm}}} \qquad {\textcolor{steelblue}{b}} = {\textcolor{steelblue}{8\,\text{cm}}} \)

Gesucht ist die Hypotenuse \( {\textcolor{green}{c}} \).

Rechnung

Formel passend zum Dreieck aufschreiben

Bevor du Zahlen einsetzt, schreibst du die Formel passend zum Dreieck auf. Achte dabei darauf: Die beiden Katheten stehen immer zusammen. Die Hypotenuse steht allein.

\( {\textcolor{orange}{\text{Kathete}}}^2 + {\textcolor{steelblue}{\text{Kathete}}}^2 = {\textcolor{green}{\text{Hypotenuse}}}^2 \)

In unserem Beispiel sind \( {\textcolor{orange}{a}} \) und \( {\textcolor{steelblue}{b}} \) die Katheten. Deshalb stehen sie zusammen: \( {\textcolor{orange}{a}}^2 + {\textcolor{steelblue}{b}}^2 \).

\( {\textcolor{orange}{a}}^2 + {\textcolor{steelblue}{b}}^2 = {\textcolor{green}{c}}^2 \)
\( {\textcolor{orange}{6}}^2 + {\textcolor{steelblue}{8}}^2 = {\textcolor{green}{c}}^2 \)
Jetzt nicht \( {\textcolor{orange}{6}} + {\textcolor{steelblue}{8}} \) rechnen. Du musst zuerst beide Katheten einzeln quadrieren.
\( {\textcolor{orange}{36}} + {\textcolor{steelblue}{64}} = {\textcolor{green}{c}}^2 \)
\( 100 = {\textcolor{green}{c}}^2 \)
Am Ende die Wurzel nicht vergessen.
\( 100 = {\textcolor{green}{c}}^2 \) | \( \sqrt{\phantom{x}} \)
\( {\textcolor{green}{c}} = {\textcolor{green}{10}} \)
Die Hypotenuse ist \( {\textcolor{green}{10\,\text{cm}}} \) lang.
Typischer Fehler im Fokus

Zu früh addiert

Ein häufiger Fehler ist, zuerst \( {\textcolor{orange}{6}} + {\textcolor{steelblue}{8}} \) zu rechnen und das Ergebnis danach zu quadrieren.

✓ Richtig
\( {\textcolor{green}{c}}^2 = {\textcolor{orange}{6}}^2 + {\textcolor{steelblue}{8}}^2 \)
\( {\textcolor{green}{c}}^2 = 36 + 64 \)
\( {\textcolor{green}{c}}^2 = 100 \)
✗ Falsch
\( {\textcolor{green}{c}}^2 = ({\textcolor{orange}{6}} + {\textcolor{steelblue}{8}})^2 \)
\( {\textcolor{green}{c}}^2 = 14^2 \)
\( {\textcolor{green}{c}}^2 = 196 \)
Erst quadrieren, dann addieren.

Wurzel vergessen

Nach dem Addieren hast du noch nicht die Länge der Hypotenuse. Du hast erst \( {\textcolor{green}{c}}^2 \). Gesucht ist aber \( {\textcolor{green}{c}} \).

✓ Richtig
\( {\textcolor{green}{c}}^2 = 100 \)
\( {\textcolor{green}{c}} = \sqrt{100} = 10 \)
✗ Falsch
\( {\textcolor{green}{c}}^2 = 100 \)
\( {\textcolor{green}{c}} = 100 \)
Ohne Wurzel hast du nur \( {\textcolor{green}{c}}^2 \) — gesucht ist aber \( {\textcolor{green}{c}} \).
Kontrolle am Ende
  • Katheten zuerst quadriert und erst danach addiert?
  • Am Ende die Wurzel gezogen?
  • Einheit wieder dazugeschrieben?

Kathete gesucht

Wenn eine Kathete gesucht ist, brauchst du die Hypotenuse und eine bekannte Kathete - welche Kathete das ist, ist nicht wichtig.

Wichtiger Unterschied: Die gesuchte Kathete steht nicht sofort alleine - es ist immer die Hypotenuse, die beim Aufstellen der Gleichung alleine steht.

Beispiel

Kathete berechnen

Beispiel

Gegeben sind die Hypotenuse \( {\textcolor{green}{c}} \) und eine bekannte Kathete:

\( {\textcolor{green}{c}} = {\textcolor{green}{10\,\text{cm}}} \qquad {\textcolor{steelblue}{b}} = {\textcolor{steelblue}{8\,\text{cm}}} \)

Gesucht ist die Kathete \( {\textcolor{orange}{a}} \).

Rechnung

Die gesuchte Kathete erst freistellen

Auch wenn wir die Kathete suchen, stellen wir den Satz des Pythagoras zuerst in der bekannten Form auf: Katheten zusammen, Hypotenuse allein.

\( {\textcolor{orange}{a}}^2 + {\textcolor{steelblue}{b}}^2 = {\textcolor{green}{c}}^2 \)
\( {\textcolor{orange}{a}}^2 + {\textcolor{steelblue}{8}}^2 = {\textcolor{green}{10}}^2 \)
Die gesuchte Kathete steht noch nicht allein - wir müssen die Gleichung umstellen.
\( {\textcolor{orange}{a}}^2 + {\textcolor{steelblue}{64}} = {\textcolor{green}{100}} \) | \( -{\textcolor{steelblue}{64}} \)
\( {\textcolor{orange}{a}}^2 = {\textcolor{green}{100}} - {\textcolor{steelblue}{64}} \)
\( {\textcolor{orange}{a}}^2 = 36 \) | \( \sqrt{\phantom{x}} \)
\( {\textcolor{orange}{a}} = {\textcolor{orange}{6}} \)
Die Kathete ist \( {\textcolor{orange}{6\,\text{cm}}} \) lang.

Du bringst die bekannte Kathete auf die andere Seite. Deshalb wird aus Plus jetzt Minus.

Schnell merken

Kathete gesucht Hypotenuse minus bekannte Kathete

  • Hypotenuse und bekannte Kathete quadrieren.
  • Dann bekannte Kathete abziehen.
  • Dann die Wurzel ziehen.
Typischer Fehler im Fokus

Bei einer Kathete wird subtrahiert

Wenn eine Kathete gesucht ist, darfst du nicht addieren. Die Hypotenuse ist die größte Seite — deshalb ziehst du die bekannte Kathete ab.

✓ Richtig
\( {\textcolor{orange}{a}}^2 = {\textcolor{green}{10}}^2 - {\textcolor{steelblue}{8}}^2 \)
\( {\textcolor{orange}{a}}^2 = 100-64 \)
\( {\textcolor{orange}{a}}^2 = 36 \)
✗ Falsch
\( {\textcolor{orange}{a}}^2 = {\textcolor{green}{10}}^2 + {\textcolor{steelblue}{8}}^2 \)
\( {\textcolor{orange}{a}}^2 = 100+64 \)
\( {\textcolor{orange}{a}}^2 = 164 \)
Kathete gesucht minus rechnen.
Der entscheidende Gedanke

Die Hypotenuse ist immer die größte Seite.

  • Suchst du die Hypotenuse, soll etwas Größeres entstehen. Deshalb addierst du.
  • Suchst du eine Kathete, soll etwas Kleineres entstehen. Deshalb rechnest du minus.
Hypotenuse gesucht plus
Kathete gesucht minus

Pythagoras Rechner

Pythagoras Rechner

Seiten im rechtwinkligen Dreieck berechnen

Mit diesem Rechner kannst du den Satz des Pythagoras direkt anwenden. Wähle aus, was gesucht ist, und gib die bekannten Seiten ein.

Der Rechenweg wird dir Schritt für Schritt angezeigt.

ges.
Kathete
Kathete
Gegeben sind zwei Katheten. Gesucht ist die Hypotenuse.
Wähle aus, was gesucht ist, und gib zwei Seitenlängen ein.
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Anwendungsaufgabe

Typische Textaufgabe

Jonas möchte ein Fenster in 4,80 m Höhe erreichen. Dafür steht eine 6,50 m lange Leiter zur Verfügung.

Wie weit muss die Leiter von der Wand entfernt stehen?

Schritt 1

Situation verstehen

Die Wand und der Boden stehen senkrecht aufeinander. Dadurch entsteht ein rechter Winkel.

Wand Boden rechtwinkliges Dreieck
Seiten zuordnen
  • Die Leiter ist die Hypotenuse.
  • Die Höhe zum Fenster ist eine Kathete.
  • Gesucht ist der Abstand zur Wand, also die andere Kathete.
Schritt 2

Werte zuordnen

Jetzt übersetzen wir den Text in mathematische Angaben.

\( {\textcolor{green}{c}} = {\textcolor{green}{6,50}} \qquad {\textcolor{steelblue}{b}} = {\textcolor{steelblue}{4,80}} \)
\( \text{Gesucht: } {\textcolor{orange}{a}} \)

Die Leiter ist die längste Seite und liegt gegenüber vom rechten Winkel. Deshalb ist sie die Hypotenuse.

Rechnung

Abstand zur Wand berechnen

Der Abstand zur Wand ist eine Kathete. Deshalb stellen wir die Formel so um, dass die gesuchte Kathete allein steht.

\( {\textcolor{orange}{a}}^2 + {\textcolor{steelblue}{4,80}}^2 = {\textcolor{green}{6,50}}^2 \)
\( {\textcolor{orange}{a}}^2 + 23,04 = 42,25 \)
\( {\textcolor{orange}{a}}^2 = 42,25 - 23,04 \)
\( {\textcolor{orange}{a}}^2 = 19,21 \)
\( {\textcolor{orange}{a}}^2 = 19,21 \) | \( \sqrt{\phantom{x}} \)
\( {\textcolor{orange}{a}} = {\textcolor{orange}{4,38}} \)
Die Leiter muss etwa 4,38 m von der Wand entfernt stehen.
So gehst du bei Textaufgaben vor
  • Erkenne: Gibt es ein rechtwinkliges Dreieck?
  • Ordne zu: Hypotenuse und Katheten.
  • Überlege: Was ist gesucht?
  • Erst dann die passende Formel anwenden.
Text Bild Dreieck Gleichung

Rechnen mit Einheiten

Du kannst die Einheiten direkt in der Rechnung mitschreiben. Dann musst du sie aber auch richtig quadrieren.

Wichtig

Beim Quadrieren bekommt nicht nur die Zahl ein Quadrat, sondern die Einheit auch.

\( \left({\textcolor{orange}{6\,\text{cm}}}\right)^2 = {\textcolor{orange}{36\,\text{cm}^2}} \)
Zahl und Einheit gehören zusammen in die Klammer.
Beispiel

Hypotenuse mit Einheiten berechnen

Gegeben sind die beiden Katheten. Gesucht ist die Hypotenuse \( {\textcolor{green}{c}} \).

Beispiel mit Einheiten
\( {\textcolor{orange}{a}} = {\textcolor{orange}{6\,\text{cm}}} \qquad {\textcolor{steelblue}{b}} = {\textcolor{steelblue}{8\,\text{cm}}} \)
Rechnung

Zahl und Einheit zusammen quadrieren

Setze die Längen mit Einheit ein. Die Klammern zeigen: Zahl und Einheit werden zusammen quadriert.

\( {\textcolor{orange}{a}}^2 + {\textcolor{steelblue}{b}}^2 = {\textcolor{green}{c}}^2 \)
\( \left({\textcolor{orange}{6\,\text{cm}}}\right)^2 + \left({\textcolor{steelblue}{8\,\text{cm}}}\right)^2 = {\textcolor{green}{c}}^2 \)
\( {\textcolor{orange}{36\,\text{cm}^2}} + {\textcolor{steelblue}{64\,\text{cm}^2}} = {\textcolor{green}{c}}^2 \)
\( 100\,\text{cm}^2 = {\textcolor{green}{c}}^2 \)
Beim Addieren bleibt die Einheit \( \text{cm}^2 \), weil beide Seiten vorher quadriert wurden.
Letzter Schritt

Beim Wurzelziehen wird aus cm² wieder cm

Am Ende ziehen wir die Wurzel. Dann wird aus der Flächeneinheit \( \text{cm}^2 \) wieder die Längeneinheit \( \text{cm} \).

\( 100\,\text{cm}^2 = {\textcolor{green}{c}}^2 \) | \( \sqrt{\phantom{x}} \)
\( {\textcolor{green}{c}} = {\textcolor{green}{10\,\text{cm}}} \)
Beim Wurzelziehen wird aus cm² wieder cm.
Typischer Fehler

Einheit nicht falsch quadrieren

Die meisten Fehler passieren bei der Einheit. Die Klammer entscheidet, ob Zahl und Einheit wirklich zusammen quadriert werden.

✓ Richtig
\( \left(6\,\text{cm}\right)^2 = 36\,\text{cm}^2 \)
Zahl und Einheit werden quadriert.
✗ Falsch
\( 6\,\text{cm}^2 \)
Nur die Einheit bekommt das Quadrat.
\( 36\,\text{cm} \)
Denk dran

Richtig ist: \( \left(6\,\text{cm}\right)^2 \). Die Klammer zeigt, dass Zahl und Einheit zusammengehören.

Merke
  • Beim Quadrieren bekommt auch die Einheit ein Quadrat.
  • Zahl und Einheit stehen zusammen in Klammern.
  • Beim Wurzelziehen wird aus \( \text{cm}^2 \) wieder \( \text{cm} \).
cm cm² cm

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Übungen

Aufgabe 1

Wann darfst du den Satz des Pythagoras anwenden?

✓ Richtig
✗ Falsch
✗ Falsch

Lösung

Der Satz des Pythagoras gilt nur im rechtwinkligen Dreieck.

Kein 90°-Winkel → kein Satz des Pythagoras

Aufgabe 2

Welche Seite ist die Hypotenuse?

✓ Richtig
✗ Falsch
✗ Falsch

Lösung

Die Hypotenuse liegt immer gegenüber vom rechten Winkel.

Gegenüber vom rechten Winkel = Hypotenuse

Aufgabe 3

Berechne die Hypotenuse \(c\).

\( {\textcolor{orange}{a}} = {\textcolor{orange}{6\,\text{cm}}} \qquad {\textcolor{steelblue}{b}} = {\textcolor{steelblue}{8\,\text{cm}}} \)

Hier ist die Hypotenuse gesucht.

Also: zuerst quadrieren, dann addieren und am Ende die Wurzel ziehen.

Lösung

\( {\textcolor{green}{c}}^2 = {\textcolor{orange}{6}}^2 + {\textcolor{steelblue}{8}}^2 \)
\( {\textcolor{green}{c}}^2 = 36+64 \)
\( {\textcolor{green}{c}}^2 = 100 \)
\( {\textcolor{green}{c}} = \sqrt{100} = {\textcolor{green}{10}} \)
Die Hypotenuse ist \( {\textcolor{green}{10\,\text{cm}}} \) lang.

Aufgabe 4

Berechne die fehlende Kathete \(a\).

\( {\textcolor{green}{c}} = {\textcolor{green}{10\,\text{cm}}} \qquad {\textcolor{steelblue}{b}} = {\textcolor{steelblue}{8\,\text{cm}}} \)

Hier ist eine Kathete gesucht.

Also musst du umstellen: Hypotenuse² minus Kathete².

Lösung

\( {\textcolor{orange}{a}}^2 = {\textcolor{green}{10}}^2 - {\textcolor{steelblue}{8}}^2 \)
\( {\textcolor{orange}{a}}^2 = 100-64 \)
\( {\textcolor{orange}{a}}^2 = 36 \)
\( {\textcolor{orange}{a}} = \sqrt{36} = {\textcolor{orange}{6}} \)
Die Kathete ist \( {\textcolor{orange}{6\,\text{cm}}} \) lang.

Aufgabe 5

Ist das Dreieck mit den Seitenlängen \( 5\,\text{cm} \), \( 12\,\text{cm} \) und \( 13\,\text{cm} \) rechtwinklig?

✓ Richtig
✗ Falsch

Lösung

Die längste Seite ist \(13\,\text{cm}\). Die prüfen wir als mögliche Hypotenuse.

\( {\textcolor{green}{13}}^2 = {\textcolor{orange}{5}}^2 + {\textcolor{steelblue}{12}}^2 \)
\( 169 = 25+144 \)
\( 169 = 169 \)
Die Gleichung stimmt → das Dreieck ist rechtwinklig.

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Mehr dazu

in unseren FAQs

Wann darf ich den Satz des Pythagoras benutzen?

Antwort

Du darfst den Satz des Pythagoras nur im rechtwinkligen Dreieck benutzen.

Kein 90°-Winkel → kein Satz des Pythagoras

Wie erkenne ich die Hypotenuse?

Antwort

Die Hypotenuse liegt immer gegenüber vom rechten Winkel. Sie ist außerdem die längste Seite im rechtwinkligen Dreieck.

Gegenüber vom rechten Winkel = Hypotenuse

Was mache ich, wenn eine Kathete gesucht ist?

Antwort

Wenn eine Kathete gesucht ist, musst du die Formel zuerst umstellen. Dann wird nicht addiert, sondern subtrahiert.

\( {\textcolor{steelblue}{\text{Kathete}}}^2 = {\textcolor{green}{\text{Hypotenuse}}}^2 - {\textcolor{orange}{\text{Kathete}}}^2 \)
Hypotenuse gesucht → plus Kathete gesucht → minus

Warum muss ich am Ende die Wurzel ziehen?

Antwort

Beim Rechnen entsteht zuerst ein Quadrat, zum Beispiel \( c^2 \). Gesucht ist aber die Seitenlänge \( c \). Deshalb musst du am Ende die Wurzel ziehen.

\( c^2 = 100 \qquad \Rightarrow \qquad c = \sqrt{100} = 10 \)
Erst mit der Wurzel bekommst du die gesuchte Seitenlänge.

Wofür ist die Umkehrung des Satzes des Pythagoras?

Antwort

Mit der Umkehrung prüfst du, ob ein Dreieck rechtwinklig ist. Dafür nimmst du die größte Seite als mögliche Hypotenuse und prüfst die Gleichung.

\( {\textcolor{green}{\text{größte Seite}}}^2 = {\textcolor{orange}{\text{kleinere Seite}}}^2 + {\textcolor{steelblue}{\text{kleinere Seite}}}^2 \)
Gleichung stimmt → rechtwinklig Gleichung stimmt nicht → nicht rechtwinklig

Mehr dazu

Weiterführende Informationen

Warum nur im rechtwinkligen Dreieck?

Der Satz des Pythagoras funktioniert nur im rechtwinkligen Dreieck. Das siehst du hier direkt an den Quadraten über den Seiten.

Winkel verändern

Schiebe den Regler und achte auf das grüne Quadrat.

Nur bei 90° passen die beiden Kathetenquadrate genau zum Hypotenusenquadrat.

Winkel: 90°

Kathete2 + Kathete2 = Hypotenuse2

Bei 90° sind die beiden Kathetenquadrate zusammen genau so groß wie das Quadrat über der Hypotenuse.

Was du siehst

Bei 90° passt es genau

Bei 90° gilt: orange + blau ist genau so groß wie grün.

Wird der Winkel kleiner oder größer, passt das nicht mehr. Deshalb darfst du den Satz des Pythagoras nur im rechtwinkligen Dreieck benutzen.

Merke
Kathete2 + Kathete2 = Hypotenuse2
Diese Gleichung gilt nur bei rechtwinkligen Dreiecken.

Typische Fehler

Beim Satz des Pythagoras passieren oft dieselben Fehler. Wenn du sie kennst, kannst du sie in Klassenarbeiten leichter vermeiden.

Fehler 1

Die falsche Seite als Hypotenuse wählen

Die Hypotenuse ist immer die Seite gegenüber vom rechten Winkel. Nicht einfach die Seite, die unten liegt.

Hypotenuse erkennen
Hypotenuse = gegenüber vom rechten Winkel
✓ Richtig
Erst rechten Winkel suchen.
Dann Hypotenuse bestimmen.
✗ Falsch
Einfach die untere Seite nehmen.
Das kann falsch sein.
Fehler 2

Pythagoras im falschen Dreieck benutzen

Der Satz des Pythagoras gilt nur im rechtwinkligen Dreieck. Fehlt der rechte Winkel, darfst du die Formel nicht einfach anwenden.

Denk dran
Kein rechter Winkel → kein Satz des Pythagoras
✓ Richtig
rechter Winkel da
Pythagoras geht
✗ Falsch
rechter Winkel fehlt
Pythagoras geht nicht
Fehler 3

Die Wurzel am Ende vergessen

Solange noch \( c^2 \) oder \( a^2 \) dasteht, bist du noch nicht am Ende der Rechnung.

✓ Richtig
\( c^2 = 100 \)
\( c = \sqrt{100} = 10 \)
✗ Falsch
\( c^2 = 100 \)
\( c = 100 \)
Denk dran
Erst wenn du die Wurzel gezogen hast, bist du fertig.
Fehler 4

Zuerst addieren, dann quadrieren

Beim Satz des Pythagoras werden die Seitenlängen zuerst quadriert. Erst danach wird addiert oder subtrahiert.

✓ Richtig
\( c^2 = 6^2 + 8^2 \)
\( c^2 = 36 + 64 \)
\( c^2 = 100 \)
✗ Falsch
\( c = 6 + 8 \)
\( c^2 = 14^2 \)
\( c^2 = 196 \)
Denk dran
Zuerst quadrieren, dann addieren.
Fehler 5

Plus rechnen, obwohl eine Kathete gesucht ist

Wird eine Kathete gesucht, musst du die Formel umstellen. Dann wird subtrahiert und nicht addiert.

Plus oder Minus?
Hypotenuse gesucht → plus rechnen Kathete gesucht → minus rechnen
✓ Richtig
Kathete gesucht
Hypotenuse² − Kathete²
✗ Falsch
Kathete gesucht
Hypotenuse² + Kathete²

Wenn die Kathete gesucht ist, musst du erst umstellen.

Die wichtigsten Regeln
  • Erst den rechten Winkel und die Hypotenuse bestimmen.
  • Nur im rechtwinkligen Dreieck mit Pythagoras rechnen.
  • Immer zuerst quadrieren.
  • Am Ende die Wurzel ziehen.
  • Bei gesuchter Kathete die Formel umstellen.
Erst schauen, dann einsetzen, dann rechnen.

Ist das Dreieck rechtwinklig?

Mit dem Satz des Pythagoras kannst du nicht nur Seiten berechnen. Du kannst auch prüfen, ob ein Dreieck rechtwinklig ist.

Dafür brauchst du zuerst die mögliche Hypotenuse.

Wichtig zuerst

Die Hypotenuse ist im rechtwinkligen Dreieck immer die längste Seite.

Größte Seite → mögliche Hypotenuse
Beispiel

Das Dreieck ist rechtwinklig

Gegeben sind drei Seiten. Die größte Seite ist \( {\textcolor{green}{13}} \). Deshalb prüfen wir sie als mögliche Hypotenuse.

Gegeben
\( {\textcolor{orange}{a}} = {\textcolor{orange}{5}} \qquad {\textcolor{steelblue}{b}} = {\textcolor{steelblue}{12}} \qquad {\textcolor{green}{c}} = {\textcolor{green}{13}} \)
\( {\textcolor{green}{c}}^2 = {\textcolor{orange}{a}}^2 + {\textcolor{steelblue}{b}}^2 \)
\( {\textcolor{green}{13}}^2 = {\textcolor{orange}{5}}^2 + {\textcolor{steelblue}{12}}^2 \)
\( {\textcolor{green}{169}} = {\textcolor{orange}{25}} + {\textcolor{steelblue}{144}} \)
\( {\textcolor{green}{169}} = {\textcolor{green}{169}} \) ✓ wahr
Die Gleichung stimmt → das Dreieck ist rechtwinklig.
Gegenbeispiel

Das Dreieck ist nicht rechtwinklig

Hier ist die größte Seite \( {\textcolor{green}{11}} \). Also prüfen wir wieder mit dieser Seite als möglicher Hypotenuse.

Gegeben
\( {\textcolor{orange}{a}} = {\textcolor{orange}{6}} \qquad {\textcolor{steelblue}{b}} = {\textcolor{steelblue}{8}} \qquad {\textcolor{green}{c}} = {\textcolor{green}{11}} \)
\( {\textcolor{green}{c}}^2 = {\textcolor{orange}{a}}^2 + {\textcolor{steelblue}{b}}^2 \)
\( {\textcolor{green}{11}}^2 = {\textcolor{orange}{6}}^2 + {\textcolor{steelblue}{8}}^2 \)
\( {\textcolor{green}{121}} = {\textcolor{orange}{36}} + {\textcolor{steelblue}{64}} \)
\( {\textcolor{green}{121}} \neq {\textcolor{orangered}{100}} \) ✗ falsch
Die Gleichung stimmt nicht → das Dreieck ist nicht rechtwinklig.
Merke

Du prüfst nur, ob die Seiten zusammenpassen

Wichtig ist: Du rechnest hier keine fehlende Seite aus. Du prüfst nur, ob die Gleichung stimmt.

So prüfst du ein Dreieck
  • Größte Seite finden.
  • Größte Seite als mögliche Hypotenuse einsetzen.
  • Prüfen: \( {\textcolor{green}{\text{größte Seite}}}^2 = {\textcolor{orange}{\text{kleinere Seite}}}^2 + {\textcolor{steelblue}{\text{kleinere Seite}}}^2 \)
  • ✓ wahr → rechtwinklig
  • ✗ falsch → nicht rechtwinklig
Erst größte Seite finden, dann Gleichung prüfen.
Typischer Fehler

Nicht irgendeine Seite nehmen

Der typische Fehler ist, irgendeine Seite als Hypotenuse zu nehmen oder direkt eine Seite ausrechnen zu wollen.

✓ Richtig
größte Seite zuerst prüfen
prüfen, ob die Gleichung wahr ist
✗ Falsch
irgendeine Seite als Hypotenuse nehmen
eine fehlende Seite ausrechnen wollen
Denk dran
Die Hypotenuse ist immer die längste Seite im rechtwinkligen Dreieck.
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