Was sind binomische Formeln?
Binomische Formeln sind Abkürzungen fürs Ausmultiplizieren. Statt jedes Mal eine Klammer mühsam aufzulösen, nutzt du eine fertige Formel. Es gibt genau drei — und die funktionieren immer gleich.
In den Formeln stehen zwei Platzhalter: a und b. Du kannst für a und b beliebige Zahlen oder Terme einsetzen. Die Farben helfen dir dabei zu sehen, welcher Wert wohin gehört.
1. Binomische Formel
Quadriere a, quadriere b, und addiere das Doppelte von a mal b — das Mischprodukt 2ab wird oft vergessen.
Warum steht da 2ab? Weil beim Ausmultiplizieren zwei identische Terme entstehen:
(a + b) · (a + b)
= a·a + a·b + b·a + b·b
= a² + 2ab + b²
Zahlenbeispiel
Gegenprobe: 8² = 64 ✓
Noch ein Beispiel mit Variablen
2. Binomische Formel
Fast wie die 1. Formel — aber das Mischprodukt 2ab wird subtrahiert statt addiert. Das b² am Ende bleibt positiv!
Häufiger Fehler: Viele schreiben −b² am Ende. Aber b² ist immer positiv, weil Minus mal Minus Plus ergibt:
(a − b) · (a − b)
= a·a − a·b − b·a + b·b
= a² − 2ab + b²
Zahlenbeispiel
Gegenprobe: 5² = 25 ✓
Beispiel mit Variablen
3. Binomische Formel
Plus mal Minus — die Mischprodukte heben sich gegenseitig auf. Übrig bleibt nur die Differenz der Quadrate.
Das ist die eleganteste der drei Formeln. Warum verschwinden die ab-Terme?
(a + b) · (a − b)
= a·a − a·b + b·a − b·b
= a² − b²
Die beiden mittleren Terme (+ab und −ab) sind gleich groß mit umgekehrtem Vorzeichen — sie löschen sich aus.
Zahlenbeispiel
Gegenprobe: 13 · 5 = 65 ✓
Beispiel mit Variablen
Interaktive Übung
Verschiebe die Regler und beobachte, wie sich die Flächen geometrisch verändern.
Alle 3 Formeln auf einen Blick
2. (a − b)² = a² − 2ab + b²
3. (a + b)(a − b) = a² − b²
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